2020届湖南师大附中新高考原创考前信息试卷(一)理科数学

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数学（理科）一、选择题1.已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]【答案】D 【解析】【详解】由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2.在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =，那么EF =( )A. 1123AB AD -B. 1132AB AD +C.1223AB AD - D.1142AB AD + 【答案】C 【解析】【分析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+. 因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =. 因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =， 所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-，故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5.在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A.12B.2πC .12π- D. 22π-【答案】C 【解析】 【分析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6.()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A. 14B. -14C. 16D. -16【答案】A 【解析】 【分析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+， 故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 7.已知α为锐角，且()cos 11α︒=，则α的值为( ) A. 20︒ B. 40︒ C. 50︒ D. 70︒【答案】B【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．【详解】解：由()cos 11α+︒=可得cos10cos 1cos10α︒+︒=︒，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )B.2C.12【答案】D 【解析】 【分析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小， 2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =3c e a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A. 24π B. 18π C. 26π D. 16π【答案】C 【解析】 【分析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =所以2r =过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，故选：C ．【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( )A. 9798B.9899 C. 99100D. 100101【答案】C 【解析】 【分析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ．【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11.已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ）B.12【答案】B 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.【详解】画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=， 所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242t t ab t =<≤.构造函数()()24log 142tt h t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t t t t t t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln ln ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A.54B.43C.32D.5 【答案】B 【解析】 【分析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC【详解】双曲线22221x y a b-=的右焦点(),0F c ，渐近线OB 的方程为b y x a =，即0bx ay -=，渐近线OA 的方程为by x a=-，即0bx ay +=. 所以22bc BF b c a b ===+，22OB c b a =-=，225433a a AB a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 所以4tan 3AB AOB OB ∠==，而()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOFAOB AOF BOF AOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b b a a b a--===-， 解得2b a =或12b a =-（舍去）.所以44102333a a aAF b a =+=+=. 在Rt COF ∆中，由射影定理得2OF BF FC =⋅，所以222225522OFc a b a aFC BF b b a +=====， 所以10||435||32aFA a FC ==. 故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13.已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题．15.若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦ 【解析】 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】 【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==，由此能求出结果． 【详解】解：在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PCDE E =，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+. （1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】 【分析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ，（2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=，即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6. 综上，ABC ∆的周长为6或513+.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】 【分析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =，1BC ⊂平面1ABC ，AB 平面1ABC ，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥， 又∵11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中BO =，11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A，()1C ，(113,0,A B =，()111,0B C =--，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1111113030n AB x n BC y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得()11,n =-， 而平面11BB CC 的一个法向量为()20,0,1n =， 则112122cos ,55n nn n n n ⋅===， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2p a =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即2y ac =±442ac =则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,3a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -.【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同. （1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， （1） ()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21.已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞；（2）1k ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++，根据函数的单调性确定k 的范围即可．【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >.综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞.（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+， 令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <， 则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<，则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为3x m my k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C . （1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭点Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值.【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠.（2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=， 由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点. 由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈），所以曲线1C上的点),sin Qαα到直线60x y +-=的距离为d ==所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 的最大值为【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】【分析】 （1）根据()32||f x x -，可得3131x x -⎧⎨>⎩或1301x x +⎧⎨⎩或3130x x -+⎧⎨<⎩，然后解不等式组即可得到解集； （2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可． 【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

2020届湖南师大附中新高考原创考前信息试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，1]B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]∪[1，+∞）D．（0，1]2．计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（）A．2B．11C．12D．144．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝45．已知向量．若向量，则实数m等于（）A．3B．﹣3C．D．﹣6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．57．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．9．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S1510．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．911．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1]二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝．14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是．15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值．16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为．三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sin x）+b．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．20．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合P＝{y|y＝2x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，1]B．[0，+∞）C．（﹣∞，1]∪[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：∵P＝{y|y＞0}，Q＝{x|x≤1}，∴P∩Q＝（0，1]．故选：D．2．计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：＝．故选：C．3．已知一组数据点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（x7，y7），用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据x1，x2，x3，…x7的平均数为1，则＝（）A．2B．11C．12D．14【解答】解：∵，且（）在线性回归直线上，∴，则＝．故选：D．4．经过原点并且与直线x+y﹣2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝4【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），则a2+b2＝r2①，（a﹣2）2+b2＝r2②，＝1③；由①②③组成方程组，解得a＝1，b＝﹣1，r2＝2；故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2．故选：A．5．已知向量．若向量，则实数m等于（）A．3B．﹣3C．D．﹣【解答】解：向量，若向量，则•＝3+m＝0，则实数m＝﹣，故选：A．6．如图在程序框图中，若输入n＝6，则输出k的值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：执行程序框图，有n＝6，k＝0n＝13，不满足条件n＞100，k＝1；n＝27，不满足条件n＞100，k＝2；n＝55，不满足条件n＞100，k＝3；n＝111，满足条件n＞100，输出k的值为3．故选：B．7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【解答】解：CC1与B1E是异面直线，是相交直线，不正确；因为AC与AB不垂直，所以AC⊥平面ABB1A1，不正确；AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1，正确；因为AC与平面AB1E相交，A1C1∥AC，所以A1C1∥平面AB1E，不正确；故选：C．8．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF＝2，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意有：AF＝2，EF＝4，∠AFC＝，FC＝6，再△AFC中，由余弦定理得：AC2＝AF2+FC2﹣2AF×FC×＝52，设事件A为”此点取自小等边三角形（阴影部分）“，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：A．9．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a3+a7+a11是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A．S7B．S8C．S13D．S15【解答】解：a3+a7+a11＝3a7是一个定值，只有：S13＝＝13a7是一个定值，故选：C．10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x，则在区间[0，6]上函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：因为f（x）是R上偶函数，且满足f（1+x）＝f（1﹣x），∴满足f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（x﹣1），令x+1＝t，则x＝t﹣1，∴f（t）＝f（t﹣2）；∴f（x）是最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x3﹣x＝0解得x＝0或x＝1，故f（x）＝0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）＝f（0）＝0，故f（x）＝0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．故选：B．11．已知点P是双曲线右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，△PF1F2是直角三角形，PF2的斜率为﹣，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则，∵m﹣n＝2a，m2+n2＝4c2，∴m＝2b，n＝2a，∵mn＝2b2，∴b＝2a，∴c＝a，∴e＝＝．故选：D．12．函数若a＞0＞b，且f（a）＝f（b），则f（a+b）的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，0]D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：设f（a）＝f（b）＝t，作出f（x）的图象，由图象知，t≥0，由f（a）＝a2＝t，得a＝，由f（b）＝﹣2b﹣3＝t，得b＝，则a+b＝+＝﹣t+﹣＝﹣（﹣1）2﹣1，∵t≥0，∴≥0，则m＝﹣（﹣1）2﹣1≤﹣1，即m＝a+b≤﹣1，此时f（a+b）＝f（m）＝﹣2m﹣3≥2﹣3＝﹣1，即f（a+b）的取值范围是[﹣1，+∞），故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则f（f（﹣2））＝2．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝﹣4×（﹣2）+1＝9，f（f（﹣2））＝f（9）＝log39＝2．故答案为：2．14．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次．甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是．【解答】解：∵甲和乙都不可能是第一名，∴第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，∴这三个人获得第一名是等概率事件，∴丙是第一名的概率是．故答案为：．15．若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线过B（4，2）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为z＝2×4+2＝10．故答案为：10．16．已知A、B是球O球面上的两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为144π．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC＝V C﹣AOB＝＝＝36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，故答案为：144π．三．解答题（本题共5小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17．已知函数f（x）＝a（2cos2+sin x）+b．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当a＞0，且x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2cos2+sin x+b＝1+cos x+sin x+b＝sin（x+）+b+1．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：2kπ﹣≤x≤2kπ+（k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；（2）因为，f（x）＝a（2cos2+sin x）+b＝a（1+cos x+sin x）+b＝a sin（x+）+b+a，x∈[0，π]⇒x+∈[，]⇒sin（x+）∈[﹣，1]⇒a sin（x+）∈[﹣a，a]，所以，f（x）∈[b，（）a+b]，又f（x）的值域是[3，4]，所以b＝3，a＝＝．18．交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段（T≥2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示．（Ⅰ）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6），[6，8），[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（Ⅱ）从（Ⅰ）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.1+0.2）×1×20＝6，（0.25+0.2）××20＝9，（0.1+0.05）×1×20＝3．所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个，9个，3个．拥堵路段共有6+9+3＝18个，按分层抽样从18个路段中选出6个，每种情况分别为：，，＝1，即这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1．（Ⅱ）记（Ⅰ）中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，选取的3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，选取的1个严重拥堵路段为C，则从6个路段选取2个路段的可能情况如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C），共15种可能，其中至少有1个轻度拥堵的有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），共9种可能，所以所选2个路段中至少1个路段轻度拥堵的概率为p＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA＝PD＝AB＝DC＝a，取AD中点O，连结PO，∵PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD＝＝，PO＝，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，∴V P﹣ABCD＝＝＝＝＝，解得a＝2，∴PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PO＝，∴PB＝PC＝＝2，∴该四棱锥的侧面积：S侧＝S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC＝+++＝＝6+2．20．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝bx+1．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣2ax，由题设得f′（1）＝e﹣2a＝b，f（1）＝e﹣a＝b+1，解得a＝1，b＝e﹣2．（Ⅱ）由（1）知f（x）＝e x﹣x2，所以f′（x）＝e x﹣2x，f″（x）＝e x﹣2，所以f′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f′（x）≥f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max＝f（1）＝e﹣1．21．如图，已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）经过点A（2，0），离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设点B为椭圆与y轴正半轴的交点，点C为线段AB的中点，点P是椭圆Γ上的动点（异于椭圆顶点）且直线PA，PB分别交直线OC于M，N两点，问|OM|•|ON|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得，所以椭圆Γ的方程：+y2＝1；（Ⅱ）由已知，点C的坐标为（1，），得直线OC的方程为x﹣2y＝0，设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2），因P，A，M三点共线，故整理得y1＝，因P，B，N三点共线，故，整理得y2＝，因点P在椭圆Γ上，故x02+4y02＝4，从而y1y2＝•＝＝，所以|OM||ON|＝|y1||y2|＝5|y1y2|＝为定值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l：（t为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（1）若直线l与曲线C相切，求α的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣6x+5＝0即（x﹣3）2+y2＝4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆．直线l的方程为：x sinα﹣y cosα+sinα＝0…∵直线l与曲线C相切∴即…∵α∈[0，π）∴α＝…（2）设x＝3+2cosθ，y＝2sinθ则x+y＝3+2cosθ+2sinθ＝…∴x+y的取值范围是．…[选修4-5：不等式选讲]23．若实数x，y，m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（Ⅰ）若2x比1接近3，求x的取值范围；（Ⅱ）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．【解答】解：（Ⅰ）由已知得|2x﹣3|＜|1﹣3|＝2，则﹣2＜2x﹣3＜2，∴，∴x的取值范围为．（II）要证比接近0，只需证，只需证只需证（a+mb）2＜（a2+mb2）（m+1），即证2amb＜（a2+b2）m．∵a，b∈R，m＞0且a≠b，∴2amb＜（a2+b2）m显然成立，∴比接近0．。

2020届湖南师大附中新高考精准模拟考试（三）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确的答案填在答题卡相应的位置上。

1.已知i R y x ,,∈是虚数单位，若yi x +与i i++13互为共轭复数，则=+y xA.OB. 1C. 2D.32.已知集合A={0352|2≤--x x x }，B= {2|≤∈x Z x }，则 B A 中的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.53.图中为截止2019年3月末.我国的外汇储备近1年的变化折线图，由此得到以下说法，其中叙述正确的是A.近1年以来，我国外汇储备月增长量最大的月份是2019B. 2018年4月至10月，我国外汇储备连续下降C. 2018年底，我国外汇储备降至近年来最低D.截止2019年3月末，我国外汇储备连续第五个月上升4. 已知双曲线C: 12222=-b y ax (a>b>0)的离心率45=e ，且其右焦点F2(5,0)，则双曲线的C 方程为A. 13422=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-y xD. 14322=-y x 5.已知)'(,cos 41)(2x f x x x f +=为)(x f 的导函数，则)'(x f 的图象是 6.函数)42sin(2)(π+=x x f 向右平移)＞0(ϕϕ个单位后，得到x y 2cos =的图象，则ϕ的最小值为 A.87π B. 85π C. 83π D.8π7.某三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 A.4B. 23C. 32D.78.已知等差数列{n a }的第8项是二项式4)1(y xx ++展开式的常数项，则=-11931a aA.32B. 2C. 4D. 6 9.已知抛物线：0)>(22p py x =的焦点为F ，准线为l ，点P(4，0y ）在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且||2||PF PK =，则0y 的取值为A.4B. 2C.32D.2 10.甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了 5局，乙共打了 6局， 而丙共当了 2局裁判，那么整个比赛共进行了 A. 13 局B. 11局C. 9局D. 8 局11.数列{n a }中，0>),2,(2||,12111a n N n a a a n n n ≥*∈=--=--,若数列{12-n a }单调递减，数列{n a 2}单调递增，则=2019aA. 3122019-B. 3122019+ C.3122019+- D. 3122019+- 12.已知过第二象限内的点P(a,b)能且只能向函数t tx x x f ()(3-=为给定的正常数）的 图象作两条切线，则22)1(-+=b a z 的最小值为 A.211t + B. 211t + C. 21t + D.21t + 二、填空题（本小题共4题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中2020届高三年级统一模拟考试数 学（理科）本试题卷共5页，全卷满分150分，考试用时l20分钟。

一、选择题：本大题共且2个小题，每小题S 分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}121>=-x x A ，{}022≤-=x x x B ，则=B A I A ．[)2,1B ．[]2,1C ．(]3,0D ．(]2,12．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足FB CF 2=，那么=EF A ．3121- B ．2131+C ．AD 3221- D ．2141+ 4．函数12-=x ex y （其中e 为自然对数的底）的图象大致是5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内 切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧， 则点M 恰好取自阴影部分的概率为 A ．21B ．2π C ．12-πD ．22π-6．()51113⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 的展开式中的常数项为A ．14B ．14-C ．16D ．16-7．已知α为锐角，且()110tan 31cos =+οα，则α的值为A ．ο20B ．ο40C ．ο50D ．ο708．设椭圆)0(1:2222>>+b a by a x C ，的左、右焦点分别为21,F F ，点)0)(,0(b t t E <<.己知动点P在椭圆上，且点2,,F F P 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为b 3,则椭圆C 的离心率为A ．23 B ．22 C ．21 D ．35 9．设三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面2==AC AB ,ο90=∠BAC ,231=AA ,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A ．π24 B ．π18 C ．π26D ．π1610．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若nn n S a 2=+，*)(2212N n a a n n b n∈-=++，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nb 1的前99项和为 A ．9897 B ．9998 C ．10099 D ．10110011．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤+=21,2181,log 2)(21x x x x f x ，若))(()(b a b f a f <=，则ab 的最小值为 A ．22B ．21 C ．42 D ．35 12．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ,交y 轴于点C ,交另一条渐近线于点A ,并且点C 位于点B A ,之间，已知O 为原点,且a OA 35=，则=FCFAA ．45 B ．34 C ．23 D ．25 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前湖南省六校联考(湖南师大附中 长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中 湘潭市一中 常德市一中)2020届高三毕业班下学期高考模拟联考数学(理)试题(解析版)2020年4月考生注意：1.本试卷分第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C【解析】【分析】 根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题.2. 若复数z 满足211z i i i ⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限 【答案】D【解析】【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i i i z i i i i ⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题.3. 已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论.【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ，。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|2x−1>1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [1,2)B. [1,2]C. (0,3]D. (1,2]2. 在复平面内，复数1+ii对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，那么EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 函数y =x 2e|x|+1(其中e 为自然对数的底)的图象大致是( )A.B.C.D.5. 在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A. 12 B. π2 C. π2−1 D. 2−π26. (3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为( )A. 14B. −14C. 16D. −167. 已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为( )A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°8. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E(0,t)(0<t <b).已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. √539. 设三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB =AC =2，∠BAC =90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. 24πB. 18πC. 26πD. 16π10. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n =2a n+2−a n+1(n ∈N ∗)，则数列{1nb n}的前99项和为( )A. 9798B. 9899C. 99100D. 10010111. 已知函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2.若f(a)=f(b)(a <b)，则ab 的最小值为( ) A. √22B. 12C. √24D. √5312. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B.交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=( )A. 54B. 43C. 32D. √52二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f(x)=αx −log 2(2x +1)+cosx(α∈R)为偶函数，则α=______． 14. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5=6，则a 8=______．15. 若f(x)=2sin(2x +φ)(φ>0)的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0,π2)，使得f(x 0)=a ，则a 的取值范围是______．16. 在四面体P −ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，PA =6，PB =8，PC =10，则四面体P −ABC 的体积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asin(A+B−C)=csin(B+C)．(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若2a+b=6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB=AC1，AB⊥B1C.(Ⅰ)求证：AO⊥平面BB1C1C：(Ⅱ)设∠B1BC=60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1−B1C1−B的余弦值．19.已如椭圆：C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点重合，椭圆C1的离心率为12，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)过点A(−4,0)的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．20.某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．(Ⅰ)求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；(Ⅱ)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过N，(n∈N∗)次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=αe x−e−x−(a+1)x(α∈R)，f(x)既存在极大值，又存在极小值．(Ⅰ)求实数α的取值范围；(Ⅱ)当0<α<1时，x1，x2分别为f(x)的极大值点和极小值点．且f(x1)+kf(x2)> 0，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt(t为参数)，直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k(m为参数).设直线l1与l2的交点为P.当k变化时点P的轨迹为曲线C1．(Ⅰ)求出曲线C1的普通方程；(Ⅱ)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥3−2|x|的解集；(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+|x−5|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m.求证：a2b+b2a≥4．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵2x−1>1，∴A ={x|x >1}， 又x 2−2x ≤0，则B ={x|0≤x ≤2}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤2}=(1,2]， 故选：D ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：1+i i=i(1+i)−1=1−i故选：D ．复数分母实数化，再化简即可．本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：C ．利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当x ≥0时，函数y =x 2e |x|+1=x 2e x+1，y′=2x−x 2e x+1，有且只有一个极大值点是x =2，故选：A ．利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．5.【答案】C【解析】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为8×(14π×12−12×1×1)=2π−4．∴所求概率P=2π−44=π2−1．故选：C．设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵(3x+1)(1x −1)5=(3x+1)(1x5−5x4+10x3−10x2+5x−1)，故它的展开式中的常数项为3×5+1×(−1)=14，故选：A．把(1x −1)5按照二项式定里展开，可得(3x+1)(1x−1)5的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10∘)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1，即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10∘=1，则：cosα⋅2sin40°cos10∘=1．当α=40°时，两边相等．故选：B．直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.【答案】D【解析】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|=|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|=|PF2|+|PF1|=2a=3b，∴4a2=9(a2−c2)，5a2=9c2∴e=ca =√53，故选：D．当P，E，F1共线时，此时△PEF2的周长的最小，即可得到2a=3b，再根据离心率公式计算即可．本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，9.【答案】C【解析】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O′，则外接圆的半径r=BC2，而AB=AC=2，∠BAC=90°，所以BC=2√2，所以r=√2，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：R2=r2+(AA12)2=2+92=132，所以外接球的表面积S=4πR2=26π，故选：C．直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：a n +S n =2n ，a n+1+S n+1=2n+1， 两式作差得a n+1−a n +S n+1−S n =2n ，2a n+1=a n +2n ，故2b n =2a n+2−a n+1=2n+1， b n =n +1，所以1nb n=1n −1n+1，所以S 99=1−12+12−13+⋯+199−1100=99100，故选：C ．利用两式作差2a n+1=a n +2n ，代入求出b n =n +1，再利用裂项相消法求出和即可． 考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，中档题．11.【答案】B【解析】解：画出函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f(a)=f(b)，且a <b ，设2+log 12a =2b=k ，则2<k ≤4；所以a =(12)k−2，b =log 2k ；当k =4时，ab =(12)2⋅log 24=14⋅2=12；考虑ab −12=(12)k−2⋅log 2k −12=(12)k−2⋅(log 2k −2k−3)，在同一坐标系中画出函数y =log 2x 和y =2x−3的图象，其中x ∈(2,4]，如图②所示；则函数y=log2x的图象总在y=2x−3的图象上方，所以ab−12≥0，即ab的最小值为12．故选：B．画出函数f(x)的图象，由题意得出2+log12a=2b=k，则2<k≤4；可求得a、b的表达式，计算k=4时ab=12；再求ab−12≥0恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，渐近线OB的方程为y=bax，渐近线OA的方程为y=−bax，可得|BF|=|bc|√b2+a2=b，|OB|=√c2−b2=a，|AB|=√(5a3)2−a2=4a3，可得tan∠AOB=|AB||OB|=43=−ba−ba1−b2a2，解得b=2a或b=−12a(舍去)，可得|AF|=4a3+2a=10a3，由|OB|2=|CB|⋅|BF|，可得|CB|=a2b =12a，则|CF|=b+12a=5a2，则|FA||FC|=43．故选：B．设出右焦点F的坐标和渐近线OA，OB的方程，由点到直线的距离公式可得|BF|，结合直角三角形的勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得a，b的关系，结合直角三角形的射影定理，化简计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理和锐角三角函数的定义、以及两直线的夹角公式，考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)=αx−log2(2x+1)+cosx，其定义域为R，若f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)，则有a(−x)−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cosx，变形可得：2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=x，必有a=12；故答案为：12．根据题意，由函数奇偶性的定义可得a(−x)−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cosx，据此变形分析可得答案．本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，且设公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9=S3+S6，显然q=1时，18a1=9a1，即a1=0不成立；则2⋅a1(1−q 9)1−q =a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q，化为2q9=q3+q6，即2q6−q3−1=0，解得q3=−12，由a2+a5=6，可得a1q+a1q4=a1q(1+q3)=12a1q=6，则a8=a1q7=a1q(q6)=14a1q=12×6=3．故答案为：3．等比数列的公比设为q，运用等差数列的中项性质，对公比q判断不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得q3，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】(−√3,2]【解析】解：f(x)=2sin(2x+φ)(φ>0)的图象关于直线x=π12对称，所以2×π12+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ+π3，当k=0时，φ=π3．所以f(x)=2sin(2x+π3).由于∃x0∈(0,π2)，所以π3<2x0+π3<4π3，所以−√3<f(x0)≤2，即a的范围为(−√3,2]．故答案为：(−√3,2]．直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16.【答案】8√11【解析】解：∵在四面体P−ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，PA=6，PB=8，PC=10，∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD=√36−9=3√3，DE=4，AE=√36−25=√11，∴AE2+DE2=PD2，∴AE⊥DE，∵PC ∩DE =E ，∴AE ⊥平面PBC ， ∴四面体P −ABC 的体积为：V P−ABC =P A−PBC =13⋅S △PBC ⋅AE =13×12×PB ×BC ×AE =13×12×8×6×√11=8√11．故答案为：8√11．推导出PB ⊥BC ，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD ⊥BC ，AE ⊥PC ，DE ⊥BC ，推导出AE ⊥DE ，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P −ABC 的体积为V P−ABC =P A−PBC =13⋅S △PBC ⋅AE ，由此能求出结果．本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(I)∵asin(A +B −C)=csin(B +C)，∴sinAsin(π−2C)=sinCsinA ， ∴2sinAsinCcosC =sinCsinA ， ∵sinAsinC ≠0， ∴cosC =12， ∵0<C <π， ∴C =13π，(II)由题意可得，12ab ×√32=√3，∴ab =4， ∵2a +b =6，联立可得，{a =1b =4或{a =2b =2，若a =1，b =4，则由余弦定理可得，c 2=1+16−2×1×4×12=15，此时a +b +c =5+√15，若a =2，b =2，则此时△ABC 为等边三角形，此时周长6．【解析】(I)结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cosC ，进而可求C ， (II)由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长．本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础试题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1=B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB=AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1=O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)∵AB//A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO=45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，BO=√3,CO=B1O=1，在直角△ABO 中，AO=BO=√3，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，O(0,0,0),A(0,0,√3),A1(−√3,1,√3),B1(0,1,0),C1(−√3,0,0)，A1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3),A1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)，设平面A1B1C1的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅A1B1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x−√3z=0m⃗⃗⃗ ⋅A1C1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y−√3z=0，令x=√3，则m⃗⃗⃗ =(√3,−3,√3)，易知平面B 1C 1B 的一个法向量为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3+9+3⋅√3=√55，又二面角A 1−B 1C 1−B 为钝角，故其余弦值为−√55．【解析】(Ⅰ)利用B 1C ⊥平面ABC 1可证得B 1C ⊥AO ，利用三线合一可证得AO ⊥BC 1，进而得证；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a =p2，则C 2：y 2=4ax ，代入x =c ，得y 2=4ax ，即y =±2√ax ，所以4√ac =4√2， 则有ac =2，ca =12，a 2−b 2=c 2⇒a =2，b =√3，c =1，p =4， 所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x ；(Ⅱ)过点A(−4,0)的直线l 设为y =k(x +4)，联立椭圆方程3x 2+4y 2=12，消去y 得(3+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，E(x 1,−y 1)， 可得x 1+x 2=−32k 23+4k 2，x 1x 2=64k 2−123+4k 2，直线EN 的方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，即为y +k(x 1+4)=k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1(x −x 1)，即y =k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1⋅x −2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)x 2−x 1，代入韦达定理可得y =1x2−x 1⋅24k3+4k 2(x +1)，则直线EN 过定点(−1,0)．【解析】(Ⅰ)利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；(Ⅱ)把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，E(x 1,−y 1)，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B(5,14)，∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P(X =2)=C 52(14)2(34)3=5512．(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P(ξ=0)=14，P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2⋅14，…，P(ξ=n −1)=(34)n−1⋅14，P(ξ=n)=(34)n ， ∴ξ的分布列为：E(ξ)=34⋅14+2⋅(34)2⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1⋅14+n ⋅(34)n ，①34E(ξ)=(34)2⋅14+2⋅(34)3⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n +n ⋅(34)n+1，② ①−②，得：14E(ξ)=34⋅14+(34)2⋅14+(34)3⋅14+⋯+(34)n−1⋅14+(34)n ⋅14 ∴E(ξ)=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n =34[1−(34)n ]1−34 =3−3⋅(34)n ．【解析】(Ⅰ)任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X ～B(5,14)，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，…，n ，P(ξ=0)=14，P(ξ=1)=34×14，P(ξ=2)=(34)2⋅14，…，P(ξ=n −1)=(34)n−1⋅14，P(ξ=n)=(34)n ，由此能求出ξ的分布列和数学期望． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=ae x +e −x −(a +1)=ae2x −(a+1)e x +1e x=(ae x −1)(e x −1)e x，∵f(x)存在极大值点x 1和极小值点x 2， ∴a >0且a ≠1，令f′(x)=0，解得x 2=−lna ，或x 1=0， ①0<a <1时，−lna >0，∴当x <0或x >−lna 时，f′(x)>0，函数单调递增，当0<x <−lna 时，f′(x)<0，函数单调递减，∴当x 1=0时，函数取得极大值，当x 2=−lna 时，函数取得极小值， ②a >1时，−lna <0，∴当x >0或x <−lna 时，f′(x)>0，函数单调递增，当−lna <x <0时，f′(x)<0，函数单调递减，∴当x 1=0时，函数取得极小值，当x 2=−lna 时，函数取得极大值， 故a 的范围为(0,1)∪(1,+∞)，(2)由(1)可知0<a <1，且f(x)的极大值点为x 1=0，极小值点为x 2=−lna ， ∴f(x 2)=f(−lna)=1−a +(a +1)lna ，f(x 1)=f(0)=a −1， ∵f(x 1)>−kf(x 2)，令−k =m ，∵a −1>m[1−a +(a +1)lna]对任意0<a <1恒成立， 由于此时f(x 1)<f(x 2)<0，故m >0， 故(a +1)lna <(1+1m )(a −1)， 即lna <(1+1m )⋅a−1a+1， 设g(x)=lnx −(1+1m ))⋅x−1x+1， g′(x)=x 2−2x m+1x(x+1)2，令x 2−2xm +1=0(∗)，△=4m 2−4， ①m ≥1时，△≤0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增，故g(a)<g(1)=0，即lna<(1+1m )a−1a+1，符合题意，②0<m<1时，△>0，设(∗)的两根为x3，x4，且x3<x4，则x3+x4>0，x3⋅x4=1，故0<x3<1<x4，则当x∈(x3,x4)时，g′(x)<0，g(x)递减，故当0<a<1时，g(a)>g(1)=0，即lna>(1+1m )⋅a−1a+1，矛盾，不合题意，综上，m≥1，即−k≥1，∴k≤−1．【解析】(1)求出函数的导数，结合函数的单调性确定a的范围即可；(2)求出函数的极值点，问题转化为lna<(1+1m )⋅a−1a+1，设g(x)=lnx−(1+1m))⋅x−1x+1，根据函数的单调性确定k的范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt(t为参数)，转换为直角坐标方程为y=k(x+√3)①.直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k(m为参数).转换为直角坐标方程为y=13k(√3−x)②.所以①×②得到x23+y2=1(y≠0)．(Ⅱ)直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x+y−6=0．设曲线C1的上的点Q(√3cosθ,sinθ)到直线x+y−8=0的距离d=√3cosθ+sinθ−6|√2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max=√2=4√2．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=|x −1|，∴由f(x)≥3−2|x|，得|x −1|+2|x|≥3．∵|x −1|+2|x|={3x −1,x >1x +1,0≤x ≤1−3x +1,x <0，∴由|x −1|+2|x|≥3，有{3x −1≥3x >1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x <0，∴x ≥43或x ≤−23，∴不等式的解集为{x|x ≥43或x ≤−23}.(Ⅱ)证明：g(x)=f(x)+|x −5|=|x −1|+|x −5|≥|(x −1)−(x −5)|=4， ∴g(x)min =m =4，∴a +b =m =4， ∴a 2b+b 2a=(a 2b +b)+(b 2a +a)−4≥2a +2b −4=4，当且仅当a =b =2时取等号， ∴a 2b+b 2a≥4．【解析】(Ⅰ)根据f(x)≥3−2|x|，可得{3x −1≥3x >1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x <0，然后解不等式组即可得到解集；(Ⅱ)先利用绝对值三角不等式求出g(x)的最小值，再利用基本不等式求出a 2b+b 2a的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

2020届湖南师大附中新高考原创考前信息试卷（八）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第一部分（1-12题） 1．已知集合A 为自然数集N ，集合},3|{2Z x x x B ∈<=，则( ) A. }1{=B A IB. }1,0{=B A IC. B B A =YD. A B A =Y2．设i 是虚数单位，若复数10()3m m R i+∈+是纯虚数，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 3.若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则tan(2)πα-=（ ）A.-B.-C.D. 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足495,20S S ==，则7a 等于( )A ．－3B ．－5C ．3D ．55．若,m n 表示互不重合的直线，,αβ表示不重合的平面，则//m α的一个充分条件是( )A ．//,//m βαβB ．,m βαβ⊥⊥C ．//,//m n n αD ．,,//n m m n αβα⋂=⊄6．要得到()cos 21g x x =+)(R x ∈的图象，只需把2)cos (sin )(x x x f +=)(R x ∈的图象（）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C.向左平移2π个单位 D.向右平移2π个单位 7．已知正数a 、b 满足632=+b a ，则ab 的最大值为( )A.91 B.41 C.31 D. 21 8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的 底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是( ) A ．8 cm B ．6 cm C ．5 cm D ．4 cm9．已知数列}{n a 满足3log log 22+=n a n ，则20642a a a a ++++Λ值为( )A. )42(311-⨯ B. )42(312-⨯C. 54411- D. 4411-10．设函数23()ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数f (x )的极大值点，则函数f (x )的极小值为( )A ．ln 2－2B ．ln 2－1C ．ln 3－2D ．ln 3－111．我国古代数学名著《九章算术》有“勾股容圆” 曰：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何”。

2020年湖南师大附中高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x−1)(x−3)<0}，则A∩B=()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.如下图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为EC的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，若函数y=f(x)e x在x=−1处取得极值，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是()A. B.C. D.5.已知正方形ABCD如图所示，其中AC，BD相交于O点，E，F，G，H，I，J分别为AD，AO，DO，BC，BO，CO的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO 与△CDO 的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为( )A. 1+(2−√2)π2 B. 1+(4−2√2)π4 C. 1+(6−2√2)π4 D. 1+(6−4√2)π46. (2x +1)(1−1x)5的展开式的常数项是( )A. −10B. −9C. 11D. 97. 若锐角α满足2sinα+2√3cosα=3，则tan(2α+2π3)的值是( )A. −3√7B. 3√7C. −3√77D. 3√778. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，M 为C 上的动点，N(0,√2b)，若△MNF 的周长的最大值为(√6+2)a ，则C 的离心率为( )A. √22B. 12C. √33D. 139. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为√3，AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60∘，则此球的体积等于( )A. 8√2π3B. 9π2C. 5√10π3D. 4√3π310. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( )A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−nD. 12⋅32n+2−n +3211. 设函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x −2,x ≥1，则满足f(x)≥7的x 的取值范围是( )A. [89,1) B. [89,+∞)C. [2,+∞)D. [89,1)∪[2，+∞)12.已知F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，点A在l1上，且FA⊥l1，点B在l2上，且FB//l1，若|FA|=45|FB|，则双曲线C的离心率为()A. √5B. √52C. √52或3√52D. √52或√5二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若函数f(x)=log3(9x+1)+kx(k∈R)为偶函数，则k的值为______．14.在等比数列{a n}中，2a3，a52，3a1成等差数列，则a2+a5a9+a6=______．15.已知f(x)=2sin(x+π3)(x∈R)，函数y=f(x+φ)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称，则φ的值为______ ．16.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=√2，BB1=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，BB1的中点，则四面体C−A1EF的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，a=2√7，且△ABC的面积为6√3(1)求A；(2)求△ABC的周长．18.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在正方形ADNM中，AD=2．(1)求证：AC⊥BN；(2)求二面角M−EC−D的余弦值．19. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右准线方程是直线l:x =4，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B(点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：分别以PA 、PB 为直径的两圆都恒过定点C ； (3)在(2)的条件下，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线PC 的方程．20.某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．(1)求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；(2)在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n(n∈N∗)次．在抽样结束时，已取到的黄色单车数量以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21.已知函数f(x)=x3−3x2−a(1)若f(x)的极小值为−5，求a的值；(2)当x≥−2时，f(x)≥0，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,(t为参数).以坐标原点为极点，y=tsinα以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B ={x|(x −1)(x −3)<0}={x|1<x <3}，A ={x|2<x <4}， ∴A ∩B ={x|2<x <3}=(2,3)． 故选：C ．求出集合B ，然后求解集合的交集．本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2.答案：B解析：解：21+i =1−i则1+i 对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2． 故选B ． 化简21+i 即得．本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求． 解：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．4.答案：D解析：解：由y =f(x)e x =e x (ax 2+bx +c)⇒y′=f′(x)e x +e x f(x)=e x [ax 2+(b +2a)x +b +c]，由x =−1为函数f(x)e x 的一个极值点可得，−1是方程ax 2+(b +2a)x +b +c =0的一个根， 所以有a −(b +2a)+b +c =0⇒c =a ．所以函数f(x)=ax 2+bx +a ，对称轴为x =−b2a ，且f(−1)=2a −b ，f(0)=a ． 对于A ，由图得a >0，f(0)>0，f(−1)=0，不矛盾， 对于B ，由图得a <0，f(0)<0，f(−1)=0，不矛盾，对于C ，由图得a <0，f(0)<0，x =−b2a >0⇒b >0⇒f(−1)<0，不矛盾，对于D ，由图得a >0，f(0)>0，x =−b 2a <−1⇒b >2a ⇒f(−1)<0与原图中f(−1)>0矛盾，D 不对． 故选：D ．先求出函数f(x)e x 的导函数，利用x =−1为函数f(x)e x 的一个极值点可得a ，b ，c 之间的关系，再代入函数f(x)=ax 2+bx +c ，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．本题考查极值点与导函数之间的关系．一般在知道一个函数的极值点时，直接把极值点代入导数令其等0即可．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22，即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ， 即(√22+√22+1)r =√22×√22，得r =2(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．6.答案：B解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．(2x +1)(1−1x )5=(2x +1)·(1−5x +10·1x 2−10·1x 3+5·1x 4−1x 5)，分成两类相加，即可得到答案．解：(2x +1)(1−1x )5=(2x +1)·(1−5x +10·1x 2−10·1x 3+5·1x 4−1x 5)，故展开式中的常数项是2×(−5)+1=−9． 故选B ．7.答案：B解析：解：∵锐角α满足2sinα+2√3cosα=4sin(α+π3)=3， ∴sin(α+π3)=34<sin π3．又π3<α+π3<5π6，∴α+π3为钝角，∴cos(α+π3)=−√74，∴tan(α+π3)=7． 则tan(2α+2π3)=2tan(α+π3)1−tan 2(α+π3)=3√7，故选：B ．由条件求得sin(α+π3)=34<sin π3，再由α的范围求得cos(α+π3)的值，可得tan(α+π3)的值，再利用二倍角的正切公式求得tan(2α+2π3)的值．本题主要考查辅助角公式、两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于中档题．8.答案：A解析：解：设C 的左焦点为F 0，△MNF 的周长为l ，则l =|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+2a −|MF 0|+|NF|≤|NF 0|+|NF|+2a =2|NF|+2a=2√c 2+2b 2+2a =2√2a 2−c 2+2a=(√6+2)a ，化简得a 2=2c 2，所以e 2=12，故e =√22．故选：A ．设出周长．利用椭圆的简单性质，转化求解椭圆的离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．画出球的内接三棱柱ABC −A 1B 1C 1，作出球的半径，然后可求球的体积． 解：设AA 1=ℎ，∵棱柱的体积为√3，AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60°， ∴12×2√2×√2×√32ℎ=√3，∴ℎ=1，∵AB =2√2,AC =√2,∠BAC =60°，∴BC=√8+2−2×2√2×√2×12=√6，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP=√62×√32=√2，则球的半径为OA，由题意OP=12，∴OA=√14+2=32，所以球的体积为：43πR3=92π．故选B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：D解析：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数不等式和对数不等式的解法，难度中档． 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x −2≥7，解得答案．解：∵函数f(x)={5−log 3(1−x),x <13x−2,x ≥1, 若f(x)≥7，则{x <15−log 3(1−x)≥7或{x ≥13x−2≥7, 解得89≤x <1或x ≥2， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，以及两直线平行的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．设右焦点F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l 1：y =ba x ，l 2：y =−ba x.由点到直线的距离公式，计算可得|FA|，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得直线FB 的方程，联立直线l 2，可得交点B 的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 解：设F(c,0)，双曲线的两条渐近线方程为l 1：y =bax ，l 2：y =−bax.①则F 到直线l 1的距离|FA|=√a 2+b 2=bc c =b ，由FB//l 1，可得直线FB 的方程为y =ba (x −c)，② 由①②可得x =12c ，y =−bc2a ， 即有B(12c,−bc2a )，|FB|=√(c −12c)2+(bc 2a )2=12c √1+b 2a 2=12⋅c2a ，由|FA|=45|FB|，可得b =45⋅12⋅c 2a，即2c 2=5ab ，两边平方可得4c4=25a2b2=25a2(c2−a2)，由e=c，可得4e4−25e2+25=0，a，解得e2=5或e2=54．即为e=√5或e=√52故选：D．13.答案：−1解析：解：根据题意，函数f(x)=log3(9x+1)+kx(k∈R)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，即log3(9x+1)+kx=log3(9−x+1)+k(−x)，变形可得：2kx=log3(9−x+1)−log3(9x+1)=−2x，则有k=−1；故答案为：−1根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)=f(x)，即log3(9x+1)+kx=log3(9−x+1)+k(−x)，变形可得k的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．14.答案：19解析：本题考查等差中项的性质，等比数列的通项公式的运用，属于中档题．等比数列{a n}的公比设为q，由等差中项的性质，运用等比数列通项公式，解方程可得q2，再由等比数列的通项公式，化简整理即可得到所求比值．解：等比数列{a n}的公比设为q，，3a1成等差数列，由2a3，a52可得a5=2a3+3a1，即a1q4=2a1q2+3a1，即有q4−2q2−3=0，解得q2=3，则a2+a5a9+a6=a1q+a1q4a1q8+a1q5=q+q4q4(q4+q)=1q4=19．故答案为：19．15.答案：π6解析：解：∵函数y=f(x+φ)=2sin(x+φ+π3)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称，∴sin(φ+π3)=±1，∴φ+π3=kπ+π2，k∈Z，则φ=π6，故答案：π6．由条件利用正弦函数的图象的对称性，可得sin(φ+π3)=±1，故φ+π3=kπ+π2，k∈Z，由此求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．16.答案：13解析：本题考查几何体体积的求法，求解几何体的底面面积以及高是解题的关键，属于基础题．画出图形，求出所求几何体的底面面积以及几何体的高，即可求解几何体的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=√2，BB1=2，∠ABC=90°，E，F分别为AA1，BB1的中点，所以EF//AB，A1E⊥EF，A1E=1，EF=AB=√2，又∠ABC=90°，∴AB⊥BC，由直三棱柱的性质可得，AA1⊥BC，又AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面A1ABB1，∴BC⊥平面A1ABB1，∴四面体C−A1EF的高为：BC=√2．∴四面体C−A1EF的体积为：13×12×1×√2×√2=13．故答案为：13．17.答案：解：(1)在△ABC中，(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，∴由正弦定理得：(a+b)(a−b)=c(c−b)，∴a2−b2=c2−bc，即bc=b2+c2−a2，由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，(2)因为SΔABC=12bcsinA=6√3，所以bc=24，a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=28，所以b+c=10，所以△ABC的周长为10+2√7．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式的知识点，属基础题．(1)先根据题意，结合正弦定理化简(sinA+sinB)(a−b)=c·(sinC−sinB)，再由余弦定理得到cos A的值，最后即可得解；(2)由(1)可得sin A的值，结合三角形面积公式可得△ABC的周长．18.答案：(1)证明：连接BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵ND//MA，MA⊥平面ABCD，∴DN⊥平面ABCD，则DN⊥AC，又DN∩DB=D，∴AC⊥平面NDB，又∵BN⊂平面NDB，∴AC⊥BN；(2)由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°， E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ． 如图建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，E(√3,0，0)，C(0,2，0)，M(√3,−1,2)． CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,0)，EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)． 设平面MEC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)． 则{n ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −2y =0n ⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y +2z =0，取x =2，得n ⃗ =(2,√3,√32)，又平面ADE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√321×√312=√9331． ∴二面角M −EC −D 的余弦值是√9331．解析：(1)通过连接BD ，可得AC ⊥BD ，再由DN ⊥平面ABCD ，得DN ⊥AC ，利用线面垂直的判断可得AC ⊥平面NDB ，从而证明AC ⊥BN ；(2)由于四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB.建立空间直角坐标系D −xyz ，分别求出平面MEC 与平面ADE 的法向量，由两向量所成角的余弦值可得二面角M −EC −D 的余弦值．本题考查直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．19.答案：解：(1)由题意可知，{ca=12,a 2c =4,解之得a =2，c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设切点A(x 0,y 0)，则可证切线AP ：x 0x 4+y 0y 3=1，所以点P(4,3(1−x 0)y 0)．以AP 为直径的圆：(x −x 0)(x −4)+(y −y 0)(y −3(1−x 0)y 0)=0．由对称性可知定点在x 轴上，令y =0得x 2−(4+x 0)x +3+x 0=0，所以过定点C(1,0) 同理，以BP 为直径的圆过定点C(1,0) (3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，C(1,0)因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2=3−2x 1,y 2=−2y 1,又因为{x 124+y 123=1,x 224+y 223=1,，所以A(74,3√58)，∴P(4,−6√55)，所以直线PC 的方程为y =−2√55x +2√55.解析：本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系问题，属于中档题目． (1)列出方程组求解a 、b 的值即可；(2)分别计算出以PA 、PB 为直径的两圆的方程，从而证出结论； (3)利用条件AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和椭圆的方程计算出P 、C 点坐标进而求出方程． 20.答案：解：(1)根据题意知，任意抽取一辆单车颜色为蓝色的概率为11+2=13；则抽取5辆单车中有2辆是蓝色单车的概率为P =C 52⋅(13)2⋅(1−13)3=80243； (2)根据题意知，随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ； P (ξ=0)=13， P (ξ=1)=23×13=29，P (ξ=2)=(23)2×13=227，⋯P (ξ=n −1)=(23)n−1×13P (ξ=n )=(23)n ，且ξ的分布列为：ξ的数学期望为E (ξ)=0×13+1×232+2×2233+⋯+(n −1)×2n−13n+n ×2n3n ；∴23E (ξ)=1×2233++2×2334+⋯+(n −1)×2n3n+1+n ×2n+13n+1；∴13E(ξ)=232+2233+2334+⋯+2n−13n+n×2n3n−(n−1)×2n3n+1−n×2n+13n+1，∴13E(ξ)=23×13+(23)2×13+⋯+(23)n×13∴E(ξ)=23×(1−(23)n)1−23=2(1−(23)n)=2−2×(23)n．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题．(1)根据题意知任意抽取一辆单车颜色为蓝色的概率，从而求出所求的概率值；(2)由题意知ξ的可能取值，计算它的分布列，求出数学期望值，再用错位相减法化简E(ξ)的值．21.答案：解：(1)∵f′(x)=3x(x−2)，令f′(x)>0，解得：x>2或x<0，令f′(x)<0，解得：0<x<2，故f(x)在(−∞,0)递增，在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，故x=2时，函数取极小值，由题意可知f(2)=−5，解得：a=1；(2)x≥−2时，f(x)=x3−3x2−a≥0，即a≤x3−3x2恒成立，令g(x)=x3−3x2，则g′(x)=3x(x−2)，令g′(x)>0，解得：x>2或x<0，令g′(x)<0，解得：0<x<2，故g(x)在(−∞,0)递增，在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，当x=−2时，g(−2)=−20，g(2)=−4，故x≥−2时，函数g(x)的最小值是−20，则a≤−20，综上，a∈(−∞,−20]．解析：(1)求出函数的导数，解关于函数的不等式，得到关于a的方程，解出即可；(2)问题转化为a≤x3−3x2恒成立，令g(x)=x3−3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道常规题．22.答案：解：(1)圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由(1)可知t 1+t 2=2cosα，t 1t 2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t 1+t 2|=2|cosα|=1， ∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2，解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1， 当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号， 可得函数f(x)的最小值为1， 则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab+bc+ac≤1．3解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。