集合考点

1.1集合知识点一：集合的含义与表示1、集合的定义1>元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．2>集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．集合概念的三个性质(1)描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明． (2)广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象．(3)整体性：集合是一个整体，已暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象．2、集合中元素的特性（集合的三要素）1>确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准．2>互异性：给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现． 3>无序性：集合中的元素无先后顺序之分.例1、给出以下四个对象，其中能构成集合的有( ) ①某中学的年轻教师；②你所在班中身高超过1.80米的同学； ③2011年深圳世界大运会的比赛项目； ④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例2、已知集合S 中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3、元素与集合的表示元素：通常用小写拉丁字母a 、b 、c ，……表示 集合：通常用大写拉丁字母A 、B 、C ，……表示例3、设含有三个实数的集合可表示为{a, a+d, a+2d}，也可表示为{a, aq, aq 2}，其中a 、d 、q ∈R ，求常数q.4、元素与集合的关系对象a 与集合M 的关系是：a M ∈（a 在M 中），或者a M ∉（a 不在M 中），两者必居其一.5、常用数集及其方法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.例4、下列关系中正确的有____________．①0∈N *；②－32∈Q ；③π∉Q ；④0∉N ；⑤2∈R ；⑥－3∈Z ；⑦0∈Z ；⑧0.9∈R.6、集合的表示法1> 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.2> 描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素，称其为数集；{（x ，y ）|y 关于x 的函数表达式}其中（x ，y ）为集合的代表元素，所以称为点集3> 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.注：用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质，且用“|”隔开．集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，例5、用列举法表示集合∈-xx 26|{Z ，∈x Z} 例6、6|),{(2+-=x y y x ，∈x N ，∈y N}例7、列举法：由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合. 例8、描述法: 表示正偶数集.7、集合的分类1> 含有有限个元素的集合叫做有限集 2> 含有无限个元素的集合叫做无限集 3> 不含有任何元素的集合叫做空集(∅).知识点二：集合间的基本关系名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂BA集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)集合中元素个数和集合子集个数的关系：已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.例8：已知集合M 满足M ≠⊂ {1，2，3}，且集合M 中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M.例9、求{1, 2}⊆⊆A {1, 2, 3, 4, 5}的所有集合A . 例10、知识点三：集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集C U A{|,}x x U x A ∈∉且;.U U A C A A C A U φ==()U U U C A C B C A B =()U U U C A C B C A B =例11、已知A ＝{x|x ≤－2或x>5}，B ＝{x|1<x ≤7}，求A ∪B ，A ∩B.例12、已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}，B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A ．{－1,2,3} B ．{－1，－2,3} C ．{1，－2,3} D ．{1，－2，－3}例13、已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{6,8} B ．{5,7} C ．{4,6,7} D ．{1,3,5,6,8}例14、设集合1|),{(2+==x y y x A ，∈x R ，∈y R}，集合25|),{(x y y x B -==，∈x R ，∈y R}，求B A . 例15、设集合1|{2+==x y y C ，∈x R ，∈y R}，集合25|{x y y D -==，∈x R ，∈y R}，求D C . 例16、已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1例17、已知A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |k －1≤x ≤2k ＋1}，求使A ∩B ＝∅的实数k 的取值范围． 例18、。

第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。

符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。

4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。

符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。

【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。

集合知识点复习
【考点一】集合定义
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

比如：外国语高中的全体师生就构成一个集合
几个常用的数集要记住：
1子集：如果集合Ａ中任意一个元素都是集合Ｂ中的元素就说集合A和B的关系为例如：M=｛１，2，3｝N=｛2，3｝P=｛1，2，3｝M与N 的关系M与P 2真子集：
3空集表示没有任何元素的集合记为【注意{0}与∅的区别】空集是任何集合的
思考：空集是任何集合的真子集吗？
注意集合与元素之间符号用集合与集合之间符号用
4子集具有以下性质
①传递性：Ａ⊆Ｂ，B⊆Ｃ，则ＡＣ如果Ａ≠⊂Ｂ，B≠⊂Ｃ，那么ＡＣ
②子集个数：n个元素的集合有个子集真子集
练1：M=｛１，2，3｝有多少个子集真子集
M=｛a，b，c，d｝有多少个子集真子集
【考点五】集合的基本运算。

考点一集合的概念与运算知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R(5)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B3.全集与补集(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．4.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 5.集合关系与运算的常用结论(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n －1个，真子集有2n－1个．(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．(3)(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B) ．典例剖析题型一集合的基本概念例1已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是答案 5解析列表根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．变式训练已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．答案 6解析因为x－y∈A，∴x≥y．当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．解题要点研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．例2 设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 2解析 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，且由a 在分母的位置可知a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.变式训练 已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.解题要点 对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性． 题型二 集合间的基本关系例3 集合A ={－1，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有 个 答案 4解析 根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.变式训练 设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有 个 答案 6解析 集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．解题要点 解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合． 例4 设，若，则a 的取值范围是 ．答案解析 根据题意作图：由图可知，，则只要即可，即a 的取值范围是．变式训练 已知集合()2{|540},,,A x x x B a A B =-+≤=-∞⊆，则a 的取值范围是 ． 答案 (4,)+∞解析 []2{|540}1,4A x x x =-+≤=，∵，根据题意作图：由图可知，只要即可，即a 的取值范围(4,)+∞.解题要点 对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到. 题型三 集合的基本运算例5 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案 5解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于________． 答案 {－1,0,1,2}解析 A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，B 为整数集，A ∩B ＝{－1,0,1,2}.解题要点 求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B ) ＝________． 答案 {x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图．∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．变式训练 已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－＜x ＜}，则A ∪B ＝________．答案 R解析 ∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用数轴表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ．解题要点 集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．当堂练习1. 已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =________．2．若集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∩N 等于________． 3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______4．已知集合A ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，0≤y <2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________． 5．设集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝ ．课后作业1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}，则A ∩B 等于________． 2．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝________． 3．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >4}，则M ∪N 等于________． 4．若集合A ={x ∈R |ax 2+ax +1=0}中只有一个元素,则a =________． 5．已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则UA B ()= ________．6．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =________．7．满足条件{0,2}∪M ＝{0,1,2}的所有集合M 的个数为________． 8．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 9．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )等于________．10．已知A ＝{3,5,6,8}且集合B 满足A ∩B ＝{5,8}，A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B 有________个．11．若集合A ＝{x |－5＜x ＜2}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则A ∩B 等于 ．12．已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为 13． 已知A ＝{x |2a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪B ＝R ， 则a 的取值范围是________．当堂练习答案1. 答案 {4}解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以U (A ∪B )＝{4}．2．答案 {0，1}解析 由集合M ={－1，0，1}，N ={0，1，2}，得到M ∩N ={0，1}． 3．答案4．答案 {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析 集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y <2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}． 5．答案 {1，2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．课后作业答案1．答案 (2,3)解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 2．答案 {－2,0,2}解析 先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}， 故M ∪N ＝{－2,0,2}． 3．答案 {x |x <－5或x >－3}解析 在数轴上表示集合M 和N ，如图所示，则数轴上方所有“线”下面的部分就是M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}． 4．答案 4解析 a ＝0时，ax 2+ax +1=0无解，此时，A =∅，不合题意；a ≠0时，由题意得方程ax 2＋ax ＋1＝0有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＝0a ≠0，解得a ＝4.5．答案 {0,2,4}解析 ∵UA ＝{0,4}，U AB ()＝{0, 2,4}.6．答案 {1,4}解析 ∵x ＝n 2，n ∈A ，∴x ＝1,4,9,16. ∴B ＝{1,4,9,16}．∴A ∩B ＝{1,4}． 7．答案 4解析 由题可知集合M 中必有1，满足条件的M 可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个． 8．答案 0或3解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ∈A ，故m ＝m 或m ＝3，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1，又根据集合元素的互异性m ≠1，所以m ＝0或m ＝3. 9．答案 {1}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6}，∴A ∩(∁U B )＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}. 10．答案 4解析 ∵A ∩B ＝{5,8}，∴5,8∈B ，又∵A ∪B ＝{2,3,4,5,6,7,8}而A ＝{3,5,6,8}， ∴2,4,7∈B ，∴3,6可以属于B ，也可不属于B ． ∴这样的B 有22＝4(个)． 11．答案 {x |－3<x <2}解析 由题意，得A ∩B ＝{x |－5<x <2}∩{x |－3<x <3}＝{x |－3<x <2}． 12．答案 2解析 A ＝{…，5,8,11,14,17…}，B ＝{6,8,10,12,14}，集合A ∩B 中有两个元素． 13． 答案 －3≤a <－12解析 ∵B ＝{x |x <－1或x >5}，A ∪B ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <－1，a ＋8≥5， 解得－3≤a <－12.。

1.1元素与集合1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合的关系：∈、∉； 34．元素的性质：确定性、互异性、无序性． 5．集合的表示法 ⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．<教师备案> ⑴ 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集； ② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述．如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，则3(212)S ∈，，，3(234)S ∉，，． ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．暑期知识回顾1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】C2．下列集合中恰有2个元素的集合是（）A. 2{0}x x-= B. 2{|0}y y y-= C. 2{|}x y x x=- D. 2{|}y y x x=-【解析】B．3．若{}2123A=-，，，，{}2|B x x t t A==∈，，则集合B中的元素共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【解析】A经典考点考点1：元素与集合的关系例1.⑴已知{}222(1)33A a a a a=++++，，，若1A∈，求实数a的值．⑵已知a∈Z，集合{}(,)3A x y ax y=-≤，且(2,1)A∈，(1,4)A-∉，求满足条件的a的值．⑶已知a∈Z，b∈Z，集合2{()|()36}E x y x a b y=-+，≤，点(21)E∈，，但点(10)E∉，，(32)E∉，，求a b，的值．⑷已知A是数集，且满足：若x A∈，则23Ax-∈，则当x=时，A中仅有1个元素．若集合A 中有且仅有两个元素，集合A=_______．【解析】⑴0a=；⑵012，，；⑶11a b=-=-，．⑷1或2；{12}，．例2.设A是非空数集，0A∉，1A∉，且满足条件：若a A∈，则11A a∈-．证明：⑴若2A∈，则A中必还有另外两个元素；⑵集合A不可能是单元素集；⑶集合A中至少有三个不同的元素．【解析】⑴若2A∈，则1112A=-∈-，于是()11112A=∈--，故集合A中还含有1-，12两个元素．⑵若A为单元素集，则11aa=-，即210a a-+=，此方程无实数解，∴11aa≠-，∴a与11a-都为集合A的元素，则A不可能是单元素集．⑶由A是非空集合知存在1111111aa A A Aa aa-∈⇒∈⇒=∈----．现只需证明a 、11a -、1a a--三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒-+=-，方程无解，∴11a a ≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解；∴1aa a -≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，∴111a a a -≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素．【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到11A a ∈-，1111A a∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．考点2：两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．例1.⑴若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=_____． ⑵由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，也可表示为{}20a a b +，，，则20132013a b +=____． ⑶已知集合2{2}{}A m m d m d B m mq mq =++=，，，，，，0m ≠其中，且A B =，则q =___．【解析】 ⑴ 2；⑵ 1-；点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．⑶ 12-；考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．例1.已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 0a =或98a ≥．解法一（按照A 的元素个数分类讨论）： 解法二（按照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）例2.已知{}2|0A x x x a =++≤，{}2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或．至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤，58a <和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”⇒取A =∅，B =∅，C =∅的公共部分也就是交集，再取个补集就行．当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．例3.已知集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=.若A B C ，，中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 32a -≤或1a -≥．1.2集合之间的关系与运算1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇； 规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作B A ⊄． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或BA ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|A B x x A x B =∈∈或； 6．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}A x U x x A C U ∉∈=且,．7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．暑期知识回顾1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（ ）A ．{}0∅=B QC ．{}{}3553≠，，D ．{}{}21|x x x ⊆=⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（ ）A ．0M ⊆B ．{}0M ⊆C ．M ∅∈D ．{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，这两个集合的关系是（ ）A ．M N =B ．M N ∈C ．N M ⊆ D.N M ⊇⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（ ）A ．S P ⊆B ．S P =C ．P S ⊇D ．P S ∈【解析】 ⑴ D ⑵ B ⑶ A ⑷ C2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ，{}|13N n n =∈-Z ≤≤，则M N =___________． ⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则MN =_________．⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ⑴ {}101-，，；⑵ {}2101--，，， ⑶ B经典考点考点4：集合的关系例1.设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，则下列说法正确的有________． ①P N M =②P N M =③M N =∅④N M C P =例2.设集合1|24kM x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．N M ⊇D ．M N =∅例3.已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）A ．P N M =B ．()P N M =C ． P N M =D ．M P N =【解析】 ⑴ ③④；⑵ B ； ⑶ B ；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑸是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．例1.⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围是_______．⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ．⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ．⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是___________．⑸设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________.【解析】 ⑴ {|1a a -≤或1}a =；⑵ {|3}a a <；⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤；⑷ {|0a a ≤或6}a ≥；⑸ ① {|1a a <-或01}a ≤≤；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ⊆，需要从元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．考点6：韦恩图例1.⑴设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是( )A ． ()IB AC I =B ．()()I BC A C I I = C ． ()φ=B C A ID ．()()B C B C A C I I I =⑵若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}9,1=B A C U ，{}2A B =，()(){}8,6,4=B C A C U U ，求A 、B 和B C U ．⑶某班学生期中考试成绩表明：①36人数学成绩不低于80分；②20人物理成绩不低于80分；③15人的数学、物理成绩都不低于80分. 则这两科成绩至少有一科不低于80分的人数为_______．【解析】 ⑴ B ；⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，{}345678UB =，，，，，．⑶ 41；【点评】对于任意两个集合A 、B ，记有限集合A 的元素个数为card()A ，有限集合B 的元素个数为card()B ，上面的结论card()card()card()card()A B A B A B =+-就是容斥原理，而且可以推广到三个或更多的集合： card()card()card()card()card()card()card()card()A B C A B C A B A C B C A B C =++---+备注：【练习】学生版也出现，一般在介绍一种新的方法或题型时，会配上练习让学生巩固一下．例2.已知全集I 中有15个元素，集合MN 中有3个元素，()()N C M C I I 中有5个元素，()N M C I 有4个元素，则集合M 中的元素个数是_____．【解析】6；考点7：子集个数问题若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；当A 中有三个元素时，记为3A ，323{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A的子集，且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．例1.已知A B ⊆，A C ⊆，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合A 的个数是（ ）A ．8B ．32C ．16D ．4【解析】 A例2.⑴已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠∅，则子集C 共有_____个．⑵若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1A x∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，，的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．⑶已知集合{123456}A =，，，，，，12k S S S ，，，是A 的若干个不同的二元子集，对任意的1i j k <≤≤，设{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，满足min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，，则k 的最大值为______．【解析】 ⑴ 992；⑵ 15 ⑶11；例3.求集合{123100}M =，，，，的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零） 【解析】 先分析特殊情形，发现元素出现的规律之后再研究集合M ．99992(12100)50502⨯+++=⋅．一般地：如果{123}M n =，，，，（*n ∈N ），则M 的子集共有2n 个，所有子集的元素和之和为221(1)2(12)22(1)22n n n n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+．考点8：集合的新定义问题例1.⑴定义集合运算：{|}A B z z xy x A y B *==∈∈，，，设{12}A =，，{02}B =，，则集合 A B *的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 ⑵对任意两个集合M 、N ，定义：{|M N x x M -=∈，且}x N ∉，()()M N M N N M ∆=--．设{}2,M y y x x ==∈R ，{}|||3N x x =≤，则M N ∆= ．⑶集合{123456}S =，，，，，，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 无“孤立元素”的4元子集的个数是______．S 的所有的有“孤立元素”的子集个数是__________．⑷设符号“”是数集A 中的一种运算(如：减法运算、乘法运算)，如果对于任意的,x y A ∈，都有x y A ∈，则称集合A 对于运算“”是封闭的(除法运算时，要求0y ≠)．下列说法正确的是_______． ① 整数集Z 对于实数的加法与乘法都是封闭的； ② 有理数集Q 关于实数的四则运算都是封闭的；③ {2}Q 对于实数的乘法运算是封闭的；④ 集合{}|,,A x x m m n ==∈Z 对实数的乘法是封闭的； ⑤ 集合{}22|,,B x x m n m n ==+∈Q 对实数的乘法是封闭的．⑸已知P 为数集，且至少含有两个数，若此数集关于四则运算封闭，那么称P 为数域，如有理数集Q 就是一个数域，数集{}|F x x a a b ==+∈Q ，也为数域，下列说法正确的是 ．①整数集为数域．②若M ⊆Q ，则M 为数域． ③数域一定是无限集．④存在无穷多个数域．【解析】 ⑴ D ；⑵ {}|303M N x x x ∆=-<>≤或．⑶ 6，43； ⑷ ①②④⑤； ⑸ ③；<教师备案> 关于集合对运算的封闭性，在N 上定义“+”，N 关于加法封闭：即任意两个自然数相加仍为自然数．自然数对于减法是否封闭？不封闭，∴从N 拓展到Z ．数域的拓展都是由于对运算的不封闭所造成的．Z 对于乘法运算是封闭的，但对于除法运算却是不封闭的，于是从Z 拓展到Q ；而从→Q R 是由于Q 对于乘方的逆运算不封闭，包括后面的→R C 也是由于一些运算的不封闭．例2.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 【解析】 6例3.对于集合{}12n A a a a =，，，，将12n a a a ，，，按由大到小的顺序排好，并在它们中间填入-+-+ 符号，计算得到的数称为集合A 的特征，记为()T A ；例如：{}13458A =，，，，，则()854315T A =-+-+=；若{}1A =，则()1T A =；定义∅的特征为0.⑴ 计算集合{}124679A =，，，，，与{123}S =，，的特征；⑵ 证明：对于{}123n A a a a a =，，，，，*i a ∈N ，12i n =，，，，12n a a a <<<，则()0n T A a ≤≤．⑶ 若{}1232012S =，，，，，请计算S 的所有子集的特征和． 【解析】 ⑴A 的特征是9764215-+-+-=；S 的特征是3212-+=； ⑵ 分析：可以找个具体的集合先研究一下，如{}1358A =，，，，()()()85315T A =-+-=，由于前一个总比后一个大，∴分类考虑当有偶数个元素和奇数个元素时，()0T A ≥；再如{}123581115A =，，，，，，，()151185321T A =-+-+-+，把n a 让出来，后面两两组对，每对都是小于0的数，∴()n T A a ≤，此题说明，当想证明某式大于0时，可以采用分组的方法说明每个部分都大于0，当想证明小于某数时，可以先将这个数踢出去，证明剩余部分小于0，这种思想在以后学数列和不等式时会用的上． 证明：对n 分奇偶讨论： ① 若n 为偶数，12321()()()()0n n n n T A a a a a a a ---=-+-++-≥，（A =∅时取等号）． 1234321()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a a ----=--------<； ② 当n 为奇数，123321()()()()0n n n n T A a a a a a a a ---=-+-++-+>，123421()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a ----=-------≤；综上知，()0n T A a ≤≤．⑶ 先用一个简单的考虑：{}12S =，，有4个子集，特征和为4； 再考虑{}123S =，，可以偷懒，凡是{}12，的子集都是{}123，，的子集，∴只需写与{}12，不同的子集，怎样写不同子集？只需在{}12，子集上加一个元素3，每增加1个元素，子集个数一定会扩大一倍。

第一章 第一节 集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法2.集合的基本关系⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄⊆=⊆⊆⊆≠),,(),,()()1(B A A B B A B A A B B A B A 则若真包含则若相等包含其中，若B A ⊆，则称A 是B 的子集，若B A ≠⊂，则称A 是B 的真子集.(2)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.(3)集合中元素个数与子集个数的关系：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2. 3．集合的基本运算(1)并集的常考性质A ⊆A ∪B,B ⊆A ∪B.A ⊆B ⇔A ∪B=B. A ∪B=∅⇔A=B=∅. (2)交集的常考性质A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B.A ⊆B ⇔A ∩B=A. A ∩B=A ∪B ⇔A=B. (3)补集的常考性质A ∪(∁U A)=U A ∩(∁U A)=∅∁U (∁U A)=A∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B)∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B).考点1 集合的含义与表示1．已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是( ) A ．1 B ．3C ．5D ．92．若集合A ={−1,1}，B ={0,2}，则集合{z|z =x +y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．23．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．104．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2 B ．3C ．4D ．65．已知集合A ={(x,y)│x 2+y 2=1}，B ={(x,y)│y =x}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．47．已知集合A ={(x,y)|x,y 为实数，且x 2+y 2=1}，B ={(x,y)|x,y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1{}|,x y x A y A -∈∈8.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=.9.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或410.已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}11.已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-112.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.考点2 集合间关系1．若P={x|x<1},Q={x|x>−1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P2．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x||x−2|≤5｝，则( )A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B3．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是( ) A．(−∞，−1] B．[1，+∞) C．[−1，1] D．(−∞，−1] ∪[1，+∞)4．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，4，5}，P=M∩N，则P的真子集共有( ) (A)2个(B)4个(C)6个(D)7个5．已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( ) A．∅B．S C．T D．Z∪B=A,则m= .7.已知集合8.若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是.9.已知a ∈R,b ∈R,若{ a,ln(b+1),1}={a 2,a+b,0},则a2018+b2018=________.考点3 集合间的基本运算1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )(A)｛1，4｝ (B)｛2，3｝ (C){9，16}(D)｛1，2}2．已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )(A) 5 (B)4 (C)3 (D)23．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则C U A ∩B =（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-4．已知全集U =R,A ={x|x ≤0},B ={x|x ≥1}，则集合C U (A ∪B)=( ) A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x <1}5．已知集合P ={x |x 2−2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]6．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则()A C B =( )A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}7．已知集合均为全集的子集，且C U (AUB )={4}，，则A ∩C U B =( )A.{3} B ．{4}C ．{3，4}D ．8．若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={2,3},N ={1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N C ．(C n M )∪(C n N ) D ．(C n M )∩(C n N )B A 、}4,3,2,1{=U {1,2}B =∅9．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩C I M =∅，则M ∪N =( )A ．MB ．NC ．ID ．∅10．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =() A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．411．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}12．设集合A ＝{x ∈Z||x+1|≤3}，B ={x|32x≤1}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣4，﹣3，﹣2，0，2}B ．{2}C ．{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2}D ．{1，2}13.已知集合104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2230B x x x =--≥，则A B 等于（ ）A ．(-1，1]B ．(](),11,-∞-+∞C ．[3，4)D ．(][),13,-∞-+∞14．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}2x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >15．已知全集为，集合，，则( )A ．B ．{x|2≤x ≤4}C ．D ．16．设集合 则=( )A ．B ．C ．D ．17.设全集U=R,集合A={x|2x-x 2>0},B={y|y=e x +1},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>1}D.{x|x>0}R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞18．设集合A ={x||x −1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)19．设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lg x ≤0}，则M ∪N =( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(−∞,1]20.已知全集为R,集合A={x|lgx ≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩(∁R B)=.21.已知U={y|y=log 2x,x>1}, P={y|y =1x ,x >2},则∁U P= ( )11A.[) B.(0,)221C.(0,)D. (,0][,)2+∞ +∞ -∞⋃+∞，22．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x-2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]。

考点01 集合（核心考点讲与练）1、集合的概念：（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；（2）集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。

如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3）集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。

2、两类关系：（1）元素与集合的关系，用∈或∉表示；（2）集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A⊆B时，称A是B的子集；当A≠⊂B时，称A是B的真子集。

3、集合运算（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，C U A=｛x|x∈U，且x∉A｝，集合U表示全集；（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B）等。

集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.venn图法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,4B ．{}0C ．{}5D ．{}0,5【答案】D【分析】根据给定条件，利用韦恩图表达的集合运算直接计算作答. 【详解】依题意，图中的阴影部分表示的集合是()U A B ，而全集U =R ，{}2,3,4A =，{}0,2,4,5B =，所以(){0,5}U A B ⋂=. 故选：D2．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，已知全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，()(){}120B x x x =+->，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】求出集合B ，分析可知阴影部分所表示的集合为()U A B ∩，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为()(){}{1201B x x x x x =+->=<-或}2x >，则{}12U B x x =-≤≤， 由题意可知，阴影部分所表示的集合为(){}1,2UA B =.故选：B.3．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =，则（ ） A ．{}0B ．{}2,4C ．{}0,1,3,5D ．{}0,1,2,4【答案】A【分析】根据集合的补集与交集的运算求解即可.【详解】解：因为全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,5A =，{}0,1B =， 所以，所以.故选：A 二、填空题4．（2020·江苏南通·三模）已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}，则集合A B ＝ _______ . 【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根据并集运算的定义求解即可． 【详解】解：∵A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0}， ∴A B ＝{﹣1，0，2}， 故答案为：{﹣1，0，2}．【点睛】本题主要考查集合的并集运算，属于基础题．分类讨论方法解决元素与集合关系问题1．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A ，B 满足：A B =R ，A B =∅，函数()3,,32,x x A f x x x B⎧∈=⎨-∈⎩对于下列结论：①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数； ②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数； ③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解． 其中正确结论的序号为_________． 【答案】①③【分析】通过求解332x x =-可以得到在集合A ，B 含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当x 与x -都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程()0f x =判断③是否正确【详解】①若x A ∈，x A -∈，则3()f x x =，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x B -∈，则()32f x x =-，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x A ∈，x B -∈，则3()f x x =，()32f x x -=--，()()f x f x ≠- 若x B ∈，x A -∈，则()32f x x =-，3()f x x -=-，()()f x f x ≠- 综上不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数 ②若332x x =-，则1x =或2x =-，当{}1B =，时，(1)312f =⨯-满足当1x =时31x =，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数 当{}2B =-，A B =R时，(2)3(2)28f -=⨯--=-满足当2x =-时38x =-，所以()f x 可统一为3()f x x =，此时3()()f x x f x -=-=-为奇函数所以存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数，且不唯一 ③30x =解的0x =，320x -=解的23x =，当非空集合对(,)A B 满足0A ∉且23B ∉，则方程无解，又因为AB =R ，AB =∅，所以存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对x 所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对(,)A B 使得函数()f x 为偶函数 ②观察可以发现3x 为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式32x -归并到3x 当中，使得()f x 成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案 2（2020·北京·模拟预测）对给定的正整数n ，令1{(n a a Ω==，2a ，⋯，)|{0n i a a ∈，1}，1i =，2，3，⋯，}n ．对任意的1(x x =，2x ，⋯，)n x ，1(y y =，2y ，⋯，)n n y ∈Ω，定义x 与y 的距离1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合{(,)|D d x y x y =≠，x ，}∈y A 中的最小值称为A 的特征，记作χ（A ）．（Ⅰ）当3n =时，直接写出下述集合的特征：{(0A =，0，0)，(1，1，1)}，{(0B =，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，{(0C =，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．（Ⅱ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）2=，求A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）当2020n =时，设2020A ⊆Ω且χ（A ）3=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（Ⅰ）答案详见解析；（Ⅱ）22019；（Ⅲ）证明详见解析.【解析】（Ⅰ）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（Ⅱ）一方面先证明A 中元素个数至多有2 2019 个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为2 2019 个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（Ⅲ）设1{A x =，2x ，}m x ⋯，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω，先证明对任意的1i m ，()i N x 中恰有 2021 个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素，所以202020212m ，进而证明结论．【详解】（Ⅰ）χ（A ）3=，χ（B ）2=，χ（C ）1=；（Ⅱ）（a ） 一方面：对任意的1(a a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a A ∈， 令f （a ）1(a =，2a ，3a ，⋯，2019a ，2020)a ， 则(d a ，f （a ）2020)1212a =-=<，故f （a ）A ∉， 令集合{B f =（a ）|}a A ∈，则A B =∅，2020()A B ⋃⊆Ω 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω 中共有20202 个元素，其中至多一半属于A ， 故A 中至多有2 2019 个元素．（b ）另一方面：设1{(A a =，2a ，⋯，20202020122020)|a a a a ∈Ω++⋯+ 是偶数}，则A 中的元素个数为024********20202020202020202C C C C +++⋯+= 对任意的1(x x =，2x ，⋯，2020)x ，1(y y =，2y ，⋯，2020)y A ∈，x y ≠，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++ 奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，由x y ≠，得(,)0d x y >，故(,)2d x y ，注意到(0，0，0，0，⋯，0，0)，(1，1，0，0，0⋯，0)A ∈ 且它们的距离为2， 故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为22019．（Ⅲ）当2020n = 时，设2020A ⊆Ω 且χ（A ）3=， 设1{A x =，2x ，}m x ⋯，任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){|(,)1}i i N x a d a x =∈Ω， （a ） 对任意的，()i N x 中恰有 2021 个元素，事实上①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上，()i N x 中恰有2021个元素， （b ） 对任意的，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，1(j x x ='，2x '，⋯，2020)x '， 则20201(,)i j k k k d x x x x ==-'∑20201(||)kk k xa a x =-+-'∑20202020112k k k k x a a x ===-+-'∑∑，这与χ（A ）3=，矛盾，由 （a ） 和 （b ），12()()()m N x N x N x ⋃⋃⋯⋃中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202 个元素， 所以，注意到m 是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A 中的元素个数m 小于202022021．【点睛】本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．根据集合包含关系求参数值或范围一、单选题1．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}232A x y x x ==+-，{}22B x x k =-+>．若A B A =，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()7,+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,7-D ．()(),17,∞∞--⋃+【答案】D【分析】求出集合,A B ，再根据A B A =，知A B ⊆，列出不等式，解之即可得出答案. 【详解】解：解不等式2320x x +-≥，得13x -≤≤，即{}13A x x =-≤≤， {}{22B x x k x x k =-+>=>或}4x k <-，由A B A =，知A B ⊆，所以43k ->或1k <-，解得7k >或1k <-. 故选：D ．2．（2021·全国·模拟预测）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()2,3C ．[]1,3D ．[]2,3【答案】B【分析】首先通过解绝对值不等式化简集合B ，然后由题意得B A ⊆，从而建立不等式组求得a 的范围. 【详解】解不等式2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，所以{}1B x a x a =≤≤+. 由A B B =，得B A ⊆，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<﹒故选：B数轴法解决集合运算问题一、单选题1．（2022·四川·泸县五中模拟预测（文））设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|4B x y x ==-{}，则=（ ）A ．[0,4]B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．[0,)+∞【答案】D【分析】化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解. 【详解】2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|4B x y x ==-{}{|4}x x =≤， 所以{|0}A B x x =<， 所以 ={|0}x x ≥，即()UA B ⋂[0,)=+∞.故选：D2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知集合{}1A x y x ==-，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．R B ．∅C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】D【分析】求函数定义域化简集合A ，解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答. 【详解】由1y x =-1≥x ，则[1,)A =+∞，由2x <解得22x -<<，即(2,2)B =-， 所以[1,2)A B ⋂=. 故选：D3．（2022·全国·模拟预测（文））已知集合{}2log 1M x x =<，{}21N x x =≤，则M N ⋃=（ ）A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．[)1,2-D ．(]0,1【答案】C【分析】求出集合M ，N ，然后进行并集的运算即可. 【详解】∵{}02M x x =<<，{}11N x x =-≤≤， ∴[1,2)M N ⋃=-. 故选：C .二、填空题4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.【答案】[1,3]【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 .5．（2020·上海·模拟预测）已知集合(){}2log 21A x x =-<，31B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】()3,4【分析】先解对数不等式和分式不等式求得集合A 、B ，再根据交集定义求得结果. 【详解】因为(){}{}()2log 2102224A x x x x =-<=<-<=，，()()331003x B x x x x ⎧⎫⎧⎫-=<=<=-∞⋃+∞⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，，所以()3,4A B ⋂=， 故答案为：()3,4.【点睛】本题考查对数不等式和分式不等式的解法以及交集定义，属于基础题.6．（2020·江苏·模拟预测）已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______. 【答案】{}|02x x <<【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以A B ={}|02x x <<. 故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题.7．（2020·江苏·吴江盛泽中学模拟预测）已知集合{}0,1,2A =，集合{}2|20B x x =-<，则A B =________．【答案】{}0,1【详解】{}0,1,2A =，{}{}220=02B x x x x =-<<<，所以{}01A B =，． 【点睛】本题考查了交集运算，此题属于简单题.8．（2020·江苏镇江·三模）已知全集U ＝R ，A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则＝_____．【答案】{|3x x ≥或1}x <- 【分析】先化简集合,A B ,再求UB ，最后求UAB 得解.【详解】解：A ＝{x |f （x ）＝ln （x 2﹣1）}＝{x |x ＜﹣1或x ＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}，则UB ＝{x |x ≥3或x ≤﹣1}，则UA B ＝{|3x x ≥或1}x <-，故答案为：{|3x x ≥或1}x <-．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.一、单选题1．（2021·新高考全国11卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂. 【详解】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.2．（2021·新高考全国1卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .3．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B【分析】利用交集的定义可求A B . 【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=， 故选：B .4．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则（ ） A ．∅ B ．SC ．TD ．Z【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则（ ） A ．{3} B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 3M x y x ==-，{}xN y y e ==，则() RM N ⋂=（ ） A ．()3,0- B ．(]0,3 C ．()0,3 D ．[]0,3【答案】B【分析】由题知{}3M x x =>，{}0N y y =>，进而根据补集运算与交集运算求解即可.【详解】解：因为(){}{}ln 33M x y x x x ==-=>，{}{}0xN y y e y y ===>，所以{} R3M x x =≤，所以() RM N ⋂={}(]030,3x x <≤=故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,1x M y y x ==>，{}22N x y x x =-，则M N ⋃等于（ ） A ．∅ B ．{}2C ．[)1,+∞D ．[)0,∞+【答案】D【分析】利用指数函数的单调性求出指数函数的值域进而得出集合M ，根据二次根式的意义求出集合N ，利用并集的定义和运算直接计算即可.【详解】{}112222x x y M y y >∴=>=∴=>.{}2200202x x x N x x -≥∴≤≤∴=≤≤.因此[0,)M N =+∞.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}34x x -≤≤ B ．{}33x x -≤≤ C ．{}14x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】D【分析】先化简集合B ，再去求A B . 【详解】{}{}333B x x x x =≤=-≤≤则{}{}{}143313A B x x x x x x ⋂=≤≤⋂-≤≤=≤≤ 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}62A x x =-≤≤，{}3,B y y x x A ==-∈，则A B =（ ） A ．{}01x x ≤≤ B ．{}12x x ≤≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}13x x ≤≤【答案】B【分析】首先根据定义域求出函数的值域，得集合B ，然后根据集合的交集运算法则求得结果. 【详解】当62x -≤≤时，133x ≤-≤，则{}13B y y =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤≤. 故选:B.5．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合{}2,1x A y y x ==≥，(){}2lg 9B x y x ==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．3,2B ．()3,2-C ．(]3,2-D ．[)3,2-【答案】B【分析】先求出集合A 、B ，由韦恩图分析，求UB A ⋂.【详解】由1≥x ，得22x ≥，则[)2,A =+∞，所以()U,2A =-∞.\由290->x ，得33x -<<，则()3,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为()U3,2B A ⋂=-.故选:B.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}22A x x =-≤≤，{}2230B x N x x =∈--<，则A B =（ ） A ．{}12x x -<≤ B ．{}21x x -≤< C ．{}1,2 D ．{}0,1,2【答案】D【分析】先解不含参数的一元二次不等式，进而求出集合B ，然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】解不等式2230x x --<得13x ，又x ∈N ，所以{}0,1,2B =，所以{}0,1,2A B =，故选：D.7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}ln 10A x x =-≤，{}20B x x x =-≥，则下列结论一定正确的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B ≠⊂ C ．[)1,A B ⋂=+∞D ．A B R =【答案】B【分析】由对数函数定义域、一元二次不等式的解法分别求得集合,A B ，进而得到结果. 【详解】{}{}[)011010,1A x x x x =<-≤=≤<=，{}[]010,1B x x =≤≤=，[)0,1A B A ∴==，[]0,1A B B ==，A B ≠∴⊂.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2,0x A y y x ==≥，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ） A ．[]1,2 B ．()1,2 C ．[)1,2 D ．(),-∞+∞【答案】C【分析】利用指数函数的性质可化简集合A ，根据对数函数性质得集合B ，然后计算交集．【详解】由已知{}2,0[1,)xA y y x ∞==≥=+，{}ln(2)B x y x ==-(){|20}{|2},2x x x x =->=<=-∞，∴[1,2)A B ⋂=．故选：C ．9．（2022·全国·高三专题练习）若集合{}23A x Z x x =∈≤，{}2,B x y x y A ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2 C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【分析】先解不等式求出集合A ，再求出集合B ，然后求两集合的交集即可 【详解】解不等式23x x ≤，得03x ≤≤，又x ∈Z ，所以{}0,1,2,3A =， 所以{}132,0,,1,22B x y x y A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，所以{}0,1A B =．故选：C10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2{|230}A x x x =--≥，{B x y ==，则A B ⋃=（ ） A ．[)3,+∞B ．[)2,+∞C ．(][),10,-∞-⋃+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】D【分析】根据一元二次不等式的解法和函数定义域的定义，求得集合,A B ，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以集合{|1A x x =≤-或3}x ≥， 又由20x -≥，解得2x ≥，所以集合{}2B x x =≥， 所以(][),12,A B ⋃=-∞-⋃+∞. 故选：D .11．（2022·全国·高三专题练习）设全集{}24U x N x =∈-<<，{}0,2A =，则UA 为（ ）A ．{}1,3B ．{}0,1,3C ．{}1,1,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【分析】根据全集U 求出A 的补集即可.【详解】{}{}24=0,1,2,3U x N x =∈-<<，{}0,2A =，{}U =1,3A ∴. 故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =（ ）. A ．{}2,3 B ．{}1,2,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}2,3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，再利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}{}44A x y x x x ==-=≤，{}1,2,3,4,5B =， 所以A B = {}1,2,3,4， 故选：C13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合(){}{}22log 213,40A x x B x x =-≤=-≤，则()A B =R （ ） A ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．122x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}22x x -≤≤D ．∅【答案】A【分析】先求出集合A 和集合A 的补集，集合B ，再求出()A B ⋂R【详解】由22log (21)3log 8x -≤=，得0218x <-≤，解得1922x <≤，所以1922A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，所以12RA x x ⎧=≤⎨⎩或，由240x -≤得22x -≤≤，所以{}22B x x =-≤≤， 所以()A B =R 122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭故选：A14．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2,3,4}A =-，{}2ln 2B x x =<，图中阴影部分为集合M ，则M 中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由Venn 图得到()AM A B =⋂求解.【详解】如图所示()AM A B =⋂，2ln 2x <，22ln ln e x ∴<，解得e e x -<<且0x ≠，(e,0)(0,e)B ∴=- 又{1,0,1,2,3,4}A =-，{1,1,2}A B ∴=-，(){0,3,4}AA B ∴⋂=，{0,3,4}M ∴=，所以M 中元素的个数为3 故选：C15．（2022·全国·高三专题练习）已知全集2,1,0,1,2U，{}21A x Z x =∈-<<，{}1,0,1B =-，则()U B A ⋂=（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据集合的运算法则计算． 【详解】{2,1,2}UA =-，(){1}U BA =．故选：C ． 二、多选题16．（2022·全国·高三专题练习）已知集合E 是由平面向量组成的集合，若对任意,a b E ∈，()0,1t ∈，均有()1ta t b E +-∈，则称集合E 是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（ ）．A ．(){},e x x y y ≥B ．(){},ln x y y x ≥C ．(){},210x y x y +-≥D ．(){}22,1x y x y +≤【答案】ACD【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E 是“凸”的意义判断作答. 【详解】设OA a =，OB b =，()1OC ta t b =+-，则C 为线段AB 上一点，因此一个集合E 是“凸”的就是E 表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：A BC D 观察选项A ，B ，C ，D 所对图形知，B 不符合题意，ACD 符合题意. 故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义，再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域.17．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则关于UA 的表达方式正确的有（ ） A ．][(),12,-∞⋃+∞ B ．()(){}210xx x --≥∣ C ．102x xx -⎧⎫≥⎨⎬-⎩⎭∣ D ．()(),12,-∞+∞【答案】AB【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x -⎧⎫=<=--<=⎨⎬-⎩⎭，所以][()()(){},12,|210UA x x x ∞∞=-⋃+=--≥，故AB 正确，CD 错误， 故选：AB.18．（2022·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =-<<，{}250N x x x =-<，则（ ）A ．[]lg2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51-+=D ．{}15M N x x ⋃=-≤<【答案】ABD【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg2lg3lg51lg30,1-+=-∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误.【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确；对于C ，()()lg2lg3lg5lg2lg5lg31lg30,1-+=+-=-∈，[]lg2lg3lg50∴-+=，C 错误； 对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =-<<=-≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=-≤<，BD 正确.故选：ABD.19．（2022·全国·高三专题练习）给定数集M ，若对于任意a ，b M ∈，有a bM ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ） A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合 B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==∈为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合 【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M ∈，而246M +=∉，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则abM ，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==∈时，设12123,3,,a k b k k k Z ==∈，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ∈⋃，而()()1223A A +∉⋃，故12A A ⋃不为闭集合，D 选项错误． 故选：ABD ． 三、填空题20．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =___________ 【答案】{1,2}【分析】利用交集的定义进行求解.【详解】因为{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<， 所以{1,2}A B =. 故答案为：{1,2}.。

集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。

这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。

(2) 元素：组成集合的每个对象都称为集合的元素，通常用小写字母表示。

(3) 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即两个相同的集合只有相同的元素组成，元素的排列次序不同，它们之间也是相等的。

(4) 互异性：集合中的元素各不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。

(5) 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。

2. 集合的分类(1) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。

(2) 单集：只包含一个元素的集合称为单集。

(3) 有限集和无限集：集合中元素的个数有限的称为有限集，否则称为无限集。

(4) 相等集：具有相同元素的集合称为相等集。

3. 集合的运算(1) 并集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集，通常用符号∪表示。

(2) 交集：设A和B是两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集，通常用符号∩表示。

(3) 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集，通常用符号A'表示。

(4) 差集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集，通常用符号A-B表示。

4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。

(2) 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。

(3) 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。

(4) 吸收律：对于任意的集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系：属于∈或不属于∉(3)常用数集的符号表示：(4)集合的表示法：（1）列举法（2）描述法（3）韦恩图法2.集合间的基本关系3．空集及其相关结论（1）空集是指不含有任何元素的集合，用符号∅表示，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（2）如果一个集合含有n个元素，那么这个集合子集的个数为2n ,非空子集的个数为2n-1.4.集合的基本运算并集交集补集符号表示图形表示意义5、常用主要性质（1）A∩B=A A ⊆B A∪B=B（2）C u (A∩B）=（C u A）∪（C U B）；C U(AUB)=(C u A)∩（C u B）6、i是虚数单位，若集合S={-i，0，i}，则（C）A i2∈SB i2014∈SC i2015∈SD i2016∈S7、全集U=R,那么正确表示集合，M={-1,0,1}，和N={x|x2+x=0}关系的韦恩图（B ）A B C D8、已知集合M={-1,0,1}，N={0,1,2}，则M∪N=( B )A {-1,0,1}B {-1,0,2}C {-1,0,2}D {0,1}9、已知集合A={-2, -1, 0, 1, 2} B={x|（x-1）（x+2）<0}，则A∩B=（A ）A {-1,0} B{0,1} C{-1,0,1} D{0,1,1}10、设全集U={x∈N|x≥2 }，集合A={x∈N|x2≥5}，则CuA=（B）A.∅ B {2} C{5} D{2,0,5}考点一集合的基本概念例1、已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（D ）A.3B.6C.8D.10(2)已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则（m-n）2016=1或0通关特训1（1）已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ C ）A.1 B .3 C.5 D.9(2)已知集合A={a+2，（a+1）2 , a2+3a+3},若1∈A，则实数a构成的集合B的元素的个数是（ B ）A.0B.1C.2D.3考点二集合间的基本关系例2 (1)已知集合A={|x2-3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5，x∈N}，则满足条件的A⊆C⊆B的集合C的个数为（ D ）A.1B. 2C.3D.4(2)已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A，则实数m的取值范围是（D ）A.-3≤m≤4B.-3＜m<4C.2<m≤4 D m≤4T通关训练2 （1）已知集合A={x|x2-2015x+2014<0},B={x|log2x<m},若A∩B=A，则整数m 的最小值是（C ）A.0B.1C.11D.12(2)已知集合A={x|log2x<m},B=(-∞，a)，若考点三集合的基本运算例3 （1）已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3}，B={2,4}，则（C U A）∪B为（C ）A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0.2.4}D.{0,2,3,4}(2) 设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4x≤0}，则（C R S）∪T=（C ）A.(-2,1]B.(-∞，-4]C.(-∞，1]D.[1,+∞](3)已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}，（C u B）∩A={9}，则A=（D ）A.{1，3}B.{3,7,9}C.{3,5,9} D{3.9}4.已知集合A={x∈R|x+2<3},j集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=（-1，n），则m=-1 n=1通关训练3（1）已知集合A={1,2,3},B∩A={3}，B∪A={1,2,3,4,5}，则集合B的子集的个数为（C ）A.6B.7C.8D.9(2)已知R是实数集，集合P={x|y=ln(x2+2014x-2015)},Q={y|y= .DA.(0,1]B.[0,1]C.(-2015,1]D.[-2015,2](3)设全集U=R,A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为（ D ）A.{x|x≥1}B.{x|-4<x<2}C.{x|-8<x<1}D.{X|1≤x<2}考点四集合中的新定义问题例4 给定集合A，若对于任意a，b∈A,有a+b∈A，且a-b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：（1）集合A={-4，-2,0,2,4}为闭集合；（2）集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合；（3）若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合。