高中数学必修一集合知识点总结复习整理

第一章〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A→B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y=x a叫做幂函数，其中x为自变量，a 是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象②过定点：所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)③单调性：如果a>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0, +∞)上为增函数．如果a<0，则幂函数的图象在[0, +∞)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与X轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．（3）二次函数图象的性质一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此结论可直接由⑤推出．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点。

高中数学 必修1知识点总结第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示● 什么是集合集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

● 常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集。

集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合。

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。

③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素。

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。

● 集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集。

②含有无限个元素的集合叫做无限集。

③不含有任何元素的集合叫做空集(∅)。

【1.1.2】集合间的基本关系● 已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集。

交集、并集、补集 名称 记号 意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>12{|}x x x x <<∅ ∅()()()UU U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念● 函数、区间的概念及其表示方法：函数：①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．区间及表示法：①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．● 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． ● 求函数的值域或最值：求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法● 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． ● 映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值● 函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义 图象 判定方法函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．● 打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． ● 最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1。

高一数学必修一集合知识点梳理一、集合的概念：1.集合：由一些确定的事物按照一定的规则组成的整体。

2.元素：构成集合的单个事物。

3.集合的表示方法：枚举法、描述法。

4.空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。

5.集合的相等：两个集合的元素完全相同，则称两个集合相等。

二、集合的运算：1.并集：包含两个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。

2.交集：包含两个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。

3.差集：包含第一个集合中有而第二个集合中没有的元素的集合，用符号\(A-B\)表示。

4.互斥集：两个集合没有相同的元素，即交集为空集。

5.补集：在一个全集中，除去一个集合的元素剩下的元素构成的集合，用符号A'表示。

三、集合的关系：1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，用符号\( A \subseteq B \)表示。

2. 真子集：如果集合A是集合B的子集且集合A不等于集合B，则称集合A是集合B的真子集，用符号\( A \subset B \)表示。

3. 幂集：由原集合的所有子集构成的集合，用符号\(\mathcal{P}(A)\)表示。

四、集合的拓展：1.有限集与无限集：元素个数有限的集合称为有限集，元素个数不限的集合称为无限集。

2.嵌套集：集合中的元素本身也是集合的集合。

3.无序对：是由两个元素组成的二元关系，其中元素的顺序是不重要的。

4.索引集：用一个集合的所有元素作为索引的集合。

五、集合的运用：1.列举集合的元素。

2.解集合间的元素关系问题。

3.使用集合运算解决实际问题。

4.使用文氏图表示集合的关系。

六、集合的应用：1. Venn图：用圆形表示集合，用图示的方式描述集合间的关系和运算。

2.元素的分类：将一组事物按其中一种特征分类，构建一个集合。

3.基数计数：通过挑选元素，建立元素与集合间的一一对应关系，测量集合中元素的个数。

4.群体角度问题：确定集合元素满足其中一种性质的条件，并找出集合中所满足不同性质条件的元素个数。

高一数学必修 1 集合知识点复习资料高一数学必修一集合知识点复习资料一. 知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合( 集) ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ( 集). 其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A 和 a?A，二者必居其一 ) 、互异性(假设 a?A，b?A，那么 a≠b) 和无序性 ({a,b} 与{b,a} 表示同一个集合 ) 。

③集合具有两方面的意义，即：但凡符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集： N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：假设对 x∈A都有 x∈B，那么 AB(或 AB);2)真子集： AB且存在 x0∈B但 x0A; 记为 AB(或，且 )3)交集： A∩B={x|x ∈A且 x∈B}4)并集： A∪B={x|x ∈A或 x∈B}5)补集： CUA={x|xA但 x∈U}注意：①?A，假设 A≠?，那么 ?A;②假设，， ;③假设且， A=B(等集 )3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的和符号，特要注意以下的符号： (1) 与、 ?的区 ;(2) 与的区 ;(3) 与的区。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集 CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A; ②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：集合 A 的元素个数是 n， A有 2n 个子集，2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集。

数学笔记必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性）一定范围内，某些确定的．．构成一个集合．．．对象的全体．．．、不同的二、表示：1.列举法：A={a、b}2.描述法：{x|p（x）}代表元分割线代表元满足的性质3.图示法：（数轴、Venn图）三、特点：确定性、互异性、无序性四、常用数集N自然数集N*、N+正整数集Z整数集Q有理数集R实数集五、元素与集合的关系a M ∈、a M ∉（两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B =七、集合的分类1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集∅ 不含有任何元素的集合第二节：子集、全集、补集（一）子集一、定义（文字）A 中的任一元素都属于B（符号）B A ⊆（或)A B ⊇（图形）或（二）真子集一、定义（文字）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A （符号）A ≠⊂B （或B ≠⊃A ） B AA(B)（图形）注意空集是任何非空集合．．．．的真子集A ≠∅⊂（A 为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设U A ⊆，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（符号）U A ={|,}x x U x A ∈∉且（图形）第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合A 且．属于集合B 的元素构成的集合称为A 与B 的交集（符号）{|,x x A ∈且．}x B ∈（图形）BA（二）并集一、定义（文字）由所有属于集合A或者．．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集（符号）{|,x x A∈或．}∈x B Array（图形）1（三）区间设,a b是两个实数，且a b<，规定闭区间a x b≤≤[,]a b；开区间a x b<<(,)a b；半开半闭区间（左闭右开）a x b≤<[,)a b（左开右闭）a x b<≤(,]a b,,,≥>≤<x a x a x b x b+∞+∞-∞-∞．a ab b[,),(,),(,],(,)注意：对于集合{|}<<与区间(,)x a x ba b，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b<，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1.()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．2.()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈． 6. 零（负）指数幂的底数不能为零．7. 若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．8. 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．9. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．10. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．五、求函数值域（最值）：1. 观察法：初等坐标函数2. 配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类 2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥4. 不等式法：基本不等式5. 换元法：变量代换、三角代换6. 数形结合法：函数图象、几何方法7. 函数的单调性法．8. 分离常数法:反比例类六、函数的表示方法：解析法● 列表法● 图象法(不是所有函数都有图像)七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1. 配凑（换元)法2. 待定系数法:已知函数模型3. 方程组法:互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质(一) 、单调性一、定义如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．注意1.不在区间．．内谈单调增或单调减都无意义2.端点不计入区间3.一般情况下单调区间不能并4.单调区间≠区间单调二、证明1.任取2.作差3.变形4.定号5.下结论三、证明1.定义2.初等坐标函数、已知函数3.函数图象（某个区间图象）4.复合函数：同増异减（二）、最值一、定义（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ① 对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤② 存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：① 对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥② 存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．● 注意:开区间无最值 二、题型● 定函数动区间● 动函数定区间● 注意:抓住对称轴和区间的相对关系（二）、奇偶性一、定义（1）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（2）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．二、证明1. 定义域f(x)的定义域．．．为——任意的 ⊆x ——2. f(－x)与f(x)3. 下结论正确——严格证明错误——举出反例奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 两个反例注意：1. 分段函数要分段讨论2. 0可单独讨论3. 若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、应用1. 定义（一般到一般）2. 代“0”（特殊到一般）需检验四、奇偶性●若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增●若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、B是两个非空．．集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个．．的元素和它对应，．．．．元素，在集合B中都有唯一那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作:f A BB●注意可用树状图考虑第三章：指数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数（一）、根式一、定义如果,,,1nx a a R x R n=∈∈>，且n N+∈，那么x叫做a的n次方根➢当n是奇数时，a的n➢当n是偶数时，正数a的正的n负的n次方根用符号➢0的n次方根是0；负数a没有n次方根．根指数根式被开方数●当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．二、性质：(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩n a=；当na=；当n为偶数时，．三、分数指数幂1. (0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈2. ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈3.()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈（二）指数函数一、定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数二、图像与性质三、图像移动及解析式变化➢ 平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位➢ 伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸➢ 对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3. 求解（解模）4. 还原（结论——答）● 注意1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数（一）对数 一、定义如果a （．a ．＞．0．，．a ．≠．1．）．的b 次幂等于N 即a b=N那么就称b 是以a 为底N 的对数 记作log a N=b底数 真数．二、互化log x a x N a N a a N =⇔=>≠> x a x N a N a a N =⇔=>≠ (x a x N a N a a =⇔=>≠ x ax N a a N =⇔=>≠> (a x N N a a N ==>≠>对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数➢ 常用对数：lg N ，即10log N ；➢ 自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．四、运算1. 加法：log log log ()a a a M N MN +=2. 减法：log log log a a a M M N N-=3. 数乘：log log ()n a a n M M n R =∈4. logaNa N=5. log log (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ 6. 换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （二）对数函数一、定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数二、图像与性质单调性在(0,)+∞上是减函数+∞上是增函数在(0,)过定点（1，0）、（a，1）渐近线y轴三、题型1.比较大小①利用单调性②利用图像（真数相同）③利用中间值2.解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数一、定义函数y xα=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数一、图像与性质● 定义域：(0,)+∞一定有定义 ● 过定点：(1,1)． ● 单调性：[0,)+∞上➢ 0α>，过原点、(0,)+∞上为增函数． ➢ a=0，常函数➢ 0α<，(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ● 奇偶性：➢ 当α为奇数时，幂函数为奇函数， ➢ 当α为偶数时，幂函数为偶函数．➢ 当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，➢ 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数， ➢ 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数． ● 图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，➢当1α>时，若01x>，其图<<，其图象在直线y x=下方，若1x象在直线y x=上方，➢当1α<时，若01x>，其图x<<，其图象在直线y x=上方，若1象在直线y x=下方．第四节：函数的应用（一）、零点一、定义对于函数))(=xf成立的实数x叫做函y∈=，把使0f(D)(xx数)fy∈=的零点x)((Dx二、意义函数)(xy=的零点f方程0)xf实数根(=函数)(xy=的图象与x轴交点的横坐标f●注意1.零点不是点2.穿过零点，y值变号y值变号，穿过零点（图像连续．．．．不断．．）三、求法1．（代数法）①证单调区间②零点定理1．（几何法）交点（二）、零点定理一、定义设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续．．，且f(a)× f(b)<0，那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点二、应用（二次函数的实根分布）已知二次函数 2()f x ax bx c =++（a ＞0）设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（a ＞0）的两实根为12,x x ，①k ＜x 1≤x 2∆ ＞0k ＜2bx a=-f (k )＞0②x 1≤x 2＜k∆ ＞0k ＞2bx a=-f (k )＞0③x 1＜k ＜x 2f (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2∆＞0f(k1)＞0f(k2)＞0k1＜2bxa=-＜k2⑤k1＜x1＜k2f(k1)＞0f(k2)＜0。

高一数学集合知识点总结[整理]
1.集合的概念：集合是由一组相关的或不相关的对象的总称。

2.集合的表示法：使用大括号表示集合，并将集合元素用逗号分隔开，如{a, b, c}表示一个集合，其中a, b, c是集合元素。

3.集合的运算： A、交集：两个集合A和B之间的交集是两个集合中都包含的元素，用符号“∩”表示，即
A∩B。

B、并集：两个集合A和B之间的并集是两个集合中所有元素的总和，用符号“∪”表示，即A∪B。

C、子集：如果一个集合A中的所有元素都存在另一个集合B 中，则A叫做B的子集，用符号“⊆”表示，即A ⊆ B。

4.集合的应用：集合在数学中可以用来表示数量大小，也可以用来解决实际问题，比如排列组合中的选择题，概率计算中的事件，几何图形等。

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇UA {|x x )A =∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法{0)()()U A B A =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值。

(每日一练)高中数学必修一集合知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知全集U={x∈N|−1<x≤9}，集合A={0,1,3,4}，B={y|y=2x,x∈A}，则(∁U A)∩(∁U B)=（）A．{5,7}B．{7,9}C．{5,7,9}D．{1,2,3,4,5,6,7,8,9}答案：C解析：根据给定条件用列举法表示全集U，求出集合B，再按给定运算即可作答.因为U={x∈N|−1<x≤9}，于是得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，又集合A={0,1,3,4}，B={y|y=2x,x∈A}，则B={0,2,6,8}，从而得∁U A={2,5,6,7,8,9}，∁U B={1,3,4,5,7,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={5,7,9}.故选：C2、已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|3﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3）C．{1，2，3，4}D．{1}答案：A解析：根据集合交集定义直接求解，即得结果.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x<3}，所以A∩B＝{1，2}故选：A.小提示：本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.3、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B解析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.4、已知集合A={x|x2−1=0}，则下列式子表示正确的有（）①1∈A②{−1}∈A③∅∈A④{−1,1}⊆AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：先求出集合A 中的元素，然后逐项分析即可.因为A ={x|x 2−1=0}={−1,1}，则1∈A ，所以①正确；{−1}⊆A ，所以②不正确；∅⊆A ，所以③不正确；{−1,1}⊆A ，所以④正确，因此，正确的式子有2个. 故选：B.5、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（） A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C解析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解. 因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C。

必修一第一章 集合与函数概念一、集合知识点1：集合的含义1》元素的含义：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 2》集合的表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C …表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c …表示。

列举法:A={a,b,c}3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征：①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}③无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N *或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ；典例分析题型1：判断是否形成集合例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程x 2+1=0的解； （5）某校2011级新生； （6）血压很高的人； 题型2：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a,a,a2, -5a5为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。

题型3：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

题型4：根据元素互异性确定参数的值: 例1：已知A={ 33,)1(,222+++-a a a a }，若1∈A ，则实数a 的值为_________.知识点3：集合的表示方法【1】列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。