宁波大学721高等数学17-19年真题

浙江省2019年高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 1、设lim x→0x n =a 则说法不正确的是（ ）A 、对于正数2，一定存在正整数N ，使得当n >N 时，都有|x n −a |<2.B 、对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在整数N ，使得当n >N 时，不等于|x n −a |<ε成立.C 、对于任意给定的a 的邻域(a −ε,a +ε), 总存在整数N ，使得当n >N 时，所有的x n 都落在(a −ε,a +ε)内,而只有有限个（至多只有N 个）在这个区间外.D 、可以存在某个小的正数ε0，使得有无穷多个点ε0落在区间(a −ε0,a +ε0)外. 2、设在点x 0的某邻域内有定义，则在点x 0处可导的一个充分条件是（ ） A 、lim ℎ→0f (x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ存在 B 、lim ℎ→0−f (x 0)−f(x 0−ℎ)ℎ存在C 、limℎ→0f (x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ存在 D 、lim ℎ→+∞ℎ[f (x 0+1ℎ)−f (x 0)]存在3、limx→+∞1n[√1+sin πn +√1+sin 2πn +⋯+√1+sinnπn]等于（ ）A 、∫√sin πx dx 10B 、∫√1+sin πx dx 10 C 、∫√1+sin x dx 10 D 、π∫√1+sin x dx 10 4、下列级数或广义积分发散的是（ ） A 、∑(−1)n−1n+100∞n=1 B 、∑cos 2n ∞n=1 C 、∫√21D 、∫1(1+x 2)2dx +∞15、微分方程y ′′−4y ′+4y =0的通解为（ ） A 、y =c 1x +c 2e −2x B 、y =(c 1+c 2x)e −2x C 、y =(c 1+c 2x)e 2x D 、y =(c 1+c 2x)xe −2x二、填空题（只要在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，每小题4分，共40分）6、极限lim x→∞(1+sin 1n )n =7、设一雪堆的高度ℎ与时间t 的关系为ℎ(t )=100−t 2，则雪堆的高度在时刻t =5时的变化率等于8、当a = 时，极限lim x→01−cos xln (1+x 3)(a −e x )存在且不等于0.9、设 ，则d 2ydx 2=10、设g (x )=∫sin t 2dx x0，且当x →0时，g (x )与x n 是同阶无穷小，则n = 11、定积分∫√1−x 2dx 10 =12、设函数y =y (x )由方程e x+y −xy =0确定，则dydx = 13、曲线y (x )=x 3+3x 2的拐点是14、由曲线y =√x ,x =1 ,x =2及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积等于15、设y =32x ，则y (n)=三、计算题（本大题共8小题，其中16-19题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分） 16、求极限lim x→0ln (1+x )−xx 2.17、设y (x )=ln(2+cos πx)+x x ，求函数y (x )在x =1处的微分.18、求不定积分∫sin √x dx .19、设f (x )= ，求p (x )=∫f(t)xdt 在[0,π]上的表达式.x =sin t y =cos tcos x ,x ∈[0,π)x ,x ∈[π,π]20、一物体由静止到以速度v (t )=3t√t+1(m/s)作直线运动，其中t 表示运动的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离。

宁波市2019届高三上学期期末考试数学试卷一、选择题1.已知集合，则（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出绝对值不等式得到集合，利用并集定义直接求解．【详解】∵集合，，∴，故选B．【点睛】本题主要考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知平面，直线满足，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】∵，，∴当时，成立，即充分性成立，当时，不一定成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．3.已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）A. 既是周期函数又是奇函数B. 既是周期函数又是偶函数C. 不是周期函数但是奇函数D. 不是周期函数但是偶函数【答案】B【解析】【分析】利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数．【详解】若是周期函数，设其周期为，则．所以周期函数的导数仍是周期函数；若是奇函数，则，所以，即，所以奇函数的导数是偶函数，故选B．【点睛】本题主要考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的概念题.4.设，则（）.A. -4B. -8C. -12D. -16【答案】C【解析】【分析】根据，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果．【详解】，是展开式中的系数，∴，故选C．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．5.关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域如图，要使平面区域内存在点，满足，则只需点在直线的下方即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：若平面区域内存在点，满足，则说明直线与区域有交点，即点位于直线的下方即可，则点在区域，即，得，即实数的取值范围是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合判断出点在直线的下方是解决本题的关键，属于中档题.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：，故组合体的体积，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.7.数列满足，则数列的前2018项和（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算数列的前几项，结合数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．【详解】数列满足，，可得，，…，可得数列的前2018项和，故选A．【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．8.已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．【详解】在A中，，故A正确；在B中，由数学期望的性质得，故B正确；在C中，由方差的性质得，故C正确；在D中，，故D错误．故选D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和斜率的数量积得，再根据离心率公式可得，化简变形即可得答案．【详解】联立方程得，设，，则，由，得，∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意充分利用根与系数的关系进行分析，属于中档题10.在空间直角坐标系中，为坐标原点，满足，则下列结论中不正确的是（）A. 的最小值为-6B. 的最大值为10C. 最大值为D. 最小值为1【答案】B【解析】【分析】根据题意可设，根据数量积的定义可得，可判断A，B；通过化简，结合三角函数的有界性可得最大值，可得最小值，综合得选项.【详解】根据题意可设；则；当时，；当时，.另一方面，当时可以取到最大值，进一步变形上式，令，则，当时取等号，即最小值为1，综上可得，选B.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，利用三角换元以及三角函数的有界性是解题的关键，有一定难度．二、填空题11.设为虚数单位，给定复数，则的虚部为___；模为___【答案】 (1). -1 (2).【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，则的虚部为，模为，故答案为.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．12.已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由实数且，，求出，由此能求出的值；由，当时，；当时，无解，由此能求出的取值范围．【详解】∵实数且，，∴，∴，∴，∵，∴当时，；当时，无解，综上的取值范围是．故答案为，．【点睛】本题考查代数式化简求值，考查实数的取值范围的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.将函数的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图像，则_____；若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是___【答案】 (1). (2).【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性求得实数的取值范围．【详解】将函数的图象的每一个点横坐标缩短为原来的一半，可得的图象；再向左平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，则，求得，则实数的取值范围是，故答案为，．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题，平移过程中需注意先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（）个单位，原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．14.在中，为边中点，经过中点的直线交线段于点，若，则_____；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形与四边形面积之比的最小值是___【答案】 (1). 4 (2).【解析】【分析】由向量共线定理可知，然后根据，可分别用，表示，，根据与共线，结合向量共线定理可求，由，结合及基本不等式可求的最大值，进而可求三角形与四边形面积之比的最小值．【详解】∵ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，∴，∵，∴，∴，同理∵与共线，∴存在实数，使（），即，∴，解得，，∴；∵，∵，∴，当且仅当时取等号，此时有最小值，则有M，N分别为AB，AC的中点，取得最小值，故答案为4，．【点睛】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理、三角形法则、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.设等差数列的前14项和，已知均为正整数，则公差____.【答案】-1【解析】【分析】由已知可求出公差，从而，由，均为正整数，，得，由此推导出，，从而能求出公差．【详解】等差数列的前14项和，∴，∴，∴，∵，∵均为正整数，，∴，逐一代入，得，，由，解得.故答案为．【点睛】本题主要考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16.农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___【答案】【解析】【分析】基本事件总数，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数，由此能求出事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率．【详解】为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶．现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，基本事件总数，事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”包含的基本事件个数，∴事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为，故答案为．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___【答案】【解析】【分析】首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围．【详解】由，得：，记.则或；或；或；或；当时，或.所求范围为.【点睛】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，数列的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题。

专题17数系的扩充与复数的引入1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可．【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 4．【2019年高考北京卷文数】已知复数2i z =+，则z z ⋅=A B C ．3D ．5【答案】D【解析】因为2i z =+，所以2i z =-，所以(2i)(2i)5z z ⋅=+-=，故选D ．【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2=|z 1|2=|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D【答案】C【解析】因为21i (1i)2i2i +2i 2i i 1i (1i)(1i)2z ---=+==+=++-，所以1||z ==，故选C ．【方法技巧】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：（1）1212z z z z ±=±；（2）1212z z z z ⨯=⨯；（3）22z z z z ⋅==； （4）121212z z z z z z -≤±≤+；（5）1212z z z z =⨯；（6）1121||z z z z =． 6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】i(23i)+= A ．32i - B ．32i + C ．32i --D ．32i -+【答案】D【解析】2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+，故选D ． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】(1i)(2i)+-=A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【解析】2(1i)(2i)2i 2i i 3i +-==-+-=+，故选D ． 8．【2018年高考北京卷文数】在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】11i 11i 1i (1i)(1i)22+==+--+的共轭复数为11i 22-， 对应点为11()22-，，在第四象限，故选D ． 【名师点睛】此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分．将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限． 9．【2018年高考浙江卷】复数21i-(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】22(1i)1i 1i 2+==+-，∴共轭复数为1i -，故选B ． 10．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1i)2i +=，可知2(1i)+为纯虚数，故选C ． 11．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +【答案】B【解析】由题意2(1i)(2i)23i i 13i ++=++=+，故选B ．【名师点睛】（1）首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i )(+i )()+a b c d =a c b d -(+)i (,,,)a d b c a b c d ∈R ．（2）其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．12．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】i(2i)12i z =-+=--，则表示复数i(2i)z =-+的点位于第三象限，所以选C ．13．【2017年高考北京卷文数】若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】(1i)(i)(1)(1)i z a a a =-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-，故实数a 的取值范围是(,1)-∞-，故选B ． 14．【2019年高考天津卷文数】i 是虚数单位，则5|ii|1-+的值为______________． 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．【解析】由题可得5i (5i)(1i)|||||23i |1i (1i)(1i)---==-=++-． 15．【2019年高考浙江卷】复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =______________．【分析】本题先计算z ，而后求其模．或直接利用模的性质计算．容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查．【答案】2【解析】由题可得1|||1i |2z ===+． 16．【2019年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是______________．【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据复数的概念，令实部为0即得a 的值． 【答案】2【解析】由题可得2(2i)(1i)i 2i 2i 2(2)i a a a a a ++=+++=-++， 令20a -=，解得2a =．【名师点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．【2018年高考天津卷文数】i 是虚数单位，复数67i12i+=+______________． 【答案】4i -【解析】由复数的运算法则得67i (67i)(12i)205i4i 12i (12i)(12i)5++--===-++-． 18．【2018年高考江苏卷】若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为______________．【答案】2【解析】因为i 12i z ⋅=+，则12i2i iz +==-，则z 的实部为2． 19．【2017年高考浙江卷】已知,a b ∈R ，2(i)34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b +=______________，ab =______________．【答案】52【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==．20．【2017年高考天津卷文数】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为______________． 【答案】2-【解析】由题可得i (i)(2i)(21)(2)i 212i 2i (2i)(2i)555a a a a a a -----+-+===-++-为实数， 所以205a +=，解得2a =-． 【名师点睛】（1）复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件的问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． （2）对于复数i z ab =+(,)a b ∈R ， 当0b ≠时，z 为虚数； 当0b =时，z 为实数； 当0,0a b =≠时，z 为纯虚数．21．【2017年高考江苏卷】已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是______________．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【名师点睛】（1）对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i )(i )a +b c +d =()()i (,a c b d +a d +b c a ,b ,c d -∈R ．（2）其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 点为(,)a b 、共轭复数为i a b -．。

宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{1,3,4,7}A =，{1,2,4,6,7}B =，则()U C AB =（ ）A ．{3,6}B ．{5}C ．{2,3,5,6}D ．{1,2,3,4,5,6,7} 2.下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ）A ．0.5log y x =B ．sin y x =C ．2x y =D ．tan y x = 3.若幂函数()f x x α=的图像过点(4,2)，则(9)f 的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．3± D ．3 4.若角α的终边经过点(1,1)P --，则（ ） A ．tan 1α= B ．sin 1α=-C.cos α=．sin α=5.在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点，则向量CD =（ ）A ．12BA BC -B ．12BA BC --C.12BA BC -+ D ．12BA BC +6.下列函数中，最小正周期为π，且图像关于直线6x π=对称的是（ ）A ．1sin()212y x π=-B ．sin(2)6y x π=+C.1cos()26y x π=+ D ．cos(2)6y x π=+7.函数||cos x xy e=的图像大致是（ ）A ．B ． C.D ．8.已知函数()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()x e f x g x =+，则()f x =（ ）A ．2x x e e --B ．2x x e e -+ C.2x x e e -- D ．2x x e e ---9.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：||||s i n m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c为非零向量，则下列说法错误．．的是（ ） A ．a b b a ⨯=⨯ B ．()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯ C.若0a b ⨯=，则//a b D ．()a b a b ⨯=-⨯10.已知[,]22ππα∈-，[,0]2πβ∈-，且211sin cos 2()()24παβαβ--=-，则sin()2αβ-=（ ）A ．12- B ．0 C.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知2log 3a =，则2log 9= （用a 表示），2a = ．12.已知(1,1)A -，(3,3)B ，(1,)a m =，且//AB a ，则||AB = ，m = ． 13.已知函数()=2sin()f x x ωϕ+(0,0)2πωω><<一部分图像如图所示，则ω= ，函数()f x 的图像可以由()2sin g x x ω=的图像向左平移至少个单位得到．14.()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x =，且关于x 的方程2[()]4f x -()0f x a +=在R 上有三个不同的实数根，则(1)f -= ，a = ．15.弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是 ． 16.已知向量,a b 的夹角为3π，(0,1)a =，||2b =，则|2|a b -= ．17.函数65,1()2,1x x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩．若存在12x x <，使得12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的最大值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知集合={|3}A x x a -≤≤，a R ∈，{|34,}B y y x x A ==+∈，2{|,}C z z x x A ==∈. （Ⅰ）若0a =，求A B ；（Ⅱ）若3a ≥，且BC B =，求a 的取值范围.19.已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,)2x π∈，求函数()f x 的最大值以及取得最大值时x 的值.20.如图所示，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=.（Ⅰ）求AB AC ⋅的值；（Ⅱ）若点P 在线段AB 及BC 上运动，求()AB AC AP +⋅的最大值. 21.已知,(0,)2παβ∈，sin α=sin β=. （Ⅰ）求cos()αβ+的值；（Ⅱ）是否存在,(0,)2x y π∈，使得下列两个式子：①2x y αβ+=+；②t a n t a n 22xy ⋅=-同时成立？若存在，求出,x y 的值；若不存在，请说明理由. 22.已知函数2()log (1)f x x =+，()||g x x x a =-.（Ⅰ）若()g x 为奇函数，求a 的值并判断()g x 的单调性（单调性不需证明）；（Ⅱ）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在唯一的2[2,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求正实数．．．a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDAA 6-10:BDABC二、填空题11.2a ，3 12.2 13.2，6π14.2，315.1 16.2 17.2524三、解答题18.解：（Ⅰ）由题可得0a =时，{|30}A x x =-≤≤，{|54}B y y =-≤≤. ∴{|30}AB x x =-≤≤.（Ⅱ）∵BC B =，∴C B ⊆，{|534}B y y a =-≤≤+.3a ≥时，2{|0}C z z a =≤≤. ∴234a a ≤+，14a -≤≤. ∴34a ≤≤.19.解：（Ⅰ）()2cos2f x x x +2sin(2)6x π=+.∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）∵(0,)2x π∈，()2sin(2)6f x x π=+，∴72(,)666x πππ+∈∴max ()2f x =. 此时262x ππ+=，∴6x π=.20.解：（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∴(2,0)B，C ，(2,0)AB =，AC =.∴6AB AC ⋅=.（Ⅱ）AB AC +=，设(,)P x y，∴()5AB AC AP x +⋅=.所以当点P 在点C 处时，()AB AC AP +⋅的值最大，最大值为18. 21.解：（Ⅰ）∵,(0,)2παβ∈，sin α=sin β=，∴cos α=cos β=∴1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-= （Ⅱ）∵(0,)αβπ+∈，∴3παβ+=，∴23x y παβ+=+=.∴tan tan 2tan()21tan tan 2xyx y x y ++==-⋅∵tan tan 22x y ⋅=tan tan 32xy +=∴tan 2x，tan y是方程2(320t t -+的两个根.∵,(0,)2x y π∈，∴0tan 12x <<，∴tan 22x=tan 1y =.∴4y π=，6x π=.即存在6x π=，4y π=满足①②两式成立的条件.22.解：（Ⅰ）∵()g x 为奇函数，∴()()(||||)0g x g x x x a x a +-=--+=恒成立. ∴0a =.此时()||g x x x =，在R 上单调递增.（Ⅱ）1[1,)x ∈+∞，2()log (1)f x x =+，∴1()[1,)f x ∈+∞22,(),x ax x ag x x ax x a⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩. ①当2a ≤时，2()g x 在[2,)+∞上单调递增，∴(2)421g a =-≤，32a ≥，∴322a ≤≤②当24a <<时，2()g x 在[2,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增. ∴(2)421g a =-+<，52a <，∴522a <<③当4a ≥时，2()g x 在[2,]2a 上单调递增，在[,]2a a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增.∴22()()1222a a a g =-+<，22a -<<，不成立. 综上可知，3522a ≤<.。

专题02函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()xf x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．【2019年高考天津文数】已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】∵0.200.30.31c =<=，22log 7log 42a =>=， 331log 8log 92b <=<=，∴c b a <<. 故选A .【名师点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时，要根据底数与1的大小进行判断. 5．【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A【解析】易知函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12y x =在区间(0,)+∞上单调递增. 故选A.【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.6．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+， 可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．7．【2019年高考北京文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+=从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.8．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.9．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2019年高考天津文数】已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为 A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤⎥⎝⎦ C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+【答案】B【解析】函数ln y x =过定点（1，0），（1，0）关于直线x =1对称的点还是（1，0），只有()ln 2y x =-的图象过此点. 故选项B 正确.【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数ln y x =过定点（1，0）及其关于直线x =1对称的点，代入选项验证即可.12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】将函数()f x 的图象画出来，观察图象可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，. 故选D ．【名师点睛】该题考查的是通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图象，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，最后求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ；()()()()()243ee e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C.因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ； 令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得x <或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.15．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．16．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =， 故选D ．【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.17．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+， 所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，, 因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦，因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=， 因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==.故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 18．【2018年高考天津文数】已知13313711log ,,log 245a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<， 1131110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >， 综上可得：c a b >>. 故本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 19．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】要使函数有意义，则2280x x -->，解得：2x <-或4x >，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调递增区间为()4,+∞.故选D.【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ； 当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 21．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C ； 当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D. 故选D.【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.22．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．23．【2017年高考北京文数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数， 并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数. 故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性. 24．【2017年高考天津文数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数．若221(log ),(log 4.1),5a fb f =-=0.8(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意可得221(log )(log 5)5a f f =-=，且22log 5log 4.12>>，0.8122<<，所以0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性可得0.822(log 5)(log 4.1)(2)f f f >>，即a b c >>，即c b a <<． 故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式． 25．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y f x =的图像关于直线x =1对称D ．()y f x =的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图像关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误. 故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图像有对称中心(,0)2a b+．26．【2017年高考山东文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<, 由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =, 则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭. 故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．27．【2017年高考北京文数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 故选D ．【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 28．【2017年高考天津文数】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[2]-C ．[2,-D ．[-【答案】A【解析】当a =±0x =时，()||2xf x a ≥+即2|≥±，即2≥， 显然上式不成立， 由此可排除选项B 、C 、D. 故选A ．【名师点睛】涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．本题具有较好的区分度，所给解析采用了排除法，解题步骤比较简捷，口算即可得出答案，解题时能够节省不少时间．当然，本题也可画出函数图象，采用数形结合的方法进行求解．29．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由211()2(ee )x xf x x x a --+=-++，得()221(2)1211(2)(2)2(2)e e 4442e e x x x x f x x x a x x x a ----+--⎡⎤-=---++=-+-+++=⎣⎦()2112e e x x x x a --+-++，所以(2)()f x f x -=， 即1x =为()f x 图象的对称轴.由题意，()f x 有唯一零点，所以()f x 的零点只能为1x =，即()21111(1)121e e 0f a --+=-⨯++=， 解得12a =. 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点，意在考查考生的运算求解能力与数形结合能力.30．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】对于A ，e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；对于B ，2e ()e x x f x x =⋅，令2()e x g x x =⋅，则2()e 2e e (2)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，∴2e ()e xxf x x =⋅在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 故2()f x x =不具有M 性质；对于C ，e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质； 对于D ，易知()cos f x x =在定义域内有增有减，故()cos f x x =不具有M 性质． 故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．31．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴0且()3211(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．33．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【答案】7-【解析】根据题意有()()23log 91f a =+=，可得92a +=， 所以7a =-. 故答案是7-.【名师点睛】该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.34．【2018年高考江苏】函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥， 解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.35．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】由题意得()()))()22ln1ln1ln 122f x f x x x x x +-=+++=+-+=，()()2f a f a ∴+-=,则()2f a -=-. 故答案为−2.【名师点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式计算发现()()2f x f x +-=是关键，属于中档题.36．【2017年高考江苏】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--． 【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．37．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =. 【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.38．【2017年高考山东文数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈-时,()6xf x -=,则f (919)=______. 【答案】6【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =, 所以(919)(61531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=. 【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组),从而得到f (x )的解析式．39．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 40．【2019年高考北京文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求； 当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8y y x y x -≥≤， 因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 41．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

宁波大学2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试题(A 卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:数学教学论科目代码：835适用专业: 学科教学(数学) 第 1 页共 1 页一、名词解释（3×5=15分）1．数学观2．数学教育观3．数学“四基”二、简答题（6×10=60分）1．简述弗赖登塔尔的数学教育理论。

2．简述数学活动经验。

3．你认为数学教学应遵循哪些基本原则?4．数学教学中如何渗透数学文化？5．阐述数学语言及其特点。

6．谈谈对“翻转课堂”的认识。

三、分析论述题（3×25=75分）1．为什么数学教学要重视数学过程的教学？2．在教学了无限循环小数有关概念和性质后，学生对.0.91的结论仍表示怀疑，总觉得应该是.0.91；在教学概率时，学生问：投掷一枚飞镖，根据几何概型，可算得投中飞镖盘圆心的概率为0，而实际中却可能投中，这是为什么？你将如何回答上述两个问题？由此反映出当代数学教师应具备哪些素养？3．试对当前数学课程改革做一评价。

宁波大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题(A 卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目:数学教学论科目代码：835适用专业:学科教学(数学)第1页共1页一、名词解释（3×5=15分）1.数学观2.数学教学评价3.数学“四基”二、简答题（6×10=60分）．1．简述弗赖登塔尔的数学教育理论。

2．建构数学活动经验的要义是什么？3．你认为数学教学应遵循哪些基本原则?4．简述教学形成性评价的步骤与特点。

5．阐述数学语言及其特点。

6．何为“翻转课堂”？现阶段在中小学实施数学课的翻转课堂有何积极意义和困惑?三、分析论述题（3×25=75分）1．为什么数学教学要重视数学过程的教学？2．作为一位数学老师，在教学了无限循环小数有关概念和性质后，学生对.0.91=的结论仍表示怀疑，总觉得应该是.0.91<；在教学概率时，学生问：投掷一枚飞镖，根据几何概型，可算得投中飞镖盘圆心的概率为0，而实际中却可能投中，这是为什么？你将如何回答上述两个问题？由此反映出当代数学教师应具备哪些素养？3．试对当前数学课程改革做一评价。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C.,βαγα<<D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cossin ,sin ,sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】D 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102n a =<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________. 2 【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 122 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. 72cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。

2019年高考浙江卷数学真题(含答案)2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，选择题部分在1至2页，非选择题部分在3至4页，满分150分，考试用时120分钟。

考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A，B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)若事件A，B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)柱体的体积公式V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式V=Sh/3，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式S=4πR^2台体的体积公式V=(S1+S2+√(S1S2))h/3，其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高球的体积公式V=4πR^3/3，其中R表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={-1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={-1,0,1}，则(A∪B)的补集是A。

{1,2,3}B。

{-1,2,3}C。

{-1}D。

{0,2,3}2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A。

2B。

1C。

2/√2D。

√23.若实数x，y满足约束条件3x-y-4≤0，x+y≥1，则z=3x+2y的最大值是A。

-1B。

1C。

10D。

124.XXX是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm^3）是A。