上海中学2016学年第二学期期中考试高一数学试题含答案word版

2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．2．若，则= ．3．函数的最小正周期为．4．在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若，，则tanαtanβ= ．6．已知，则x= （用反正弦表示）7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m 的最小值为．9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．2．若，则=sin．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，则===|sin|=，故答案为：sin．3．函数的最小正周期为 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．在△ABC中，若，则△ABC为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin （A+B ）=sinC=1，C 为直角，从而得出结论． 【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA ，∴sin （A+B ）=sinC=1，∴C=，故△ABC 为直角三角形， 故答案为：直角．5．若，，则tan αtan β=．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，联立解得cos αcos β，sin αsin β，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，∴联立，解得：cos αcos β=，sin αsin β=，∴tan αtan β==．故答案为：．6．已知，则x=（用反正弦表示）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．7．函数y=2sin 2x ﹣3sinx+1，的值域为 ．【考点】HW ：三角函数的最值．【分析】令sinx=t ，求出t 的范围，得出关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：令sinx=t ，则y=2t 2﹣3t+1=2（t ﹣）2﹣，∵x ∈[，]，∴t ∈[，1]，∴当t=时，y 取得最小值﹣，当t=或1时，y 取得最大值0．故答案为：．8．将函数y=cos2x ﹣sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=cos（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m的最小值为，故答案为：9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 2 个点关于y轴对称．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，根据函数图象即可得出结论．【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，如图所示；则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．故答案为：2．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11 个．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=s in1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= sin（x﹣）+（写出一个即可）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，∴ω=，k∈Z，取ω=；∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；∴①﹣②得A=3∴A（cosφ﹣sinφ）=3∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=∴Acos（φ+）=令A=，则φ=﹣；∴写出满足条件的一个函数为f （x ）=sin （x ﹣）+；故答案为：．二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】GC ：三角函数值的符号． 【分析】根据三角函数值的符号判断即可．【解答】解：∵﹣＜α＜0，∴cos α＞0 tan α＜0 tan α•cot α=1 ∴cot α＜0∴点（cot α，cos α）在第一象限． 故选：D ．14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）A ．y=tan|x|B ．y=cos （﹣x ）C ．D ．y=|cot|【考点】3J ：偶函数；3E ：函数单调性的判断与证明． 【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．【解答】解：y=sin （x ﹣）=﹣sin （﹣x ）=﹣cosx 故选C ．15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【考点】3L：函数奇偶性的性质；H5：正弦函数的单调性．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得： tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数的递增区间：，k∈Z；令2x﹣=，解得x=+，∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；令2x﹣=kπ得x=+，∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；作图如下：（1）列表：作出图象如下：20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f （x+3）=﹣f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；（3）以f（x）=cos（）为例即可得出结论．【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）=sin（）﹣sin（）+cos（）=sin（）+cos（）=sin（+）=sin（）=g（x+1），∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），∴g（x）∈A．（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数．（3）A中的元素不一定是奇函数，令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos（+）=cos（）﹣cos（）﹣sin（）=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．∴f（x）=cos（x）∈A，而f（x）=cos（x）是偶函数，故A中的元素不一定是奇函数．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x ∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，∴f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，∵sinx≠0，∴a=﹣，令h（x）=﹣=2sinx﹣，h′（x）=2cosx+=，令h′（x）=0得x=或，∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．2017年6月6日。

上海高一下学期期中考试数学试卷一．填空题1.已知扇形的弧长是6，圆心角为2，则扇形的面积为______. 【答案】9根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12S lr =求解. 【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2， 所以632l r α=== ， 所以扇形的面积为1163922S lr ==⨯⨯=， 故答案为：92.数列{}n a 是等比数列，112a =，12q =，132n a =，则n =______.【答案】5直接利用等比数列通项公式得到答案.【详解】数列{}n a 是等比数列，112a =，12q =，故1111232nn n a a q -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得5n =.故答案为：5. 3.已知tan 2θ=-，则cos sin sin cos θθθθ-=+______.【答案】3-直接利用齐次式计算得到答案. 【详解】cos sin 1tan 123sin cos tan 121θθθθθθ--+===-++-+.故答案为：3-. 4.三角方程tan()36x π-=的解集为______.【答案】{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z运用正切函数的图象和性质，可得所求解集. 【详解】由于{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z ，所以arctan 36x k ππ-=+，得arctan3,6x k k ππ=++∈Z ，即三角方程tan()36x π-=的解集为{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z ，故答案为：{|arctan3,}6x x k k ππ=++∈Z .5.1sin 3x =，35[,]22x ππ∈，则x 用反正弦可以表示为______. 【答案】12arcsin3x π=+ 根据反正弦函数所表示的角的范围结合题目给出的角的范围求解. 【详解】由1sin 3x =，则1arcsin 2,3x k k Z π=+∈，由1arcsin 3(0,)2π∈，而35[,]22x ππ∈，故1k =，得12arcsin 3x π=+.故答案为：12arcsin 3x π=+6.已知数列{}n a 满足10a =，1n a +=（*n N ∈），则2020a =______.【答案】0根据递推公式计算得到数列周期为3，故20201a a =，得到答案. 【详解】10a =，1n a +=，故21a ==3a ==401a =+=，故数列周期为3，202036731=⨯+，故202010aa ==.故答案为：0.7.等差数列{}n a 的通项为21n a n =-，令21n n b a -=，则数列{}n b 的前20项之和为______. 【答案】780根据题意，由等差数列通项公式21n a n =-求出n b ，利用递推关系和等差数列定义法证明出{}n b 是以1为首项，4为公差的等差数列，最后利用等差数列前n 项和公式，即可求出数列{}n b 的前20项之和. 【详解】解：由题可知，等差数列{}n a 的通项为21n a n =-， 则()21221143n n b a n n -==--=-，11b =， 所以()()1413434n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，可知数列{}n b 是以1为首项，4为公差的等差数列， 则数列{}n b 的前20项之和为：()202014201207607802⨯-⨯⨯+=+=.故答案为：780.8.函数22sin cos y x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为4π，则ω=______. 【答案】14利用二倍角余弦公式将函数解析式化简为cos 2y x ω=-，然后利用余弦型函数的周期公式可求出ω的值. 【详解】解：()2222sin cos cos sin cos 2y x x x x x ωωωωω=-=--=-，且0>ω，该函数的最小正周期为：242ππω=，解得：14ω=. 故答案为：14. 9.已知12sin 5cos αα+可表示为sin()A αϕ+（0A >，0ϕπ≤<）的形式，则sin 2ϕ=______. 【答案】120169利用辅助角公式将12sin 5cos αα+化简为()13sin αϕ+，并得出sin ϕ和cos ϕ，再利用二倍角的正弦公式即可求出sin 2ϕ.【详解】解：12512sin 5cos 13sin cos 1313αααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭令125cos ,sin 1313ϕϕ==， 则()()12sin 5cos 13sin cos cos sin 13sin αααϕαϕαϕ+=+=+， 所以512120sin 22sin cos 21313169ϕϕϕ==⨯⨯=. 故答案为：120169. 10.已知角,(0,)4παβ∈，3sin sin(2)βαβ=+，24tan1tan 22αα=-，则αβ+=______.【答案】4π根据已知条件解得1tan 2α=，然后再求得()tan αβ+的值，最后根据角的范围即可求解αβ+的值． 【详解】根据条件24tan 1tan 22αα=-， 22tan2211tan 2αα∴⨯=-，即1tan 2α=，()32sin sin βαβ=+，则()()3sin sin αβααβα⎡⎤⎡⎤+-=++⎣⎦⎣⎦， 整理可得()()cos 2cos sin sin αβααβα+=+，即()()2sin 2tan cos cos sin αβαααβα+==+，即()tan 1αβ+=，0044ππαβ<<<<，，∴02παβ<+<，故4παβ+=.故答案为：4π. 11.方程210sin 102xx x π-+=实数解的个数为______.【答案】12变换得到1sin 10102x x x π+=，确定函数为奇函数，画出函数图像，根据图像得到答案. 【详解】210sin 102xx x π-+=，易知0x ≠，则1sin 10102x x x π+=， 易知函数11010x y x =+和sin 2x y π=为奇函数， 当9x =时，91411109045y =+=<，当11x =时，1116111011055y =+=>， 画出函数11010x y x =+和sin 2x y π=图像，如图所示： 根据图像知：函数有12个交点，故方程有12个解.故答案为：12.12.设数列{}n a 的通项公式为23n a n =-（*n ∈N ），数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值，则数列{}n b 的前2m 项和为______（结果用m 表示） 【答案】24m m + 由n a m ≥可得32m n +≥，根据n b 的定义知当21m k =-时，()*1m b k k N =+∈， 当2m k =时，()*2m b k k N=+∈，据此可用分组法求数列{}nb 的前2m 项和.【详解】对于正整数，由n a m ≥可得32m n +≥， 根据m b 的定义可知:当21m k =-时，()*1m b k k N =+∈，当2m k =时，()*2m b k k N=+∈，()()1221321242m m m b b b b b b b b b -∴++⋯+=++⋯+++⋯+(2341)[345(2)]m m =+++⋯++++++⋯++2(3)(5)422m m m m m m ++=+=+ 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，属于中档题. 二．选择题13.已知α是第二象限角，则2α是（ ） A. 锐角 B. 第一象限角C. 第一、三象限角D. 第二、四象限角【答案】C根据α是第二象限角，得到22,2k k k απ+π<<π+π∈Z ,再得到2α的范围判断。

上海市七宝中学2016学年第二学期高一期中考试数学试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题（每小题 3分，共36 分） 1、 若1sincos225αα-=，则sinα=_________。

2、 函数tan(2)3=-y x π的周期为_________。

3、 如果tan csc 0αα⋅<，那么角α的终边在第____________象限。

4、 若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为______ cm 25、 方程|sin |1x =的解集是_________________。

6、222cos cos (120)cos (240)θθθ++︒++︒的值是________。

7、 若2sin()3αβ+=，1sin()5αβ-=，则tan tan αβ=__________。

8、 设0<α<π，且函数f (x )=sin(x +α)+cos(x -α)是偶函数，则α的值为_________。

9、 若)5lg 2lg 3(21)cos lg(sin ,40-=+<<x x x 且π，则=-x x sin cos ______ _.10、 设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且2()75f -=，若s i n α=，则(4c o s 2)f α的值为___________________。

11、 设tanα和tanβ是方程mx 2+(2m-3)x+m-2=0的两个实根，则tan(α+β)的最小值为______________。

12、 下列命题：①终边在坐标轴上的角的集合是{α∣2=k πα，k ∈Z}； ②若2sin 1cos =+x x ，则tan 2x 必为12；③当0x x =时函数()3sin 4cos ,[0,]f x x x x π=-∈取得最大值，则0tan x =34-；④函数1sin()26y x π=-在区间[3π-，116π]上的值域为[]；⑤方程sin(2)03x a π+-=在区间[0，2π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则126x x π+=。

上海市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第 象限．2． = ．3．若函数f （x ）=asinx+3cosx 的最大值为5，则常数a= ．4．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1=8，a 4+a 6=0，则S 8= ．5．在△ABC 中，，，则= ．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．7．方程3sinx=1+cos2x 的解集为 ．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．9．无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{1，3}，则k 的最大值为 ．10．在锐角△ABC 中，若sinA=3sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 ．二.选择题11．已知，，，则β=（ ）A ．B ．C ．D ． 12．函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．13．“sin α＜0”是“α为第三、四象限角”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f （x ）的零点，x=为y=f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（，）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9C ．7D ．5三.简答题15．在△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ． （1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC 的最大值．16．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n （n ∈N *），且﹣=，S 6=63．（1）求{a n }的通项公式；（2）若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b }的前2n 项和．17．已知函数； （1）求f （x ）的定义域与最小正周期；（2）求f （x ）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．。

上海市复兴高级中学2016学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 已知sin cos 1θθ+=-，则sin cos θθ=____________2. 已知角α的终边上有一点()8,P y -，4sin 5α=，则cos α=____________ 3. 若弧长为1的扇形面积为1，则扇形的圆心角为____________（用弧度制表示）4. 已知()()()sin 2cos k k k Z θπθπ+=-+∈，则4sin 2cos 5cos 3sin θθθθ-=+____________ 5. 在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则该三角形是____________6. 已知1cos 032x x π⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，用反余弦形式表示x 的结果是____________ 7. 在△ ABC 中，若14sin 3arccos 02A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则A =____________ 8. 将函数sin 2y x =的图像向左平移512π个单位，得到函数()y f x =的图像，则函数()f x 的单调递增区间为____________ 9. 在△ABC 中，1tan 2A =，1tan 3B =，最长边为1，则其外接圆的直径为____________ 10. 如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是单位圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，三角形AOB 为等边三角形，则B 点的坐标是____________11. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩，则函数()sin f x x x =的值域为____________ 12. 若满足60ABC ∠=︒，12AC =，BC k =的△ABC 恰好有一个，则实数k 的取值范围是____________ 13. 已知221x y +=，则1xy x y +-的最大值为____________ 14. 已知0απ≤≤，0βπ≤≤，且αβπ+≤，若cos 1m α=-，cos 32m β=-，则实数m 的取值范围是____________二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设R ϕ∈，则“0ϕ=”是“()()()cos f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要16. 函数sin sin y x x =-的值域是（ ）A. {}0B. []2,2-C. []0,2D. []2,0-17. 如图是函数()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像，,M N 分别是其最高点、最低点，MC x ⊥轴，且矩形MBNC ，则A ω⋅的值为（ ）A.16 B. C. 6 D. 18. 存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ）A. ()sin 2sin f x x =B. ()2sin 2f x x x =+C. ()211f x x +=+D. ()221f x x x +=+三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题4分.已知()()cos cos sin sin αββαββ+++13232παπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求sin 2α、cos 2α的值20.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题6分.已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，其中x R ∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值及相应的x 的值.21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题8分，第2小题6分.如图，在半径为R 的半圆中，有一个内接等腰梯形ABCD ，O 为圆心，设AOD x ∠=，梯形ABCD 的周长为y .（1）求y 关于x 的表达式；（2）求y 的最大值.22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos 2cos C a c B b -=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC S =b =a c +的值； （3）若A C ∠<∠，求222sin sin A C +的取值范围.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分. 已知集合()()()(){}|21,M f x f x f x f x x R =++=+∈，()sin3x g x π=.（1）判断()g x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）M 中的元素是否都是周期函数，证明结论；（3）M 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.参考答案1、02、35- 3、24、105、等腰三角形或直角三角形6、1arccos 3- 7、6π或56π 8、5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦910、⎝⎭11、⎡⎢⎣⎦ 12、(]0,12{83}13 14、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦15-18、ADBD19、（1）sin 2α=；（2）7cos 29α=- 20、（1）π；（2）当12x π=-时，最小值为12-。

2016-2017学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）函数y=2sin（3x+）的最小正周期为．2．（4分）已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为．3．（4分）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是4．（4分）已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且，则m=．5．（4分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．6．（4分）函数y=2tan（）的单调增区间为．7．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．8．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣，则的值是．9．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．10．（5分）已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=．11．（5分）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2co sθ=﹣，则sinθ+cosθ=．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若==，则A=．二.选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度16．（5分）已知α，β∈[﹣π，π]，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．（14分）已知f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．18．（14分）已知sin（2α﹣β）=，sin，且α∈（），β∈（），求sinα的值．19．（14分）设（1）若，求f（x）的最小值；（2）设g （x）=，若g （x）有两个零点，求实数m的取值范围．20．（16分）如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值．21．（18分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c．若=cosB+cosC．（1）求A的值；（2）令f（B）=2cos2+2cos2，写出f（B）的解析式；（3）求f（B）的值域．2016-2017学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）函数y=2sin（3x+）的最小正周期为．【解答】解：函数y=2sin（3x+）的最小正周期为T==．故答案为：．2．（4分）已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为1．【解答】解：∵扇形的半径为1，圆心角为2，∴扇形的面积为•2•1=1．故答案为：1．3．（4分）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（0，﹣2）【解答】解：函数f（x）=log a x恒过（1，0），将函数f（x）=log a x向左平移3个单位后，得到f（x）=log a（x+3）的图象故f（x）=log a（x+3）的图象过定点（﹣2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，所以其反函数的图象过定点（0，﹣2）故答案为：（0，﹣2）4．（4分）已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且，则m=﹣4．【解答】解：由题意，解得m=﹣4故答案为：﹣45．（4分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cosB==，故答案为：．6．（4分）函数y=2tan（）的单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k ∈Z．【解答】解：函数y=2tan（），令kπ﹣＜﹣＜kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z；∴函数y的单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．故答案为：（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．7．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：8．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣，则的值是．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣，∴tan，则==．故答案为：．9．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．【解答】解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：10．（5分）已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=π．【解答】解：由题意，sinα=a2+1，sinβ=b﹣1，α﹣β≥，∴a=0，b=1，∴a2﹣b2=﹣1，∴arccos（a2﹣b2）=π，故答案为：π．11．（5分）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（2cosθ﹣）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣或cosθ=，（舍）∴sinθ=﹣=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若==，则A=．【解答】解：由正弦定理可得==，可得tanB=2tanA，tanC=3tanA，由﹣tanA=tan（B+C）==，解得tanA=0（舍去）或tanA=1，（﹣1舍去），由0＜A＜π，可得A=．故答案为：．二.选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．14．（5分）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°【解答】解：A项中B=180°﹣45°﹣80°=55°，由正弦定理可求得c=•sinC，进而可推断出三角形只有一解；B项中b=为定值，故可知三角形有一解．C项中由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=．因而B有两值．D项中c＞a，进而可知C＞A=120°，则C+A＞180°不符合题意，故三角形无解．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．16．（5分）已知α，β∈[﹣π，π]，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：不等式|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ等价为|α|﹣cosα＞|β|﹣cosβ，设f（x）=|x|﹣cosx，则函数f（x）是偶函数，当0≤x≤π时，f（x）=x﹣cosx，f′（x）=1+sinx≥0，则函数f（x）在[0，π]上是增函数，则若|α|＞|β|，则f（|α|）＞f（β|），即|α|﹣cosα＞|β|﹣cosβ，则|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的充要条件，三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．（14分）已知f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．【解答】（本题共14分）解：（1）∵y=f（x）=log2（2x﹣1）．∴2x﹣1=2y，∴2x=2y+1，解得x=，互换x，y，得f（x）的反函数f﹣1（x）=，x∈R．（2）∵f（x）=log2（2x﹣1），f﹣1（x）=，f（2x）=f﹣1（x）．∴，∴，解得x=1．18．（14分）已知sin（2α﹣β）=，sin，且α∈（），β∈（），求sinα的值．【解答】解：∵α∈（），β∈（），∴2α﹣β∈（π，），又∵sin（2α﹣β）=，∴2α﹣β∈（2π，），∴cos（2α﹣β）==，∵sinβ=﹣，β∈（﹣，0），∴cosβ==，∴cos2α=cos[（2α﹣β）+β]=cos（2α﹣β）cosβ﹣sin（2α﹣β）sinβ=，又cos2α=1﹣2sin2α，∴1﹣2sin2α=，又α∈（，π），∴sinα＞0，∴sinα=．19．（14分）设（1）若，求f（x）的最小值；（2）设g （x）=，若g （x）有两个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵=﹣2cos sin+∴（3分）∵∴x=（5分）（2）设g（x）=（7分）∵函数g（x）有两个零点∴方程时有两个解（9分）∴y=2m与y=图象有两个交点则∴（12分）20．（16分）如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB 的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB 的直线交弧于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值．【解答】解（1）在△POC中，，OP=2，OC=1由得PC2+PC﹣3=0，解得；（2）∵CP∥OB，∴，在△POC中，由正弦定理得，即∴，又∴．解法一：记△POC的面积为S（θ），则=，=，第11页（共13页）=∴时，S（θ）取得最大值为．解法二：即OC2+PC2+OC•PC=4，又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4当且仅当OC=PC时等号成立．所以∵OC=PC，∴时，S（θ）取得最大值为．21．（18分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c ．若=cosB+cosC．（1）求A的值；（2）令f（B）=2cos 2+2cos 2，写出f（B）的解析式；（3）求f（B）的值域．【解答】解：（1）△ABC 中，=cosB+cosC，∴b+c=acosB+acosC，∴sinB+sinC=sinAcosB+sinAcosC，∴sin（A+C）+sin（A+B）=sinAcosB+sinAcosC，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+sinAcosC，∴cosAsinC+cosAsinB=0，即cosA（sinC+sinB）=0，∴cosA=0，∴A=；（2）f（B）=2cos 2+2cos 2=2•+2•=cosB+cosC ++1第12页（共13页）=sinC +cosC ++1=2sin（B +）++1，B∈（0，）；（3）∵B∈（0，），∴＜B +＜，∴＜sin（B +）≤1，∴+2＜2sin（B +）++1≤+3，∴f（B ）的值域为（+2，+3]．第13页（共13页）。

上海市2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为第11题___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x……………………………… ( )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=．（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．C第19题（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3c o s (c o s πx x ……………………………… ( C )A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(min -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-． （1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．解：（1）因为c o s ADB ∠=，所以sin ADB ∠=第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tan θ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sin θ+cos θ=t ，则 sin θcos θ=，由于θ∈[，]，∴sin θ+cos θ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。