9.2.2 总体百分位数的估计

1．一组数据分别是3.65,3.68,3.68,3.72,3.73,3.75,3.80,3.80,3.81,3.83，求它们的75%、 50%分位数．
解析：这组数据已经按从小到大排序，共有 10 项． 由 75% ×10＝7.5,50% ×10＝5，可得 75% 分位数是第 8 项数据 3.80,50% 分位数是第 5 项和第 6 项数据的平均数，为12×(3.73＋3.75)＝3.74.
(1)求直方图中a的值． (2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理 由． (3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说 明理由．
[解析] (1)由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，所以0.5×(0.08 ＋0.16＋ 0.4＋0.52＋0.12＋0.08＋0.04＋2a)＝1，得a＝0.3. (2)由图可知，全市居民中月均用水量不低于3吨的人数所占百分比为0.5×(0.12＋ 0.08＋0.04)＝12%，所以全市月均用水量不低于3吨的人数为30×12%＝3.6(万)． (3)由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.5×(0.08＋0.16＋ 0.3＋0.4＋0.52)＝0.73，即73%的居民月均用水量小于2.5吨，同理，88%的居民月 均用水量小于3吨，故2.5<x<3，假设月均用水量平均分布，则x＝2.5＋ 0.5×00..8885－－00..7733＝2.9(吨)． 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差．
C．7
D．15
解析：由小到大排列的结果： 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49，一共11项． 下四分位数即第25百分位数，由11×25%＝2.75，得下四分位数是第3项，数据为 15.
答案：D
3．对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度(单位：m/s)的
四分位数或上四分位数等．
1．一组数据的中位数相当于是( A．第25百分位数 C．第75百分位数
[自主检测] )
B．第50百分位数 D．第95百分位数
答案：B
2．一组数据为 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36，则这组数据的下四分位数是
() A．47
B．49
x 50 10 0.25 0 0.35 0
估计参赛学生的成绩的 25% ,90% 分位数．
[解析] 由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、 0.40、0.15、0.10、0.05. 成绩在60分以下的学生所占比例为30%>25%， 所以25%分位数一定位于[50,60)内． 由50＋10×00..3205－－00＝58.3，可以估计参赛学生的成绩的25%分位数为58.3； 成绩在80分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＝85%<90%， 成绩在90分以下的学生所占比例为30%＋40%＋15%＋10%＝95%>90%， 所以90%分位数一定位于[80,90)内． 由80＋10×00..9950－－00..8855＝85，可以估计参赛学生的成绩的90%分位数为85.
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感谢您的聆听
本例中，计算学生成绩的75%分位数．
解析：由上述过程可知，学生成绩的75%分位数在第三组，由70＋10×
0.75－0.70 0.85－0.70
＝73.3，
所以估计参赛学生的成绩的75%分位数为73.3.
频率分布表和频率分布直方图与原始数据相比，它们损失了一些信息．计算第p百 分位数的值，根据累计频率先推算这个值所在的区间，再把区间内的数据看成均匀 分布，估计这个值．
9.2.2 总体百 分位数的估计
1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
内容标准
学科素养
1.结合实例，能用样本估计百分位数． 2.理解百分位数的统计含义． 3.会求样本数据的第p百分位数.
数学抽象 数学运算
[教材提炼] 知识点 第p百分位数 预习教材，思考问题 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据， 通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该 市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集 中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策 服务呢？ [提示] 这需要引入第p百分位数的定义来区分数据．
答案：25 39
5．下表所给数据的第85百分位数为________.
毕业生 起始月薪 毕业生 起始月薪
1
2 850
7
2 890
2
2 950
8
3 130
3
3 050
9
2 940
4
2 880
10
3 325
5
2 755
11
2 920
6
2 710
12
2 880
解析：排序：2 710 2 755 2 850 2 880 2 880 2 890 2 920 2 940 2 950 3 050 3 130 3 325 计算i： i＝(1p00)n＝18050×12＝10.2， 即第85百分位数是3 130.
数据如下：
27,38,30,36,35,31,33,29,38,34,28,36. 则他的最大速度的第一四分位数是( )
A．27.5
B．28.5
C．29.5

D．30.5
解析：把数据从小到大排序，得
27,28,29,30,31,33,34,35,36,36,38,38. 第一四分位数即第25百分位数，
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重数据绘 制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106](单位：g)，样本数据分组为 [96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．
试估计样本数据的第70百分位数．
解析：由直方图得，从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.10、 0.20、0.30、0.25、0.15. 净重在102 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＝60%<70%， 净重在104 g以下的产品所占比例为10%＋20%＋30%＋25%＝85%>70%， 所以70%分位数一定位于[102,104)内． 由102＋2×00..8750－－00..6600＝102.8，可以估计样本数据的第70百分位数为102.8.
由12×25%＝3，可知第一四分位数为第3项与第4项数据的平均数，即
1 2
×(29＋30)
＝29.5.
答案：C
4．一组数据12,34,15,24,39,25,31,48,32,36,36,37,42,50的第25,75百分位数分别是 ______、________.
解析：把数据从小到大排序为12,15,24,25,31,32,34,36,36,37,39,42,48,50共14个数， 14×25%＝3.5, 14×75%＝10.5, 所以第25,75百分位数分别是第4,11项数据，即分别 是25,39.
探究二 百分位数在统计表或统计图中的应用
[例 2] 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘
制成如图所示的频率分布直方图．
y 80 0.9 0.85 10 0.95 0.85
y 80 10 0.9 0.85 0.95 0.85
0.4
0.3
0.15
0.1
x 50 0.25 0 10 0.3 0
23项数
据，分别为53,57.
(2)由80%×30＝24，可知第80百分位数为第24项与第25项数据的平均数，即
1 2
×(58
＋58)＝58.
据此可以估计本校高一男生体重的第80百分位数约为58.
计算第p百分位数的步骤：(1)按从小到大排列原始数据．(2)计算i ＝n×p%.(3)若i不 是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百 分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
知识梳理 (1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个 值，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有 (100－p)%
的数据大于或等于这个值． (2)计算第p百分位数的步骤：第1步，按从 小 到 大 排列原始数据．第2步，计算i ＝ n×p% .第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为 第j项 数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的 平均数 ． (3)四分位数：常用的分位数有第 25 百分位数、第 50 百分位数、第 75 百分位数， 这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成 四等 份，因此称为四分位数．其 中第 25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第 75 百分位数也称为第三
百分位数在频率分布直方图中的几何意义 ►直观想象、数据分析、数学运算 [典例] 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调 整居民生活用水收费方案，拟定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水 量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况， 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 [0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
[解析] 将上述数据按从小到大排序，可得
48 49 50 51 52 52 53 53 54 54
54 55 55 55 56 56 56 56 56 56
57 57 57 58 58 59 59 59 60 62 (1)由25%×30＝7.5,75%×30＝22.5，可知它们的25%,75%分位数是第8,