函数性态的研究

函数的简单性态
⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数
例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.
⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。

例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。

⑶、函数的奇偶性
如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。

注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

⑷、函数的周期性
对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。

注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。

例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。

高考中函数的热点问题一、函数的性态例题1 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数f (x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.，并说明理由。

思路点拨：函数的奇偶性的范围应在定义域上加以分析，而函数增减单调性区间可选择定义域上或定义域的子集上考虑问题()()0()(1,0)(0,1).1011001x f x xxf x x ≠∴-⋃+>--⋃∴⎧⎪⎨⎪⎩ 解：函数的定义域为函数（）的定义域，，关于原点对称，对于定义域内的每一个，211log .1x f x f x f x xx--=--==-∴+ （）（），（）是奇函数()()121212222211221221()0,1,0,1,11111122()()log log ()[log 1log 1],1111f x x x x x f x f x x x x x x x x x <∈++-=--+=-+-------⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭研究在上的单调性设()()2212122111220,log 1log 10,()()0,110110.f x f x x x x x f x f x f x ->--->∴->---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭即（）在，上单调递减，由于（）是奇函数，（）在，上单调递减在研究函数()()()F x f x g x =±的相关问题时，如果函数()f x 与函数()g x 具备相同的单调性或奇偶性，则可以借助此性质去研究其它问题。

例题2、若2525(log 3)(log 3)(log 3)(log 3)x x y y ---≥-，则有（ ）（A ）0x y +> （B ）0x y +< （C ）0x y +≥ （D ）0x y +≤解：令25()(log 3)(log 3)x x F x =-，2()(log 3)x f x = 与5()(log 3)x g x =-都是增函数，()F x ∴是增函数，又原式可转化为()()F x F y ≥-，则有x y ≥-，∴选取（C ）点评：把题中的不等式问题，转化为一个和差函数的单调性来研究，是解题的捷径。

函数的性态知识点总结一、函数的定义与符号表示1. 函数的定义：函数是一种映射关系，指一个集合到另一个集合的特定对应关系。

2. 函数的符号表示：函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的输出范围。

2. 奇函数和偶函数：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

3. 周期函数：周期函数指f(x+T)=f(x)，其中T为周期。

4. 单调性：函数在定义域上的增减性质。

5. 有界性：函数是否有界，即是否存在上下界。

三、函数的极限1. 函数极限的定义：函数f(x)当x趋向于a时，f(x)的极限为L，表示为lim(f(x))=L。

2. 函数极限的性质：极限存在性与唯一性、有界性与无界性、单调性的保持。

四、导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点处的变化率。

2. 导数的计算：通过求导法则、高阶导数来求函数的导数。

3. 微分的定义：微分是导数的几何意义，表示函数在某一点的局部线性逼近。

4. 导数与函数的关系：导数可以表示函数的增减性、凹凸性和拐点等性质。

五、函数的极值与拐点1. 极值的定义：函数的最大值和最小值称为极值，包括局部极值和全局极值。

2. 极值的求解：通过导数的零点、非常数项、边界点等方式求解函数的极值。

3. 拐点的定义：函数图像在拐点处的曲线方向发生变化，即曲线由凹变凸或由凸变凹。

4. 拐点的求解：通过计算函数的二阶导数，找出函数的拐点。

六、函数的泰勒展开1. 泰勒展开的定义：泰勒展开是将函数在某点进行多项式逼近，用于计算函数在该点附近的近似值。

2. 麦克劳林展开：泰勒展开在x=0处的情况，称为麦克劳林展开。

3. 泰勒级数：泰勒级数是泰勒展开的无穷级数形式，用于表示函数在某点附近的各阶导数。

七、函数的积分1. 定积分与不定积分：定积分是区间上的积分，不定积分是函数的反导数。

专题1 函数的性态研究（3课时）苍南龙港高中林威【考点透视】1、函数的性质主要涉及函数的定义域、对应法则，值域（最值）、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及反函数的概念及性质。

在高考试题中常以选择题、填空题的形式出现，有时也以函数内容为主的综合性解答题的形式进行考查。

函数是一种思想，它重在渗透。

函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质是高考命题的热点之一。

函数由定义域和对应法则所确定，函数的值域由函数的定义域所确定，函数的单调区间是定义域的子集，奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，在解题时，应重视定义域在解决函数问题中的作用。

函数的综合运用主要是指综合运用函数的知识，思想和方法解决问题。

近年来，高考试题中经常在函数与其他方面知识的交汇点编制试题，这样的试题通常以中高档题的形式出现。

对函数以及函数思想方法应用的考查是数学高考的一大热点和亮点。

解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，然后把握问题的本质，展开广泛的联系，再是要运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。

解函数综合问题，还必须要加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数的有关性质，因为这将是高考考查的一个新的着眼点。

3、合理预测单调性、性质会在解答题中出现。

分值会在10—15分左右。

一、 2004高考题汇总【高考风向标】以客观题的形式考查函数的概念、性质和图象。

（一）选择题1 (2004. 某某卷)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =( A ) (A)42 (B)22 (C)41 (D)21 2. （2004.某某）设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于 ( B )(A)3 (B)32 (C)43 (D)653．(2004.全国理)已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ B ）A ．bB ．－bC ．b 1D ．－b1 4．(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是 （ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)5、（2004.某某理）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( A )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x. 6、（2004. 某某卷文科)若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线x-y=0对称,则 f(x)=(A )(A)10x -1. (B) 1-10x . (C) 1-10-x . (D) 10-x -1.7．（2004.某某理）已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ C ）A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+- 8．（2004. 某某理）已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是 （ B ）9．（2004. 某某理）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ D ）A ．f (sin 6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos 32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)10．（2004. 某某理）一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （C ） A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 11．（2004. 某某卷）对于10<<a ，给出下列四个不等式D①)11(log )1(log a a a a +<+②)11(log )1(log a a a a +>+③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是 A ．①与③ B ．①与④ C ．②与③ D ．②与④12．（2004.某某理）设)(1x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则 )(b a f +的值为 （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 213．（2004.某某理）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．414．（2004.某某理）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ D ）A ．),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞（二）填空题15．（04. 某某春季高考）方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.216．（04. 某某春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.1xx 11-+ (x ≠0)， 17．（2004. 某某理）设函数f(x)= a (x =0). 在x =0处连续，则实数a 的值为 1/2 . 18．（2004. 某某理）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为2/3 时，其容积最大. 19、（2004.某某理）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值X 围是a>0且b≤0 .20、（2004. 人教版理科）设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值X 围为（ ）A 、(][]10,02, -∞-B 、(][]1,02, -∞-C 、(][]10,12, -∞-D 、[)[]10,10,2 -二、错解分析 1．已知函数2221()log log (1)log (),(1)()1x f x x p x f x x +=+-+--求的定义域;(2)求f(x)的值域。

函数性态的描述、刻画与应用分析研究函数性态的描述、刻画与应用分析研究引言函数性态描述、刻画与应用分析是函数理论中的一个重要研究方向。

函数是数学中的基本概念，它描述了元素之间的映射关系。

函数性态的描述与刻画研究不仅可以帮助我们深入理解函数的性质，还可以为函数的应用提供理论支持。

本文将对函数性态的描述、刻画与应用分析进行综合研究。

一、函数性态的描述1.1 定义函数是一个关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

函数通常用公式、图像、表格等方式进行描述。

对于给定的输入，函数能够唯一确定一个输出，而且对于同一个输入，函数的输出是确定的。

函数的描述可以通过函数的定义域、值域、映射关系等元素来进行完整阐述。

1.2 性态的描述函数性态的描述主要从函数的连续性、可导性、单调性等方面展开。

连续性描述了函数在定义域上是否存在间断点，以及间断点的类型；可导性描述了函数在某个点是否存在导数，以及导数的存在条件；单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质。

这些性态描述可以帮助我们深入了解函数在不同区间的变化规律。

二、函数性态的刻画2.1 数学工具函数性态的刻画离不开一些数学工具的支持。

常见的刻画工具有极限、导数、积分等。

通过这些工具，我们可以对函数的性态进行定量描述。

比如，极限可以描述函数在某个点上的趋近性；导数可以描述函数在某个点上的变化率；积分可以描述函数在某个区间上的累积效应。

这些数学工具为函数性态的刻画提供了重要依据。

2.2 图像刻画函数的图像是刻画函数性态的重要工具之一。

通过绘制函数的图像，可以直观地显示函数在定义域上的性态特征。

比如，函数的连续性可以通过图像上是否存在间断点来观察；函数的单调性可以通过图像上的上升或下降趋势来判断；函数的可导性可以通过图像上的平滑性来体现。

图像刻画可以帮助我们更直观地了解函数的性态。

三、函数性态的应用分析3.1 实际问题的建模函数性态的应用主要体现在实际问题的建模中。

《高等数学》材料（答案） 第一章、 函数与极限1、函数的定义、函数的二要素——表达式和定义域，两个函数相等的条件；2、函数的分类:分段函数、反函数、复合函数—他们的特点和要点；3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是0x x →时的情况；4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较p23 (10)；5、函数极限的运算；6、极限存在定理；7、两个重要极限；结构和使用方法 p238、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间断 9、初等函数的连续性——5个性质连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理；___________________________________________________________1、在下列各对函数中那些事相同的a 、 2(),()f x g x x ==b 、 22()sin cos ,()1f x x x g x =+=C 、 2()ln ,()2ln f x x g x x == d 、 21(),()11x f x g x x x -==+-2、()()f x x =-∞<<∞判定的奇偶性 奇3 、当0x →时，tan 2x ，1ln(12)2x + 和 (2)x x + 中与sin x 等价的无穷小量是1ln(12)2x +4、0x → 解：原式=012x →=5、0lim→x =+xkx )1ln( 解：原式1001lim ln(1)lim(ln(1))kkx x x kx kx k x →→=+=+= 6、=+→x x x 3sin )1ln(lim0 1000ln(1)ln(1)/31ln(1)1limlim lim sin 3sin 3/33sin 3/33xx x x x x x x x x x x x →→→+++===7、3113lim()11x x x →--++ 解：原式233211113(2)(1)2lim lim lim 1111x x x x x x x x x x x x →-→-→--+--+-====-++-+ 8、=∞→x x x sin limsin 1lim lim sin 0x x x x xx →∞→∞==9、 311lim(32)x x x -→- 13662(1)111lim(32)lim(12(1))x x x x x x e ----→→-=+-=10、函数2312+-=x x y 的间断点为 1,2x x ==11、函数)2)(1(1-+=x x y 的连续区间为 (,1)(1,2),(2,)-∞--∞12、tan ()arcsin()(0)2x f x x x=≠　补充定义(0)f 之值，使()f x 在0x =处连续。