高考总复习基础知识：三角函数.pdf

确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ 【答案】解：（1）由得，同理：，。 ∵ AD－AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知，得， 。 ∵，（当且仅当时，取等号）， ∴当时，最大。 ∵，则，∴当时，－最大。 故所求的是m。 【考点】解三角形的实际应用，两角差的正切及不等式的应用。 【分析】（1）在Rt△ABE中可得，在Rt△ADE中可得，在Rt△BCD中可得 ，再根据AD－AB=DB即可得到H。 （2）先用分别表示出和，再根据两角和公式，求得，再根据均值不等式可知当 时，有最大值即有最大值，得到答 案。 已知△ABC的三边长都是有理数。 求证是有理数；（2）求证：对任意正整数，cosA是有理数。 【答案】证明：（1）设三边长分别为，， ∵是有理数，∴是有理数， 为正有理数。 又∵有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数。 （2）①当时，显然cosA是有理数， 当时，∵，且cosA是有理数， ∴也是有理数。 ②假设当时，结论成立，即cosA、均是有理数。 当时， ， ∴。 ∵cosA，，均是有理数，∴是有理数。 ∴是有理数。 即当时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数，cosA也是有理数。 【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。 【分析】（1）设出三边为，根据三者为有理数可推断出是有理数，是有理数，从而根据有理数集对于除法的具有 封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，因此cosA是有理数。 （2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数 。再假设时，结论成立，从而可知，均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得，根据cosA，，均是有理数推断出是有 理数是有理数，即是有理数。从而时成立．最后综合原式得证。 （江苏2011年14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 （1）若 求A的值； （2）若，求的值. 【答案】解：（1）由题意知，从而， ∴。 ∵，∴。 （2）由，及，得， ∴是直角三角形，且。∴。 【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。 【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可。 （2）利用余弦定理以及，求出是直角三角形，即可得出的值。也可以由正弦定理得：，而。 在中，已知． （1）求证：； （2）若求A的值． 【答案】解：（1）∵，∴，即。
如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐
标分别是，．
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（1）求的值； （2）求的值．
【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，
∵为锐角故，∴。
同理可得 。
∴。
∴=。
（2）,
∴由 ，得 。
【考点】两角和与差的正切函数。 【分析】（1）先由已知条件得 ；再求、，从而求出、； 最后利用=解之。 （2）利用（1）把转化为求之，再根据的范围确定角的值。 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三 家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式： （Ⅰ）设（rad），将表示成的函数； （Ⅱ）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。 【答案】解：（1）（Ⅰ）延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB， 若∠BAO=(rad) ，则, ∴。 又OP＝，∴。 ∴所求函数关系式为。 （Ⅱ）若OP=(km) ，则OQ＝10－，∴OA=OB=。 ∴所求函数关系式为。 （2）选择函数模型（Ⅰ），， 令0 得sin 。 ∵，∴=。 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数 ∴当=时，。 这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。 【考点】在实际问题中建立三角函数模型。 【分析】（1）（Ⅰ）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关 系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围。（Ⅱ）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的 函数关系式。 （2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式 ，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合。 设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：∥..网 【答案】解：（1）∵与垂直，∴ 即， 即。 ∴。 （2）∵ ∴当时，取最大值，且最大值为。 （3）∵，∴，即 ∴，即与共线。 ∴∥。 【考点】向量的基本概念，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。 【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，可求出的正余弦之间的关系，最后可求正切值。 （2）根据向量的求模运算得到的关系，然后根据正弦函数的性质可确定答案。 （3）将化成弦的关系整理即可得到，正是∥的充要条件，从而得证。 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精
【答案】。
【考点】三角形的计算。
【分析】设BC＝，则AC＝ ，根据面积公式得=，
根据余弦定理得，代入上式得=。
由三角形三边关系有，解得。
∴当时取最大值。
函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示，则=▲ .
【答案】3。
【考点】三角函数的周期。
【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出：
∵，∴。∴。
∴。
∴
。的最小正周期为
。
答案：1． 设为锐角，若，则的值为 ．解答题
已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值.
【答案】解：由已知。
。
∴
。
【考点】弦切互化，两角差的正弦函数。
【分析】根据求得的值，从而根据α的范围求得的值，最后根据两角和公式求得答案。
；（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化
为相应的切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下
名称，就可以使用。
下列函数中，周期为的是【 】
A．
B．
C．
D．
【答案】D。
【考点】三角函数的周期性及其求法。
以时间，连接AB，过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果：
∵ ∠AOB=，
∴根据直角三角形的边长求法得到。
若函数最小正周期为，则 ▲ .
【答案】。
【考点】三角函数的周期公式。
【分析】由三角函数的周期公式，得。
（江苏2008年5分）满足条件的三角形ABC的面积的最大值 ▲
【答案】。
【考点】三角函数的和差倍计算。
【分析】∵，∴。∴。
19.函数是常数，的部分图象如图所示，则 ▲
【答案】。
【考点】三角函数的图象和性质的应用。
【分析】由函数图象得，∴,,
再结合三角函数图象和性质知，∴。∴。
设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
三角函数
一选择题
函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为【 】
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B。
【考点】三角函数的周期性及其求法。
【分析】把函数y=2cos2x+1（x∈R）化为一个角的一次三角函数的形式，求出周期即可：
∵函数y=2cos2x+1=cos2x+2，∴它的最小正周期为：。故选B。
【分析】根据公式对选项进行逐一分析即可得到答案：的周期为：T=4π，排除A；的周期为：T=π，排除B；的周
期为：T=8π，排除C；的周期为：T=。故选D。
函数的单调递增区间是【 】
A．
B． C．
D．
【答案】D。
【考点】正弦函数的单调性，两角差的正弦公式。
【分析】利用两角差的正弦公式对函数解析式化简整理，从而根据正弦函数的单调性求得答案：
某时钟的秒针端点到中心点O的距离为，秒针均匀地绕点O旋转，当时间时，点A与钟面上标的点B重合，将A，B两点
的距离表示成的函数，则 ▲ ，其中。
【答案】。
【考点】在实际问题中建立三角函数模型。
【分析】由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是360°，可以算出一秒转过的角度，再乘
由三角函数的图象，运用数形结合思想，知线段P1P2的长即为的值，且其中的满足=，解得=。∴线段P1P2的长为。
在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=▲ _。
【答案】4。
【考点】正、余弦定理，同角三角函数基本关系的运用。
【分析】∵，
∴
。
已知 则的值为 ▲
【答案】C。
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。
【分析】先将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵
坐标不变）得到函数的图像。故选C。
在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ ▲
【答案】。
【考点】正弦定理。
【分析】由可得，即。
由二倍角的余弦公式，得
。故选A。
已知，函数为奇函数，则a＝【 】
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
【答案】A。
【考点】函数的奇偶性，三角函数的奇偶性的判断。
【分析】∵,,且函数为奇函数，
∴，即。∴a＝0。故选A。
为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点【 】
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
∵，∴。
∴根据正弦函数的单调性，，即时，函数单调递增。故选D。
若，.则 ▲ .
【答案】。
【考点】两角和与差的余弦函数，弦切互化。
【分析】先由两角和与差的公式展开，得到，的正余弦的方程组，两者联立解出两角正弦的积与两角余弦的积，再
由商数关系求出两角正切的乘积：
∵，。
∴二式联立，得，。∴。
则的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。∴。
11．设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵为锐角，即，∴。
，BC=3，则的周长为【】
A．
B．
C．
D．
【答案】D。
【考点】正弦定理。
【分析】根据正弦定理分别求得AC和AB，最后三边相加整理即可得到答案：
根据正弦定理 ，
∴，。
∴△ABC的周长为＋==。故选D。
若，则=【】
A．
B．
C．
D．
【答案】A。
【考点】运用诱导公式化简求值，二倍角的余弦。
由图中可以看出：，∴。∴。定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P，过点P作PP1⊥轴于点P1，直线PP1与
的图像交于点P2,则线段P1P2的长为 ▲ 。
【答案】。
【考点】余弦函数的图象，正切函数的图象。
【分析】先将求P1P2的长转化为求的值，再由满足=可求出的值，从而得到答案：
【分析】解三角形，已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理。因此，由正弦定理得
，，解得。
＝ ▲
【答案】2。
【考点】弦切互化，同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正弦函数。
【分析】在求三角的问题中，要注意这样的口决“三看”即（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化