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上海沪科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！上海沪科版初中数学和你一起共同进步学业有成！4.5 角的比较与补（余）角1.借助三角尺画出15°、75°的角.你还能画出哪些度数的角？2.下面是小马虎解的一道题．题目：在同一平面上，若∠BOA = 70°，∠BOC = 15°，求 ∠AOC 的度数．解：根据题意可画出图∵∠AOC =∠BOA 一∠BOC =70°一15° =55°，∴∠AOC ＝55°．若你是老师会给小马虎满分吗？若会，说明理由．若不会，请将小马虎的错误指出，并给出你认为正确的解法3.如图,BD 平分∠ABC ,BE 分∠ABC 为2:5两部分,∠DBE =21°,求∠ABC 的度数.4.如图，AOB 是一条直线，∠AOD =∠BOD ＝∠EOC = 90°，∠BOC ︰∠AOE = 3︰1． （1)求COD 的度数；(2)图中有哪几对角互为余角？(3)图中有哪几对角互为补角？课后巩固1.用一副三角板不能画出 ()A .75°角B .135°角C .160°角D .105°角2. 已知∠AOB =3∠BOC ，若∠BOC = 30°．则∠AOC 等于（） A .120° B .120°或60°C .30° D .30°或90°．3.如图，∠AOB =∠COD ＝90°，∠AOD ＝146°，则∠BOC 的度数为（）D CAEBA．43° B．34° C．56° D．50°14. 如图，将两块直角三角板的直角顶点重合，若∠AOD =127°，则∠BOC=．25. 如图所示，直线AB、CD相交于O，已知∠DOE =∠BOD，OF平分∠AOE，若∠AOC=28°、则∠EOF=．6. 一个角的余角是42°37′，它的补角为．αββαα7. 已知∠与∠互为余角，∠比∠大20°，则∠=．8. 已知：如图，∠AOB=120°，OC、OD分别平分∠AOB和∠BOC，求∠AOD的度数．9. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．10.如图将一副三角板放在一起．使直角顶点于点O．求∠AOC+∠DOB的度数.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
《4.5 角的比较与补（余）角》◆教材剖析上一节我们学习了角和角的有关观点，掌握了角的胸怀单位以及单位之间的换算 .本节就是进一步研究有关角的知识，经过指引学生察看比较角的大小，加深学生对角的关系的认识，使学生掌握角的比较方法 .帮助学生理解角的和差，掌握角的均分线的定义，以及余角、补角的观点及性质，为进一步学习角的画法确立基础.◆ 教课目的【知识与能力目标】1.会比较两个角的大小，理解角的和差；2.认识角均分线的意义及观点；3.理解余角、补角的观点，掌握余角和补角的性质 .【过程与方法目标】经过实质察看、操作，领会角的大小，掌握比较角的大小的比较方法，培育学生的察看思想能力及合情推理能力 .【感情态度价值观目标】在操作、察看、思虑、发现的过程中，领会学习几何知识的思想方法，培育学生剖析问题、解决问题的能力以及合作学习和独立思虑的优秀学习习惯 .◆教课重难点【教课要点】1.角的大小比较方法以及角均分线的观点；2.两角互补、互余的观点及性质 .【教课难点】从图形中察看角的数目关系.◆ 课前准备多媒体课件 .◆ 教课过程一、情境引入问题：怎样比较两条线段的长短的？①胸怀法：分别量出两条线段的长度，而后再比较大小.②叠合法：把两条线段叠合在一同比较大小.问题：要怎样比较角的大小呢？【设计企图】经过学过的比较线段的方法，运用类比的思想，引出比较角的大小的方法 .二、研究新知1．角的比较 .角的大小的比较方法：(1)胸怀法：①将量角器的中心点与角的极点重合；②量角器的零度刻度线与角的一边重叠；③角的另一边落在量角器的什么刻度线上.(2)叠合法：叠合∠DEF 与∠ABC ，把∠DEF 挪动，使它的极点E 移到和∠ABC 的极点 B 重合，一边 ED 和 BA 重合，另一边 EF 和 BC 落在 BA 的同旁 .如图①，假如 EF 和 BC 重合，那么∠ DEF＝∠ ABC ；如图②，假如 EF 落在∠ ABC 的内部，那么∠ DEF＜∠ ABC ；如图③，假如 EF 落在∠ ABC 的外面，那么∠ DEF＞∠ ABC.【设计企图】运用类比的思想，经过研究，使学生掌握角的大小的比较方法，为进一步学习角的和差等知识做铺垫 .2.角均分线的定义及性质 .(1)认识角的和差 .问题：你能将∠ AOC 写成两个角的和与两个角的差的形式吗？∠AOC 是∠ AOB 与∠ BOC 的和，记作∠ AOC＝∠ AOB ＋∠ BOC，∠AOB 是∠ AOC 与∠ COB 的差，记作∠ AOB ＝∠ AOC－∠ COB.近似地，∠ AOC －∠AOB ＝∠ COB.例 1如图④，求解以下问题：(1)比较∠AOC 与∠ BOC，∠ BOD 与∠ COD 的大小；(2)将∠ AOC 写成两个角的和与两个角的差的形式.解： (1)由图④能够看出：∠AOC＞∠ BOC(OB 在∠ AOC 内)∠BOD＞∠ COD(OC 在∠ BOD 内)(2)∠AOC＝∠ AOB ＋∠ BOC，∠AOC＝∠ AOD —∠ DOC.(2)认识角的均分线 .定义：在角的内部，以角的极点为端点的一条射线把这个角分红两个相等的角，这条射线叫做这个角的均分线 .如图⑤， OC 是∠ AOB 的均分线，这时有：∠AOC＝∠ COB＝1∠AOB，2∠AOB ＝2∠ AOC＝2∠COB.【设计企图】经过研究，使学生认识角的和差，掌握角均分线的定义及性质，为进一步学习余角、补角等知识做铺垫 .3.余角和补角的观点及性质 .问题：已知∠ α、∠ β、∠ γ的，比较它们的大小，并思虑∠ α与∠β、∠ β与∠ γ之间有什么特别关系？互为余角定义：假如两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，此中一个角是另一个角的余角．若∠α＋∠ β＝90°，那么∠ α与∠ β互余 . 反之若∠α与∠ β互余，那么∠α＋∠ β＝90°.∠ α是∠ β的余角，相同∠ β也是∠ α的余角 .互为补角定义：假如两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，此中一个角是另一个角的补角 .若∠β＋∠ γ＝90°，那么∠ β与∠ γ互补 . 反之若∠β与∠ γ互补，那么∠β＋∠ γ＝180°.∠ β是∠γ的补角，相同∠ γ也是∠ β的余补 .例 2 如图⑥，∠ 1＝∠ 3，∠1 与∠ 2 互补，∠ 3 与∠ 4 互补，那么∠ 2 与∠ 4 有什么关系？图⑥解：由于∠ 1 与∠ 2 互补，因此∠ 2＝180°－∠ 1.由于∠ 3 与∠ 4 互补，因此∠ 4＝180°－∠ 3.又由于∠ 1＝∠ 3，因此∠ 2＝∠ 4.能够获得补角的性质：同角(或等角 )的补角相等 .问题：余角有无上边补角近似的性质？假如有，你能说明道理吗？余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠ B＝ 90°，∠ A＋∠ C＝90°，则∠ B＝∠ C；等角的余角相等，即：若∠ A＋∠ B＝90°，∠ D＋∠C ＝90°，∠ A＝∠ D，则∠ B＝∠ C.【设计企图】经过详细的例子，使学生认识余角、补角的观点，并掌握余角、补角的性质 .三、稳固练习1.依据图⑦，回答以下问题：(1)比较∠ FOD 与∠ FOE 的大小；(2)借助三角尺比较∠ DOE 与∠ DOF 的大小．图⑦2.一个角的补角比它的余角的 4 倍少 30°，求这个角的度数．四、讲堂总结问题：经过这节课的学习，你有哪些收获？1.角的大小的比较方法：(1)胸怀法； (2)叠合法 .2.角均分线的定义及性质：在角的内部，以角的极点为端点的一条射线把这个角分红两个相等的角，这条射线叫做这个角的均分线 .若 OC 是∠ AOB 的均分线，则∠ AOC＝∠ COB＝1∠AOB ，∠2AOB ＝2∠AOC ＝2∠COB.3.余角和补角的观点及性质：余角的定义：假如两个角的和等于一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，此中一个角是另一个角的余角．余角的性质：同角 (或等角 )的余角相等 .补角的定义：假如两个角的和等于一个平角，就说这两个角互为补角，简称互补，此中一个角是另一个角的补角 .补角的性质：同角 (或等角 )的补角相等 .◆ 教课反省略 .。
4.5 角的比较与补(余)角1．角的大小比较(1)叠合法：把一个角放在另一个角上，使两个角的顶点和一边分别重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看见两个角的大小．如果两角的另一边重合，这两个角相等；如果两角的另一边不重合，则这两个角不等，其中一个角的另一边落在另一个角的内部，则这个角比另一个角小，其中一个角的另一边落在另一个角的外部，则这个角比另一个角大．①先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果OB与ED重合，则表示这两个角相等，如图，记作∠AOB＝∠CED.②先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的外部，则表示∠AOB小于∠CED，如图，记作∠AOB＜∠CED.③先让顶点O与E重合，再让OA与OC重合，并且使另一边OB，ED在OA的同侧．如果ED落在∠AOB的内部，则表示∠AOB大于∠CED，如图，记作∠AOB＞∠CED.(2)度量法：用量角器量出角的度数，根据角的度数大小来判定角的大小，度数大的角大，度数小的角小，度数相等时，角相等．即角的大小和它们的度数大小一致．辨误区用叠合法比较角的大小时应注意的问题用叠合法比较角的大小时，一定要将角的另一边落在重合边的同侧．【例1－1】已知O是直线AB上一点，OC是一条射线，则∠AOC与∠BOC的关系是()．A．∠AOC一定大于∠BOCB．∠AOC一定小于∠BOCC．∠AOC一定等于∠BOCD．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC解析：由题可知射线OC可能在O A这一侧，那么此时∠AOC就小于∠BOC，如果射线OC在OB这一侧，那么∠AOC就大于∠BOC，如果射线OC垂直直线AB，那么∠AOC ＝∠BOC＝90°，综合所述∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC.答案：D【例1－2】如图有两块三角板，你能比较∠BAC与∠DEF的大小吗？分析：可以用特殊值法，通过三角板的特殊值来比较大小；还可以使用叠合法来比较这两个角的大小．解：能．只要把两块三角板如图那样叠合在一起，就可以比较出∠BAC和∠DEF的大小．说方法比较两个角的大小的常用方法比较两个角的大小，常用的方法是叠合法和测量法两种．一般地，若两个角的大小差别明显，则用叠合法进行验证；若两个角的大小差别不明显，则用测量法进行验证．2．角的和差关系角的和、差有几何与代数两种意义，几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．(1)几何意义：设有两个角∠AOB和∠BOC(∠AOB＞∠BOC)，如图所示，把∠BOC移到∠AOB上，使它们的顶点重合，边OB重合，当∠BOC在∠AOB的外部时(如图1)，它们的另两边OA与OC所成的∠AOC就是∠AOB与∠BOC的和，即∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；当∠BOC在∠AOB内部时(如图2)，它们的另两边OA与OC所成的∠AOC是∠AOB与∠BOC 的差，即∠AOC＝∠AOB－∠BOC.(2)代数意义：已知∠A＝36°，∠B＝60°，那么∠A＋∠B＝36°＋60°＝96°，∠B－∠A＝60°－36°＝24°.即两个角的和、差关系等于两个角的度数的和、差关系．【例2】已知一条射线OA，如果从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝60°，∠BOC ＝20°，求∠AOC的度数．解：当OC在∠AOB的内部时，如图(1)，图(1)此时∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－20°＝40°.当OC 在∠AOB 的外部时，如图(2)，图(2)此时∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝60°＋20°＝80°.综上可知，∠AOC 的度数为40°或80°.辨误区 作图题要分类讨论根据题意画图时，要考虑到所有可能的情况进行分类讨论，防止漏解．3．角的平分线在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．如图，OC 是从∠AOB 的顶点O 出发的一条射线，把∠AOB 分成两个相等的角，即∠AOC ＝∠BOC ，则OC 叫做∠AOB 的平分线．角平分线定义的推理步骤(1)角平分线的性质的推理步骤∵OC 是∠AOB 的平分线(已知)，∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠BOC (角平分线的定义)． (2)角平分线的判断的推理步骤∵∠AOC ＝∠BOC (已知)，∴OC 是∠AO B 的平分线(角平分线的定义)．释疑点 对角的平分线的理解角的平分线是一条射线，每个角都有且只有一条角平分线，它把这个角分成相等的两个角．【例3】 如图所示，已知∠AOB ＝90°，∠BOC ＝60°，OD 是∠AOC 的平分线，求∠BOD 的度数．分析：从图形上看，∠BOD ＝∠BOC ＋∠COD ，因为∠BOC ＝60°，故只要求出∠C OD的度数即可获解，因为OD 是∠AOC 的平分线，而∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，故∠COD 可求．解：∵∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，OD 是∠AOC 的平分线，∴∠COD ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°. ∵∠BOD ＝∠BOC ＋∠COD ，∴∠BOD ＝60°＋15°＝75°.说方法 如何求角的度数和求线段长一样，求一个角的度数时，我们通常将这个角拆成另外几个易求角度的角的和或者差的形式，通过求出另外几个角达到求这个角的目的．4．补角与余角的概念(1)如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角．即：若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补．反之，若∠1与∠2互补，则∠1＋∠2＝180°.(2)如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．即：若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余．反之，若∠1与∠2互余，则∠1＋∠2＝90°.谈重点余角与补角的关系(1)互余和互补描述的都不是一个角，而是指具有特殊数量关系的两个角，只与两个角的大小有关，与它们的位置无关．(2)锐角A的余角表示为(90°－∠A)，补角可表示成(180°－∠A)．(3)两角互为邻补角，它们一定互补，但两角互补，它们不一定为邻补角．(4)一个锐角的补角比它的余角大90°.【例4－1】如图所示，AOB是一条直线，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，问图中互余的角有几对？互补的角有几对？分析：由互为余角和互为补角的定义，只需找出图中和为90°的两个角以及和为180°的两个角即可．也可令∠1＝x°，则∠2＝90°－x°，∠3＝x°，∠4＝90°－x°，∠BOD＝180°－x°，∠AOE＝90°＋x°.从而判断出互余、互补的角．解：互余的角：∠1与∠2，∠1与∠4，∠3与∠2，∠3与∠4；互补的角：∠1与∠BOD，∠3与∠BOD，∠2与∠AOE，∠4与∠AOE.说方法表示一个角的余角或补角可任意设一个角为x°，用含x°的代数式设法表示出其他所有的角，凡是90°－x°的角都与这个角互余，凡是180°－x°的角都与这个角互补．【例4－2】一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是()．A．60°B．45°C．30°D．15°解析：由于一个角和它的补角的和是平角，与它的余角的和是直角，如果设这个角为x°，则它的补角是180°－x°，余角是90°－x°，由题目中所给的数量关系列出方程180°－x°＝3(90°－x°)，所以180°－x°＝270°－3x°，所以x°＝45°.答案：B析规律根据互余和互补求角的度数根据互余和互补的概念求角的度数的问题，一般设出这个角的度数，用含有这个角的代数式来表示这个角的余角和补角从而得到关于这个角的方程．解方程可解决问题．5．补角与余角的性质(1)补角性质：同角(或等角)的补角相等．若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，则∠2＝∠3.若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4.(2)余角性质：同角(或等角)的余角相等．若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则∠2＝∠3.若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，则∠2＝∠4.释疑点进一步理解余角与补角锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角；如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．【例5】如图，∠AOB＝∠COD＝90°，试说明∠AOC＝∠BOD.解：∵∠AOB＝90°(已知)，∴∠AOC＋∠BOC＝∠AOB＝90°(角的和差)．∵∠COD＝90°(已知)，∴∠BOD＋∠BOC＝∠COD＝90°(角的和差)．∴∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．析规律根据互余、互补判断两角的相等关系当题目中的角有互补互余的关系时，判断两个角的相等关系通常运用等角的余角相等；等角的补角相等来解决．6．角的计算与证明角的和、差关系，角平分线及性质，余角、补角及其性质是进行角的计算与证明的基础，熟练掌握这些知识及其推理的基本步骤是关键．在解决具体问题时要结合图形，观察角与角之间的关系，并运用这些关系与性质来解决问题．析规律根据角平分线的性质进行角的运算结合图形和角的平分线的性质判定角的和、差、倍、分的关系，并运用这一关系解决问题，体现了数形结合思想及方程思想．【例6】如图所示，一副三角尺的两个直角顶点O重叠在一起．(1)比较∠AOC与∠BOD的大小，并说明理由．(2)∠AOD与∠BOC的和是多少度？解：(1)∠AOC与∠BOD相等，理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB，∴∠AOC＝∠BOD.(2)∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，∴∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.7.角平分线的性质的综合运用折叠问题是几何中常见的问题，折叠过程中，角的大小不变．解决这类问题时，常与角的平分线，平角、周角的大小的关系，角的和差关系结合起来探求解决问题的思路．析规律折叠问题的解法结合折叠问题画出图形，结合图形，并根据角的和、差、倍、分的关系来寻找未知角与已知角之间的关系，并通过正确的推理求出未知角．【例7】如图，将书页斜折过去，使角的顶点A落在F处，BC为折痕，BD为∠EBF 的平分线，求∠CBD的度数．解：由折叠的性质可知，∠CBF＝∠CBA.由角平分线的性质可知，∠DBF＝∠DBE.∵∠D BF＋∠DBE＋∠CBF＋∠CBA＝180°，∴2∠CBF＋2∠FBD＝180°.∴∠CBD＝90°.8．角的比较与测量的应用比较角的大小有两种常用的方法：一是叠合法；二是度量法．叠合法简单易行，方便操作；度量法需要测量工具，虽然比较精确，但会与标准有差距．角的比较与测量的实际应用比较广泛，主要应用于产品尺寸的质检和测绘等方面，解决这类问题要结合实际问题中的要求采用合适的方法来解决．说方法估测角的大小对要求不高的或精确度不高的也可用估测法：直接通过观察的方法，比较角的大小较为直观，但不够准确，适用于角度差别较大或要求不高的角的大小的比较．利用余角和补角的定义解决实际问题．【例8】在某工厂生产流水线上生产如图所示的零件，其中∠α称为工件的中心角，生产要求∠α的标准角度为30°±1°，一名质检员在检验时，手拿一量角器逐一测量∠α的度数．请你运用你所学的知识分析一下，该名质检员采用的哪种比较方法？你还能给该质检员设计较好的质检方法吗？请说说你的方法．分析：角的比较方法有两种，测量法和叠合法，测量具体，而叠合更直观，在检验中，采用叠合的方法比较快捷．解：该质检员采用的是测量法．还可以使用叠合法，即在工作中找一个角度为31°和一个角度为29°的两个工件，然后可把几个工件夹在这两个工件中间，使顶点和一边重合，观察另一边的情况．。
初中数学沪科版七年级上册第四章4.5角的比较与补角一、选择题1.如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，若∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为()A. 50°B. 60°C. 65°D. 70°2.下列说法中正确的有()=−1；①绝对值相等的两个有理数相等；②若a，b互为相反数，则ab⑧有理数分为正数和负数；④若∠AOC=2∠BOC，则OB是∠AOC的平分线．A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个3.下列条件能说明OC是∠AOB的平分线的是()∠AOB B. ∠AOC=∠BOCA. ∠AOC=12∠AOB D. ∠AOB=2∠BOCC. ∠BOC=124.如图，∠AOC和∠BOD都是直角，∠BOC=60°，则∠AOD=()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，则∠1的度数是()A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°6.如图，OA的方向是北偏东10°，OB的方向是西北方向，若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是()A. 北偏东65°B. 北偏东35°C. 北偏东55°D. 北偏东25°7.下列结论：①互补且相等的两个角都是90°；②同角的余角相等；③若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，∠2，∠3互为余角；④锐角的补角是钝角；⑤锐角的补角比其余角大90°.其中正确的个数为()A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.如果∠α和∠β互补，且∠α<∠β，则下列表示∠α的余角的式子中①90°−∠α；②∠β−90°③12(∠α+∠β)④12(∠β−∠α)其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.时钟在2时40分时，时针与分针所夹的角的度数是()A. 180°B. 170°C. 160°D. 150°10.若∠1=40°，则∠1的余角为()A. 60°B. 50°C. 140°D. 160°二、填空题11.如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．若∠BOD=50°，则∠AOC的度数为______．12.一个角的补角与它的余角的3倍的差是40°，则这个角为______．13.如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上．若∠AOD=150°，则∠BOC=________．14.一个角为28°38’，则它的补角为______.15.已知∠α=55∘，则它的余角等于°；16.已知∠AOB=80°，以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°，则∠AOC的度数为________三、解答题17.如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD=15°，求∠AOB的度数．18.如图所示，OB为正北方向，直线AD，BG，FC相交于点O，且AD与BG相互垂直，OE为南偏东25∘的射线，且OE平分∠FOD，求∠COB的度数．19.如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；(2)如图2，若∠COE=∠DOB，求∠AOC的度数．20.如图，已知∠AOB=150°，∠AOC=40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE．(1)若∠EOB=10°，求∠COF的度数；(2)若∠COF=10°，求∠EOB=_____________；(3)若∠EOB=m°，求∠COF=______________；(用含m的式子表示)(4)若∠COF=n°，求∠EOB=________________.(用含n的式子表示)答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查角与角之间的运算和角平分线的知识点，注意结合图形，发现角与角之间的关系，进而求解，利用角平分线的定义和角与角的和差关系计算即可．【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠COE，∠BOC=∠AOB，∴∠COD=12又∵∠AOB=40°，∠COE=60°，∴∠BOC=40°，∠COD=30°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了有理数、相反数，角平分线的定义及绝对值的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据绝对值、相反数的定义，有理数的分类，角平分线的定义等知识进行判断．【解答】解：①绝对值相等的两个有理数不一定相等，故原说法错误；②若a，b互为相反数，a=b=0，则a没有意义，故原说法错误；b③有理数分为正数、负数和0，故原说法错误；④若∠AOC=2∠BOC，则OB不一定是∠AOC的平分线，故原说法错误．说法中正确的有0个．故选D．3.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】本题考查的是角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．根据角平分线的定义结合图形进行分析，得到答案．【解答】∠AOB，当OC在∠AOB的外部时，OC不是∠AOB平分线，故A错误；解：∠AOC=12∠AOC=∠BOC，OC是∠AOB平分线，故B正确；∠AOB，当OC在∠AOB的外部时，OC不是∠AOB平分线，故C错误；∠BOC=12∠AOB=2∠BOC时，OC不是∠AOB平分线，故D错误；故选：B．4.【答案】B【解析】解：∵∠AOC是直角，∴∠AOD+∠DOC=90°，∵∠BOD是直角，∴∠BOC+∠DOC=90°，∴∠AOD=∠BOC=60°，故选：B．根据同角的余角相等解答．本题考查的是角的计算、余角的概念，掌握角的和差计算、余角的概念是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了角的计算，正确理解∠1=∠BOD+∠EOC−∠BOE是解题的关键．利用正方形的角都是90°，即可求得∠BOD和∠EOC的度数，则∠1=∠BOD+EOC−∠BOE，即可得出结果．【解答】解：∵∠BOD=90°−∠AOB=90°−28°=62°，∠EOC=90°−∠EOF=90°−42°=48°，∵∠1=∠BOD+∠EOC−∠BOE，∴∠1=62°+48°−90°=20°．故选：D．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了方向角，解答此题的关键是结合角的计算求解．首先求得∠AOB的度数，然后求得OC与正北方向的夹角即可判断．【解答】解：∠AOB=45°+10°=55°，则∠AOC=∠AOB=55°，OC与正北方向的夹角是55°+10°=65°．则OC在北偏东65°．故选：A．7.【答案】C【解析】解：①互补且相等的两个角都是90°；故符合题意；②同角的余角相等；故符合题意；③根据补角的定义：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角，得出互为补角是指两个角之间的关系，故本选项错误；④锐角的补角是钝角；故符合题意；⑤锐角的补角比其余角大90°，故符合题意；故选：C．根据对顶角、余角和补角的有关概念，逐一判断．本题考查了余角、对顶角的定义和性质，以及角的计算，掌握这些概念，并熟练应用，是解答这类题目的关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠α和∠β互补，∴∠α+∠β=180°，∴∠α=180°−∠β，12∠α+12∠β=90°于是有：∠α的余角为：90°−∠α，故①正确，∠α的余角为：90°−∠α=90°−(180°−∠β)=∠β−90°，故②正确，∠α的余角为：90°−∠α=12∠α+12∠β−∠α=12∠β−12∠α，故④正确，而12(∠α+∠β)=90°，而∠α不一定是直角，因此③不正确，因此正确的有①②④，故选：C．由∠α和∠β互补，可得∠α+∠β=180°，即：α=180°−∠β，12∠α+12∠β=90°，再用不同的形式表示∠α的余角．考查互为余角、互为补角的意义，利用等式的性质进行变形和整体代入是常用的方法．9.【答案】C【解析】【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到40分钟分针从数字12开始转了240°，时针从数字2开始转了20°，于是2时40分时，时针与分针所夹的角度等于240°−20°−2×30°．本题考查了钟面角．解题的关键是明确钟面角：钟面被分成12大格，每大格30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．【解答】解：2时40分时，分针从数字12开始转了40×6°=240°，时针从数字2开始转了40×0.5°=20°所以2时40分时，时针与分针所夹的角度=240°−20°−2×30°=160°．故选：C．10.【答案】B【解析】【试题解析】【分析】此题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．根据余角的意义：两个角的和为90°，则这两个角互余，由此求得∠1的余角度数即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠1的余角=90°−∠1=90°−40°=50°．故选B．11.【答案】65°【解析】解：∵点O在直线AB上，∴∠AOD+∠BOD=180°，∵∠BOD=50°，∴∠AOD=180°−∠BOD=180°−50°=130°，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC=12∠AOD=12×130°=65°，故答案为：65°．根据邻补角和角平分线的定义得出答案即可．此题考查了角的计算，以及角平分线定义，掌握角平分线的性质是解决问题的关键．12.【答案】65°【解析】【试题解析】【分析】本题考查了余角与补角，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【解答】解：设这个角为x°，则其余角为(90−x)°，补角为(180−x)°，依题意有180−x−3(90−x)=40，解得x=65．故这个角是65°．故答案为：65°．13.【答案】30°【解析】【分析】此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．【解答】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°∴∠BOC=∠AOB+∠COD−∠AOD=90°+90°−150°=30°．故答案为30°．14.【答案】151°22′【解析】【试题解析】解：180°−28°38′=151°22′．故答案为：151°22′．相加等于180°的两角称作互为补角，也作两角互补，即一个角是另一个角的补角．因而，求这个角的补角，就可以用180°减去这个角的度数．本题主要考查余角和补角的知识点，角度的计算注意进制是60．15.【答案】35【解析】【试题解析】【分析】本题考查了余角的概念：和为90度的两个角互为余角.根据互为余角的两个角的和为90度进行计算即可得出答案．【解答】解：根据余角的定义，的余角度数是90°−55°=35°．故答案为35．16.【答案】60°或100°【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查学生对角的计算这一知识点的理解和掌握，此题采用分类讨论的思想．根据∠BOC的位置，当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，两角相加，当∠BOC的一边OC 在∠AOB内部时，两角相减即可．【解答】解：以O为顶点，OB为一边作∠BOC=20°有两种情况：当∠BOC的一边OC在∠AOB外部时，如图：则∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+20°=100°；当∠BOC的一边OC在∠AOB内部时，则∠AOC=∠AOB−∠BOC=80°−20°=60°．故答案是60°或100°．17.【答案】解：设∠AOC=5x，则∠BOC=2x，∠AOB=7x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=12∠AOB=72x，∵∠COD=∠BOD−∠BOC∴15°=72x−2x，解得x=10°，∴∠AOB=7×10°=70°．【解析】先设∠AOC=5x，再根据∠COD=∠BOD−∠BOC，列出关于x的方程进行求解，最后计算∠AOB的度数．本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系列出方程是解决问题的关键，这也是方程思想在求角度的问题中的典型应用．18.【答案】解：由题意知：∠GOE=25°，∴∠EOD=90°−25°=65°，∵OE平分∠FOD，∴∠FOE=∠EOD=65°，∴∠FOG=65°−25°=40°，∴∠COB=∠FOG=40°．【解析】【试题解析】本题主要考查的是角的计算，角的平分线，方向角的有关知识，根据题意求出∠EOD，然后利用角平分线的定义求解即可．19.【答案】解：(1)∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°−∠AOC=180°−40°=140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，∵∠COD是直角，∴∠COE+∠DOE=90°，∴∠DOE=90°−∠COE=90°−70°=20°；(2)∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE，∵∠COE=∠BOD，∴∠COE=∠BOE=∠DOB，∵∠COD=90°，∴∠COE=∠BOE=13×90°=30°，∴∠AOC=180°−30°−30°=120°．【解析】【试题解析】本题考查了角平分线的定义，是基础题，难度不大，掌握各角之间的关系是解题的关键．(1)先求得∠BOC，再根据角平分线的定义得出∠COE，根据余角的性质得出∠DOE的度数；(2)根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOE，于是得到∠COE=∠BOE=∠DOB=30°，然后根据平角的定义即可得到结论．20.【答案】解：(1)∵∠AOB=150°，∠EOB=10°，∴∠AOE=∠AOB−∠EOB=150°−10°=140°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=12×140°=70°，∴∠COF=∠AOF−∠AOC=70°−40°=30°；(2)50°；(3)35°−m°2；(4)70°−2n°.【解析】【试题解析】【分析】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．(1)先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠COF=∠AOF−∠AOC 代入数据计算即可得解；(2)如图1，先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB−∠AOE代入数据计算即可得解；(3)先求出∠AOE，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠COF=∠AOF−∠AOC 计算即可得解；(4)如图1，先求出∠AOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，然后根据∠EOB=∠AOB−∠AOE代入数据计算即可得解．【解答】解：(1)见答案；(2)如图1，a∵∠AOC=40°，∠COF=10°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+10°=50°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠AOF=2×50°=100°，∴∠EOB=∠AOB−∠AOE=150°−100°=50°；故答案为50°；(3)如图1，∵∠AOB=150°，∠EOB=m°，∴∠AOE=∠AOB−∠EOB=150°−m°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=12(150°−m°)，∴∠COF=∠AOF−∠AOC=12(150°−m°)−40°=35°−m°2；故答案为35°−m°2；(4)如图1，∵∠AOC=40°，∠COF=n°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+n°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠AOF=2×(40°+n°)=80°+2n°，∴∠EOB=∠AOB−∠AOE=150°−(80°+2n°)=70°−2n°，故答案为70°−2n°．。
4.5角的比较与补（余）角（一）1、一副三角板有6个角，则最小角的度数是（）A、150B、300C、450D、6002、下列语句正确的是（）A、小于平角的角是锐角；B、大于直角的角是钝角；C、等于900的角是直角；D、大于锐角的角是钝角3、锐角加上锐角的和是（）A、锐角B、直角C、钝角D、以上三种都有可能4、从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的______。
5、如图，并回答问题：（1）∠BAC是_________角∠B是_________角∠C是_________角∠BAD是_________角（2）把∠BAC、∠B、∠C、∠BAD按从小到大的顺序排列_________________。
6、如图，BD是∠ABC的平分线，则（1）∠_________=∠_________（2）∠ABD=12∠_________（3）∠ABC=2∠_________=2∠_________。
7、300=_________平角，600=_________直角，1350=_________周角。
8、如图，∠AOD=1200，∠AOC=900，OC是∠BOD的平分线。
（1）2∠BOC是哪个角？（2）12∠BOD是哪个角？（3）求∠AOB+∠COD的度数。
DCABODCBADA9、如图，BD、CE是∠ABC和∠ACB的平分线，如果∠DBC=∠ECB，那么∠ABC ∠ACB（填“<”、“=”、“>”）10、如图，O是直线AB上一点，OD是∠AOC 的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE= º。
11、如图，OC平分∠BOD，∠AOD=110º，∠COD=35º，则∠AOB= º，∠AOC=____.B CECDBOA OD CBA(第9题图) (第10题图) (第11题图)。
章节测试题1.【题文】如图，已知∠BAE=∠CAF=110°，∠CAE=60°，AD是∠BAF的角平分线，求∠BAD的度数．【答案】80°．【分析】由∠BAE=110°，∠CAE=60°，可得∠BAC=110°﹣60°=50°，结合∠CAF=110°，可得∠BAF=110°+50°=160°，再由AD平分∠BAF即可得∠BAD=80°.【解答】解：∵∠BAE=110°，∠CAE=60°，∴∠BAC=110°﹣60°=50°，又∵∠CAF=110°，∴∠BAF=110°+50°=160°，又∵AD是∠BAF的角平分线，∴∠BAD=∠BAF=×160°=80°．2.【题文】已知：如图，OC是∠AOB的平分线．(1)当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；(2)在(1)的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；(3)当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．(用含α的代数式表示)【答案】 (1) 30°；(2) 120°或60°；(3)90°＋或90°－.【分析】（1）直接由角平分线的意义得出答案即可；（2）分两种情况：OE在OC的上面，OE在OC的下面，利用角的和与差求得答案即可；（3）类比（2）中的答案得出结论即可．【解答】解：（1）∵OC是∠AOB的平分线（已知），∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠AOC=30°．（2）∵OE⊥OC，∴∠EOC=90°，如图1，∠AOE=∠COE+∠COA=90°+30°=120°．如图2，∠AOE=∠COE﹣∠COA=90°﹣30°=60°．（3）∠AOE=90°+α或∠AOE=90°﹣α．3.【题文】如图，OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD为多少度？(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB为多少度？【答案】40°.【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠BOD=∠AOB+∠DOE；（2）根据角平分线的定义易求得∠EOC=2∠COD=60°，所以由图中的角与角间的和差关系可以求得∠AOC=80°，最后由角平分线的定义求解．【解答】解：（1）因为OB为∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，所以∠AOB＝∠BOC，∠DOE＝∠DOC．所以∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝∠AOB＋∠DOE＝40°＋30°＝70°．（2）因为OD是∠COE的平分线，∠COD＝30°，所以∠EOC＝2∠COD＝60°．因为∠AOE＝140°，∠AOC＝∠AOE－∠EOC＝80°．又因为OB为∠AOC的平分线，所以∠AOB＝∠AOC＝40°．4.【题文】如图，点O是直线AB上的一点，∠AOC＝130°，OB平分∠COD，OE平分∠AOD，求∠AOE的度数．【答案】65°.【分析】根据邻补角定义，得到∠BOC的度数，再由角平分线定义，得到∠BOD 的度数，根据周角定义，求出∠AOD的度数，最后由角平分线定义得出结论．【解答】解：因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝180°．因为∠AOC＝130°，所以∠BOC＝50°．因为OB平分∠COD，所以∠COD＝2∠COB＝100°．所以∠AOD＝360°－∠AOC－∠COD＝360°－130°－100°＝130°．因为OE平分∠AOD，所以∠AOE＝∠AOD＝65°．5.【题文】如图，OB是∠AOC的平分线，∠BOC＝30°，∠COD＝40°，求∠AOD的度数．【答案】100°.【分析】由OB是∠AOC的平分线，∠BOC=30°，可求∠AOC=2∠BOC=60°，由∠AOD=∠AOC+∠COD，将∠AOC与∠COD的度数代入即可．【解答】解：因为OB是∠AOC的平分线，∠BOC＝30°，所以∠AOC＝2∠BOC＝60°．因为∠AOD＝∠AOC＋∠COD，∠COD＝40°，所以∠AOD＝60°＋40°＝100°．6.【题文】如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD ＝7∶11．（1）求∠COE的度数；（2）若OF⊥OE，求∠COF的度数．【答案】（1）145°；（2）125°．【分析】（1）首先依据∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°可求得∠AOC、∠AOD的度数，然后可求得∠BOD的度数，依据角平分线的定义可求得∠DOE的度数，最后可求得∠COE的度数；（2）先求得∠FOD的度数，然后依据邻补角的定义求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠AOD=7：11，∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOC=70°，∠AOD=110°，∴∠BOD=70°．∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=35°，∴∠COE=180°﹣35°=145°．（2）∵∠DOE=35°，OF⊥OE，∴∠FOD=55°，∴∠FOC=180°﹣55°=125°．7.【题文】如图，点O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，若∠AOD＝14°，求∠DOE，∠BOE的度数．【答案】90° 76°【分析】利用角平分线和图中角与角的关系计算．【解答】解：因为OD是∠AOC的平分线，∠AOD＝14°，所以∠AOC＝2∠AOD＝2×14°＝28°.因为∠AOB＝180°，OE是∠COB的平分线，所以∠BOE＝∠BOC＝×(180°－∠AOC)＝76°，∠DOE＝∠BOC＋∠AOC＝76°＋14°＝90°.8.【题文】如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的数。
沪科版七年级上册第4章直线与角 4.5角的比较与补(余)角同步测试题1. 已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，∠A，∠B，∠C的大小关系是( )A．∠A＝∠B＜∠C B．∠A＝∠C＞∠BC．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＞∠A＞∠C2．如图，若∠AOB＝∠COD，那么( )A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．∠1与∠2的大小不能确定3. 已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD＝________．4．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD 的度数为( )A．50°B．60°C．65°D．70°5. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A．35°B．55°C．70°D．110°6. 如图所示，OB是∠AOC的平分线，DO平分∠COE，若∠AOE＝128°，求∠BOD的度数．7. 如果α与β互为余角，则( )A．∠α＋∠β＝180°B．∠α－∠β＝180°C．∠α－∠β＝90°D．∠α＋∠β＝90°8．下列说法中：①等角的补角相等；②锐角的补角是钝角；③两个互补的角中一定是一个锐角，一个钝角；④一个锐角的补角比它的余角大90°.其中正确的是( )A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④9．一个角的余角是36°35′，则这个角的度数是____________，它的补角的度数是________________．10．如图，∠DOB是直角，∠COA也是直角，则( )A ．∠1＝∠2B ．∠3＝12(∠1＋∠2) C ．∠1＝∠3D ．∠2＝∠311．如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是( )A ．南偏西60°B ．南偏西30°C ．北偏东60°D ．北偏东30°12．如图，直线AB 和CD 交于点O ，∠AOE ＝90°，OF 平分∠AOE ，∠1＝15°30′，下列结论中不正确的是( )A ．∠2＝45°B ．∠1＝∠3C ．∠AOD 与∠1互为补角D ．∠1的余角等于75°30′13．如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠1的度数比∠2的度数的2倍多10°，则∠1＝________度．14．如图，把长方形的一角折叠，得到折痕EF ，已知∠EFB ＝35°，则∠BFC 的度数为____________.15．若∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示：①90°－12∠β；②∠α－90°；③12(∠α＋∠β)；④12(∠α－∠β)．其中表示∠β的余角的式子是_________．(填序号) 16. 一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．17. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数．18. 如图，点A ，O ，E 在同一条直线上，OB 平分∠AOC ，∠BOC ＋∠COD ＝90°，猜想∠COD 与∠DOE 之间有什么关系？试说明理由．19. 把一副三角尺的直角顶点O 重叠在一起．(1)如图(1)，当OB 平分∠COD 时，则∠AOD 和∠BOC 有何关系？(2)如图(2)，当OB 不平分∠COD 时，上述关系仍成立吗？请说明理由．答案：1. B2. B3. 15°4. D5. C6. 解：∠BOD ＝12∠AOE ＝64° 7. D8. C9. 53°25′ 126°35′10. C11. A12. D13. 370314. 110°15. ②④16. 解：设这个角为x°，则180－x ＝2(90－x)＋40，解得x ＝40，故这个角为40°17. 解：因为∠1＋∠FOC ＋∠2＝180°，所以∠2＝180°－∠1－∠FOC ＝50°，所以∠AOD ＝180°－∠2＝180°－50°＝130°，因为OE 平分∠AOD ，所以∠3＝12∠AOD ＝12×130°＝65° 18. 解：∠COD ＝∠DOE.理由：因为∠AOE ＝180°，∠BOC ＋∠COD ＝90°，所以∠AOB ＋∠DOE ＝∠AOE －(∠BOC ＋∠COD)＝90°，因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠BOC ，所以∠COD ＝∠DOE19. 解：(1)因为OB 平分∠COD ，所以∠BOC ＝∠BOD ＝45°，所以∠AOD ＋∠BOC ＝90°＋45°＋45°＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补 (2)当OB 不平分∠COD 时，设∠COB ＝x ，则∠BOD ＝90°－x ，所以∠AOD ＋∠BOC ＝90°＋(90°－x)＋x ＝180°，即OB 不平分∠COD 时，∠AOD 与∠BOC 仍互补初中数学试卷灿若寒星 制作。
