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第1讲 期望效用函数理论与单期定价模型

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期望效用函数理论

期望效用函数理论
U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) +... + Pnu(xn)
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦 效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。
受到挑战
EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受 到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解 释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好 的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论 中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。
该理论是将个体和群体合而为一的。阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中， 成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内 的宏伟而又优美的理论大厦。
函数简介
如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随 机变量给他的效用便是：
期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则 你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) > u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要 选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。

投资决策中的期望效用理论研究

投资决策中的期望效用理论研究

投资决策中的期望效用理论研究投资决策一直是一个冒险与机会并存的领域。

在这个领域中，投资者需要权衡风险与收益，并做出最佳的决策。

为了更好地理解投资决策的过程，许多经济学家研究了不同的理论和模型。

其中，期望效用理论是一个被广泛接受和运用的模型。

期望效用理论的核心概念是投资者行为受到其对收益和风险的主观看法影响。

研究者认为，投资者在进行决策时，并不仅仅考虑他们预期获得的收益，还考虑与之相关的风险。

期望效用理论通过引入效用函数来解释投资者决策的动机，把收益和风险量化为一个统一的度量。

利用期望效用理论，投资者可以比较不同投资选择的效用价值。

效用是一个主观的概念，每个人对相同收益和风险的看法可能不同。

在期望效用理论中，效用函数通常被假设为一个随收益增加而递减的曲线。

这意味着收益增加对投资者的效用提升较小。

同样，风险会以不同的方式影响投资者的效用。

相同的风险可能对不同的投资者产生不同的影响。

然而，期望效用理论并不是没有争议的。

一些经济学家提出了一些批评，主要涉及其基本假设的合理性。

例如，期望效用理论假设投资者是理性的，可以准确地评估和量化收益和风险。

然而，在现实世界中，投资者面临信息不完全和不确定性的困难。

这些困难可能导致他们对收益和风险的预期产生偏差。

为了解决这些问题，一些学者提出了修正的期望效用理论。

其中，最著名的是基于前景理论的模型。

前景理论认为，投资者更关注损失而不是收益，并且对损失的敏感度高于对同等大小收益的反应。

这种倾向被称为“损失厌恶”。

基于前景理论的模型提供了一种更全面和更真实的解释，以更好地解释投资者的行为。

除了期望效用理论和前景理论之外，还有其他一些理论和模型，用于研究投资决策的心理和行为因素。

例如，行为金融学研究了人们在投资决策中的偏见和错误行为，从而影响了他们的决策。

这些理论和模型为投资决策的研究提供了更广阔的视角，使我们能够更好地理解投资者的行为和决策过程。

综上所述，投资决策中的期望效用理论是一个重要而受欢迎的研究领域。

风险中性定价理论中的期望效用函数研究

风险中性定价理论中的期望效用函数研究

风险中性定价理论中的期望效用函数研究在金融领域，风险中性定价理论是一种重要的定价模型，通过衡量投资者的偏好和预期，来确定金融资产的合理价格。

在这个理论中，期望效用函数是一个关键的概念，它用于描述投资者在不确定条件下做出决策时所追求的效用最大化原则。

1. 期望效用函数的基本概念和性质期望效用函数是描述投资者偏好的一种数学工具，它把投资者对于资产收益的期望和风险的偏好程度进行了量化。

该函数通常表示为U(W)，其中W表示财富水平，U(W)表示投资者对于这个财富水平所获得的效用。

期望效用函数是从财富到效用的映射关系，而财富又是从资产收益到财富的映射关系，因此期望效用函数可以用于描述投资者对于资产收益的偏好。

期望效用函数具有以下几个基本性质：(1) 非线性性质：期望效用函数一般是非线性的，并且通常是递增但递减边际效益。

这意味着随着财富的增加，投资者对于每增加的单位财富的效用递减。

(2) 风险厌恶性质：期望效用函数体现了投资者的风险厌恶性质，即对于相同的期望收益，投资者倾向于选择风险较小的投资策略。

这体现了投资者对于风险的厌恶程度。

(3) 增量效用递减性：期望效用函数具有增量效用递减性，即对于相同的财富增加，其效用的增加逐渐减少。

这意味着投资者对于财富增加的效用增加程度逐渐变小。

(4) 风险规避程度的度量：期望效用函数的斜率可以用来度量投资者对风险的规避程度。

斜率越大，表示投资者对风险的规避程度越高。

2. 期望效用函数在风险中性定价理论中的应用风险中性定价理论是基于投资者风险厌恶性质的假设建立的，而期望效用函数则是衡量投资者风险厌恶程度的一种工具。

在风险中性定价理论中，期望效用函数被用来确定金融资产的合理价格。

在传统的资产定价模型中，投资者通常是理性且风险厌恶的，他们的决策依据是最大化期望效用。

在这种情况下，通过将投资者的效用函数与风险资产的概率分布函数相结合，可以推导出资产的期望回报率和风险溢价。

这些结果可以用来估计资产的合理价格和投资者对于不同资产的需求。

金融经济学整理

金融经济学整理

金融经济学名词解释自然状态：特定的会影响个体行为的全部外部环境因素。

自然状态的信念：个体会对每一种状态的出现给予一个主观的推断，即某一特定状态s出现的概率P。

期望效用原则：人们在投资决策时不是用“钱的数学期望〞来作为决策准则，而是用“道德期望〞来行动的。

而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。

即人们关怀的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用〔货币的边际效用〕是递减的。

效用函数的定义：不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。

公平博彩：指不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为ε，期望收益为E(ε)=0，我们就称其为公平博彩。

效用函数的凸凹性的局部性质：经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局部性质。

即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌恶者，在另一种情况下是风险偏好者。

效用函数是几个不同的局部组成。

在人们财富较少时，局部投资者是风险厌恶的；随着财富的增加，投资者对风险有些漠不关怀；而在较高财富水平阶段，投资者则显示出风险偏好。

确定性等价值：是指经济行为主体对于某一博彩行为的支付意愿。

即与某一博彩行为的期望效用所对应的数学期望值〔财富价值〕。

风险溢价：是指风险厌恶者为防止承当风险而情愿放弃的投资收益。

或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的风险补偿。

阿罗-普拉特定理：对于递减绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，其对风险资产的投资逐渐增加，即他视风险资产为正常品；对于递增绝对风险厌恶的经济主体，随着初始财富的增加，他对风险资产的投资减少，即他视风险资产为劣等品；对于常数绝对风险厌恶的经济行为主体，他对风险资产的需求与其初始财富的变化无关。

相对风险厌恶的性质定理：对于递增相对风险厌恶的经济主体，其风险资产的财富需求弹性小于1〔即随着财富的增加，投资于风险资产的财富相对于总财富增加的比例下降〕；对于递减相对风险厌恶的经济行为主体，风险资产的财富需求弹性大于1；对于常数风险厌恶的经济行为主体，风险资产的需求弹性等于1。

效用函数理论下的期权定价

效用函数理论下的期权定价

ＩＮＴＥＬＬＩＧＥＮＣＥ实践与探索效用函数理论下的期权定价南京财经大学应用数学系杨靖三１、引言完全信息下的经济学都假设投资者知道资产的期望均值和波动率。

但是实际情况并非如此。

在现实中，资产的期望均值我们并不知道，投资者只能根据历史数据去估计。

因此投资者所拥有的信息和个人偏好，对资产定价有很大影响。

在完全信息条件下进行定价的时候，我们通常是以无风险银行利率作为标准进行资产定价和期望折现的。

本文我们将讨论一种建立在期望生命期效用基础上的定价理论。

ＡｌｅｘａｎｄｒｅＺｉｅｇｌｅｒ在文献［１］中，通过建立代理经济人模型说明了代理人的信息质量和个人风险偏好是如何影响期望效用的。

本文先介绍一般的效用函数理论，然后在对数效用函数和幂效用函数理论下讨论期望生命期效用，给出资产的均衡价格以及建立在效用理论上的无风险折现因子，从而推导出欧式期权的均衡价格公式。

２、建立模型我们考虑一个企业，该企业只有一种产品，企业完全由股本融资，这里我们只考虑一个有代表性的股东。

企业在时刻以比率支付红利给股东。

假设红利过程：ｄｘｔ＝ｕｘｔｄｔ＋!ｘｔｄＢｔ（１）其中是期望红利的瞬时增长率，假设是一个常数，随着时间的推移代理人不断的改进它的取值。

!是红利过程的瞬时波动率，这里假设参数!是已知的。

Ｂｔ是标准布朗运动，它定义在由红利ｘｓ（ｓ!ｔ）生成的带!流的概率空间上（!，Ｆｘｔ，Ｐ），其中Ｆｘｔ＝!（ｘｓ，ｓ!ｔ）。

然而代理人并不知道真正的均值ｕ，必须根据过去的数据去估计它，我们假设在初始时刻ｔ＝０，代理人具有关于ｕ的先验信息：ｕ是一个均值为ｍ０，方差为ｖ０＝Ｅ［ｍ０－ｕ］２的正态分布变量。

除此之外没有关于ｕ的另外的先验信息了。

他的信息集就是Ｆｘｔ＝!（ｘｓ，ｓ!ｔ）。

当新的红利信息到达后，代理人会更新关于红利平均增长率ｕ的估计ｍｔ，ｍｔ满足ｄｍｔ＝ｖｔ!ｄＢｔ（２）其中ｄＢｔ＝ｄＢｔ＋ｕ－ｍｔ!ｄｔ（３）即ｍｔ是均值回复的，这个假设符合经济实际。

第一章 期望效用函数理论

第一章 期望效用函数理论
，称投资者为风险爱好型。
ECJTU xu long
1.3.2马科维茨风险溢价
( ) 设Θ w0, h 满足下列条件
( ( )) V w0 − Θ w0, h = pV (w0 + h1 ) + (1－p)V (w0 + h2 )
更一般地，V ⎡⎣E (w) − Θ(w)⎤⎦ = E ⎡⎣V (w)⎤⎦
R(x)
=
−
V ′′( x) x V′(x)
=1
ECJTU xu long
ECJTU xu long
1.1.2字典序
{ } 设在凸集B2 = ( x, y) x ∈[0,∞), y ∈[0,∞) 中，
若( x1, y1 ) ∈ B2，( x2 , y2 ) ∈ B2，如果x1 > x2或x1 = x2， y1≥y2，则定义 ( x1, y1 ) ≥ ( x2 , y2 )。
（1）返身性：任意P ∈ B，有P ≥ P；
（2）可比较性：任意P,Q ∈ B，则P ≥ Q或Q ≥ P；
（3）传递性：任意P1, P2 , P3 ∈ B， 如果P1 ≥ P2，P2 ≥ P3，则P1 ≥ P3；
性质1：对任意P,Q ∈ B，设P Q,α , β ∈[0,1]，则
⎡⎣α P ⊕ (1－α )Q⎤⎦ ⎡⎣β P ⊕ (1－β )Q⎤⎦的充要条件α > β
资本资产定价的原理 与模型
ECJTU xu long
第一章 期望效用函数理论
1.1 序数效用函数 1.1.1 偏好关系
设B是n维欧氏空间R n中的凸集，在B中引入 一个二元关系记为“ ≥ ”，如果它具有 （1）反身性：若x ∈ B，则x ≥ x； （2）可比较性：若x，y ∈ B，则x ≥ y或y ≥ x； （3）传递性：若x，y，z ∈ B，则x ≥ y，y ≥ z，则x ≥ z。

数理金融(资产定价的原理与模型)


PV
Cn C1 C2 1 r 1 r 2 1 r n
2.1.4 年金
1.普通年金的终值 2.年金的现值 3.永续年金
2.2债券及其期限结构
2.2.1债券的定义和要素 1.面值 2.期限 3.附息债券与票面利率 4.付息频率 5.分期偿还特征 6附加选择权 2.2.2债券的风险 1.利率风险 2.违约风险
2.2债券及其期限结构
1.2 期望效用函数
1.2.1 彩票（lottery）及其运算 1.2.2 彩票集合上的偏好关系 1.2.3 基数效用函数存在定理
定理 1.2 (基数效用函数存在定理) 设 B 具有性质 1—性质 3 的偏好关系” ” 则存在效用函数 U : B R 满足: (1) (2) (3)
~
P Q 当且仅当 U ( x) U ( y) P ～ Q 当且仅当 U ( x) U ( y)
任意最小方差投资组合都可以唯一的表示为全局最小方差投资组合33具有无风险资产的均值方差分析331具有无风险资产的有效投资组合本节假定市场存在n种风险资产无风险资产的收益率是一常数设为是投资于无风险资产的权系数表示投资于种资产的投资组合的期望收益则若投资者投资于无风险资产的权系数为正则表示储蓄若权系数为负表示借贷为购买风险资产筹集资金此时最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题332具有无风险资产的均值方差分析333两基金分离定理334切点组合的含义335具有无风险资产情况下的超额收益率定义33资产称为资产组合的超额收益率将3312a写成分量形式就得到下面的定理定理32当市场存在无风险利率时任意资产的超额收益率可以用如下公式表示336市场仅存在风险资产情况下的超额收益率定理33
1.5.2 一阶随机占优

《期望效用函数》PPT课件

E () 0 ， E (2 ) 为 的 方 差 ， 略 去 高 阶 , 得 :
u(w0)Ru' (w0) u(w0)Var2hu'' (w0)
RVarh
2
u''(w0) u'(w0)
也就是：
Varh
R
Rw
2
保险费与风险规避程度和风险的大小成正比。
例子：保险费与风险大小的关系
设消费者的初始财富w0。 赌局1：50%的概率赢或输h。其期望效用为：
风险规避的度量精选ppt不确定性和风险是一个不同的概念奈特在风险不确定和利润1916第一次区分了经济活动中不确定性与风险风险是可以计算出客观概率的情况不确定性是不可以计算出客观概率的情况
《期望效用函数》PPT课件
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E [uh(w )]1u(wh)1u(wh)
2
2
赌局2：50%的概率赢或输2h。其期望效用为：
E [u2h(w )]1u(w 2 h)1u(w 2 h)
2
2
赌局3：50%的概率赢或输3h。其期望效用为：
E [u3h(w )]1u(w 3 h )1u(w 3 h )
2
2
由效用函数的凹性可知：
E[uh(w )]E[u2h(w )]E[u3h(w )]
u(E(g))Eu(g) u(E(g))Eu(g) u(E(g))Eu(g)
风险规避
风险中立
风险偏好
u( )为凹函数
u()为线性函数 u( )为凸函数
期望效用函数在决策中的应用
风险规避的消费者会购买都多少保险？
例8：公平的保险价格与理性的保险购买量 （P65）

金融市场的效用理论与投资决策

金融市场的效用理论与投资决策金融市场是现代经济体系中的关键组成部分，为个人和企业提供了进行投资和融资活动的平台。

在金融市场中，投资者根据效用理论进行投资决策，以追求最大化的满足感和效用。

本文将探讨金融市场的效用理论以及其对投资决策的影响。

一、效用理论的基本原理效用理论是经济学中的重要理论之一，它认为人们在做出决策时会追求最大化的满足感。

根据效用理论，人们对不同的物品或资源有不同的偏好，并对其给予不同的效用值。

投资者在金融市场中所做的投资决策也是基于对投资回报的效用评估。

二、效用理论在金融市场中的应用1. 期望效用理论期望效用理论是效用理论的一种重要应用，它关注的是投资者对不确定性投资回报的评估。

根据期望效用理论，投资者会根据期望回报和风险程度做出投资决策。

他们会权衡不同的投资选择，选择那些能够提供最高期望效用的投资组合。

2. 市场有效性理论市场有效性理论是效用理论在金融市场中的另一个重要应用。

它认为金融市场是有效的，即所有可得信息都已被充分利用，市场上的股票价格反映了所有可获得的信息。

根据市场有效性理论，投资者应该基于当前可得的信息做出投资决策，而不需要关注过去的信息或者未来的预测。

3. 资本资产定价模型资本资产定价模型是效用理论在金融市场中的另一个典型应用。

它通过建立资产组合与市场组合之间的关系来评估资产的价格。

投资者可以通过资本资产定价模型来判断一个资产是否被低估或高估，并做出相应的投资决策。

三、效用理论对投资决策的影响效用理论对投资决策有着重要的影响。

首先，投资者可以通过效用理论来评估不同投资组合的风险和回报，并选择最优的投资组合。

其次，根据效用理论，投资者会根据自身的风险承受能力做出投资决策。

相对风险厌恶的投资者会更加偏好低风险的投资选择，而相对风险喜好的投资者则可能选择高风险高回报的投资。

在实际投资决策中，投资者也可以根据效用理论来进行资产配置和风险控制。

通过理性的分析和决策，投资者可以最大化自己的满足感和效用。

金融小知识

金融小知识
1.预期效用理论的概念预期效用理论亦称期望效用函数理论，是20世纪50年代冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立的不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。

2.期望效用函数如果某个随机变量x以概率Pi取值Xi(i=1，2，…，n)，并且某人在取得Xi时的效用为u(Xi)，那么，该随机变量给其的效用可以用下面的公式表示为:
U(X)=E[u(X)]=P1u(x1)+P2u(x2)+…+Pnu(xn)
其中，E[u(X)]表示关于随机变量x的期望效用。

2、认知过程的偏差
现代认知心理学的基本观点：把人看成信息传递器和信息加工系统，它研究人的高级心理过程，主要是认知过程，如注意、感觉、知觉、表象、记忆、思维和语言等。

它认为：人类是“认知吝啬鬼”，即人们总是在竭力节省认知能量，这是人类的认知本能。

考虑到我们有限的信息加工能力，我们总是试图采用把复杂问题简化的战略。

我们常用以下几种方式实现这个目标：
（1）通过忽略一部分信息以减少我们的认知负担；
（2）过度使用某些信息以避免寻找更多的信息；
（3）接受一个不尽完美的选择，并认为这已经足够好。

认知吝啬鬼战略有时可能是有效的，因为这样做可以很好地利用有限的认知资源来加工几乎无穷无尽的信息。

但在我们匆忙中忽略了重要信息、或选择时出现错误的情况下，这种战略也会产生错误和偏差。

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β (x1, y1 ) + (1 − β )(x2 , y2 ) = (βx1 + (1 − β )x2 , βy1 + (1 − β )y2 ) = (β (x1 − x2 ) + x2 , β (y1 − y2 ) + y2 )
若 α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 ) β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
1.1 序数效用函数
期望效用函数是基数效用函数，为研究基数效用函数，我们首先介绍序数效用函数，所
谓序数效用函数，只要求效用函数值与偏好关系一致，即如果消费者认为商品 x比商品 y 更
受偏好，我们定义的序数效用函数，就要求 x 的效用函数值比 y 的效用函数值大。 假设商品选择 B 是 n 维欧式空间 R n 中的凸集。我们首先引入偏好关系感念。
如 果 x1 = x3 ， 此 时
x1 = x2 = x3 因为 ( x1, y 1 ) ( x2 , y2 ) 所以， y1 ≥ y2 又 ( x2 , y2 ) ( x3 , y3 ) ，所以，
y2 ≥ y3 于是 y1 ≥ y3 ，于是 ( x1, y 1 ) ( x3 , y3 ) ，即传递性成立。
如果 x1 = x2 ， y1 < y2 ，则 ( x2 , y2 ) ( x1, y 1 ) ，即可比较性成立。
③ 设 ( x1, y 1 ) ， ( x2 , y2 ) ， ( x3 , y3 ) ∈ B2 若 ( x1, y 1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y3 ) 显 然
x1 ≥ x3 ， 如 果 x1 > x3 按 定 义 ， ( x1, y 1 ) ( x3 , y3 )
第 1 章 期望效用函数及风险度量
众所周知，在经济学中，效用函数是偏好的定量描述，投资人决策的依据。金融学是不 确定性的环境中进行决策，金融资产的价格和收益都是随机变量，我们如何确定它的效用， 是必须解决的重要问题。
期望效用函数理论是 von-Nenmann 和 Morgenstren 创立的。期望效用函数是对不确定性 的环境中，对于各种可能出现的结果，定义效用函数值，即 von-Nenmann and Morgenstren 效用函数，然后将此效用函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首先介绍期望效用 函数理论。然后在此基础上研究投资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价模型。
则必有α > β ，因为，若α = β ，必有
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 )～β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
3
若α < β ，则由于 x1 ≥ x2 ，则有
α x1 + (1−α ) x2 = α ( x1 − x2 ) + x2 ≤ β ( x1 − x2 ) + x2 α y1 + (1− α ) y2 = α ( y1 − y2 ) + y2 ≤ β ( y1 − y2 ) + y2
时我们定义U (x) = α
这样，我们完成了效用函数的构造性定义。
5
1. 首先证明 x y 当且仅当U (x) > U ( y)
必要性 设 x y
①如果 x～x* y y* ，此时 U (x) =1，由于 x* y y* ，则存在唯一 α ∈ (0,1) 使 y～α x* + (1 − α ) y* ，按定义，U ( y) =α < 1， 所以U (x) > U ( y)
由于α 2 < 1，由性质保序性， x y 。
② 当U (x) =1，U ( y) =0 时，按定义 x～x* y*～y ，故 x y 。
③ 若U (x) =α 1 ∈ (0,1) ，U ( y) =0 此时
y～y* = 0x* + (1 − 0) y* ， x～α1x* + (1 − α1 ) y* ，由于α 1 >0，所以 x y 。
下面验证上述的二元关系是一偏好的关系：
①若 ( x , y ) ∈ B2 ，因为 x = x , y = y ,按定义 ( x , y ) ( x , y ) ，即反身性成立。
②若 ( x1, y1 ) ， ( x2 , y2 ) ∈ B2 如果 x1 > x2 ，按定义， (x1, y1 ) (x2 , y2 ) 反之 ，如果 x1 < x2 ，则 ( x2 , y2 ) ( x1, y 1 ) ( ) 如果 x1 = x2 ， y1 > y2 按定义则 x1, y1 (x2 , y2 )
1.1.3 效用函数
设 B 是具有偏好关系“ ”的选择集， U : B → R+ 的单值函数，如果 x, y ∈ B ， U (x) ≥ U ( y) 当且仅当 x y ，则称U 为效用函数。
这里 R+ 是全体非负实数构成的集合。显然，效用函数是偏好关系的一个定量描述，效
用函数数值的大小与偏好关系相一致，这样我们就可以按函数的大小最为选择的依据。为了
我们称“ ”是一个偏好关系。
上述的二元关系我们可以如下理解，若 x, y ∈ B ，x y 我们认为 x 比 y 好，或者 x 不 比 y 差。若 x y 与 y x 同时成立，则 x 和 y 偏好无差异，记为 x ～ y 。若 x y 但 y x 不成立，则 x 严格地比 y 好，记为 x y 。
1.1.1 偏好关系 设 B 是 n 维欧氏空间 R n 中的凸集，在 B 中引入一个二元关系记为“ ”，如果它具有
（1）（反身性） 若 x ∈ B ，则 x x
（2）（可比较性） 若 x, y ∈ B ，则 x y 或者 y x ；
(3)（传递性） 若 x, y, z ∈ B ，如果 x y ， y z 则 x z 。
当 x* x y～y* ，此时，按定义U ( y) =0，由于 x* z1 y* ，则存在唯一α ∈ (0,1) 使α x* + (1− α ) y*～x ，此时U (z1 ) =α > 0，即U (x) >U ( y) 成立。
②如果 x* x y y* ，则存在α 1 ，α 2 ，使
α1x* + (1− α1 ) y*～x ，按定义U (x) =α 1 ， α2 x* + (1− α2 ) y*～y ，按定义U ( y) =α 2 ，
所以
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 )≺β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
矛盾，故必有α > β 。 充分性 设α > β 。 根据字典序的定义，可能有如下两种情况， x1 > x2 ，或 x1 = x2 y1 > y2 分别证明如下
（1）若 x1 > x2 ，则α(x1 − x2 ) + x2 > β (x1 − x2 ) + x2 结论成立。
（2）若 x1 = x2 ， y1 > y2 ，
则 α(x1 − x2 ) + x2 = β (x1 − x2 ) + x2 ， α(y1 − y2 ) + y2 > β (y1 − y2 ) + y2
所以
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 ) β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
=[α x1 + (1 − α ) x2 ,α y1 + (1 − α ) y3 ]
4
因为 0 < α < 1， x1 > x2 ，有
αx1 + (1 − α )x2 = α(x1 − x2 ) + x2 > x2 所以α ( x1, y1 ) + (1−α )( x3, y3 ) ( x2, y2 ) ，因此不存在α ∈ (0,1)使得
在具有偏好关系的商品选择集 B 上定义与偏好关系一致的效用函数，需要 B 上的偏好关系
2
具有如下 3 条性质
1.1.4 偏好关系的三条重要性质
性质 1（序保持性） 对任意 x, y ∈ B ， x y ，及α, β ∈ [0,1]， [αx + (1−α )y] [βx + (1− β )y]
当且仅当α > β 。
由性质 1，由于 x y ，必有α 1 > α 2 ，故U (x) >U ( y)
充分性 假设已知 x, y ∈ B ，且U (x) > U ( y) ，往证 x y 。
①
若U (x) = 1，U ( y) = α 2 ∈ (0,1) 此时 x～1x* + (1 −1) y* ，y～α2 x* + (1 − α2 ) y* ，
④ 若 1 > U (x) > U ( y) > 0 ， 此 时 令 α1 = U (x) ， α 2 = U ( y) ， 由 U 的 定 义 ，
x～α1x* + (1− α1 ) y* ， y～α2 x* + (1 − α2 ) y* ，因为α 1 = U (x) > U ( y) =α 2 ，由性质 1，
1
1.1.2 字典序
我们给出一个偏好关系的例子，设选择集
B2 = {(x, y) x ∈ [0,∞), y ∈ [0,∞)}
容易验证 B2 是 R2 中的凸集，在 B2 上，定义二元关系 如下：
若 (x1, y1 )∈ B2 ， (x2 , y2 )∈ B2 ， 如 果 x1 > x2 ， 或 者 x1 = x2 ， y1 ≥ y2 ， 定 义 (x1, y1 ) (x2 , y2 ) 。
字典序具有性质 1 但不具有性质 2 证明：首先证明字典序具有性质 1
必要性 若 (x1, y1 )∈ B2 ， (x2 , y2 )∈ B2 ， (x1, y1 ) (x2 , y2 )，α, β ∈ (0,1)，则根据向