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第五章带电粒子的动力学方程

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等效法处理带电粒子在电场和重力场中的运动

等效法处理带电粒子在电场和重力场中的运动

度垂直时，速度最小.设F合与竖直方向夹角为θ，
则 tan θ＝mEqg＝43，则 θ＝37°，故 F 合＝sinE3q7°＝54mg.
设此时的速度为 v，由于合力恰好提供小球圆周运动的向心力，
由牛顿第二定律得：5m4 g＝mvR2
解得 v＝
5gR 4
从A点到该点由动能定理：
－mgR(1＋cos 37°)－3m4gR(13＋sin 37°)＝12mv2－12mv02 解得 v0＝25 gR
答案
3 4h
解析 剪断细线，小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做加速度为a的
匀加速运动，
由Eq＝ma x＝12at2 h＝12gt2 联立解得：x＝43h
(3)现将细线剪断，带电小球落地前瞬间的动能.
答案
25 16mgh
解析 从剪断细线到落地瞬间，由动能定理得：Ek＝mgh＋qEx＝2156mgh.
最高点
mg
重力场 竖直面内
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上 mg=FN qE为等效重力 qE=mv2/R
E 最高点
最低点 重力场、电场 光滑地面上
题型二 用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动能力考点 师生共研
1.等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图3所示，则F合为等效重力场中
专题解读
1.本专题主要讲解带电粒子(带电体)在电场中运动时动力学和能量观点的综合 运用，高考常以计算题出现.
2.学好本专题，可以加深对动力学和能量知识的理解，能灵活应用受力分析、 运动分析(特别是平抛运动、圆周运动等曲线运动)的方法与技巧，熟练应用 能量观点解题.
3.用到的知识：受力分析、运动分析、能量观点.
题型三 电场中的力电综合问题

高中物理竞赛带电粒子在电磁场中的运动知识点讲解

高中物理竞赛带电粒子在电磁场中的运动知识点讲解

高中物理竞赛带电粒子在电磁场中的运动知识点讲解要点讲解学习这部分知识，首先要清楚重力场、电场和磁场对带电粒子的作用的性质，以及重力场、电场和磁场对带电粒子作用力的区别：只要带电粒子处于重力场中，就一定会受到重力，而且带电粒子所受重力一定是恒力；只要带电粒子处于电场中，就一定分受到电场力，而且，如果电场是匀强电场，那么带电粒子所受电场力一定是恒力；在磁场中，只有带电粒子运动才可能受到洛仑兹力作用，只有带电粒子的运动方向不与磁场方向平行，带电粒子才一定受到洛仑兹力作用。

同时，要注意，洛仑兹力的方向与带电粒子的运动方向垂直，这就意味着，作曲线运动的带电粒子所受的洛仑兹力是变力。

重力、电场力对带电粒子作功；而洛仑兹力对带电粒不作功。

因此，在很多情况下，需要从能量变化的角度考虑问题。

【例题分析】例1．用轻质绝缘细线把带负电的小球悬挂在O点，在没有磁场时，小球在竖直平面内AB之间来回摆动，当小球经过悬点正下方时悬线对小球的拉力为。

现在小球摆动的空间加上方向垂直纸面向外的磁场，如图11-4-1所示，此时小球仍AB之间来回摆动，用表示小球从A向B摆经过悬点正下方时悬线的拉力，用表示小球从B向A 摆经过悬点正下时悬线的拉力。

则（A）（B）（C）（D）分析：带电小球在最低点的受力情况，由于小球做圆周运动，根据牛顿运动定律便可求解。

解：在没有磁场时，小球在悬点正下方时受两个力：拉力和重力mg。

根据牛顿第二定律，有式中V为小球过悬点正下方时的速率，L为摆长，所以小球摆动区加了如图11-4-1示的磁场后，小球摆动的过程中还受洛仑兹力的作用，因洛仑兹力方向和小球运动方向垂直，不改变小球到达悬点正下方的速率V，但小球在悬点正下方时除受悬线拉力和重力外还受洛仑兹力f.当小球由A向B摆动时，f的方向左手定则判断是沿悬线向下，根据牛顿第二定律，小球在悬点正下方时有得当球从B向A摆动经悬点正下方时，洛仑兹力的方向是沿悬线向上，根据牛顿第二定律可得结果是因此（B）选项是正确的。

现代电化学-第5章电极反应动力学

现代电化学-第5章电极反应动力学
1.描述平衡状态下的动力学特征
i i i0
F K c O e x p n RF 平 T F K c R e xF R p平 T
∴ 平＝RFTlnK KRFTlnccO R
平＝0,
RTlncO nF cR
22
2. 用 i 0 表示电化学反应速度
i i0 exp F
设：电化学反应步骤为控制步骤，此时
cis ci0
传质处于准平衡态
由 根化 据F学ra动rd力a学y定知律：得： vkcexpRGT
i nFkcOexpRGT i nFkcRexpRGT 15
将 GG0nF 代入，得：
GG0nF
inkc F O e x p G 0R nT F nK F cO e x p R nF T
• i0 ic id：
只出现电化学极化 ，此时：
c
RT
F
ln
ic i0
46
• ic id i0：
接近于完全浓差极化的情况 ，动力学规 律无法由混合公式得出，需按浓差极化 公式分析。
• ic id i0： 既接近于完全浓差极化又存在电化学极 化，混合公式任何一项均不可忽略。
47
混合控制下的极化曲线
改变1 V 改变 G 50 KJ mol-1,
对于1
nm的电化学界面，109
Vm-1 40
(4) i0与电极动力学性质的关系
极化 性能
i00 i0 小 i0 大 i0 理想 容易 难 不能
可逆 完成全
程度 不行
小
大
完全 可以
2 .3R 03 T 2 .3R 03 T
c zFlg i0 zFl41g ic
Tafel曲线
c2.3 zR 0 Fl3 Tg i02.3 zR 0 Fl3 Tg ic 42

带电粒子在电磁场中的运动(教案)

带电粒子在电磁场中的运动(教案)

带电粒子在电磁场中的运动一、教学目标：1. 让学生了解带电粒子在电磁场中的运动规律。

2. 让学生掌握带电粒子在电磁场中的动力学方程。

3. 培养学生运用物理知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 带电粒子在电场中的运动2. 带电粒子在磁场中的运动3. 带电粒子在电磁场中的运动方程4. 带电粒子在电磁场中的轨迹5. 带电粒子在电磁场中的加速和减速三、教学重点与难点：1. 教学重点：带电粒子在电磁场中的运动规律，动力学方程的运用。

2. 教学难点：带电粒子在电磁场中的轨迹计算，加速和减速过程的分析。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解带电粒子在电磁场中的运动规律和动力学方程。

2. 采用案例分析法，分析带电粒子在电磁场中的轨迹和加速减速过程。

3. 采用讨论法，引导学生探讨带电粒子在电磁场中的运动特点。

五、教学过程：1. 导入：通过展示带电粒子在电磁场中的实验现象，引发学生对带电粒子在电磁场中运动规律的兴趣。

2. 新课：讲解带电粒子在电场中的运动规律，带电粒子在磁场中的运动规律，带电粒子在电磁场中的动力学方程。

3. 案例分析：分析带电粒子在电磁场中的轨迹，如圆周运动、螺旋运动等。

4. 课堂讨论：引导学生探讨带电粒子在电磁场中的加速减速过程，以及影响加速减速的因素。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对带电粒子在电磁场中运动规律的理解程度。

2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对动力学方程和轨迹计算的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在讨论中的参与程度，以及对加速减速过程的理解。

七、教学拓展：1. 带电粒子在电磁场中的辐射：介绍带电粒子在电磁场中运动时产生的辐射现象，如电磁辐射、Cherenkov 辐射等。

2. 应用领域：探讨带电粒子在电磁场中运动在现实中的应用，如粒子加速器、电磁轨道等。

八、教学资源：1. 实验视频：展示带电粒子在电磁场中的实验现象，增强学生对运动规律的理解。

带电粒子在电场中的加速和偏转的运动

带电粒子在电场中的加速和偏转的运动

带电粒子在电场中的加速和偏转的运动资料1．带电粒子的加速(1)动力学分析：带电粒子沿与电场线平行方向进入电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做加(减)速直线运动，如果是匀强电场，则做匀加(减)速运动．(2)功能关系分析：粒子只受电场力作用，动能变化量等于电势能的变化量． 221qU mv =(初速度为零)；2022121qU mv mv -= 此式适用于一切电场． 2．带电粒子的偏转(1)动力学分析：带电粒子以速度v 0垂直于电场线方向飞入两带电平行板产生的匀强电场中，受到恒定的与初速度方向成900角的电场力作用而做匀变速曲线运动 (类平抛运动)．(2)运动的分析方法(看成类平抛运动)：①沿初速度方向做速度为v 0的匀速直线运动．②沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动．例1如图1—8—1所示，两板间电势差为U ，相距为d ，板长为L ．—正离子q 以平行于极板的速度v 0射入电场中，在电场中受到电场力而发生偏转，则电荷的偏转距离y 和偏转角θ为多少?解析：电荷在竖直方向做匀加速直线运动，受到的力F ＝Eq ＝Uq/d由牛顿第二定律，加速度a = F/m = Uq/md水平方向做匀速运动，由L = v 0t 得t = L/ v 0由运动学公式221at s =可得： U dmv qL L md Uq y 202202)v (21=⋅= 带电离子在离开电场时，竖直方向的分速度：v ⊥dmv qUL at 0== 离子离开偏转电场时的偏转角度θ可由下式确定：d mv qUL v v 200Ítan ==θ 电荷射出电场时的速度的反向延长线交两板中心水平线上的位置确定：如图所示，设交点P 到右端Q 的距离为x ，则由几何关系得：x y /tan =θ21/2/tan 20202===∴dmv qLU d mv U qL y x θ电荷好像是从水平线OQ 中点沿直线射出一样，注意此结论在处理问题时应用很方便．例2两平行金属板相距为d ，电势差为U ，一电子质量为m ，电荷量为e ，从O 点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A 点，然后返回，如图1—8—3所示，OA ＝h ，此电子具有的初动能是 ( )A ．U edhB ．edUhC ．dh eUD ．d eUh 解析：电子从O 点到A 点，因受电场力作用，速度逐渐减小，根据题意和图示可知，电子仅受电场力，由能量关系：OA eU mv =2021，又E ＝U ／d ，h d U Eh U OA ==，所以deUh mv =2021 . 故D 正确． 例3一束质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以平行于两极板的速度v 0进入匀强电场，如图1—8—4所示．如果两极板间电压为U ，两极板间的距离为d 、板长为L ．设粒子束不会击中极板，则粒子从进入电场到飞出极板时电势能的变化量为 ．(粒子的重力忽略不计)分析：带电粒子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速运动．电场力做功导致电势能的改变．解析：水平方向匀速，则运动时间t ＝L/ v 0 ①竖直方向加速，则侧移221at y =② 且dmqU a = ③ 由①②③得2022mdv qUL y = 则电场力做功20222220222v md L U q mdv qUL d U q y qE W =⋅⋅=⋅= 由功能原理得电势能减少了2022222v md L U q 例4如图1—8－5所示，离子发生器发射出一束质量为m ，电荷量为q 的离子，从静止经加速电压U 1加速后，获得速度0v ，并沿垂直于电场线方向射入两平行板中央，受偏转图1—8—4电压U 2作用后，以速度v 离开电场，已知平行板长为l ，两板间距离为d ，求：①0v 的大小；②离子在偏转电场中运动时间t ；③离子在偏转电场中受到的电场力的大小F ；④离子在偏转电场中的加速度；⑤离子在离开偏转电场时的横向速度y v ；⑥离子在离开偏转电场时的速度v 的大小；⑦离子在离开偏转电场时的横向偏移量y ；⑧离子离开偏转电场时的偏转角θ的正切值tgθ解析：①不管加速电场是不是匀强电场，W ＝qU 都适用，所以由动能定理得：0121mv qU = mqU v 20=∴ ②由于偏转电场是匀强电场，所以离子的运动类似平抛运动．即：水平方向为速度为v 0的匀速直线运动，竖直方向为初速度为零的匀加速直线运动．∴在水平方向102qU m l v l t == ③d U E 2=F =qE =.d qU 2④md qU m F a 2== ⑤.mU q d l U qU m l md qU at v y 121222=•== ⑥1242222212220U md U ql U qd v v v y +=+=⑦1221222422121dU U l qU m l md qU at y =•==（和带电粒子q 、m 无关，只取决于加速电场和偏转电场）解题的一般步骤是：(1)根据题目描述的物理现象和物理过程以及要回答问题，确定出研究对象和过程．并选择出“某个状态”和反映该状态的某些“参量”，写出这些参量间的关系式．(2)依据题目所给的条件，选用有关的物理规律，列出方程或方程组，运用数学工具，图1—8－5对参量间的函数关系进行逻辑推理，得出有关的计算表达式．(3)对表达式中的已知量、未知量进行演绎、讨论，得出正确的结果．练习：一、选择题（不定项）某电场的部分电场线如图所示，A、B是一带电粒子仅在电场力作用下运动轨迹(图中虚线)上的两点，下列说法中正确的是: ( )A．粒子一定带负电 B．粒子在A点的加速度大于它在B点的加速度C．粒子不可能是从B点向A点运动 D．电场中A点的电势高于B点的电势2、一带电粒子射入一固定正点电荷Q形成的电场中，并沿图中虚线由a运动到b点，a、b 两点到点电荷Q的距离分别为r a、r b，且r a>r b，若粒子只受电场力作用，这一过程中: （）A．电场力对粒子做负功 B．粒子在b点电势能小于在a点的电势能C．粒子在b点动能小于在a点的动能 D．粒子在b点加速度大于在a点的加速度3、如图5所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。

电化学原理-第五章-液相传质步骤动力学-2015修订

电化学原理-第五章-液相传质步骤动力学-2015修订

y u 1/ 6 1/ 2 1/ 2 0
n0 知
y1/2


u 1/ 0
2
而旋转圆盘电极上各点的切向速度：
u0 2n0 y
所以：
u01/ 2 y1/ 2 （2n0）1/ 2 常数
y 有：
Di1/3 1/6 常数
即：旋转圆盘电极上各点的扩散层
厚度与y值无关。
1、电极表面附近的液流现象及传质作用 2、扩散层的有效厚度 3、对流扩散的动力学规律
摩擦力
y0
边界层：存在流速梯 度的区域。
电极表面上各点，边 界层厚度不同。
动力粘滞
层流
y0
边界层
根据流体力学理论 可知：
边界层厚度：
B y / u0 (5.10)
动力粘滞系数：


粘度系数 密度
当 j 很小时，由于 j jd
则 （5.40） 简化为：
RT（1 j ）
nF
jd （5.41）
对数 直线 关系 关系
由

0

RT nF
ln OcO0

RT nF
ln（1
j jd
）
作极化曲线。

0 2.由3RT
nF
log

O cO0

2.3RT nF
log（1
液相传质步骤动力学
液相传质常是电极反应的限制步骤。 1mol / L 时电极反应最大速度可达 105 A / cm2
实际电化学反应装置的最高电流密度极少 超过几 A / cm2 表明电化学反应的潜力未发挥出来。
通过减缓或增加液相传质来控制电极反应速度。 采用多孔膜和选择透过性薄膜减少干扰组分对 电极反应的影响。

电动力学第五章


k •r
t
)
ei
(
k
•r
t
)
0
A
A ei(k •r t ) 0
ei
(
k
•r
t
)
0
由Lorentz规范条件 • A
ik
•
A
1 c2
(i )
0
1 c2
t
0
得
c2
k
•
A
由此可见，只要给定了 A，就能够拟定单色平面电磁波。
B
A
ik
A
ik
(
A横
A纵
)
ik
V
(r,t R )
c dV
4 0 R
Ar,t
0 4
V
j (r,t R
R) c dV
a) 和 A是分布在有限体积内旳变化电荷和变化电 流在空间任意点激发旳标势和矢势。
b)电荷密度和电流密度中旳时刻是t R c ，而不是 t 这阐明 t R c时刻 r 处电荷或电流产生旳场并不 能在同一时刻就到达r 点，而是需要一种传播时
1 c2
2A t 2
0J
达朗贝尔方程
A
和
分别
满足有源旳波动方程
例：求单色平面电磁波旳势。
单色平面电磁波是在没有电荷、电流分布旳自由空间中传播 旳，因而势旳方程（洛伦兹规范，达朗贝尔方程）变为齐次
波动方程：
2
1 c2
2
t 2
0
2 A
1
2A 0
c2 t 2
其平面波解为：
A
A0ei
(
(r
•
j
•
j)j•ຫໍສະໝຸດ 1 R]dV•

第五章 电化学步骤动力学

第五章
电化学步骤动力学
如果电化学反应步骤的速度很慢，成为整个过程的控制步骤， 如果电化学反应步骤的速度很慢，成为整个过程的控制步骤， 电极过程的速度就将由电化学反应步骤的速度控制。 电极过程的速度就将由电化学反应步骤的速度控制。 由电化学步骤缓慢所引起的极化叫电化学极化。 由电化学步骤缓慢所引起的极化叫电化学极化。 电化学极化 电化学步骤控制的电极过程的动力学规律就是电化学步骤的动 力学规律。 力学规律。 因此找到了影响电化学步骤的反应速度的主要因素， 因此找到了影响电化学步骤的反应速度的主要因素，也就找到 了影响电极过程速度的主要因素， 了影响电极过程速度的主要因素， 电化学步骤动力学就是研究电极过程处于电化学反应步骤所控 制时的动力学规律或动力学特征。 制时的动力学规律或动力学特征。
' 阳
β nFϕ平
RT
)
ln K + ln C0 −
α nFϕ平
RT
= ln K + ln CR +
β nFϕ平
RT
nF 等式两边除以 RT
' nF K阴 nF C0 (α + β )ϕ平 = ln ' + ln RT K阳 RT CR
→
o + n e ⇔ ←
v阴
R
v阴
其还原过程和氧化过程的速度可分别表示为： 其还原过程和氧化过程的速度可分别表示为：
V阴 = Z 阴 C o' S ex p ( −
W阴 ) RT W阳 ' V阳 = Z 阳 C R S exp( − ) RT
5.1巴特勒－伏尔摩方程 5.1
三.电子传递步骤反应速度表达式
W阳 = W0 − β (ϕ平 + ∆ϕ )nF − β nFB

电化学基本原理与应用-第5章

第5章液相传质过程与浓差极化主要内容5.1 液相传质方式与基本方程5.2 平面电极上的稳态扩散传质过程5.3 浓差极化动力学方程5.4 电迁移对稳态扩散的影响液相传质过程是电极过程中必不可少的过程，涉及反应物离子向电极表面的传质过程以及生成物向溶液本体的传质过程。

由于电极过程中传质过程速度的缓慢而引起的电极极化现象为“浓差极化”。

本章将介绍液相传质过程中的规律以及浓差极化控制的电极过程的动力学方程。

为了简单，在讨论浓差极化时，假设电子转移速度很快，远远大于液相传质速度。

5.1 液相传质方式与基本方程5.1 液相传质方式与基本方程5.1.1 液相传质的三种方式5.1.2 三种液相传质的比较5.1.3 液相传质的基本方程5.1.1 液相传质的三种方式（1）对流溶液中物质的粒子随着流动的液体一起运动，此时液体与离子之间没有相对运动，这种传质方式叫对流。

包括：自然对流（温度差、密度差等），强制对流（搅拌等）。

对流可以增加单位时间内到达电极表面的粒子数目。

采用对流流量πc,i 来描述溶液中i离子的对流传质速度。

πc,i ：粒子i 在单位时间、垂直于运动方向的单位截面积上流过的量，单位(mol •m -2•s -1) ；v x ：与电极表面垂直方向上的液体的流速,单位（m •s -1）;c i ：为i 离子的浓度，单位（mol •m -3）。

ix i c c v •=,π（2）电迁移当所研究的粒子带有电荷（即为离子）时，在电场力的作用下，将引起带电粒子迁移。

电迁移作用引起的所研究粒子的传质速。

度为πe,i显然：当研究对象（反应物或生成物）不带电荷时，如为中性分子，则不存在电迁移。

（3）扩散当溶液中某一组分存在浓度差，即在不同区域内某组份的浓度不同时，该组份将自发的从高浓度区域向低浓度区域移动，这种液相传质运动叫扩散。

稳态扩散时，即扩散区域内各点浓度不随时间而变化，这时可用Fick第一定律计算扩散速度。

（3）传质发生的区域电极表面附近的液层可以分为双电层区、扩散层区、对流区。

电化学原理-201x第五章501-1-wu

非稳态扩散过程: 随时间变化的扩散过程
ci ci (x,t) ci (x), ci (x) / t 0 J扩,i Didci (x) / dx 常数
整理课件
两种扩散过程举例： Ag+(S)+e→Ag(s)在如下装置中的电沉积
对流区和扩散 区截然分开
容器A中只存 在对流传质。
C0
毛细管内只存在 扩散传质。
c
s i
达到稳态后：
稳态浓 度分布
浓差极化的范围
5
ci0 cis
被限制在长度为l 的毛细管内
dc i 0 dt
l
dci 常 数整理课件 dx
dci ci0 cis
dx
l
2、理想稳态扩散的动力学规律
根据菲克第一定律，稳态下的 i 粒子的扩散流量
dci ci0 ciS dx l
J扩 ,i Did dcxi Di ci0 lciS
CS
I≠0
Cs <C0
x
非稳态：cc(x,t) 稳态：c c(x)
c(x,t)/ t 整0理课件
c / t 0
无对流情况下的非稳态过程——不会演 化到稳态
1 、0、1秒 ；2、1秒 ；3、10秒；4、100秒
整理课件
电极表面附近：i 离子的扩散流量<电极反应消耗量
非稳态扩散过程:浓度随时间 t 位置x变化的过程
当cSi = 0 即“完全浓差极化”时， 得极限扩散电流密度：
d jdnF ici0D nF i2/3u D 0 1 整/2 理课 件1/6y1/2ci0
j理想nF 和实D i际ddc稳ix态x扩0. 散动力d学dcxi规x律0 比c较i0d：ciS.
a. 理想稳态扩散 d l
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（5-18）
在弹性碰撞情况下，给定散射角 θ ，守恒定律能单值地确定碰撞前速度 υα , υβ 和碰撞后速度
′ υ′ α , υ 速度之间的关系。按散射角和 β 类粒子速度积分（5-18）式，就得到由于同 β 类粒子
发生弹性碰撞从体积元中流出的全部 α 类粒子数
dQαβ − = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )
61
S ea d 3υ e = dQ + − dQ − = na ne ∫ d υe ′σ (υ e ′ , θ ) f e ( υ′ [ υe e) 3 (Ω)
3
′
d υe
− υ eσ (υ e ,θ ) f e (υ e ) ]dΩd 3υ e
（5-27）
得到电子与重粒子的碰撞电子分布函数的变化数率
S ea = dQ + − dQ − = na ne ∫
(Ω)
[
′σ (υ e ′ , θ ) f e ( υ′ υe e)
′ d 3υ e − υ eσ (υ e ,θ ) f e (υ e ) ]dΩ d 3υ e
dQαβ + = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )
∫
3 3 ′ fα (υ′ α ) f β ( υ β )υαβ σ αβ (υαβ ,θ ) d Ωd υα d υ β
(5-22)
′ 和 υ′β 应借助于守恒定律用 υα ， υ β 来表示。由（5-19）和（5-22）式，可 式中速度 υα
∂ (nf υ x ) ∂ (nf ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ =− = −υ x ⎢ ⎥ ∂x ∂x ⎣ ∂t ⎦ x
(5-11)
同理， 可以得到粒子沿 y 和 z 方向运动相关的分布函数变化率的类似表达式。 由粒子运动引 起的分布函数的总变化率
∂ (nf υ x ) ∂ (nf υ y ) ∂ (nf υ z ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − − − = − υ ⋅ grad (nf ) ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎣ ∂t ⎥ ⎦r
（5-12）
计算由粒子速度变化引起速度空间体积元 d 3υ 内粒子数的变化。类似于由粒子运动引 起的结构空间体积元 d 3 r 内粒子数变化的计算过程， 得到由粒子速度变化引起的分布函数的 变化率
∂ (nfax ) ∂ (nfa y ) ∂ (nfaz ) ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − − − ⎢ ∂υ x ∂υ y ∂υ z ⎣ ∂t ⎥ ⎦υ
（5-15）
将（5-14）式代入到（5-15）式中，得到与电场和磁场中的加速度有关的分布函数的变化率
Ze ⎡ ∂ (nf ) ⎤ = − (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) ⎢ ⎥ m ⎣ ∂t ⎦ E , B
与各种类型的碰撞有关的分布函数变化率可以相加。例如对 α 类粒子
（5-16）
（5-19）
这个方程称为动力学方程或玻尔兹曼方程。可以对每一种粒子（电子，离子，中性粒子）写 出这样的方程。要确立方程的具体形式，需要得到电场 E 和磁场 B 及碰撞项 δ (nf )
δt 。
5.3 动力学方程的碰撞项
各种类型的碰撞在动力学方程中的碰撞项（5-17）式中是相加的。可以独立的讨论它们 对分布函数的影响。首先决定与弹性碰撞有关的分布函数的变化。例如由于同
（5-8）
在（ 5-7 ）式中，用对应的能量区间替换速度区间就可以得到动能分布函数，即
fυ dυ = f K ( K , r, t )dK ，这里 K = mυ 2 / 2 ，由于 dK = mυdυ ，则
f K = fυ mυ = fυ
2mK
（5-9）
已知等离子体粒子的密度和速度分布函数可以获得表征等离子体性质的宏观量的完整知识。
59
∂ ( nf ) Ze δ (nf ) = − υ ⋅ grad (nf ) − (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) + δt ∂t m
或者，将第二，三项移到左边，有
（5-18）
∂ ( nf ) Ze δ (nf ) + υ ⋅ grad (nf ) + (E + υ × B) ⋅ gradυ (nf ) = δt ∂t m
dN r = d 3 r ∫ F ( υ, r , t ) d 3υ =n(r, t ) d 3 r
(υ )
（5-3）
这里
n(r , t ) = ∫ F ( υ, r, t ) d 3υ
(υ )
（5-4）
显然是结构空间的粒子密度。可以把分布函数 F ( υ, r , t ) 表示成乘积形式
F ( υ, r, t ) = n(r, t ) f ( υ, r, t )
∫
fα (υα ) f β (υβ )υαβ σ αβ (υαβ ,θ )d Ωd 3υα d 3υ β
（5-19）
同时，碰撞也可能使 α 类粒子从其它体积元流入所讨论体积元 d 3υ α 。其中，上述碰撞的逆
′ → υα ′ + dυ α ′ ）和 β 碰撞就可能导致这样的结果。类似可以写出单位时间 α 类粒子（ υα
d 6 R = d 3 rd 3υ = dxdydzdυ x dυ y dυ z
所以六维相空间的体积元中代表点数或粒子数目为
（5-1）
dN R = F (υ, r, t )d 6 R = F (υ, r, t )d 3 rd 3υ
（5-2）
按速度积分 （5-2） 式， 给出结构空间体积元 d 3 r 这里 F ( υ, r , t ) 是给定时刻粒子的分布函数。 中的粒子数
以确定由于同 β 类粒子发生弹性碰撞，体积元 d 3υ α 中的 α 类粒子Qαβ + −
= nα n β [
∫ ∫
( υβ ) (Ω)
( f α′ f β′ − f α f β )υαβ σ αβ dΩd 3υ β ]d 3υα
（5-23）
′ ′ ′ 式中为简化起见引入了标志 fα ( υ′ α ) = fα 和 f β ( υ β ) = f β 。最后得到与弹性碰撞有关的分布
函数变化速率
e Sαβ = nα nβ ∫
( υβ ) ( Ω )
∫
( fα′ f β′ − fα f β )υαβ σ αβ d Ωd 3υ β
（5-24）
用类似方法可以求得非弹性碰撞引起的分布函数的变化。 下面研究电子和原子的碰撞项，在很多情况下，可以认为电子平均动能比重粒子平均 动能大很多。这时，电子与重粒子的碰撞积分实际上不依赖于重粒子的分布函数，设原子是 静止的。由于与原子碰撞，单位体积的电子从所讨论速度空间元流出的速率等于
作用于等离子体带电粒子的是电场和磁场力。这些力引起的加速度为
（5-13）
a=
Ze (E + υ × B ) m
（5-14）
考虑到 ZeE 根本与 υ 无关 ，洛仑兹力 Ze [ υ × B ] 只依赖于垂直与它的速度分量，因此， （5-13）式中的加速度可提到导数之外，即
⎡ ∂ (nf ) ⎤ = −a ⋅ gradυ (nf ) ⎢ ⎣ ∂t ⎥ ⎦υ
第五章带电粒子的动力学方程
5.1 分布函数
为了定量的表示分布函数，引进结构空间和速度空间。把结构空间体积元表示成
d 3 r = dxdydz 。速度空间体积元为 d 3υ = dυ x dυ y dυ z 。要完全确定粒子的运动状态，需
要同时给出粒子在结构空间和速度空间的位置， 所以经常采用六维相空间的概念。 每个粒子 的运动状态以这个空间的一个代表点表示。 所谓分布函数就是这个空间中代表点的密度。 六 维相空间的体积元为
类粒子（ υ′β → υ′β + dυ′β ）发生碰撞，并散射到 d Ω 立体角内的逆碰撞数
3 ′ ′ ′ ′ 3 ′ dQαβ (υ′ α , υ β υ α , υ β ) = nα n β f α ( υ α ) f β ( υ β )υ αβ σ αβ (υ αβ ,θ ) dΩd υ α d υ β +
3
υ 与面积 dydz 和高
υ x dt 限定体积的乘积，即 ( nf υ x ) x dtd 3υ dydz ，这里量 nf υ x 取 x 点值；通过面积 dydz 流出
体积元的粒子数，应取 x + dx 点值，即 ( nf υ x ) x + dx dtd 3υ dydz 。这两个流之差给出体积元内 与沿 x 轴运动有关的粒子数变化
f υ (υ, r , t ) = ∫
(θ ) ϕ
∫
f (υ, r , t )υ 2 sin θdθdϕ
（5-7）
在 f ( υ, r , t ) 各向同性的情况下，即当它只依赖于速度值而不依赖于角度 θ , ϕ 时，有
57
f υ (υ, r, t ) = 4πυ 2 f ( υ, r , t )
dQ − = na ne ∫ υeσ (υe ,θ ) d Ωf e (υe ) d 3υe
(Ω)
（5-25）
由碰撞流入速度空间元 d 3υ e 的电子数
3 ′σ (υ e ′ ,θ ) d Ωf e ( υ′ ′ dQ + = na ne ∫ υe e )d υe (Ω)
（5-26）
体积元 d 3υ e 中 给定散射角， 碰撞后的电子速度 υ′ e 单值的与它们碰撞前的速度 υe 相联系着。 电子数的变化
5.2 动力学方程
现在我们来求等离子体中带电粒子分布函数 F = nf 方程。作为六维相空间粒子密度的 分布函数，它随时间的变化显然是由三种因素引起的，粒子的运动，在电场和磁场中速度的 变化及碰撞引起的分布函数的变化。
y
υ x dt
dz
dy
dx
x
z
图 5-1 先计算由于粒子运动引起体积元 d 3 r 内粒子数变化。见图 5-1，在 dt 时间内沿 x 轴通过 面积 dydz 流入体积元的粒子数等于所讨论速度区间的粒子密度 nfd