2014年广东省广州市高考理科数学二模试题及答案解析

试卷类型：A

2014年广东省广州市高考理科数学二模试题及答案解析

数学（理科）

2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.

5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是1

3

V Sh =

,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为

A ．2-

B ．2

C ．2-i

D ．2i 2．若函数()y f x =是函数3x

y =的反函数，则12f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的值为

A ．2log 3-

B ．3log 2-

C ．1

9

D 3．命题“对任意x ∈R ，都有3

2

x x >”的否定是

A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >

B ．不存在0x ∈R ，使得32

00x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32

x x ≤

4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6

π

个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x = ks5u

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数，也不是偶函数

图1

俯视图

侧视图

正视图5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．

16 B ．13 C ．12 D ．38

6．设12,F F 分别是椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF

的中点在y 轴上，若1230PF F ︒

∠=，则椭圆C 的离心率为

A ．

16 B ．1

3

C

．6 D

．3

7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体

的体积为

A ．6π4+

B ．12π4+

C ．6π12+

D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若

2014ij a =，则i j +的值为

A ．257

B ．256

C ．254

D ．253 表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．不等式2

210x x --<的解集为 .

10．已知312n

x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .

11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r

的值

为 .

12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪

--≤⎨⎪≥≥⎩

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值

为8，则ab 的最大值为 .

D C

B A a 图3

重量/克

0.032

0.0245

2515O 13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦， 当[)0,(x n n ∈∈N *

)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩

为参数)与

圆1cos ,

(sin x y θθθ

=+⎧⎨

=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .

15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 1

2

AE EB =

，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）

如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==

，BD =

. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值. 图2 17．（本小题满分12分）

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；

（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；

（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ，

则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L . （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内

的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.