线性系统理论1数学基础

a2 u a1e1 a 2 e2 a n en e1 e2 en a n
T 1 T 2 T T n
我们称 a a a 为关于基 e1 , e2 , , en 的坐标。若 向量 e , e , , e 构成 R n 的另一组基，则有
1.6
广义Sylvester矩阵
AV BW VF 其中: A R W C
r n nn
(1.6.1)
nr
,BR
;V C
nn
,
; F 为n价的Jordan矩阵当取 .
定W 阵, 并令C BW , 则上式化为 常规的Sylvester矩阵方程 : AV VF C (1.6.2)
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关联的Jordan块的个数.
矩阵某特征值的代数重数:
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关所有的Jordan块的阶数之和.
命题1.5.1 设A R 构如上述.记
n n
,其Jordan矩阵的结
i =max pi1 pi2 piq ,i=1,2, ,l
v1 v 2 v n v 1 v P 2 v n
v Rn ，有
e , e , , e n 和基 e1 , e 2 , , e n 之间的坐标 我们称 P 为基 1 2
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A) B的右既约分解
1
W ( s ) ( sI A) B N ( s ) D ( s )的求取: 第一步:利用算法1.3.1求取幺模矩阵P ( s ) 和Q ( s )满足 : P ( s ) sI A B Q(s) 0 I 第二步 : 将幺模阵Q ( s )做如下分块 : Q11 ( s ) Q12 ( s ) Q( s) Q21 ( s ) Q22 ( s ) 其中, Q11 ( s ) R nr [ s ], Q21 ( s ) R r r [ s ]. 第三步 : 取 N ( s ) Q11 ( s ), D ( s ) Q21 ( s ) 则N ( s )与D ( s )满足右既约分解式 W ( s ) ( sI A) 1 B N ( s ) D 1 ( s )。
维欧
1.1.3 线性变换
1 a, b ,V2 Ca, b V C 例1.1.7 记 1 1 a, b 表示 a , b 区间上一次可 C 这里 微函数的全体，C a , b 表示 a , b 区间 上连续函数的全体。容易验证 V1 ,V2 都是 实数域 R上的线性空间。定义
⑴ Vendermonde矩阵及基性质
⑵友矩阵及其性质
1.2.3
பைடு நூலகம்
Cayley-Hamilton定理与化零多项式
1.2.4
豫解矩阵与Leverrier算法
定理1.2.5 设m( s)为adj ( sI A)中所有元素 的首一最大公约式, 则D( s) / m( s)为矩阵A的 最小多项式.
V1 v1 v1 av, a R
是 V 的子空间。它也称为由 v 构成的子空间。
例1.1.4 设 a1 , a2 ,am 是线性空间 V 中 m 个元 或称为V 中 的 m 个向量，则
V1 v1 v1 1a1 2a2 mam ,l R , i 1,2,, m
矩阵Vi 是与矩阵A的第i个特征值i 对应部分, 其子块Vij 是与Jordan块J ij 相对应部分.
上式中列向量 v
1 ij
v
2 ij
v 称为
pij ij
矩阵A的第i个特征i的第j组广义特征向量链. pij 为该组特征向量链的长度. 广义特征向量链的定义式 :
1 (A i I )vij 0 2 1 ( A I ) v v i ij ij (A I )v pij v pij 1 i ij ij
1
1
1.5
Jordan分解
nn
矩阵的Jordan分解是指下述事实 : 设A R 满足: ,则存在矩阵J ,V C
1 n n
,V 可逆,
A VJV
其中, V 为矩阵A的特征向量矩阵, J 为矩阵 A的Jordan标准型.
1.5.1
特征值的几何重数与代数重数
矩阵某特征值的几何重数:
是 V 的子空间，也称 V1 是由 a1 , a2 ,am 所 生成的子空间
例1.1.5 设 V 是线性空间，显然 0 V ，那么
V1 0 是V 的子空间，称为零子空间。
1.1.2 线性空间的基和维数 定义1.1.4:设u1 , u2 ,, um是V中的一组
向量(可以重复), 如果存在一组不全为0 的实数ai , i 1, 2,, m, 使 : a1u1 a2u2 amum 0 则称u1 , u2 ,, um为线性相关, 否则称 u1 , u2 ,, um为线性无关, 此时必然有: a1 a2 am 0
用 R n m 表示 n m 维实矩阵全体的集合。设 y11 y12 y1m x11 x12 x1m y21 y22 y2m x21 x22 x2m B A ， yn1 yn2 ynm xn1 xn2 xnm
变换。容易验证，坐标变换也是 V 上的线性变换。
1.2 矩阵代数中的几个结果
1.2.1 矩阵必秩的条件
定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。
1.2.2
Vendermonde矩阵与友矩阵
1.6.1
求解问题与假设条件
nn
已知定常A R
, B R 以及
n r
n价Jordan矩阵F , 求矩阵V 和W的解 析表达式.,如果一种解析解包含了 方程 AV BW VF的一切解,便称 该解析解为完全的.
假设A1:对于任何s C , 矩阵[ sI A B]行满秩 {(A B)能控条件} . 假设A2:Jordan矩阵F 含有n ' 个互异特征值, 其 第i个特征值si的几何重数为qi 且与其相关联的 qi 个Jordan块Fi1 , Fi 2 , , Fiqi的价数分别为 pi1 , pi 2 , , piqi .从而特征值si的代数重数为 : mi pi1 pi 2 piqi 且应有 : m1 m2 mn ' n 此假设称为 : 矩阵F的Jordan结构条件.
Smith标准型
定义1.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式 A(s)和B(s)互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下 述三个性质： ①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价； ②对称性， A(s)等价B(s)， B(s) 等价A(s)； ③传递性，A(s)等价B(s)， B(s) 等价C(s)， A(s)等价C(s) 。
第一章 数学基础
1.1线性空间与线性变换 1.1.1线性空间定义
在集合上赋予一定的结构或一定的要求, 这个集合就称为一个特定的空间。 定义1.1.1 线性空间定义（11页）： 设V是一个非空集合,P是一个数域……
例 1.1.2 将 n m 个实数排成如下矩阵
x 11 x 21 x n1 x 12 x 1 m x 22 x 2 m x n 2 x nm
1 2 n
e , e , , e e e e P , P R nn n n 1 2 1 2
而对任意
由此可知
v v1 1 v v 2 v e1 e 2 e n e1 e 2 e n 2 v n v n
或简记 规定
， B y A B x y , A x ,
A xij
ij ij ij ij
R
n m R 则 也是实数域 R上的线性空间。因此不难看 出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的 运算具有线性性。
例1.1.3 设 V 是线性空间， v V 则不难验证
i
则 f(s)=(s-i )
i=1
l
i
为矩阵A的最小多项式 推论1.5.1 循环矩阵的特征多项式与其最 小多项式等同.
1.5.2
广义特征向量链
我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下 分块
V V1 V2 Vl Vi Vi1 Vi 2 Viqi pij 1 2 Vij vij vij vij (1.5.9)
例1.1.6
在欧氏空间 R n 中选取个无关向量
1 0 0 0 1 e1 , e2 ,, en 0 0 0 1
它们便构成 氏空间。
R n 的一组基。因此，R n也称为 n
(1.5.12)
(A i I )v v
k ij
k 1 ij
,v 0
0 ij
(1.5.13)
k 1, 2, , pij , j 1, 2, a , qi , i 1, 2, , l
1.5.3
Jordan分解的求取
6.根据l , i , qi , pij , j 1, 2, , qi , i 1, 2, , l的值 和式J diag ( J1 , J 2 , , J l )(1.5.2) J i diag ( J i1 , J i 2 , , J iqi )(1.5.3) i 1 i J ij , j 1, 2, qi (1.5.4) 1 i p p uj ij 列写出A矩阵的Jordan标准型;