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线性系统理论1数学基础

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线性系统理论第一章

线性系统理论第一章

第一章线性定常系统的状态空间描述及运动分析1.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述局部的,有局限性的描述传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.常用的数学工具:拉普拉斯变换主要适用于描述线性定常系统1.单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统其中 : 系统的输出 ; :系统的输入; : 时间; 均为常数 ,(希望input少,收益大)假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到其中为的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :传递函数为的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.系统的特征多项式: 多项式系统的特征方程 : 代数方程系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点系统的零点 : 多项式的零点传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称系统有零极点相消)2.传递函数矩阵考察多输入--多输出的线性定常系统.令输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .用和分别表示和的拉普拉斯变换, 表示系统的由第个输入端到第个输出端的传递函数,其中则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:称由上式所定义的为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为的一个有理分式矩阵. 当的元传递函数除严格真还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称为真有理分式矩阵.通常,当且仅当为真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.作为一个判别准则,当且仅当零阵时, 为严格真的;非零常阵传递函数矩阵为真的.1.2 线性定常系统的状态空间描述1. 状态和状态空间定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.组成这个变量组的变量称为系统的状态变量,其中为初始时刻由初始变量构成的列向量称为系统的状态向量,简称为状态.状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间.几点解释:1. 状态向量组可完全的表征系统行为的属性.2. 状态变量组的最小性.3. 状态变量组在数学上的特征.4. 状态变量组包含了系统的物理特征.5. 状态变量组选取上的不唯一性定理1.1 系统任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异的关系2.动态系统的状态空间描述和输入--输出描述不同,状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更加细致的过程,输入引起系统状态的变化,而状态和输入则决定了输出的变化."输入"引起"状态"的变化 ( 一个运动的过程)数学上必须采用微分方程或差分方程来表征并且称这个数学方程为系统的状态方程考虑最为一般的连续动态过程: (一个一阶非线性时变微分方程组)进而,在引入向量表示的基础上,还可将状态方程简洁的表示为向量方程的形式:其中"状态"和"输入"决定"输出"的变化 (一个变量见的转换过程)描述这种转换过程的数学表达式为变换方程,并且称之为系统的输出方程或量测方程.最一般的,一个连续的动力学系统的输出方程具有以下形式:表示为向量方程的形式为其中系统的状态空间描述由状态方程和输出方程组成.离散动态过程(离散系统)的状态空间的描述: 只在离散时刻取值,用来表示其状态空间过程描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系.通常,可采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述:一是分析途径,适用于结构和参数已知的系统;二是辨识的途径,适用于结构和参数难于搞清楚的系统.3.线性定常系统的状态空间描述限于考虑线性定常系统的连续动态过程,此时,向量函数将都具有线性的关系,且不显含时间 .从而线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量系统矩阵输入矩阵输出矩阵前馈矩阵以上统称为系统的系数矩阵,均为实常阵.线性定常系统也叫做线性时不变系统(linear time-invariant L TI),完全由系数矩阵决定.简记为.对于线性定常系统,我们分别称系统矩阵的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式为系统的特征值,特征向量,若尔当标准型,特征方程,特征多项式,系统的特征值也称作系统的极点.若,则此系统为单输入线性定常系统;若,此系统为单输出线性定常系统;若,此系统为单输入--单输出系统,或单变量系统.考虑线性定常离散系统的状态空间描述,其一般形式为其中维状态向量维控制输入向量维输出向量阶实常系数矩阵简记为1.3 输入输出描述导出状态空间描述------------- 系统的实现问题(第五章详解)考虑单输入--单输出线性定常系统.表征此系统动态过程的输入-输出描述,时域为或等价的频域描述即传递函数其中和分别表示和的拉普拉斯变换对于由上式描述的系统,可以引进状态变量 ,将其写成状态空间描述形式,其中为维状态变量分别为的常矩阵由"上"写成"下",称为实现问题,实现不具有唯一性1. 当时,有如下结论:定理1.2 给定单输入--单输出线性定常系统的输入输出描述如"上",当时,其对应的一个状态空间描述为:2. 当时,已知"上"求其状态空间描述.先求极限然后令为严格真,直接按的形式写出即可.3. 当时, 此时输入输出关系为此时状态空间描述形式为:1.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入--多输出线性定常系统,传递函数矩阵是表征系统输入输出特性的最基本的形式.1. 传递函数矩阵的表示的基本表达式定理1.3 对应于状态空间描述的传递函数矩阵为并且 ,当时, 为真的 , 时, 为严格真的,且有2.的实用关系式有给出的关系式在理论分析上很重要,但从计算的角度而言不方便,下面给出由计算的两个实用算式.定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵 , 求出则相应的传递函数矩阵可表示为注: 的根 : 系统的极点 ; 分子的根 : 系统的零点推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为2. 脉冲响应矩阵和状态空间描述定理1.11 线性定常系统其中的实常阵的脉冲响应矩阵为将其写作更为常用的形式定理1.12 两个代数等价的线性定常系统具有相同的脉冲响应矩阵.定理1.13 两个代数等价的线性定常系统具有相同的输出零状态响应和输出零输入响应.3. 脉冲响应矩阵和传递函数矩阵定理1.14 分别表示线性定常系统的脉冲响应矩阵和传递函数矩阵,则有推论1.2 给定两个线性定常系统 ,设两者都具有相同的输入和输出维数,状态维数不一定相同,则两系统具有相同的脉冲响应矩阵(即相同的传递函数矩阵)的充要条件为1.8 线性定常离散系统的运动分析归结为对定常的线性差分方程进行求解.1. 线性定常离散系统的运动规律对于上述系统,其状态运动的表达式为或2. 脉冲传递函数矩阵取初始状态 , 则可得到系统的输入输出关系式为其中为线性定常离散系统的传递函数矩阵, 按习惯称为脉冲传递函数矩阵.G(z) 为 z 的有理分式矩阵,通常只讨论其为真的或严格真的情况,此时 G(z) 为物理可实现的. 1.9 线性定常系统的时间离散化1. 问题的提出把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题. (课本P22 或百度文库)2.线性定常系统按采样周期T的离散化线性定常系统引入三点基本假设,以保证系统离散化后的描述简单,且是可复原的1. 采样器的采样方式取为以常数 T 为周期的等间隔采样. 采样瞬时为2. 保持器为零阶的.3. 采样周期的值要满足香农(Shannon)采样定理所给出的条件香农定理:离散信号可以完满地复原为原来的连续信号的条件为采样频率满足.考虑到 , 故上式可化为定理1.15 上述系统的时间离散化模型为其中注 :定理1.15提供了线性定常连续系统时间离散化的算法, 离散化系统仍为定常系统.不管A是否奇异,离散化后系统矩阵G一定是非奇异的.。

线性系统理论第一章(1)

线性系统理论第一章(1)


采取状态空间方法描述系统的特点是突出了系统内部动态结构。 由于引入了反映系统内 部动态信息的状态变量， 使得系统的输入输出关系就分成了两部分。 一部分是系统的控制输 入对状态的影响。这由状态方程来表征；另一部分是系统状态与系统输出的关系，这由量测 方程来表征。这种把输入、状态和输出之间的相互关系分别表现的方式，对我们了解系统内 部结构的特征提供了方便， 在这个基础上也就产生了控制理论中的许多新概念。 可控性和可 观测性就是说明系统内部结构特征的两个最基本的概念。 人们在用状态空间方法进行控制系统设计时，常常关心这样两个问题：第一，应该把系 统的控制输入加在什么地方， 这样加的控制输入是否能够有效的制约系统的全部状态变量？ 因为系统的状态变量完全刻划了系统的动力学行为， 所以控制输入对状态变量制约能力也就 反映了对系统动力学行为的制约能力。 而反映控制输入对状态变量制约能力的概念就是系统 的可控性。第二，设计系统时为了形成控制作用，往往需要系统内部结构的动态信息，这些 所需要的信息从那里得到呢？例如对输出反馈控制系统来说， 这些信息是要从系统的输出中 得到的， 而系统的输出是通过敏感元件或量测仪表量测得的， 那么为了设计系统需要量测那 些物理量呢？这些能量测得到的物理量是否包含有系统的内部结构的全部动态信息呢？由 于系统内部结构提供的动态信息都集中于系统的状态变量中， 因此就要知道输出中是否包括 有系统的状态变量所提供的信息。 而这种反映由系统输出来判断系统状态的能力的概念就是 可观测性。简而言之，可控性反映了控制输入对系统的制约能力，可观测性反映了输出对系 统状态的判断能力。 它们都是反映控制系统结构性质的基本概念， 它们在系统分析与设计中 起着关键性作用。 若考虑以下动态方程所描述的系统：
34
α ⋅ F(t ) = 0, "t Î [t1, t2 ]
线性系统理论(第一章)

线性系统理论(第一章)


x1(k +1) 0.9696 0.0202 x1(k) x (k +1) = 0.0404 0.9898 x (k) , k = 0,1,2,L 2 2 7 x1(0) 10 x (0) = 7 2 9×10
016
向量方程的形式：
Y = g (x,u,t)
, t ≥ t0
008
第一章
Ø线性系统的状态空间描述为：
& = A (t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
其中：
a11 (t ) L a1n (t ) A(t ) = M M an1 (t ) L ann (t )
线性系统。
017
第一章
& = A(t ) x + B (t )u x t ≥ t0 y = C (t ) x + D (t )u
D(t ) + B(t ) +
+ +
u
∫
A(t )
C (t )
y
018
第一章
若向量函数中 f 为变量
( x,u,t)
和
g ( x, u , t ) 至少包含一个元
其中： ai 和 b j 为实常数，i = 0 ,1, L , n
j = 0 ,1, L , n − 1
003
第一章
假定初始条件为零，取拉氏变换。 复频率域描述，即传递函数。
bn −1 s + L + b1 s + b0 G (s) = n n −1 s + a n − 1 s + L + a1 s + a 0
线性系统理论第一章

线性系统理论第一章


17
很显然，对于单输入单输出线性时不变系统，若系统
初始状态为0，则系统在任意输入 u 作用下基于脉冲响应
的输出响应y(t) 的关系式为
t
y(t) h(t )u( )d , t0
t t0
证明：略。
对于时变系统，用 h(t, ) 表示系统的脉冲响应。
定义1.4 对 r 维输入 m 维输出的连续线性时变系统，脉冲 响应矩阵定义为零初始状态条件下以脉冲响应 hij (t, )
e At I At 1 A2t 2
2!
1 0
0 1
0 2t
t t 2
3t
3t
2
3 2 7t
t
2
2
2
1t2 2t 3t 2
1
t
3t
3 2
t2 7
t2
2
25
（2）特征值法
1 1,
p
1 1
1 2
2 2
p
1
2 1
1 1
e At
e1t p
e2t
)c
uc
iL
(
R1
1
R2 )c R2
u(t)
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
4
导出输出方程：
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R1
R2 R2
u(t
)
把 uc , iL 称为系统状态变量。系统的状态定义为表现系
统时间域行为的一个最小内部变量组。
0
0
0
e2t
te2t
0 0
0
0 e2t
（3）求预解矩阵法
线性系统理论第一章(1)

线性系统理论第一章(1)

2
或脉冲函数的概念，为此考虑图 1—2 所示的脉动 函数 dD (t - t1 ) ，即
t1+△
图 1—2 脉动函数 dD (t - t1 )
0 ì ï ï ï ï1 dD (t - t1 ) = ï í ï D ï ï 0 ï ï î
t < t1 t1 £ t < t1 + D t ³ t1 + D
0
的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理 1—1 由下式描述的系统
y(t ) =
ò-¥ G(t, t )u(t )d t
0 ,+¥)
+¥
在 t0 是松弛的，必要且只要 u[t
0 ,+¥)
º 0 隐含着 y[t
º 0。
¥
证明 必要性。若系统在 t 0 松弛，则对于 t ³ t 0 ，输出 y(t ) 为 ò
图 1—1 系统的输入—输出描述 我们先介绍一些符号。在图 1—1 中，有 p 个输入端， q 个输出端； u1 u2 u p 为 输入，或用 p ´ 1 列向量 u = [u1 u2 u p ]T 表示输入。 y1 y2 yq 表示输出，同样， 可 用 q ´ 1 列 向 量 y = [y1 y2 yq ]T 表 示 输 出 。 输 入 或 输 出 有 定 义 的 时 间 区 间 为
ti
图 1—3 用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统，故输出
y = Hu »
å [H dD (t - ti )]u(ti )D
i
(1—7)
当 D 趋于零时，(1—7)式成为
y =
ò-¥ [H d(t - t )]u(t )d t
H d(t - t ) = g(t, t )
线性系统理论(第1章)

线性系统理论(第1章)


第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
假设系统有p个输入， 个输出 分别用u 个输出， 假设系统有 个输入，q个输出，分别用 1，u2，…，up 个输入 ， 和y1，y2，…，yq来表示。或记为向量的形式：[u]＝[u1 ， 来表示。或记为向量的形式：[u]＝ ， [y]＝ u2 … up]T，[y]＝[y1 [u]、[y]为系统的 y2 …yq]T，称[u]、[y]为系统的 y
第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
1.1 系统的输入与输出描述
系统的输入－输出描述揭示了系统的输入和输出之间 系统的输入－ 的某种数学关系。在建立系统输入 输出描述时 输出描述时， 的某种数学关系。在建立系统输入—输出描述时，可以假 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“ 设系统的内部特性是完全未知的，可将系统看作一个“黑 箱”，向该“黑箱”施加各种类型的输入并测量出与之相 向该“黑箱” 应的输出，从这些输入－ 应的输出，从这些输入－输出数据可以确定出系统的输入 和输出之间的数学关系。 和输出之间的数学关系。 系统输入—输出描述是系统的外在表现， 系统输入 输出描述是系统的外在表现，只接触系统 输出描述是系统的外在表现 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量， 的输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量，只 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 从输入－输出的因果关系中获悉系统的内在的本质特性， 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。 因此称系统的输入－输出描述为系统的外部描述。
第1章 线性系统的数学描述
江苏大学电气学院
2. 状态变量 状态变量是指构成系统状态的每一个变量， 状态变量是指构成系统状态的每一个变量，记为
{ x1 (t ), x2 (t ), L ,xn (t )}
线性系统理论1数学基础

线性系统理论1数学基础



P
v

2



vn
v

n

我们称 P 为基 e1, e2 , , en 和基 e1, e2 ,,en之间的坐标
变换。容易验证，坐标变换也是 V上的线性变换。
1.2 矩阵代数中的几个结果
1.2.1 矩阵必秩的条件
定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。
和Q(s)满足 : P(s)sI A BQ(s) 0 I
第二步 : 将幺模阵Q(s)做如下分块 :
Q(s)

Q11 ( s) Q21 ( s)
Q12 (s)
Q22
(
s)

其中, Q11(s) Rnr [s], Q21(s) Rrr [s].
第三步 : 取
,
,
en


e1
e2

en P, P Rnn
而对任意 v Rn，有
v1
v1

v

e1
e2

en
v2



e1
e2

en

v2

由此可知
vn
vn

v1
v 2


v1
A(s)等价C(s) 。
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A)1 B的右既约分解
线性系统理论课件1

线性系统理论课件1


单变量定常系统
x(t ) Ax(t ) bu(t ), x(t 0 ) x0 , y (t ) cx(t ), t 0.
常用三元组{A,b,c}表示.
上面定常系统的拉氏变换为:
X ( s) ( sI A) 1 x(0 ) ( sI A) 1 bU ( s),
集合的积: 设A1 ,A2 ,…,
有D中唯一一个元素d与之对应, 则称ƒ是集合
A1A2…An 到 集 合 D 的 一 个 映 射 ; d 称 为 (a1,a2,…,an)在映射ƒ之下的像, (a1,a2,…,an) 称
为d在映射ƒ之下的原像.
ƒ : A1A2…AnD
or
ƒ : (a1,a2,…,an) d
线性控制系统教程
张志方 孙常胜 编著 科学出版社
预备知识
-函数 把具有下列性质的量称为-函数，记为(t)
t 0,
t 0,


(1)


t dt 1.

-函数的导数
t
d t t t lim 0 dt
设u(t)为定义在实轴R上的连续函数，则
将f(t)的定义域扩充成在t=0的任一邻域内也有定义， 并把积分 F ( s) f t e st dt 0 称为L -变换

L [ (t )] L [
(k )


0
t e st dt 1
0
(t )]

( k ) t e st dt

t
f ( , x)d
t0

t
t0
f ( , x)d x0 (t 0 )
线性系统理论全

线性系统理论全


稳定性判据与判定方法
稳定性判据
在控制工程中，常用的稳定性判据有Routh判据、Nyquist判据、 Bode判据等。这些判据通过分析系统的特征方程或频率响应来判 断系统的稳定性。
判定方法
除了使用稳定性判据外，还可以通过时域仿真、频域分析、根轨 迹法等方法来判定系统的稳定性。这些方法各有优缺点，适用于 不同类型的线性系统和不同的问题背景。
100%
线性偏差分方程
处理离散空间和时间的问题，如 数字滤波器和图像处理等。
80%
初始条件与边界条件
在差分方程中，初始条件确定系 统的起始状态。
状态空间模型
状态变量与状态方程
表示系统内部状态的变化规律 ，揭示系统动态特性。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输 入的关系，反映系统对外部激 励的响应。
状态空间表达式的建立
复频域分析法
拉普拉斯变换
将时域信号转换为复频域信号，便于分析系统的稳定性和动态性 能。
系统函数
描述Байду номын сангаас统传递函数的复频域表示，反映系统的固有特性和对输入信 号的响应能力。
极点、零点与稳定性
通过分析系统函数的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性以及 动态性能。
04
线性系统稳定性分析
BIBO稳定性
01
线性系统理论全
目
CONTENCT
录
• 线性系统基本概念 • 线性系统数学模型 • 线性系统分析方法 • 线性系统稳定性分析 • 线性系统能控性与能观性分析 • 线性系统优化与综合设计
01
线性系统基本概念
线性系统定义与性质
线性系统定义
满足叠加性与均匀性的系统。
线性系统性质
第1章 绪论_数学基础

第1章 绪论_数学基础


四、线性系统理论的主要学派
线性系统的状态空间法（时域法） ——状态方程和输出方程：输入变量、状态变量、 输出变量间关系的向量方程。 数学基础：线性代数 分析综合：矩阵运算和矩阵变换 线性系统的几何理论 ——对线性系统的研究化为状态空间中的几何问题 数学基础：几何形式的线性代数 能控性和能观性：不同状态子空间的几何性质 优点:简单明了,不用矩阵运算;结果容易化成相应 的矩阵运算
三、多项式矩阵 如果m×n阶矩阵A(s)的所有元素aij=aij(s)均为变 量s的实系数多项式，则称A(s)为一个关于s的m×n阶 实数域上的多项式矩阵，其全体记为 : R s
mn
基本概念 一个m×n阶的多项式矩阵A(s)具有下述一般表示
As Ai s i Ai1 s i1 Ai s A0
说，给出了一种法则，对于V中任意两个元素x和y，在 V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称z为x与y的和, 记为z=x+y。在数域P与集合V的元素之间还定义了一 种运算，叫做乘法；这就是说对于数域P中任意一个数 k与V中的任意一个元素x，在V中都有唯一的元素h与 它们相对应，称h为k与x的数量乘积，记为h=kx。如 果加法与数量乘法均满足各自的运算规则，那么，V为 数域P上的线性空间。
情形Ⅰ 将多项式矩阵A(s)的i,j两行互换,得多项式矩阵 A1(s)。这一过程可通过矩阵 其中
1 1 0 1 P i , j 1 1 1 1
i i 2 i
T 2 n1
推论: 设矩阵 A R
nn
具有互异特征值，则有
Ac Pdiag1 , 2 ,, n P 1
其中，矩阵P为Vendermonde矩阵。 定理: 友矩阵可逆的充要条件是 a 0 ，且
线性系统理论全课件

线性系统理论全课件

内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
2/4,2/50
(3) 状态向量：以系统的 个n 独立状态变量
x t , L, x t 作为分量的向量，即
1
n
x t x t , L, x t T .
1
n
(4) 状态空间: 以状态变量 x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异
变换.
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x&t At x t B t u t
yt Ct xt Dtut
g(s)
Y (s) U (s)
bm s m bm1s m1 b1s1 s n an1s n1 a1s
b0 a0
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=n,即系统为真情形
0 1 0 0 0
X 0
0
0 x u
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1 1
bn1s n1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分.
x1 y x2 y xn y(n1)
6/18,19/50
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1

线性系统理论

线性系统理论线性系统理论是一个广泛应用的数学分支，该分支研究线性系统的性质、行为和解决方案。

线性系统可以描述很多现实世界中的问题，包括电子、机械、化学和经济系统等。

在这篇文章中，我们将探讨线性系统理论的基础、应用、稳定性和控制等不同方面。

一、线性系统基础线性系统是一种对于输入响应线性的系统。

当输入为零时，系统的响应为零，称之为零输入响应。

当没有外界干扰时，系统内部存在固有的动态响应，称之为自然响应。

当有外界输入时，系统将对输入做出响应，称之为强制响应。

线性系统具有很多性质，可以让我们更好地理解系统的行为。

其中一个重要的性质是线性可加性，就是说当输入是线性可加的时候，输出也是线性可加的。

换句话说，如果我们有两个输入信号，将它们分别输入到系统中，我们可以在系统的输出中将它们加起来，并得到对应的输出信号。

另外一个重要的性质是时不变性，就是说当输入信号的时间变化时，输出信号的时间变化也会随之发生。

这个性质告诉我们，系统的行为不随着时间的改变而改变。

除此之外，线性系统还有其他很多性质，比如可逆性、稳定性、因果性等等。

二、线性系统的应用线性系统有着广泛的应用，它们可以用来描述很多各种各样的问题，包括但不限于电子电路、航天控制、化学反应、经济系统等等。

下面我们来看看这些应用领域中的具体案例。

1. 电子电路线性系统在电子电路中有着广泛应用。

例如，如果我们想要设计一个低通滤波器，以使高频信号被抑制，我们可以使用线性系统来描述它的行为。

我们可以将电子电路看作一个输入信号到输出信号的转换器。

这个转换器的输出信号可以通过控制电子器件的电流、电压等参数来实现。

这种线性系统可以用来滤掉任何频率的信号，因此在广播和通信中也有广泛的应用。

2. 航天控制航天控制是线性系统理论的一个应用重点。

它包括控制飞行器姿态、轨道以及动力学行为。

在这些问题中，线性可变系统被广泛应用。

这种系统的输出信号是受到飞行器的控制和环境因素的影响。

控制器的任务是计算信号，以引导飞行员和总体系统实现期望的性能和特征。

线性系统

D( A) = 0 为矩阵A的特征多项式 则 为矩阵 的特征多项式,则 的特征多项式
• 推论 推论: 设矩阵 A ∈ R n×n 则对于一切 m ≥ n
Am 均可表示为
An −1 , An − 2 ,L A, I
的线性组合
1.4.3 矩阵的右既约分解
( sI − A) −1 B = N ( s ) D ( s ) −1
p 1 2 Vij = vij vij L vij ij
Fi = diag( Fi1 , Fi 2 ,L, Fiqi )
定理1.6.2
k vij N (si ) k 1 d k −1 N ( si ) 1 f +L + fij k = wij D( si ) ij (k − 1)! ds k −1 D(si )
0.2.4 线性系统理论的主要学派
主要学派 特点 代表人物
卡尔曼（ 卡尔曼（1960s） ）
状态空间 法 几何理论
最重要和影响最广的分支， 最重要和影响最广的分支，完整和成熟 的理论
把能控性和能观测性等结构特性表述为 不同的状态空间的几何性质 优点：简洁明了， 优点：简洁明了，避免大量矩阵运算 缺点：抽象， 缺点：抽象，需一定数学基础 把系统各组变量间的关系视为代数结构 之间的映射关系， 之间的映射关系，描述和分析转化为抽 象的的代数问题 频域设计方法： 化为SISO 频域设计方法：MIMO化为 化为
A ∈ R n× n , B ∈ R n× r
A − sI I n 0 B 0 Ir In 0 0 In 0n×r N ( s) * n×r Dr×r ( s ) * * * *
1.5.1 特征值的几何重数与代数重数

线性系统理论课件

mn ij
定义: 矩阵 A a R
ij
mn
的行秩或列秩称为矩阵A的秩
记为rank(A)。 显而易见，对于矩阵
A aij Rmn
而言，有
rank(A)≤min{m,n}
当rank(A)=m时,我们称A为行满秩矩阵; 当rank(A)=n时,我们称A为列满秩矩阵; 当rank(A)＜min{m,n}时，我们称A为降秩矩阵，
x1 x 2 x x3
xi R, i 1,2,, n
全体的集合。设 x, y R ,在Rn中规定加法和数乘为
n
x1 y1 x y 2 2 x y x y n n
ax1 ax 2 ax axn
与初等行变换矩阵相对应的初等列变换矩阵分别
记之为 Qi , j , Qi c 和 Qi, j
等价是多项式矩阵之间的一种关系，这种关系显 然具有下述三个性质：
反身性，即每一个多项式矩阵均与自身等价。
对称性，即A(s)与B(s)等价，可推出B(s)与A(s)等价。
传递性，即A(s)与B(s)等价，B(s)与C(s)等价，可推出
1
时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T 的定义域。若令 TV Tv v V V 则TV1也是一个线性 空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在 V1=V2时，称他为V1上的线性变换。
1 1 1 1 2
二、矩阵代数中的几个结果 定义： 矩阵 A a R 中列向量的最大无关组的个数 称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的 行秩。
x y yx ( x y) z x ( y z ) 1x x k (lx) (kl) x

线性系统理论第一章(4)


i = 1, 2, , m
(2—29)
的各行在复数域上线性无关。方程(2—28)可观测的充分必要条件每一个 q ´ r (i ) 矩阵
C1 i = [ c1i 1 c1i 2 c1ir (i ) ]
i = 1,2, , m
(2—30)
的各列在复数域上线性无关。 证明 这里我们用定理 2—6 的(6)来证明定理中关于可控的条件。定理中关于可观测的条件 则可用定理 2 — 11 的 (6) 来证明，也可用对偶定理 2 — 9 来证明。取 A 的任一特征值
cLij ùú û
0 ùú
é b1ij ê êb Bij = êê 2ij ê êb êë Lij ù ú ú ú ú ú ú úû
i = 1,2, , m
j = 1, 2, , r (i )
以上的形式说明 A 有 m 个不同的特征值 l1, l2, , lm ，与特征值 li 对应的若当块共有 r (i ) 个，
rank éê B AB An - 1B ùú = rank éê B AB An - 1B ùú = n ë û ë û
即方程(2—25)的可控性矩阵的秩为 n，故方程(2—25)是可控的。 定理 2—13 可以推广到线性时变动态系统(见习题 2—11)。定理 2—13 保证了在研究可 控性和可观测性时， 可以采取等价变换方程变换成某种特殊形式， 而如果能从这种特殊形式 方便地判断系统的可控性和可观测性， 那么我们就可以得到更为简单的判据。 例如将线性时 不变系统方程化为若当型，那么它的可控性和可观测性在许多情况下用观察法就可以确定。 设线性时不变若当型方程为
55
é1 1 ê ê 0 y = ê1 ê1 0 êë c111
2 1 2 c112

线性系统理论1a

可 加 性 L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 ) 齐 次 性
• 系统的研究方法 ——经验法 ——理论法：依据数学理论
➢建模（对真实系统的抽象） ➢建立数学描述 ➢分析 ➢设计 • 本课程的研究范围 ——对象：线性动态系统，数学模型已知 ——工具：数学
• §2－3 传递函数矩阵
对SISO系统，系统的传递函数h(s) 与脉冲 响应矩阵函数g(t)之间满足关系式
h (s) L [g (t)]g (t) L 1 [h (s)]
同样，对于p输入q输出的多变量系统，
H (s ) L [G (t)]G (t) L 1 [H (s )]
因为有
t
y(t) G(t )u()d
1
uc(t) c i(t)dt
d(it) Ldtuc(t)R(ti)ur(t)
duc(t) dt
1 i(t) C
di(t) dt
1 Luc
Ri(t) L
1 Lur
(t)
i(t) R ur(t)
L C uc(t)
在已知ur(t)的情况下，只要知道 uc(t)和i(t)的变化特性， 则其他变量的变化均可知道。
x&= f(x,u,t) y=g(x,u,t) ,t t0
• 可根据系统的状态描述对系统进行分类。 1)线性系统与非线性系统
在选定的一组状态变量下，称一个系统为非线性 系统，若其状态空间描述中，f 与(或)g 的某些分 量是x1,…,xn和u1,…,um的非线性函数。反之，若f 与g 的各分量均是x 与u 的线性函数，则称为线性 系统。线性系统的状态描述可表示为：
k
于是系统的输出为：
y G (ttk)u(tk) t

线性系统理论(xue)

线性系统理论Linear System Theory 1-1 状态空间的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

2 状态空间描述中常用的基本概念例1-1 图示RLC 网络。

设：u i 为输入变量；u o =u c 为输出变量。

用矩阵表示状态空间表达式：⎪⎨+−−=u x R x x 11&1-2 线性连续系统状态空间表达式的建立1......)((b s b s b s b s Y G n n ++++−1 N(s)/D(s)的串联分解——可控标准型实现x&x x⎤⎡⎡00010L &状态变量图例1-5 已知系统微分方程：u u T y y y +=ω+ωζ+试求系统的状态空间表达式，并绘制该系统的状态变量图。

21u x x x+ζω−ω−=22&2 可观测标准型实现设可控标准型实现为例1-6 已知系统微分方程：试求可观测标准型实现，并绘制其状态变量图。

3 并联分解——Jordan标准型实现⎤⎡−s L 0001ss s s U s G 89)()(23++==例1-7 已知某系统传递函数:⎡1⎤4 矩阵的特征方程、特征值1）方阵2 线性定常连续系统状态方程的求解2-1 齐次状态方程的解⎢⎣⎥⎦⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣22x 32x &解：用拉氏变换的方法:例2-1 求已知状态方程的状态转移矩阵。

2-2 状态转移矩阵的性质例2-2 已知状态转移矩阵，求Φ-1和系统矩阵A。

性质9 若例2-3已知系统矩阵，求状态转移矩阵及其状态转移矩阵的逆。

非齐次状态方程：例2-4 已知状态空间描述及零初始条件，输入为单位阶跃，求状态方程的解SISO系统：例9-29 已知系统动态方程，试求系统的传递矩阵。

⎡x&9-4-2开环与闭环传递矩阵MIMOU(s)E(s)Y(s)由图可知：3-1 线性系统的可控性与可观性3-1-1 问题的提出例3-2 已知系统状态空间表达式，⎧3-2 可控性问题基本概念考虑线性系统：3-3 可观测性的基本概念3-4 线性定常系统可控性判据考虑线性定常系统：例3-3 判断已知系统的可控性。

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a2 u a1e1 a 2 e2 a n en e1 e2 en a n
T 1 T 2 T T n
我们称 a a a 为关于基 e1 , e2 , , en 的坐标。若 向量 e , e , , e 构成 R n 的另一组基，则有
1.6
广义Sylvester矩阵
AV BW VF 其中: A R W C
r n nn
(1.6.1)
nr
,BR
;V C
nn
,
; F 为n价的Jordan矩阵当取 .
定W 阵, 并令C BW , 则上式化为 常规的Sylvester矩阵方程 : AV VF C (1.6.2)
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关联的Jordan块的个数.
矩阵某特征值的代数重数:
矩阵的Jordan标准型与该特征值 相关所有的Jordan块的阶数之和.
命题1.5.1 设A R 构如上述.记
n n
,其Jordan矩阵的结
i =max pi1 pi2 piq ,i=1,2, ,l
v1 v 2 v n v 1 v P 2 v n
v Rn ，有
e , e , , e n 和基 e1 , e 2 , , e n 之间的坐标 我们称 P 为基 1 2
1.4有理分式矩阵及其互质分解
1.4.1 互质多项式矩阵
1.4.2 有理分式矩阵的互质分解
1.4.3 矩阵(sI A) B的右既约分解
1
W ( s ) ( sI A) B N ( s ) D ( s )的求取: 第一步:利用算法1.3.1求取幺模矩阵P ( s ) 和Q ( s )满足 : P ( s ) sI A B Q(s) 0 I 第二步 : 将幺模阵Q ( s )做如下分块 : Q11 ( s ) Q12 ( s ) Q( s) Q21 ( s ) Q22 ( s ) 其中, Q11 ( s ) R nr [ s ], Q21 ( s ) R r r [ s ]. 第三步 : 取 N ( s ) Q11 ( s ), D ( s ) Q21 ( s ) 则N ( s )与D ( s )满足右既约分解式 W ( s ) ( sI A) 1 B N ( s ) D 1 ( s )。
维欧
1.1.3 线性变换
1 a, b ,V2 Ca, b V C 例1.1.7 记 1 1 a, b 表示 a , b 区间上一次可 C 这里 微函数的全体，C a , b 表示 a , b 区间 上连续函数的全体。容易验证 V1 ,V2 都是 实数域 R上的线性空间。定义
⑴ Vendermonde矩阵及基性质
⑵友矩阵及其性质
1.2.3
பைடு நூலகம்
Cayley-Hamilton定理与化零多项式
1.2.4
豫解矩阵与Leverrier算法
定理1.2.5 设m( s)为adj ( sI A)中所有元素 的首一最大公约式, 则D( s) / m( s)为矩阵A的 最小多项式.
V1 v1 v1 av, a R
是 V 的子空间。它也称为由 v 构成的子空间。
例1.1.4 设 a1 , a2 ,am 是线性空间 V 中 m 个元 或称为V 中 的 m 个向量，则
V1 v1 v1 1a1 2a2 mam ,l R , i 1,2,, m
矩阵Vi 是与矩阵A的第i个特征值i 对应部分, 其子块Vij 是与Jordan块J ij 相对应部分.
上式中列向量 v
1 ij
v
2 ij
v 称为
pij ij
矩阵A的第i个特征i的第j组广义特征向量链. pij 为该组特征向量链的长度. 广义特征向量链的定义式 :
1 (A i I )vij 0 2 1 ( A I ) v v i ij ij (A I )v pij v pij 1 i ij ij
1
1
1.5
Jordan分解
nn
矩阵的Jordan分解是指下述事实 : 设A R 满足: ,则存在矩阵J ,V C
1 n n
,V 可逆,
A VJV
其中, V 为矩阵A的特征向量矩阵, J 为矩阵 A的Jordan标准型.
1.5.1
特征值的几何重数与代数重数
矩阵某特征值的几何重数:
是 V 的子空间，也称 V1 是由 a1 , a2 ,am 所 生成的子空间
例1.1.5 设 V 是线性空间，显然 0 V ，那么
V1 0 是V 的子空间，称为零子空间。
1.1.2 线性空间的基和维数 定义1.1.4:设u1 , u2 ,, um是V中的一组
向量(可以重复), 如果存在一组不全为0 的实数ai , i 1, 2,, m, 使 : a1u1 a2u2 amum 0 则称u1 , u2 ,, um为线性相关, 否则称 u1 , u2 ,, um为线性无关, 此时必然有: a1 a2 am 0
用 R n m 表示 n m 维实矩阵全体的集合。设 y11 y12 y1m x11 x12 x1m y21 y22 y2m x21 x22 x2m B A ， yn1 yn2 ynm xn1 xn2 xnm
变换。容易验证，坐标变换也是 V 上的线性变换。
1.2 矩阵代数中的几个结果
1.2.1 矩阵必秩的条件
定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。
1.2.2
Vendermonde矩阵与友矩阵
1.6.1
求解问题与假设条件
nn
已知定常A R
, B R 以及
n r
n价Jordan矩阵F , 求矩阵V 和W的解 析表达式.,如果一种解析解包含了 方程 AV BW VF的一切解,便称 该解析解为完全的.
假设A1:对于任何s C , 矩阵[ sI A B]行满秩 {(A B)能控条件} . 假设A2:Jordan矩阵F 含有n ' 个互异特征值, 其 第i个特征值si的几何重数为qi 且与其相关联的 qi 个Jordan块Fi1 , Fi 2 , , Fiqi的价数分别为 pi1 , pi 2 , , piqi .从而特征值si的代数重数为 : mi pi1 pi 2 piqi 且应有 : m1 m2 mn ' n 此假设称为 : 矩阵F的Jordan结构条件.
Smith标准型
定义1.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式 A(s)和B(s)互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下 述三个性质： ①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价； ②对称性， A(s)等价B(s)， B(s) 等价A(s)； ③传递性，A(s)等价B(s)， B(s) 等价C(s)， A(s)等价C(s) 。
第一章 数学基础
1.1线性空间与线性变换 1.1.1线性空间定义
在集合上赋予一定的结构或一定的要求, 这个集合就称为一个特定的空间。 定义1.1.1 线性空间定义（11页）： 设V是一个非空集合,P是一个数域……
例 1.1.2 将 n m 个实数排成如下矩阵
x 11 x 21 x n1 x 12 x 1 m x 22 x 2 m x n 2 x nm
1 2 n
e , e , , e e e e P , P R nn n n 1 2 1 2
而对任意
由此可知
v v1 1 v v 2 v e1 e 2 e n e1 e 2 e n 2 v n v n
或简记 规定
， B y A B x y , A x ,
A xij
ij ij ij ij
R
n m R 则 也是实数域 R上的线性空间。因此不难看 出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的 运算具有线性性。
例1.1.3 设 V 是线性空间， v V 则不难验证
i
则 f(s)=(s-i )
i=1
l
i
为矩阵A的最小多项式 推论1.5.1 循环矩阵的特征多项式与其最 小多项式等同.
1.5.2
广义特征向量链
我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下 分块
V V1 V2 Vl Vi Vi1 Vi 2 Viqi pij 1 2 Vij vij vij vij (1.5.9)
例1.1.6
在欧氏空间 R n 中选取个无关向量
1 0 0 0 1 e1 , e2 ,, en 0 0 0 1
它们便构成 氏空间。
R n 的一组基。因此，R n也称为 n
(1.5.12)
(A i I )v v
k ij
k 1 ij
,v 0
0 ij
(1.5.13)
k 1, 2, , pij , j 1, 2, a , qi , i 1, 2, , l
1.5.3
Jordan分解的求取
6.根据l , i , qi , pij , j 1, 2, , qi , i 1, 2, , l的值 和式J diag ( J1 , J 2 , , J l )(1.5.2) J i diag ( J i1 , J i 2 , , J iqi )(1.5.3) i 1 i J ij , j 1, 2, qi (1.5.4) 1 i p p uj ij 列写出A矩阵的Jordan标准型;