推荐具有价值的物理演示实验：用伽尔顿板演示统计分布规律

必看！物理学十大著名经典实验，不看后悔系列！科学实验是物理学发展的基础，又是检验物理学理论的惟一手段，特别是现代物理学的发展，更和实验有着密切的联系。

现代实验技术的发展，不断地揭示和发现各种新的物理现象，日益加深人们对客观世界规律的正确认识，从而推动物理学的向前发展。

令人惊奇的是十大经典物理实验的核心是他们都抓住了物理学家眼中最美丽的科学之魂：由简单的仪器和设备，发现了最根本、最单纯的科学概念。

十大经典物理实验犹如十座历史丰碑，扫开人们长久的困惑和含糊，开辟了对自然界的崭新认识。

从十大经典物理实验评选本身，我们也能清楚地看出2000 年来科学家们最重大的发现轨迹，就像我们“鸟瞰”历史一样。

排名第一：托马斯·杨的双缝演示应用于电子干涉实验在20世纪初的一段时间中，人们逐渐发现了微观客体(光子、电子、质子、中子等)既有波动性，又有粒子性，即所谓的“波粒二象性”。

“波动”和“粒子”都是经典物理学中从宏观世界里获得的概念，与我们的直观经验较为相符。

然而，微观客体的行为与人们的日常经验毕竟相差很远。

如何按照现代量子物理学的观点去准确认识、理解微观世界本身的规律，电子双缝干涉实验为一典型实例。

杨氏的双缝干涉实验是经典的波动光学实验，玻尔和爱因斯坦试图以电子束代替光束来做双缝干涉实验，以此来讨论量子物理学中的基本原理。

可是，由于技术的原因，当时它只是一个思想实验。

直到1961 年，约恩•孙制作出长为50mm、宽为0.3mm、缝间距为1mm 的双缝，并把一束电子加速到50keV，然后让它们通过双缝。

当电子撞击荧光屏时显示了可见的图样，并可用照相机记录图样结果。

电子双缝干涉实验的图样与光的双缝干涉实验结果的类似性给人们留下了深刻的印象，这是电子具有波动性的一个实证。

更有甚者，实验中即使电子是一个个地发射，仍有相同的干涉图样。

但是，当我们试图决定电子究竟是通过哪个缝的，不论用何手段，图样都立即消失，这实际告诉我们，在观察粒子波动性的过程中，任何试图研究粒子的努力都将破坏波动的特性，我们无法同时观察两个方面。

实验目的：1.在拓展知识面的同时训练学生的动手操作能力；2.通过此类实验建立理论联系实践的能力与思维；记忆合金水车：形状记忆合金是一种特殊的功能材料，它可以记住加工好的形状，当外力或温度改变使其形状发生改变的时候，只要适当的加热就可以恢复原来的形状。

该装置让所选记忆合金周期性地与高温热源和低温热源接触，形状随之周期性地变化，从而驱动水车轮的转动，形象地展示了热变为功的过程和形状记忆合金的特性和用途。

该种形状记忆合金为镍钛合金，有双程记忆功能（即能记忆温度高低两种情况下的形状）可以有上百万次的变形和恢复。

镍钛合金还有相当好的生物相容性，相变温度较低，约在40-50℃，医学上用于脊柱侧歪、骨骼畸形等的矫正。

低温差热机：可以利用比环境温度高4℃的任何热源，使一组活塞运动并推动转轮运转，是一种很好的利用低温热源的热机，可以利用不高的温度差实行热工转化。

主要应用在于能利用传统热机无法利用的能量来源。

经典置换式热气机：利用酒精灯的热量驱动一组活塞、连杆和转轮往复运动，工作物质为封闭在透明活塞筒中的空气。

活塞和工作物质在往复过程中完成吸放热和能量转化，工作过程形象直观，是对热力学定律和热机原理极好的阐释。

其透明活塞材料为石英玻璃，主要特点是热胀冷缩系数小，透光性好。

耐腐蚀性强。

投影式伽耳顿板：可以用来验证大量随机物理事件共同遵循的统计物理规律。

统计物理规律因等概率假设则其结果可靠，在应用方面很广泛，比如相对论基本假设的提出等等。

辉光盘：利用低压气体分子在在高频强电场中激发、碰撞、电离、复合的过程，外界声音影响电场分布从而影响电子运动，在盘上显示出形状变化的荧光。

昆特管（声驻波演示）：利用管中泡沫小球在声驻波场中形成的“泡沫墙”将看不见的声波显示出来，实现了抽象概念的具象化。

该装置的缺点是无法消除静电的影响：泡沫小球帖在管内壁上。

气柱共鸣声速测量装置：通过气柱共鸣测量声速。

热声效应演示仪：所谓热声效应是指在可压缩流体的声震荡与固体介质之间由于热相互作用而产生的均能量。

本科毕业论文论文题目：统计规律在生活中的使用与判断学生姓名：戚德鹏学号：200600910136专业：物理学指导教师：李健学院：物理与电子科学学院2010年5月20日毕业论文（设计）内容介绍目录摘要 (1)Abstract: (1)一、引言 (2)二、统计规律概念的引入及阐述 (2)三、统计规律的特点 (4)四、统计规律在生活中的使用 (5)五、总结 (7)参考文献： (8)统计规律在生活中的使用与判断戚德鹏（山东师范大学物理与电子科学学院，济南，250014）摘要：随着社会与科技的发展，统计规律被大量应用到社会国民经济，工业生产等各个领域，也逐渐的显示出统计规律的重要性。

统计规律是对大量偶然事件整体起作用的一种客观规律，它反映了事物整体的本质和必然的联系。

本文依据统计规律的基本概念，从其在生活中的实例，总结出它的基本特点，使大家在理论和实际生活中对统计规律有一个比较深刻的认识，进而可以使大家在日常生活中有所启发。

关键词：统计规律，偶然事件，大量，概率，联系The use and judgment of statistical rule in lifeQi Depeng(College of Physics and Electronics，Shandong Normal University，Jinan，250014) Abstract:As society and technology development, Statistical law is applied to a large number of social economy, industrial production and other fields, Also gradually show the importance of statistical law. Statistical law is a whole lot of chance events play a role as an objective law, it reflects the nature of matter as a whole and the necessary link. This basic concept of law based on statistics from its instances in life, summed up the basic characteristics of it, so that people living in the theoretical and practical rules on statistics have a more profound understanding of, and then you can have in everyday life inspired. Keywords: statistical law, incident, a great quantity, probability, connection一、引言早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。

实验滚摆演示目的1．通过滚摆的滚动运动演示机械能守恒；2．演示滚摆的平动转动动能之和与重力势能之间的转化。

实验原理滚摆滚动下落的重力势能变为滚摆饶过质心的轴转动的动能和质心平动的动能。

机械能守恒定律告诉我们滚摆的重力势能与滚摆的动能之和保持不变。

操作说明1．将滚摆轴保持水平，均匀使悬线绕在轴上，待滚摆到达一定高度，使轮在挂绳悬点的正下方，放手使其平稳下落；2．在重力作用下，重力势能转化为轮的转动动能。

轮下降到最低点,轮的转速最大，转动动能最大，然后又反向卷绕挂绳，转动动能转化为重力势能,轮的转速减小，位置升高。

如此可多次重复。

注意事项：切勿使滚摆左右摆动或扭转摆动。

实验拓展1，试分析滚摆下落速度（平动）与位置高度的关系。

2，试分析滚摆上下平动运动的周期与轴径的关系。

3，试分析滚摆上下平动运动的周期与滚摆质量的关系。

4，试分析滚摆上下平动运动的周期与滚摆转动惯量的关系实验静电滚筒演示目的本实验是演示尖端放电而产生的力学效应实验原理本实验是演示尖端放电而产生的力学效应。

可绕中轴转动的绝缘塑料筒（矿泉水瓶），表面粘有一些横条形导体箔，作为演示滚筒，滚筒两边与滚筒中轴平行安置放电电极杆，在杆上设置若干垂直于电极杆但指向滚筒切线方向的尖针作为放电的尖端。

当两个电极杆之间加上高电压时，放电将通过电极杆、尖针和筒上横条，在滚筒附近发生，尖针放电所产生的带电粒子冲击滚筒而产生力矩使滚筒转动。

操作说明1．将静电高压电源输出端接到两个电极杆上，将接地线接触地板；2．开启高压电源，调节高压输出电压V（15~20KV），两电极杆分别带上正、负电荷后, 绝缘塑料筒在静电尖端放电形成电风的作用下转动；3．断电后，绝缘塑料筒也将随之停止转动。

实验锥体上滚演示目的1．通过观察与思考双锥体沿斜面轨道上滚的现象，加深了解在重力场中，物体总是以降低重心、趋于稳定的规律。

2．说明物体具有从势能高的位置向势能低的位置运动的趋势，同时说明物体势能和动能的相互转换。

伽尔顿板实验原理伽尔顿板实验原理是指通过将细沙或小颗粒摆放于平板上，并在其上方振动，进而产生花纹的实验。

这个实验由英国物理学家欧内斯特·伽尔顿于1868年发明，可以帮助我们了解振动波和声学的基本原理。

伽尔顿板实验原理基于两个基本概念，即共振和驻波。

共振是指当一个物体以其本身的固有频率震动时，能够引起周围物体以相同的频率共振，并开始跟随物体一起震动；驻波则是指在两个相同频率的波在相反方向上传递时，互相干涉并产生定在空间中的振动波。

伽尔顿板实验需要一个平板和一定数量的细沙或小颗粒。

通常，平板材料为玻璃或金属，表面平滑，可以保证细沙或颗粒能在上面均匀分布。

实验开始时，平板需要固定在一个振动器上面，振动器可以以各种频率和振动幅度振动平板。

当振动器开始振动时，细沙或颗粒开始在平板上产生相互干涉的定波。

随着振动器振幅和频率的不同，不同的花纹会在平板上形成和消失。

伽尔顿板实验可以产生各种形状的花纹，包括圆形、椭圆形、线形和点状。

这些花纹是由定在空间中的共振模式产生的，这些共振模式是由相邻区域之间相互干涉的结果。

尤其是，当平板的共振频率达到细沙或颗粒，由于振幅过大而跑出的最高点时，共振模式将表现为一个形状明显的节点。

伽尔顿板实验的主要适用于声学、物理、工程学、机械制造等领域，尤其是在研发、设计和制造筛网过程中使用较多。

因为伽尔顿板实验涉及到共振现象和波动现象的原理，它也可以广泛应用于声学、物理、物理化学等领域的研究中。

伽尔顿板实验是一种基于共振和驻波原理的实验，可以帮助我们了解振动波和声学的基本原理。

通过观察和分析在平板上产生的花纹，我们可以更好地了解和掌握不同频率和振动幅度下的共振模式。

这些模式在不同领域的研究中具有广泛的应用价值。

伽尔顿板实验除了能够展示共振和驻波现象之外，它还能够展示其他一些物理现象。

它可以帮助我们理解波动力学中的波束衍射、相位差和波长等概念。

波束衍射是指当波通过一个狭窄孔洞或障碍物时，波的传播方向会发生折射和扩散现象。

探究5 伽尔顿板显示的规律探究平台实验目标验证大量偶然事件在整体上表现出来的统计规律。

实验原理1.对于一定种类的大量分子来说，一定温度时，处于一定速率范围内的分子数所占的百分比是确定的，呈现出一定的统计规律性，这种规律是一种统计规律。

2.在一定条件下,若某事件必然出现,这个事件叫做必然事件;若某事件不可能出现,这个事件叫做不可能事件.若在一定条件下某事件可能出现,也可能不出现,这个事件叫做随机事件。

3.由分子动理论可知,气体分子都在永不停息地做无规则运动,分子之间发生着频繁地碰撞,因此每一个分子的运动状态是不确定的,研究某一个分子的运动是没有意义的.虽然每一个分子运动速率是不确定的,但物质的分子数目是非常巨大的,因此大量气体分子的速率存在着一定的统计规律。

气体分子都在做永不停息的运动，对于单个分子某时刻的速率大小是偶然的,但大多数分子在常温下的速率都达到数百米每秒,温度升高,气体分子的热运动越剧烈,大多数分子的速率要增大。

4.气体分子速率的分布：温度较高时，速率较大的分子所占的比例增大，速率较小的分子所占的比例减小，至于哪个分子在什么时刻具有多大的速率，这完全是偶然的。

实验器材木板、小球、铁钉、隔板、漏斗。

实验过程实验步骤：1.自制伽耳顿板（1）在一块平板上部钉入一排排等距的铁钉。

（2）将木板竖直放置。

（3）木板的下部用隔板分割成许多等宽的竖直狭槽，然后用透明板封盖，在顶端中部装一漏斗形入口。

2.如图5-1，取一小球，从伽耳顿板顶部漏斗形入口投入，观察小球落入过程中的现象和落入的结果。

3.重复几次步骤2。

4. 从伽耳顿板顶部漏斗形入口投入大量的小球，观察这些小球下落后的分布。

5. 重复几次步骤4。

6.用数量不同的小球反复做该实验。

注意事项：1.不能根据一次实验现象就得出实验结论。

2.制作伽耳顿板时竖直狭槽要等宽。

实验结论1.伽尔顿板实验说明什么问题？2.小球落入狭槽内的分布有确定规律吗？是什么规律？实验拓展1.你觉得本演示成功的关键在什么地方？________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.实验：模拟伽耳顿板实验有机玻璃制作的封闭式结构的伽耳顿板。

高尔顿（Galton ）钉板实验一、问题描述Galton 钉板试验是英国生物统计学家Galton 设计的。

在一板上钉有n 排钉子，如图示，其中n=5。

右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，,，n 。

从Galton 钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。

碰到下一排钉子时又是如此。

最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。

二、高尔顿钉板试验中的相关问题1、小球落入各个格子中的概率与频数做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i 个格子的概率正好满足二项分布。

设高尔顿钉板有n 行钉，第n 行铁钉共有n 个，有（n+1）个空。

把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，,，n 共（n+1）个空。

观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n(21)0。

观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n（21）n-1(21)1。

小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为P （i ）= C i n（12）n-i(21)i（i=0，1，2，,，n ）。

故，当一个一个从顶部放入k 个小球，低槽中各格的理论频数为：h(i)=k ×P(i),(i=0,1,2,,，n).2、程序运行 2.1基本功能①输入小球数k 、概率p;②计算高尔顿钉板n=4时，放入k 个小球后，落入底槽各格中的实验小球数；③计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的理论小球数；④动画演示每个小球下落路径及底槽各格小球数频率增长情况；④画出落入底槽各格中的实验小球数频率的柱状图；⑤画出落入底槽各格中的实验小球数、落入底槽各格中的理论实验小球数的频率曲线图；⑥关闭。

高中物理《分子动理论》练习题（附答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．右图是用显微镜观察布朗运动时记录的图像，则关于布朗运动，下列说法正确的是（ ）A ．液体分子的无规则运动是布朗运动B ．温度越高，布朗运动越明显C ．悬浮微粒的大小对布朗运动无影响D ．右图为悬浮微粒在这一段时间内的运动轨迹2．关于分子动理论，下列描述正确的是（ ）A ．布朗运动说明悬浮在液体中的固体颗粒分子永不停息地做无规则的运动B ．分子间同时存在引力和斥力，分子间距离小于平衡位置时，分子力表现为斥力C ．气体压强是气体分子间斥力的宏观表现D ．布朗运动和扩散现象都是分子运动3．从筷子上滴下一滴水，体积约为30.1cm ，这一滴水中含有水分子的个数最接近以下哪一个值？（已知阿伏伽德罗常量23A 610/mol N =⨯，水的摩尔体积为3mol 18cm /mol V =）（ ）A ．2610⨯个B ．21310⨯个C ．19610⨯个D ．17310⨯个4．伽尔顿板可以演示统计规律。

如图，让大量小球从上方漏斗形入口落下，最终小球都落在槽内。

重复多次实验后发现（ ）A ．某个小球落在哪个槽是有规律的B ．大量小球在槽内的分布是有规律的C ．越接近漏斗形入口处的槽内，小球聚集越少D ．大量小球落入槽内后均匀分布在各槽中5．在某变化过程中，两个分子间相互作用的势能在增大，则（）A．两个分子之间的距离可能保持不变B．两个分子之间的距离一定在增大C．两个分子之间的距离一定在减小D．两个分子之间的距离可能在增大也可能在减小6．下列说法不正确的是（）A．具有各向同性的物质都是非晶体B．荷叶上的露珠成球形是液体表面张力作用的结果C．当分子间作用力表现为斥力时，分子势能随分子间距离的减小而增大D．相同条件下，温度越高，布朗运动越明显，颗粒越小，布朗运动也越明显7．下列说法正确的是（）A．运送沙子的卡车停于水平地面，在缓慢卸沙过程中，若车胎不漏气，胎内气体温度不变，不计分子间势能，则胎内气体对外界放热B．民间常用“拔火罐”来治疗某些疾病，方法是将点燃的纸片放入一个小罐内，当纸片燃烧完时，迅速将火罐开口端紧压在皮肤上，火罐就会紧紧地被“吸”在皮肤上。

物理演示实验1 麦克斯韦速率分布一 、演示目的：通过伽尔顿板模拟空气分子的麦克斯韦速率分布规律。

二、装置和原理：如图七所示，当转动伽尔顿板时，内部的钢球按一定的数量规律分布在小槽内。

气体分子始终在做无规则热运动，速率范围从零到数千米╱秒。

对一定量的、温度确定的气体，它的速率分布是有规律的，这里我们举例说明，设在一定的体积内，有一万个空气分子，它的速率分布如下表所示：单位：m/s实验中每一小槽代表速率区间，小槽内的钢球数代表这一区间内的分子个数。

其中有一个小槽内的分子数最多，我们把这一速率叫做最概然速率，将这一速率分布的曲线叫做麦克斯韦速率分布规律。

对于特定的温度它的分布规律是确定的，对不同的温度有不同的分布曲线：如图八所示。

三、应用示例：麦克斯韦速率N v分布图象500100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000因为对体积一定气体分子的数量是巨大的，运动又是杂乱无章的，定量研究非常困难，所以必须应用统计规律进行研究，而这一规律就是麦克斯韦速率分布。

2 热力学第二定律的开尔文表述一、演示目的：验证热力学第二定律中的开尔文表述：“不可能制造这样一种机器，在一个循环动作后，只从单一热源吸收热量，使之全部变成功，而不产生其他影响。

”所以本实验要演示在一个循环动作后，从高温热源吸收热量送到低温热源，而对外做功。

这就是热力学第二定律。

二、装置和演示说明：如图所示，为一用胶条为辐条的转轮，在下侧左右分布两个射灯。

当打开左边射灯后，左下侧的胶条受热产生收缩的同时将轮轴拉向左下方，这是整个滚轮的重心偏向右上方。

滚轮在重力矩作用下，做顺时针旋转。

当受热的辐条转离受热区后，胶条恢复原长，所以转轮会连续转动下去。

这里的高温热源为射灯照射的区域，冷却的区域为低温热源。

热量通过胶条从高温热源向低温热源传递，从而对外做功，推动轮子转动。

如果不照射，这时只有一个热源，轮子不会转动，也就不会做功。

气体分子运动的统计规律1．用抛掷硬币出现的现象可用来比拟分子的运动，一次抛掷的硬币正面向上还是反面向上可比拟某个分子运动的偶然性，多次抛掷的正面向上和反面向上的规律性可比拟大量分子的运动具有规律性，大量个别偶然事件整体表现出统计规律。

2．大量分子的无规则运动使气体分子间频繁碰撞，造成气体分子不断地改变运动方向，整体上呈现为杂乱无章的运动，正是这个原因，使得分子在各个方向运动的机会相等。

3．从气体分子的速率分布曲线可以看出，气体分子的速率呈现出“中间多，两头少”的分布规律。

当温度升高时，速率大的分子数增多，速率小的分子数减少，分子的平均动能增大，总体上仍然表现出“中间多，两头少”的分布规律。

4．麦克斯韦最早从理论上导出了气体分子按速率分布的规律，以后又得到了高度精确的实验证明，玻尔兹曼在此基础上又得出了气体分子按能量的分布规律，这些研究成果为分子动理论奠定了基础。

统计规律与气体分子的运动1.(1)掷硬币实验①实验过程：把一枚硬币多次抛出落到地面，要注意每次抛出的高度、方法要相同。

②实验现象：硬币每次落地时出现正面或反面的机会具有偶然性，但多次抛币落地时正面向上和反面向上的次数总是分别接近抛币总次数的二分之一。

(2)统计规律大量个别偶然事件整体表现出来的规律。

2．气体分子及其运动特点(1)分子很小，间距很大，通常认为除碰撞外不受力的作用，做匀速直线运动，因此气体能充满它能达到的整个空间。

(2)分子密度大，碰撞频繁，分子的运动杂乱无章。

(3)由于气体是由数量极多的分子组成，这些分子并没有统一的步调。

单独看来，各个分子的运动都是不规则的，带有偶然性；但总体来看，大量分子的运动遵守统计规律。

(4)分子沿各个方向运动的机会相等。

单个或少量分子的运动是“个性行为”，具有不确定性。

大量分子运动是“集体行为”，具有规律性即遵守统计规律。

1．[多选]近年来，雾霾天气在我国频繁出现，空气质量问题已引起全社会高度关注。

伽尔顿板正态分布
伽尔顿板正态分布是指通过伽尔顿板实验，观察小球落入不同槽中的分布情况，发现小球落入中间部位的槽中的概率较大，而落入两侧槽中的概率较小，从而形成一条钟形曲线，即正态分布。

伽尔顿板实验是一种经典的物理实验，通过观察小球落入不同槽中的分布情况，可以研究随机现象的概率分布规律。

在伽尔顿板实验中，小球从顶部中央的漏斗形入口处投入，经过多次分岔后落入下方的槽中。

由于分岔的过程是随机的，因此小球落入不同槽中的概率是不同的。

当投入大量小球时，可以观察到一种有规律的分布，即正态分布。

正态分布是一种常见的概率分布，其形状呈钟形曲线，具有三个参数：均值、标准差和分布形状参数。

在伽尔顿板实验中，由于分岔过程是随机的，因此小球落入不同槽中的概率分布符合正态分布的规律。

总之，伽尔顿板正态分布是通过伽尔顿板实验观察到的随机现象的概率分布规律，具有重要的理论意义和应用价值。

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伽尔顿板实验小球分布的研究晋宏营;刘美云【摘要】伽尔顿板实验是一个用来说明统计规律的典型实验.本文使用最大熵原理研究了伽尔顿板实验中小球的分布,导出了小球分布的概率密度函数；然后使用蒙特卡罗方法,对伽尔顿板实验进行了计算机模拟；最后把理论推导结果与模拟结果进行了比较,发现二者符合得较好.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2012(022)006【总页数】4页(P31-34)【关键词】伽尔顿板实验;最大熵原理;蒙特卡罗模拟;误差函数【作者】晋宏营;刘美云【作者单位】榆林学院能源工程学院,陕西榆林 719000【正文语种】中文1 引言伽尔顿板实验可以形象地说明大数目随机事件中的统计规律，以及统计规律中伴随的涨落现象.伽尔顿板装置是在一块竖直木板的上部规则地钉上许多钉子，木板的下部用竖直隔板隔成许多等宽的狭槽，从板顶漏斗形的入口处可以投入小球，板前覆盖玻璃，以使小球留在狭槽内［1］.实验表明：当从入口处投入一个小球时，小球最后落入哪个狭槽是偶然的；当投入大量小球时，可看到最后落入各狭槽的小球数目不相同，在中央的槽内小球数目最多，离中央越远的槽内小球越少；当小球数目较多时，重复该实验，每次得到的小球分布彼此近似地重合［1，2］.伽尔顿板实验中大量小球的分布服从一定的统计规律，近似于正态分布，但由于伽尔顿板左右侧面的阻挡限制，该分布的范围与正态分布有差别，不是从-∞到＋∞.伽尔顿板实验中小球分布的函数解析式是什么，教材和其他文献中没有给出［1～5］.我们使用最大熵原理研究了伽尔顿板实验中小球的分布，得到了小球分布的概率密度函数解析表达式；我们还在计算机上对该实验进行了蒙特卡罗模拟，并把模拟得到的小球分布与导出的小球理论分布进行了比较.2 伽尔顿板实验中小球理论分布的推导最大熵原理是统计物理中的一个基本原理，它指出：一个宏观系统的信息熵（广义熵）在一组约束条件下趋于约束极大值.按照此原理，对于一个宏观系统，如果我们选择合适的约束条件，利用拉格朗日乘子法等方法计算其信息熵的约束极大值，原则上可以求出该系统的分布［6］.作为自然界的一个基本规律，最大熵原理已在很多领域得到广泛应用［6～8］，下面我们使用最大熵原理对伽尔顿板实验中小球分布的具体表达式进行推导.图1 伽尔顿板实验装置伽尔顿板实验装置如图1所示，图中黑点代表钉子，下面是狭槽.设入口处相对于狭槽的高度为h，以板底中心为坐标原点，沿板底为x轴建立坐标系，见图1，原点到板底两端的距离均为L.设小球落在坐标x处的概率密度为f（x），即落在区间x—x＋dx之间的概率为f（x）dx，由概率归一化条件，可得根据最大熵原理，信息熵S定义为从入口处投入小球，则小球在下落过程中先后与许多钉子碰撞，最后落入某一狭槽.设各个小球落在板底的位置到入口处的距离平方的平均值为C，则有按照最大熵原理，小球在板底的分布应使得信息熵S在约束条件式（1）和式（3）下取得极大值，这类约束极值问题可使用拉格朗日乘子法解决.根据拉格朗日乘子法，引入函数：式中，α是由约束条件式（1）引入的拉格朗日乘子；β是由约束条件式（3）引入的拉格朗日乘子.由δF［f（x）］＝0，可计算得信息熵S在约束条件（1）和式（3）下取极大值的概率密度函数f（x）为把式（5）代入式（1），得由式（6）得式中为误差函数，它的表达式为与不同x值对应的误差函数erf（x）的值可从一般积分表所附的误差函数表中直接查出［1］.把式（7）代回式（5），即可得伽尔顿板实验中，小球分布的概率密度函数为这样我们便使用最大熵原理推导出了伽尔顿板实验中小球理论分布的具体函数表达式.3 计算机模拟伽尔顿板实验计算机模拟实验是科学研究的重要手段，它可以克服真实实验中遇到的许多困难，弥补实验仪器不足的缺陷［9］.使用计算机模拟伽尔顿板实验可以方便地改变实验参数，便于反复进行多次实验，并快速得到实验结果.我们使用Matlab语言编写了计算机模拟程序，对伽尔顿板实验进行了蒙特卡罗模拟，模拟的伽尔顿板实验装置形状如图1所示，钉子的总行数和每行的钉子个数均可调整.设共有m行钉子，奇数行的钉子数相同为2n-1个，偶数行的钉子数相同为2n个.从上向下统计行数，最上边的钉子为第一行，且第一行中间的那个钉子正对入口处，往下每行钉子交错排开.以第一行中间的钉子为坐标原点，沿着第一行钉子为x轴，向右为x轴正方向，竖直向下为y轴的正方向，建立坐标系.规定同一行中相邻两个钉子的距离为1，相邻的两行距离也是1，奇数行两端的钉子与板边的距离为1，偶数行两端的钉子与板边的距离为0.5；规定第一行中间钉子的坐标为（0，1），从入口处落下的小球第一次都和坐标为（0，1）的钉子相碰，即小球落到第一行时的坐标都为（0，1），在随后的下落过程中每个小球依次与下面的每行钉子中的一个钉子相碰，具体和哪个钉子相碰，由randn函数生成的一个正态分布随机数决定.模拟中小球总数取为N，定义一个N行×2列的矩阵，用来存放这N个小球的位置；矩阵中的每一行代表一个小球，矩阵的第一列用来存放小球位置的x坐标，第二列用来存放小球位置的y坐标.现以小球从第一行下落到第二行为例说明一下模拟过程.当生成的随机数0≤randn ＜n时，小球下落到第二行时位于它在第一行位置的右边，具体下落到哪个位置是这样规定的：当0≤randn＜1时，小球的横坐标加0.5，纵坐标加1；当1≤randn＜2时，小球的横坐标加1.5，纵坐标加1；……；当n-1≤randn＜n时，小球的横坐标加n-0.5，纵坐标加1.当生成的随机数-n≤randn＜0时，小球下落到第二行时位于它在第一行位置的左边，具体规定如下：当-1≤randn＜0时，小球的横坐标加-0.5，纵坐标加1；当-2≤randn＜-1时，小球的横坐标加-1.5，纵坐标加1；……；当-n≤randn＜-n＋1时，小球的横坐标加-n＋0.5，纵坐标加1.当生成的随机数n≤randn≤3n时，小球下落到第二行的位置规定为：当0≤randn-n＜1时，小球的横坐标为n-0.5，纵坐标加1；当1≤randn-n＜2时，小球的横坐标为n-1.5，纵坐标加1；……；当2n-1≤randn-n≤2n时，小球的横坐标为-n＋0.5，纵坐标加1.当生成的随机数-3n≤randn＜-n时，小球下落到第二行的位置规定为：当-1≤randn＋n＜0时，小球的横坐标为-n＋0.5，纵坐标加1；当-2≤randn＋n＜-1时，小球的横坐标为-n＋1.5，纵坐标加1；……；当-2n≤randn＋n＜-2n＋1时，小球的横坐标为n-0.5，纵坐标加1.当生成的随机数randn＞3n或randn＜-3n时，抛弃该随机数，令计算机再重新生成一个.小球从第二行下落到第三行等继续下落的过程依次类推.在下面的模拟中，我们采用了如下设置：共有24行钉子（m＝24），奇数行的钉子数为21个（n＝11），偶数行的钉子数为22个.我们取了1 000 000个小球（N＝1 000 000），对它们在伽尔顿板中的下落过程进行了模拟，得到了小球频数按照落点位置分布的统计直方图，见图2.从图中可看出，在正对小球入口处（中央位置）的小球数目最多，离中央位置越远处的小球数目越少，分布形状近似于正态分布，但与正态分布有差别之处，正态分布的范围是从-∞到＋∞，而伽尔顿板实验中小球的分布由于受到板左右侧面的阻挡限制，分布范围是从板的左边缘到右边缘.图2 小球落点频数统计直方图4 理论推导结果与计算机模拟结果的比较为了便于比较，我们把上述模拟得到的小球频数除以小球总数，转换为频率，从而得到了小球频率按照小球落点位置分布的数据，利用这些数据作出了小球频率按照小球落点位置分布的条形图，见图3.图3 小球概率分布理论曲线与计算机模拟的小球频率条形图的比较把频率取自然对数，可得到小球频率的自然对数与小球落点位置间关系的数据.然后使用最小二乘法，对小球频率的自然对数与小球落点位置间关系的数据进行二次曲线拟合，拟合得到的二次曲线方程为把我们导出的小球理论分布的概率密度函数式（9）两边取自然对数，得式（10）与式（11）比较，得到由上式可计算得将代入式（9），得函数（14）为我们导出的小球理论分布概率密度函数的解析表达式，将此函数的关系曲线与小球频率按照小球落点位置分布的条形图作在同一张图上，见图3.由图3可见，理论导出的小球分布关系曲线（细线）与模拟得到的小球分布频率的条形图符合得较好.这说明我们使用最大熵原理导出的伽尔顿板实验中小球理论分布函数解析式较好地符合了实际情况.5 结论本文使用最大熵原理研究了伽尔顿板实验小球的分布，推导出了小球落点分布的概率密度函数解析表达式，见式（9）.接着使用蒙特卡罗方法对伽尔顿板实验进行了计算机模拟.通过把导出的小球理论分布概率密度函数解析式作成曲线，并把此函数曲线与小球频率按落点位置分布的条形图作在一起进行比较，发现二者符合得较好，这说明导出的小球分布函数解析式较为成功.参考文献【相关文献】［1］李椿.热学第二版［M］.北京：高等教育出版社，2008［2］郝志峰，谢国瑞，汪国强.概率论与数理统计第二版［M］.北京：高等教育出版社，2009 ［3］彭芳麟.伽尔顿板实验的计算机模拟［J］.大学物理，2005，24（1）：45～49［4］廖旭，任学藻.用二项式分布研究伽尔顿板实验的分布曲线［J］.实验科学与技术，2006，（1）：79～81［5］聂燕.高尔顿钉板试验的算法实现及分析［J］.中国民航飞行学院学报，2008，19（3）：62～64［6］Banavar J R，Maritan A，Volkov I.Applications of the principle of maximum entropy：from physics to ecology［J］.Journal of Physics：Condensed Matter，2010，22：063101 ［7］Plastino A，Curado E M F.Equivalence between maximum entropy principle and enforcing dU＝TdS ［J］.Physical ReviewE，2005，72：047103［8］Jin H Y，Luo L F，Zhang L ing estimative reaction free energy to predict splice sites and their flanking competitors［J］.Gene，2008，424（1-2）：115～120［9］彭芳麟.计算物理基础［M］.北京：高等教育出版社，2010。

伽尔顿板实验是一个用于演示中心极限定理的经典实验。

中心极限定理是指，当样本数量足够大时，样本的平均数的分布会接近正态分布。

下面是进行伽尔顿板实验的一般步骤：
1 准备实验材料：准备一块平整的木板（称为伽尔顿板）、若干个
小球、一个计数器和一个记录器。

2 将小球放在伽尔顿板上，然后使用计数器记录小球的数量。

3 将伽尔顿板摇晃，使小球分布在板上。

4 使用记录器记录小球分布的情况。

5 重复步骤3和4，多次进行实验，记录小球分布的情况。

6 对实验结果进行分析，看看小球分布的情况是否接近正态分布。

通过进行伽尔顿板实验，可以直观地理解中心极限定理的含义，并加深对这一定理的理解。

注意，在进行伽尔顿板实验时，应注意安全，避免摔伤或其他伤害。