宁波市效实中学数学旋转几何综合单元测试卷 (word版,含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．【答案】（1）25°（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB∠MOB=2∠BOC=130°∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°∠MON=90°∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°4∠NOC+∠NOC=25°∠NOC=5°∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．（1）求点D的坐标；（2）如图（1），求△ACD的面积；（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．【答案】（1）解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵BC＝8，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），∵AB∥CD，AB＝CD，∴D（﹣2，﹣4）（2）解：如图（1），连接OD，∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16（3）解：∠M＝45°，理由是：如图（2），连接AC，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABO，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB+∠DCB＝90°，∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，∴∠MCB＝，∠OAM＝，∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.3．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）若，求的度数；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.【答案】（1）解：，理由如下：，（2）解：如图①，设，则，由（1）可得，，，（3）解：分两种情况：①如图1所示，当时，，又，；②如图2所示，当时，，又，.综上所述，等于或时， .【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.4．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30=120°．由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=60°﹣15°=45°（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°．由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= α+15°，∠CON= ∠BOC=15°．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON= α+15°﹣15°= α（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= β+45°，∠CON= ∠BOC= β．∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON= β+45°﹣β=45°（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON= ∠BOC，与∠BOC的大小无关【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分线的定义可知∠MOC= α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°，∠CON= β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根据计算结果找出其中的规律即可．5．将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC=90°，∠BOC=45°，∠MON=90°，∠MNO=30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒（1）当t=________秒时，OM平分∠AOC？如图2，此时∠NOC﹣∠AOM=________°；（2）继续旋转三角板MON，如图3，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系？并说明理由；（3）若在三角板MON开始旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止，（自行画图分析）①当t=________秒时，OM平分∠AOC？（4）②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．【答案】（1）2.25；45（2）解：∠NOC﹣∠AOM=45°，∵∠AON=90°+10t，∴∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，∵∠AOM=10t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°（3）3（4）解：②∠NOC﹣∠AOM=45°．∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∠MON=90°，∠BOC=45°，∵∠AON=90°+∠AOM=90°+10t，∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+5t，∴∠NOC=∠AON﹣∠AOC=90°+10t﹣45°﹣5t=45°+5t，∴∠NOC﹣∠AOM=45°．【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=45°，OM平分∠AOC，∴∠AOM= =22.5°，∴t=2.25秒，∵∠MON=90°，∠MOC=22.5°，∴∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；故答案为：2.25，45；·（3）①∵∠AOB=5t，∠AOM=10t，∴∠AOC=45°+5t，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM= AOC，∴10t= （45°+5t），∴t=3秒，故答案为：3．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOM= =22.5°，于是得到t=2.25秒，由于∠MON=90°，∠MOC=22.5°，即可得到∠NOC﹣∠AOM=∠MON﹣∠MOC﹣∠AOM=45°；（2）根据题意得∠AON=90°+10t，求得∠NOC=90°+10t﹣45°=45°+10t，即可得到结论；（3）①根据题意得∠AOB=5t，∠AOM=10t，求得∠AOC=45°+5t，根据角平分线的定义得到∠AOM= AOC，列方程即可得到结论；（4）②根据角的和差即可得到结论．6．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.（1）求的度数.（2）若，求的度数(用含的代数式表示).（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.【答案】（1）解：∵平分，，.（2）解：如图，过点作∵，，， .∵平分，平分，，，，，..（3）解：如图2为平移后的图形.的度数发生了改变.过点作，平分，平分，，，， .∵，，，，.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：，进而可由求得答案.7．如图1，点是第二象限内一点, 轴于，且是轴正半轴上一点，是x轴负半轴上一点，且 .（1）（________），（________）（2）如图2，设为线段上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点 ,求的度数: (注: 三角形三个内角的和为 )（3）如图3,当点在线段上运动时，作交于的平分线交于 ,当点在运动的过程中，的大小是否变化?若不变，求出其值;若变化，请说明理由.【答案】（1）-2,0；0,3（2）解：如图，作DM∥x轴根据题意，设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，∵∠CAD=90°，∴∠CAE+∠OAD=90°，∴2y+∠OAD=90°，∴∠OAD=90°-2y，∵DM∥x轴，∴∠OAD+∠ADM=180°，∴90-2y+2x+90°=180°，∴x=y，∴∠APD=180°-(∠PAD+∠ADP)=180°-(y+90°-2y+x)=180°-90°=90°（3）解：∠N的大小不变，∠N=45°理由：如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC.∵BC∥x轴，∴DE∥BC∥x轴，NF∥BC∥x轴，∴∠EDM=∠BMD，∠EDA=∠OAD，∵DM⊥AD，∴∠ADM=90°，∴∠BMD+∠OAD=∠EDM+∠EDA=∠ADM=90°，∵MN平分∠BMD，AN平分∠DAO，∴∠BMN= ∠BMD，∠OAN= ∠OAD，∴∠ANM=∠BMN+∠OAN= ∠BMD+ ∠OAD= ×90°=45°.【解析】【解答】解：（1）由，可得和，解得∴A的坐标是（-2,0）、B的坐标是（0,3）；故答案为：-2,0；0,3；【分析】（1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b的值；（2）如图，作DM∥x轴，结合题意可设∠ADP=∠OAP=x，∠EAF=∠CAF=∠OAP=y，根据平角的定义可知∠OAD=90°-2y，由平行线的性质可得∠OAD+∠ADM=180°，即90-2y+2x+90°=180°，进而可得出x=y，再结合图形即可得出∠APD的度数；（3）∠N的大小不变，∠N=45°，如图，过D作DE∥BC，过N作NF∥BC，根据平行线的性质可知∠BMD+∠OAD=∠ADM=90°，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，可得∠ANM= ∠BMD+ ∠OAD，据此即可得到结论.8．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。

宁波市效实中学中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．(1)问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 .(2)拓展探究如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.解析：(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．(3) 5-32≤PC≤5+32．【分析】（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE 交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-32≤BE≤5+32.【详解】（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．理由：如图1中，∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ACD=90°，在Rt△ACD和Rt△BCE中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD延长BE 交AD 于点F ，∵BC ⊥AD ，∴∠EBC+∠CEB=90°，∵∠CEB=AEF ，∴∠EAD+∠AEF=90°，∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．∴AD=BE ，AD ⊥BE ．故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴ACD=∠BCE ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，∴∠BOH+∠OBH=90°，∴∠OHB=90°，∴AD⊥BE，∴AD=BE，AD⊥BE．（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，即5-32≤PC≤5+32．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．2．（问题原型）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作O．求证：点B、D在O上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．（发现结论）矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．（结论应用）如图，已知线段2AB=，以线段AB为对角线构造矩形ACBD．求矩形ACBD面积的最大值．（拓展延伸）如图，在正方形ABCD中，2AB=，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为_____________________解析：问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2【分析】问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积； 拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH 为正方形, 证明四边形AEOH 是正方形，继而求得面积【详解】解：【问题原型】∵AC 为O 直径，∴OA 为O 半径.令OA r =.∵四边形ABCE 为矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，.12OB OD BD == ∴OB OD OA r ===.∴点B 、D 在O 上.【结论应用】连续CD 交AB 于点O ，过点D 作DE AB ⊥于点E .∴DE OD ≤.由【发现结论】可知，点D 在以AB 为直径的圆上，即112OD OA AB ===， ∴当1DE OD ==即AB CD ⊥时，矩形ACBD 的面积最大.2AB CD ==∴矩形ACBD 的面积最大值为22112222AB =⨯=. 【拓展延伸】如图，连接GH ,设AC 与EF 的交点为O四边形ABCD 是正方形2AB ∴=,90BAD ADC ∠=∠=︒，//AE DF点E 、F 分别为边AB 、CD 的中点1AE EB CF FD ∴====,2EF =∴四边形AEFD 是矩形//EF AD ∴EF AB ⊥，由【结论应用】可知，2EF =时，矩形EGFH 的面积最大为2122EF = 此时四边形EGFH 为正方形，此时MN 最大，EF GH ∴⊥,112EO OF OH OG EF ===== ∴四边形AEOH 是正方形∴112AE AH AB === ∴2222112EH AE AH =+=+=∴正方形EGFH 的面积为：22(2)2EH ==【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．3．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,22AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．解析：（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； ②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； （2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠FAD ＝∠DAE ＝45°，证△FAD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．【详解】（1）①如图1，∵把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，BE DG =∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴45BAE DAF ∠+∠=︒，∴45DAG DAF ∠+∠=︒，即45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS ≌，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；②180B D ∠+∠=︒，理由是：把ABE △绕A 点旋转到ADG ，使AB 和AD 重合，则AE AG =，B ADG ∠=∠，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADC ︒∠+∠=，∴180ADC ADG ∠+∠=︒，∴C ，D ，G 在一条直线上，和①知求法类似，45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS △≌△，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；故答案为：180B D ∠+∠=︒（2）∵ABC 中，22AB AC ==，90BAC ∠=∴45ABC C ∠=∠=︒，由勾股定理得：2222(22)(22)4BC AB AC =+=+= ，把AEC 绕A 点旋转到AFB △,使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF AE =，45FBA C ∠=∠=︒，BAF CAE ∠=∠，∵45DAE ∠=︒，∴904545FAD FAB BAD CAE BAD BAC DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴45FAD DAE ∠=∠=︒，在FAD △和EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD EAD △≌△，∴DF DE =，设DE x =，则DF x =，∵1BC =，∴413BF CE x x ==--=-，∵45FBA ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90FBD ∠=︒，由勾股定理得：222DF BF BD =+，222(3)1x x =-+， 解得：5=3x ， 即5=3DE ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．4．综合与实践（1）（探索发现）在ABC ∆中. AC BC =，ACB α∠=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．如图（1），当点D 在线段BC 上，且90α=︒时，试猜想：①AF 与BE 之间的数量关系：______；②ABE ∠=______．（2）（拓展探究）如图（2），当点D 在线段BC 上，且090α︒<<︒时，判断AF 与BE 之间的数量关系及ABE ∠的度数，请说明理由．（3）（解决问题）如图（3），在ABC ∆中，AC BC =，4AB =，ACB α∠=，点D 在射线BC 上，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．当3BD CD =时，直接写出BE 的长．解析：（1）①AF BE =；②90︒；（2）AF BE =，ABE α∠=．理由见解析；（3）BE的长为1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF ≌△EDB ，可得AF=BE ，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；（2）结论：AF=BF ，∠ABE=a ．由“SAS”△ADF ≌△EDB ，即可解决问题；（3）分当点D 在线段BC 上和当点D 在BC 的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．【详解】解：（1）如图1中，设AB 交DE 于O ．∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°，∵DF ∥AC ，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB ，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB ，且DA=DE ，DF=DB∴△ADF ≌△EDB （SAS ），∴AF=BE ，∠DAF=∠E ，∵∠AOD=∠EOB ，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案为AF=BE ，90°．（2）AF BE =，ABE α∠=.理由：∵//DF AC ，∴FDB ACB α∠=∠=，CAB DFB ∠=∠.∵AC BC =，∴ABC CAB ∠=∠.∴ABC DFB ∠=∠.∴DB DF =∵ADE FDB α∠==∠，ADF ADE FDE ∠=∠-∠，EDB FDB FDE ∠=∠-∠，∴ADF EDB ∠=∠.又∵AD DE =，∴ADF EDB ∆≅∆.∴AF BE =，AFD EBD ∠=∠.∴AFD ABC FDB ∠=∠+∠，DBE ABD ABE ∠=∠+∠，∴ABE FDB α∠=∠=.（3）1或2.解：当点D 在线段BC 上时，过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，如图（1）.∵//DF AC ，∴3BF BD AF CD==. ∵4AB BF AF =+=，∴1AF =.∵//DF AC ，∴BDF C ADE α∠=∠=∠=，DFB CAB ∠=∠.∵ADF ADE FDE ∠=∠-∠，EDB FDB FDE ∠=∠-∠，∴ADF EDB ∠=∠.∵AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠.∴DFB DBF ∠=∠.∴DF DB =.又AD DE =，∴ADF EDB ∆≅∆，1BE AF ==.当点D 在线段BC 的延长线上时，过点D 作//DF AC '交BA 的延长线于点F '，如图（2）. ∵//DF AC '，∴2AB BC AF CD=='. ∴24AB AF '==.∴2AF '=.同理可得2BE AF '==.综上可得，BE 的长为1或2.【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是 ，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()3【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可．【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ）∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒， EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，12ED DG AD DC ∴== .EDAGDC ∴ 12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥． 综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ，则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE ＝22224225AD DE +=+= ，如图1，当点G 、P 重合时， 则点A 、E 、G 在同一直线上， ∵AD ＝DG ＝4，∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ，∴∠DAG ＝∠COG ，∴∠DGA ＝∠COG ，又∵∠GDO ＝∠CDG ，∴△GDO ∽△CDG ，∴DO DG OG DG DC CG == ∴448DO OG CG== ∴DO ＝2，CG ＝2OG ，∴OC ＝DC －DO ＝8－2＝6，∵在Rt △COG 中，OG 2＋GC 2＝OC 2，∴OG 2＋（2OG ）2＝62，∴OG 655∴CG＝1255，由（2）得：12 AE CG∴AE＝655，综上所述，AE的长为25或655．【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．6．问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：________；②若AC＝BC＝10，DC＝CE＝2，则线段AD的长为________；拓展延伸（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝21，BC＝7，CD＝3，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．解析：（1）①垂直，②4；（2）作图见解析，3323【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；（2）分点D在BC左侧和BC右侧两种情况讨论，根据勾股定理和相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD ⊥BD故答案为：垂直②如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，∵∠ADC=45°，CF ⊥AD ，CD=2∴DF=CF=1∴22AF AC CF 3=-=∴AD=AF+DF=4故答案为：4．（2）①如图：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，AC 21BC 7CD 3CE ＝1，∴7,DE=2,∠ACD ＝∠BCE,7AC BC DC CE= ∴△ACD ∽△BCE ．∴∠ADC ＝∠E ，3AD AC BE BC =． 又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE =90°，即∠ADE=90°．∴AD ⊥BE ．设BE=x ，则3．在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=， 即2223)(2)(27)x x +-=（． 解得123,2x x ==-（负值舍去）．∴AD=33②如图，同①设BE=x ，则AD=3x ． 在Rt △ABD 中，222AD BD AB +=，即2223)(+2)(27)x x +=（． 解得122,3x x ==-（负值舍去）．∴AD=23．综上可得，线段AD 的长为332 3.或【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，关键是添加恰当辅助线．7．在Rt ABC ∆中，90,7,2ACB AB AC ︒∠===，过点B 作直线//m AC ，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到A B C ''∆（点,A B 的对应点分别是,A B ''），射线,CA CB ''分别交直线m 于点,P Q ．（1）问题发现：如图1所示，若P 与A '重合，则ACA '∠的度数为_________________ （2）类比探究：如图2，所示，设A B ''与BC 的交点为M ，当M 为A B ''中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸：在旋转过程中，当点,P Q 分别在,CA CB ''的延长线上时，试探究四边形PA B Q ''的面积是否存在最小值，若存在，直接写出四边形PA B Q ''的最小面积；若不存在，请说明理由解析：（1）60°；（2）72；（3）存在，33【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得cos ∠A'CB=3BC A C '=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到PB=3BC A C '=tan ∠BQC=tan ∠，进而得出PQ=PB+BQ=72；（3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =12，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-【详解】解（1）由旋转得：2AC A C '==，90,2,ACB AB AC BC ︒∠===∴=90,//ACB m AC ︒∠=， 90A BC ︒'∴∠=，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB ︒'∴∠=，60A CA ︒'∴∠=；(2)因为M 是AA '中点，所以A CM MA C ''∠=∠，A MA C '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∠=∠=∴，32PB ∴==． ∵∠PCQ=∠PBC=90°，∴∠BQC+∠BPC=∠BCP+∠BPC=90°，∴∠BQC=∠BCP=∠A ，tan tan BQC A ∴∠=∠= 2BQ BC ∴==， 72PQ PB BQ ∴=+=；(3) PA B Q PCQ A CB PCQ S S S S ''''∆=-=PA B Q S ''∴最小，即PCQ S 最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯=， 取PQ 的中点G ，190,2PCQ CG PQ ︒∠=∴=，即PQ=2CG ， 当CG 最小时， PQ 最小，CG PQ ∴⊥， CG 与CB 重合，CG 最小，∵CG 的最小值为3，PA B Q S ''∴33=-．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．如图（1），已知点G 在正方形ABCD 的对角线AC 上，GE ⊥BC ，垂足为点E ，GF ⊥CD ，垂足为点F ． （1）证明与推断：①求证：四边形CEGF 是正方形；②推断：AG BE的值为 ： （2）探究与证明：将正方形CEGF 绕点C 顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG 与BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF 在旋转过程中，当B ，E ，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG 交AD 于点H ．若AG=6，GH=22，则BC= ．解析：（1）①四边形CEGF 是正方形；22）线段AG 与BE 之间的数量关系为2；（3）5【分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG 2CE=、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC 2a =，由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、10CH a 3=，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CG CE =，GE ∥AB ， ∴2AG CG BE CE==， 故答案为2；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG 2CB CA 2， ∴CG CE =2CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ， ∴2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°， ∴∠AGH=∠CAH=45°， ∵∠CHA=∠AHG ， ∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AHAC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ， 则由AG GH AC AH =得6222AH a=， ∴AH=23a ，则DH=AD ﹣AH=13a ，CH=22CD DH +=103a ， ∴由AG AH AC CH=得2632103aa a =， 解得：a=35，即BC=35， 故答案为35． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.9．（基础巩固）（1）如图①，ABC ACD CED α∠=∠=∠=，求证：ABC CED ∽△△． （尝试应用）（2）如图②，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F 分别为边,AD AB 上两点，将菱形ABCD 沿EF 翻折，点A 恰好落在对角线DB 上的点P 处，若2PD PB =，求AEAF的值． （拓展提高）（3）如图③，在矩形ABCD 中，点P 是AD 边上一点，连接,PB PC ，若2,4,120PA PD BPC ==∠=︒，求AB 的长．解析：（1）见解析；（2）54；（3）113AB = 【分析】（1）由,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠证明A DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定方法解题即可；（2）由菱形的性质，得到AB AD =，60A ∠=︒，继而证明ABD △是等边三角形，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质，设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=-可整理得到54x y =，据此解题； （3）在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，由矩形的性质，得到120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒，结合（1）中相似三角形对应边成比例的性质解题即可．【详解】解：（1）证明：∵,ABC ACD ACE A ABC α∠=∠=∠=∠+∠， ∴DCE A αα∠+=∠+，即A DCE ∠=∠， ∵ABC CED α∠=∠=， ∴ABC CED ∽△△； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB AD =， ∴60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∴60EPF A ADB ABD ∠=∠=∠=∠=︒， 由（1）得，EPD PFB ∽， ∴DE PD PEPB BF PF==， 设,2,,BP a DP a AE PE x AF PF y ======，则3,3DE a x BF a y =-=- ∴323a x a xa a y y-==-， 可得3ay xy ax -=①，32ax xy ay -=②， ①－②，得332ay ax ax ay -=-， ∴54x y =， ∴AE AF 的值为54； （3）如图，在AD 边上取点E ，F ，使得30ABE DCF ∠=∠=︒，设AB =CD =m ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴90A D ∠=∠=︒，∴120BEP BPC PFC ∠=∠=∠=︒， 60BPE DFC ︒∠=∠=1,sin 60233AB BE CF AE BE ∴====︒= DF ，223m PE AE ∴=-=- 443m PF DF ∴=-=-， 由（1）可得，BEP PFC ∽， ∴BE EPPF FC=， ∴22332433m mm m -=-，整理，得22380m m +-=， 解得113m =-或311m =--（舍去）， ∴113AB =-． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题、等边三角形的性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 10．(1)方法选择如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+.小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM … 小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =… 请你选择一种方法证明． (2)类比探究 （探究1）如图②，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，BC 是O 的直径，AB AC =．试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论．（探究2）如图③，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．(3)拓展猜想如图④，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．解析：(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：2BD CD =；【探究2】32BD CD AD =+；(3)拓展猜想：c aBD CD AD b b=+.【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD 上截取DM=AD ，连接AM ，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD ，根据全等三角形的性质得到BM=CD ，于是得到结论；（2）类比探究：如图②，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，推出△ADM 是等腰直角三角形，求得根据全等三角形的性质得到结论； 【探究2】如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD ，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；（3）如图④，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC=90°，过A 作AM ⊥AD 交BD 于M ，求得∠MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=c b CD ，DM=abAD ，于是得到结论．【详解】(1)方法选择：∵AB BC AC ==， ∴60ACB ABC ∠=∠=︒，如图①，在BD 上截取=DM AD ，连接AM ， ∵60ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM ∆是等边三角形， ∴AM AD =， ∵ABM ACD ∠=∠， ∵120AMB ADC ∠=∠=︒， ∴()ABM ACD AAS ∆≅∆， ∴BM CD =，∴BD BM DM CD AD =+=+； (2)类比探究：如图②， ∵BC 是O 的直径， ∴90BAC ∠=︒， ∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∵45ADB ACB ∠=∠=︒， ∴ADM ∆是等腰直角三角形， ∴AM AD =，45AMD ∠=︒， ∴DM =，∴135AMB ADC ∠=∠=︒， ∵ABM ACD ∠=∠， ∴()ABM ACD AAS ∆≅∆，∴BM CD =，∴BD BM DM CD =+=；[探究2]如图③，∵若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒， ∴90BAC ∠=︒，60ACB ∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∵60ADB ACB ∠=∠=︒， ∴30AMD ∠=︒， ∴2MD AD =，∵ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ∴ABM ACD ∆∆，∴BM ABCD AC== ∴BM ，∴2BD BM DM AD =+=+；故答案为2BD AD =+；(3)拓展猜想：c aBD BM DM CD AD b b=+=+；理由：如图④，∵若BC 是O 的直径， ∴90BAC ∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， ∴90MAD ∠=︒， ∴BAM DAC ∠=∠， ∴ABM ACD ∆∆，∴BM AB cCD AC b==， ∴cBM CD b=，∵ADB ACB ∠=∠，90BAC NAD ∠=∠=︒， ∴ADM ACB ∆∆，∴AD AC bDM BC a==， ∴aDM AD b=， ∴c aBD BM DM CD AD b b =+=+.故答案为c aBD CD AD b b=+.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．如图①，点C把线段AB分成两部分，如果510.6182CBAC-=≈，那么称点C为线段AB的黄金分割点．（1）特例感知：在图①中，若100AB=，求AC的长；（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：①作两条相互垂直的直径MN、AI；②作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；③以点A为圆心，AQ为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦AB BC CD DE AQ====，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形．在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由．（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72︒的值．解析：（1）61.8；（2）是，理由见解析；（351 -【分析】（1）根据黄金分割的定义求解即可；（2）设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，利用勾股定理求出PA ，继而求出OQ ，MQ ，即可作出判断；（3）先求出正五边形的每个内角，即可得到∠PEA =∠PAE =18010872︒-︒=︒，根据已知条件可知cos 72°=12AEPE ，再根据点E 是线段PD 的黄金分割点，即可求解．【详解】 解：（1）∵510.6182CB AC -=≈， ∴510.6182A C AC B A --=≈， 即510.6181020AC AC --=≈， 解得：AC ≈61.8；（2）Q 是线段OM 的黄金分割点，理由如下： 设⊙O 的半径为a ，则OA =ON =OM =a ，∴OP =1122ON a =，∴225PA OP OA PQ =+==， ∴OQ =PQ -OP 51-， ∴MQ =OM -OQ 35-， 355151MQ OQ --==- ∴Q 是线段OM 的黄金分割点；（3）正五边形的每个内角为：()521801085-⨯︒=︒，∴∠PEA =∠PAE =18010872︒-︒=︒，∴cos 72°=12AEPE，∵点E 是线段PD 的黄金分割点， ∴512DEPE-=， 又∵AE =ED ， ∴512AE PE -=， ∴cos 72°=15124AEPE -=． 【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理、锐角三角函数，解题的关键是读懂题意正确解题． 12．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GFAE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，BCk AB=（k 为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE交GF 于点O ．试探究GF 与AE CP 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，210GF =，求CP 的长．解析：（1）①证明见解析；②解：结论：1GFAE=．理由见解析；（2）结论：FG k AE =．理由见解析；（3）955PC =．【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得AB=DA ，∠ABE=90°=∠DAH ．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO ，于是△ABE ≌△DAH ，可得AE=DQ ．②证明四边形DQFG 是平行四边形即可解决问题． （2）结论：FGk AE=如图2中，作GM ⊥AB 于M ．证明：△ABE ∽△GMF 即可解决问题． （3）如图2-1中，作PM ⊥BC 交BC 的延长线于M ．利用相似三角形的性质求出PM ，CM 即可解决问题． 【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB DA =，90ABE DAQ ∠==∠． ∴90QAO OAD ∠+∠=． ∵AE DH ⊥，∴90ADO OAD ∠+∠=． ∴QAO ADO ∠=∠． ∴ABE ∆≌DAQ ∆()ASA ， ∴AE DQ =． ②解：结论：1GFAE=． 理由：∵DQ AE ⊥，FG AE ⊥， ∴//DQ FG ， ∵//FQ DG ，∴四边形DQFG 是平行四边形， ∴FG DQ =， ∵AE DQ =， ∴FG AE =， ∴1GFAE=． 故答案为1． （2）解：结论：FGk AE=． 理由：如图2中，作GM AB ⊥于M ．∵AE GF ⊥，∴90AOF GMF ABE ∠=∠=∠=，∴90BAE AFO ∠+∠=，90AFO FGM ∠+∠=， ∴BAE FGM ∠=∠， ∴ABE ∆∽GMF ∆， ∴GF GMAE AB=， ∵90AMG D DAM ∠=∠=∠=， ∴四边形AMGD 是矩形， ∴GM AD =， ∴GF AD BCk AE AB AB===． （3）解：如图2﹣1中，作PM BC ⊥交BC 的延长线于M ．∵//FB GC ，//FE GP ， ∴CGP BFE ∠=∠， ∴3tan tan 4BE CGP BFE BF∠=∠==， ∴可以假设3BE k =，4BF k =，5EF AF k ==， ∵23FG AE =，210FG = ∴310AE =∴222(3)(9)(310)k k +=，∴1k =或﹣1（舍弃），∴3BE =，9AB =，∵:2:3BC AB =，∴6BC =，∴3BE CE ==，6AD PE BC ===，∵90BEF FEP PME ∠=∠=∠=，∴90FEB PEM ∠+∠=，90PEM EPM ∠+∠=，∴FEB EPM ∠=∠，∴FBE ∆∽EMP ∆， ∴EF BF BE PE EM PM ==， ∴5436EM PM==， ∴245EM =，185PM =， ∴249355CM EM EC ===-=， ∴22955PC CM PM =+=． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．13．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是 ，NB 与MC 的数量关系是 ；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠=，11175B A C ∠=，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A 按顺时针方向旋转75，得到线段1A Q ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．解析：（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）1QB 的最小值为4342-．【分析】（一）①结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．根据SAS 证明NAB ∆≌MAC ∆即可． ②①中结论仍然成立．证明方法类似．（二）如图3中，在11A C 上截取11A N A Q =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A M B C ⊥于M ．理由全等三角形的性质证明1B Q PN =，推出当PN 的值最小时，1QB 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．【详解】（一）（1）结论：NAB MAC ∠=∠，BN MC =．理由：如图1中，∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BN CM =．故答案为NAB MAC ∠=∠，BN CM =．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵MAN CAB ∠=∠，∴NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠，∴NAB MAC ∠=∠，∵AB AC =，AN AM =，∴NAB ∆≌MAC ∆（SAS ），∴BN CM =．（二）如图3中，在11A C 上截取111A N A B =，连接PN ，作11NH B C ⊥于H ，作111A M B C ⊥于M ．∵1111C A B PAQ ∠=∠， ∴111QA B PA N ∠=∠，∵11A Q A P =，11A B AN =，∴11QA B ∆≌1PA N ∆（SAS ），∴1B Q PN =，∴当PN 的值最小时，1QB 的值最小，在11Rt A B M ∆中，∵1160A B M ∠=，118A B =， ∴111sin6043AM A B =•= ∵1111111753045MAC B AC B A M ∠=∠-∠=-=，∴1146AC =∴1111468NC AC A N =-=，在1Rt NHC ∆，∵145C ∠=， ∴432NH =根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，∴1QB 的最小值为4342-．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．14．如图1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形．探究发现（1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若B 、C 、E 三点不在一条直线上，∠ADC ＝30°，AD ＝3，CD ＝2，求BD 的长． （3）若B 、C 、E 三点在一条直线上（如图2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为1和2，求△ACD 的面积及AD 的长．解析：（1）全等，理由见解析；（2）BD 133）△ACD 3AD 3 【分析】 （1）依据等式的性质可证明∠BCD ＝∠ACE ，然后依据SAS 可证明△ACE ≌△BCD ； （2）由（1）知：BD ＝AE ，利用勾股定理计算AE 的长，可得BD 的长；（3）过点A 作AF ⊥CD 于F ，先根据平角的定义得∠ACD ＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，由三角形面积公式可得△ACD 的面积，最后根据勾股定理可得AD 的长．【详解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠ACD ＝∠DCE +∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；（2）如图3，由（1）得：△BCD ≌△ACE ，∴BD ＝AE ，∵△DCE 都是等边三角形，∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2，∵∠ADC ＝30°，∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝30°+60°＝90°，在Rt △ADE 中，AD ＝3，DE ＝2， ∴229413AE AD DE =+=+=， ∴BD ＝13；（3）如图2，过点A 作AF ⊥CD 于F ，∵B 、C 、E 三点在一条直线上，∴∠BCA +∠ACD +∠DCE ＝180°，∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD ＝60°，在Rt △ACF 中，sin ∠ACF ＝AF AC ， ∴AF ＝AC ×sin ∠ACF ＝33122⨯=， ∴S △ACD ＝113322222CD AF ⨯⨯=⨯⨯=， ∴CF ＝AC ×cos ∠ACF ＝1×1122=，FD ＝CD ﹣CF ＝13222-=， 在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2+FD 2＝2233322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AD ＝3．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．（性质探究）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF=2OG．（迁移应用）（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当121 3S S 时，求ADAB的值．（拓展延伸）（4）若DF交射线AB于点F，（性质探究）中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．解析：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）52；（4）55或10515【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可．（2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题．（3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．（4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G 在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，。

宁波市初中数学图形的平移，对称与旋转的专项训练解析含答案一、选择题，若将△ABO绕点O沿顺时针方向旋转90°1．如图，平面直角坐标系中，已知点B(3,2)后得到△A1B1O，则点B的对应点B1的坐标是( )A．（3，1）B．（3，2）C．（1，3）D．（2，3）【答案】D【解析】【分析】根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可．【详解】解：△A1B1O如图所示，点B1的坐标是（2，3）．故选D．【点睛】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键．2．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】试题解析：选项A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；选项D 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.【详解】请在此输入详解！3．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）A ．（30）B ．（3，0）C ．（403523，32D ．（30） 【答案】B【解析】【分析】根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.【详解】由题意知，111C A =，11160C A B ︒∠=，则11130C B A ︒∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+， ∴2019C (20196733,0)+，故选B .【点睛】考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.4．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP＋FP的长最短为( )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】试题分析：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG 的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．∵AE=DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG=AD=4．故选B．5．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（）A．（1，0）B．（0，0）C．（-1，2）D．（-1，1）【答案】C【解析】【分析】根据其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，那么对应点到旋转中心的距离相等，找出这个点即可．【详解】解：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有（-1，2）点到三角形的三顶点距离相等，故（-1，2）是图形的旋转中心，故选：C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转中心到对应点的距离相等，是解决问题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）A ．3(2,3)--B ．33(2,2)---C ．3(3,2)--D ．(3,3)- 【答案】D【解析】【分析】 过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.【详解】解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，∴'0'6M B A ∠=︒，在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==22=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠，∴'3B M =，'1A M =，∴OM=2+1=3，∴'B 的坐标为(3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B ．8．如图，在ABC V 中，60,3,5,B AB BC ∠=︒==将ABC V 绕点A 顺时针方向旋转得到,ADE V 当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】 由旋转得到AD=AB ，由此证明△ADB 是等边三角形，得到BD=AB=3，即可求出CD.【详解】由旋转得AD=AB ，∵60B ∠=︒，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB=3，∴CD=BC-BD=5-3=2，故选：C.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定及性质，根据旋转得到AD=AB是解题的关键，由此得到等边三角形进行求解.9．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是( )A．30°B．60°C．72°D．90°【答案】C【解析】【分析】紫荆花图案是一个旋转不变图形，根据这个图形可以分成几个全等的部分，即可计算出旋转的角度．【详解】解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，因而旋转的角度是360÷5=72度，故选：C．【点睛】正确认识旋转对称图形的性质，能够根据图形的特点观察得到一个图形可以看作几个全等的部分．10．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A．13B．5C．22D．4【答案】A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1=13．故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.11．在下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.12．如图，将△ABC 绕点C （0，1）旋转180°得到△A'B'C ，设点A 的坐标为(,)a b ，则点的坐标为（ ）A ．(,)a b --B ．(,1)a b ---C ．(,1)a b --+D ．(,2)a b --+【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，点A 、A′关于点C 对称，设点A 的坐标是（x ，y ），则 0122a xb y ++==，，解得2x a y b =-=-+，，∴点A 的坐标是(2)a b --+，．故选D ． 考点：坐标与图形变化-旋转．13．如图，在ABC ∆中，90,2,4C AC BC ∠=︒==，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒，使点C 落在点E 处，点B 落在点D 处，则B E 、两点间的距离为（ ）A 10B ．2C ．3D ．25【答案】B【解析】【分析】 延长BE 和CA 交于点F ，根据旋转的性质可知∠CAE=90︒，证明∠BAE=∠ABC ，即可证得AE ∥BC ，得出2142EF AF AE FB FC BC ====，即可求出BE ． 【详解】延长BE 和CA 交于点F∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到△AED∴∠CAE=90︒∴∠CAB+∠BAE=90︒又∵∠CAB+∠ABC=90︒∴∠BAE=∠ABC∴AE∥BC∴2142 EF AF AEFB FC BC====∴AF=AC=2，FC=4∴BF=42∴BE=EF=12BF=22故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质．14．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；故选D.15．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为( )A．70°B．80°C．84°D．86°【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°.【详解】由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°.∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，∴∠B＝∠BB1A＝40°.∴∠AB1C1＝40°.∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°.故选：B.【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键.16．已知互不平行的两条线段AB，CD关于直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上；③若A、C是对称点，则l垂直平分线段AC；④若B、D是对称点，则PB=PD.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】【详解】由轴对称的性质知，①②③④都正确.故选D.17．下列图形中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可.【详解】A、B、C都不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意.【点睛】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.18．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．有两个内角相等的三角形 B．有一个内角为45°的直角三角形C．有两个内角分别为50°和80°的三角形 D．有两个内角分别为55°和65°的三角形【答案】D【解析】A.有两个内角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形；B.有一个内角为45度的直角三角形是等腰直角三角形，也是等腰三角形，是轴对称图形；C.有两个内角分别为50度和80度的三角形，第三个角是50度，故是等腰三角形，是轴对称图形；D.有两个内角分别为55度和65度的三角形,不是等腰三角形，不是轴对称图形.故选：D.19．有两条或两条以上对称轴的轴对称图形是（）A．等腰三角形 B．角 C．等边三角形 D．锐角三角形【答案】C【解析】A.等腰三角形只有一条对称轴；B.角也只有一条对称轴，是角平分线所在的直线；C.等边三角形有三条对称轴；D.锐角三角形的对称轴数量不确定.故选：C20．下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．。

效实中学新高一数学能力测试试题卷一、填空题1. 已知 0x 是关于 x 的方程 210x ax −−=的根. 当 32a =− 时， 0x = ___; 当2a =时，3001x x −=_______2. 已知实数a ，b ，c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++最小值为___，此时 22a b ab ++=______3. 对实数m ，n .定义运算 “⊗”为: m n mn n ⊗=+. 已知关于x 的方程()14x a x ⊗⊗=−.若该方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是___，若该方程有两个不等负根，则实数a 的取值范围是___.4. 如图，AB 是半圆O 直径，弦AD ，BC 相交于点P ， 60DPB ∠=，D 是弧BC 的中点. 则ACAB的值为_______5. 记()()2211xyx y A xy−−=. 若a c abc ++=，则ab bc ca A A A A =++值为_________6. 若一条直线过ABC 的内心，且平分ABC 的周长. 则该直线分ABC 所成的两个图形的面积之比为_______7. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大. 则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中， 如果某人不亚于其他 99 人， 就称他为棒小伙子， 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________人.8. 如果直角三角形三边都是 200 以内的正整数， 且较长的两边长相差 1 . 那么这样的直角三角形有____________个. 9. 用()S n 表示自然数n 的数字和. 例如:()10101S =+=，()90990918S =++=.若对任意自然数n ，都有()n S n x+≠. 则满足这个条件的最大的两位整数x 的值是_________.10. 把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃 A 、红桃 A 、方块 A 、梅花 A 、黑桃 2 、 红桃 2、方块 2、梅花 2、...、黑桃 K 、红桃 K 、方块 K 、梅花 K 的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①: 把整叠牌最上面一张丢掉， 再执行步骤②: 把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面， 再执行步骤①，再的的的的执行步骤②， ...... 步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，请问：最后剩下的这张牌是_________.11. 若实数 a b ，满足a b+=，则 a 取值范围为_________. 12. 已知()()21R f x ax x =−∈，若关于 x 的方程 ()f x x = 与 ()()f f x x= 都有解，且两个方程的解完全相同，则实数 a 的取值范围是_________.二、解答题13. 已知函数()22f x x bx c=−++在1x =时有最大值1.（1）求实数⋅b c 的值；（2）设0m n <<，若当m x n ≤≤时，()f x 的最小值为1n ，最大值为1m，求m ，n 的值.的效实中学新高一数学能力测试试题卷一、填空题1. 已知 0x 是关于 x 的方程 210x ax −−=的根. 当 32a =− 时， 0x = ___; 当2a =时，3001x x −=_______ 【答案】 ①. 12或2− ②. 8+或8− 【解析】【分析】直接解方程可得第一空，利用整体的思想及方程的思想可先化简代数式，并代入方程的根计算即可得第二空.【详解】显然32a =−时，方程可化为()()22320212x x x x +−==−+， 解之得012x =或02x =−； 2a =时，有202101x x x −−=⇒=+或01x =，且20021x x =+， 对于()()()()2200030000011222141xx x x x x x x x −++−===+，当01x =时，0448x +=+当01x =−时，0448x +=−故答案为：12或2−；8+或8−. 2. 已知实数a ，b ，c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的最小值为___，此时 22a b ab ++=______ 【答案】 ①. 12−##0.5− ②. 12##0.5 【解析】【分析】由()20a b c ++≥求出ab bc ca ++的最小值，此时()c a b =−+，再将两边平方，代入2221a b c ++=求出22a b ab ++. 【详解】因为()()222220a b c ab bc ca a b c +++++=++≥，所以()2221122ab bc ca a b c ++≥−++=−，当且仅当0a b c ++=时取等号，所以ab bc ca ++的最小值为12−， 此时()c a b =−+，则()()2222212c a b a ab b =−×+=++， 则222222212a ab b b a b c a +++++=+=， 所以2212a b ab ++=.故答案为：12−；123. 对实数m ，n .定义运算 “⊗”为: m n mn n ⊗=+. 已知关于x 的方程()14x a x ⊗⊗=−.若该方程有两个相等的实数根，则实数a 的值是___，若该方程有两个不等负根，则实数a 的取值范围是___. 【答案】 ①. 0 ②. 0a > 【解析】【分析】首先化简()x a x ⊗⊗，即可得到方程()()2414110a x a x ++++=，再根据()410Δ0a +≠ =计算第一空，由根判别式及韦达定理得到不等式组，即可得到第二空. 【详解】因为a x ax x ⊗=+，所以()()()()()()211x a x x ax x x ax x ax x a x a x ⊗⊗=⊗+=+++=+++，又()14x a x ⊗⊗=−，所以()()211104a x a x ++++=， 即()()2414110a x a x ++++=， 若该方程有两个相等的实数根，则()()()2410Δ1611610a a a +≠ =+−+= ，解得0a =； 若该方程有两个不等负根，则()()()()2410Δ16116101041a a a a+≠ =+−+> >+ ，解得0a >， 所以实数a 的取值范围是0a >. 故答案为：0；0a >4. 如图，AB 是半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ， 60DPB ∠= ，D 是弧BC 的中点. 则ACAB的值为_______的【答案】12##0.5 【解析】【分析】依题意可得90ACB ∠= ，即可求出30CAD ∠= ，再由D 是弧BC 的中点，得到CAD BAD ∠=∠，即可求出CAB ∠【详解】∵AB 是半圆O 的直径， ∴90ACB ∠= ，∵60APC DPB ∠=∠= ， ∴30CAD ∠= ，∵D 是 BC的中点， ∴30∠=∠= CAD BAD ， ∴60CAB ∠= ， ∴1cos cos 602AC CAB AB ∠===． 故答案为：12． 5. 记()()2211xyx y A xy−−=. 若a b c abc ++=，则abbc ca A A A A =++的值为_________【答案】4 【解析】【分析】依题意a 、b 、c 均不为0，根据所给定义表示出ab A ，bc A ，ca A ，再通分计算可得. 【详解】依题意a 、b 、c 均不0，又()()222222111aba b a b a b A abab−−−−+==，为()()222222111bcb c c b c cb A bcb −−−−=+=，()()222222111cac a c a c ca A caa −−−−=+=，且a b c abc ++=， 所以222222222222111ab bc ca bc ac a b a b c b c b c a c a A A A A ab −−−+++−−−=++=++222222222222a a a b b babc abc c a c b c a b c a c b c b b c a c a abc −−+−−−+−+++= 222222222222a a cc a c b c a b c a c b c b b c a c a a b b ab b−−++−−−−=+++ ()()()222222a a cabc a c b c ab a b c c b cb a b c c a ca b b a b c a b −−+++−−+++−−+++=222222222222abc a c b c a b ab abc c b abc b c c b c a ca abc c aabca ab b −−+++−−=++++−−++ 44abcabc=. 故答案为：46. 若一条直线过ABC 的内心，且平分ABC 的周长. 则该直线分ABC 所成的两个图形的面积之比为_______ 【答案】1:1 【解析】【分析】设ABC 的内心为O ，内切圆的半径为r ，作出图形，再由面积公式计算可得. 【详解】设ABC 的内心为O ，内切圆的半径为r ，内切圆与三边的切点分别为D 、E 、F ， 则OE OF OD r ===，且OE BC ⊥，OF AC ⊥，OD AB ⊥，过ABC 的内心，且平分ABC 的周长的直线m ，与BC 交于点M ，AC 交于点N ， 则AB AN BM CN CM ++=+，又()12ABMN ANO ABO BMO S S S S AN AB BM r =++=++ ， ()12CMN CNO CMO S S S CN CM r =+=+ ， 所以ABMN CMN S S = ，即该直线分ABC 所成的两个图形的面积之比为1:1. 故答案为：1:17. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大. 则称甲不亚于乙. 在 100 个小伙子中， 如果某人不亚于其他 99 人， 就称他为棒小伙子， 那么 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有 _________人. 【答案】100 【解析】【分析】先讨论有两个、三个小伙子时棒小伙子的最多个数，再设想100个人时的极端情况，分类讨论即可. 【详解】先考虑两个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高，且乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有2人．再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高＞乙的身高＞丙的身高，且丙的体重＞乙的体重＞甲的体重，可知“棒小伙子”最多有3人．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为()1,2,,100i A i = ，其身高为i x ，体重为i y ， 当121100i i x x x x x +>>>>>> 且1009911 i i y y y y y +>>…>>…>> 时， 由身高看，i A 不亚于12100,,i i A A A ++ ，由体重看，i A 不亚于1121,,,i i A A A − ， 所以，i A 不亚于其他99人，i A 为“棒小伙子”， 因此，100个小伙子中的“棒小伙子”最多可能有100个． 故答案为：100．8. 如果直角三角形的三边都是 200 以内的正整数， 且较长的两边长相差 1 . 那么这样的直角三角形有____________个. 【答案】9 【解析】【分析】利用勾股定理及数的性质计算即可.【详解】不妨设该直角三角形的是三边长依次为,,1x y y +，其中200,N x y x y ∗≤<∈、， 由勾股定理知()2222121x y y x y +=+⇒=+，显然21y +为大于1且小于401的奇数，所以x 为大于1且小于20的奇数，则3,5,7,9,11,13,15,17,19x =，即满足题意的直角三角形有9个. 故答案为：99. 用()S n 表示自然数n 的数字和. 例如: ()10101S =+=，()90990918S =++=.若对任意自然数n ，都有()n S n x +≠. 则满足这个条件的最大的两位整数x 的值是_________. 【答案】97 【解析】【分析】列出90,,80n = 时()n S n +的值，再判断80n <且n 为自然数时()n S n +的取值情况，即可得解.【详解】因()909099S +=，()8989106S +=，()8888104S +=， ()8787102S +=，()8686100S +=，()858598S +=，()848496S +=， ()838394S +=，()828292S +=，()818190S +=，()808088S +=， 当80n <且n 为自然数时，()797995n S n +≤++=， 当90n >且n 为自然数时，nn +SS (nn )>99， 所以若对任意自然数n ，都有()n S n x +≠， x 的值为97. 故答案为：9710. 把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃 A 、红桃 A 、方块 A 、梅花 A 、黑桃 2 、 红桃 2、方块 2、梅花 2、...、黑桃 K 、红桃 K 、方块 K 、梅花 K 的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①: 把整叠牌最上面一张丢掉， 再执行步骤②: 把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面， 再执行步骤①， 再执行步骤②， ...... 步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，请问：最后剩下的这张牌是_________. 【答案】红桃J 【解析】【分析】根据规律分析每轮丢掉的牌与剩下的牌，即可分析出最后剩下的牌. 【详解】不妨将54张牌按照上述顺序依次标号为1，2， ，54， 第一轮将丢掉1，3，5， ，53；第二轮将丢掉2，6，10， ，54，此时需将4号移到整叠牌的最下面，剩下的牌从上到下按顺序依次为8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，4； 第三轮将丢掉：8，16，24，32，40，48，4，此时需将12号移到整叠牌的最下面， 为剩下的牌从上到下按顺序依次为20，28，36， 44，52，12；第四轮将丢掉：20，36， 52，剩下的牌从上到下按顺序依次为28，44，12； 第五轮将丢掉：28，12，故最后剩下的为44； 又241042+×=，所以第44张为红桃J ， 故最后剩下的这张牌是红桃J . 故答案为：红桃J11. 若实数 a b ， 满足a b +=，则 a 的取值范围为_________. 【答案】0a ≥ 【解析】【分析】利用根式的意义先确定0a ≥，再利用换元法及反比例函数、二次函数的性质计算即可. 【详解】由题意易知0a b a b +≥−≥ ，所以0a ≥，①显然0a =时，0b =，②当0a >时，不妨设b ta =， 此时()()101110a b t a t a b t a +=+≥⇒−≤≤−=−≥ ，则()()()21141t a t a t +=⇒+=−若1t =，则00a b a b −=⇒== 若1t =−，则00a b a b +=⇒==，也不符合题意，所以11t −<<，即()()()()()2222418418411181142111t t a t t t t t −−+ ===−=−− ++ +++， 易知11t −<<时1101221t t<+<⇒<+， 令11m t =+，则211842a m =−− ，由二次函数的性质可知211180242a >−−= ， 综上，0a ≥. 故答案为：0a ≥.12. 已知()()21R f x ax x =−∈，若关于 x 的方程 ()f x x = 与 ()()f f x x = 都有解，且两个方程的解完全相同，则实数 a 的取值范围是_________. 【答案】1344a −≤≤ 【解析】【分析】分0a =与0a ≠进行讨论，当0a ≠时结合一元二次方程的根的判别式与条件两个方程可知2210a x ax a +−+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x −−=的根，计算即可得. 【详解】由已知()210f x x ax x =⇒−−=，()()()22110f f x x a ax x =⇒−−−= ()()342222221110a x a x x a axx a x ax a ⇒−−+−=−−+−+=，由题意可知210ax x −−=有实根， ①当0a =时，有()1f x =−，即1x =−， 令()()f f x x =，即()11f x −=−=，符合要求；②当0a ≠时，()f x x =有解，则140a ∆=+≥，解得14a ≥−， 要满足题意，此时2210a x ax a +−+=要么没有实根， 要么实根是方程210ax x −−=的根，若2210a x ax a +−+=没有实根，则()22410a a a ∆=−−<，解得34a <； 若2210a x ax a +−+=有实根且实根是方程210ax x −−=的根，则由方程210ax x −−=，得22a x ax a +，代入2210a x ax a +−+=， 有210ax +=．由此解得12x a =−，再代入得111042a a +−=，由此34a =， 综上所述， a 的取值范围是1344a −≤≤．故答案为：1344a −≤≤.二、解答题13. 已知函数()22f x x bx c =−++在1x =时有最大值1. （1）求实数⋅b c 的值；（2）设0m n <<，若当m x n ≤≤时，()f x 最小值为1n ，最大值为1m，求m ，n 的值. 【答案】（1）4− （2）1m =，n =【解析】的第9页/共9页【分析】（1）依题意可得()1411b f = =，即可求出b 、c 的值；（2）由（1）可得()()2211f x x =−−+，即可得到1m ≥，从而得到()1f m m =且()1f n n=，从而得到m ，n 是关于x 的方程()21211x x−−+=的两个解，即可求出m 、n 的值. 【小问1详解】因()22f x x bx c =−++在1x =时有最大值1， 则()14121b f b c = =−++=，解得41b c = =− ，所以4b c ⋅=−； 【小问2详解】由（1）可得()()22241211f x x x x =−+−=−−+，则()1f x ≤，又0m n <<，所以11m≤，则1m ≥， 所以当m x n ≤≤时()f x 单调递减，所以()()21211f m m m =−−+=，且()()21211f n n n =−−+=， 所以m ，n 是关于x 的方程()21211x x−−+=的两个解， 即()()212210x x x −−−=， 解方程得11x =，2x =，3x = 又1m n ≤<，所以1m =，n =. 为。