第十六章二次根式知识点总结大全教学内容

二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

第十六章二次根式教材简析本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值．教学指导【本章重点】二次根式的性质和运算．【本章难点】灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则．2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论．3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值．课时计划16.1二次根式2课时16.2二次根式的乘除2课时16.3二次根式的加减2课时16.1二次根式第1课时二次根式的概念教学目标一、基本目标【知识与技能】理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围．【过程与方法】经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力．【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识．二、重难点目标【教学重点】二次根式的概念，二次根式有意义的条件．【教学难点】求二次根式中字母的取值范围．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．3．下列式子中，不是二次根式的是(B)A．45B．－3C．a2＋3D．2 3环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？11，－5，(－7)2，313，15－16，3－x(x≤3)，－x(x≥0)，(a－1)2，－x2－5，(a－b)2(ab≥0)．【互动探索】(引发学生思考)要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．【解答】因为11，(－7)2，15－16＝130，3－x(x≤3)，(a－1)2，(a－b)2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数均为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数都小于0，所以不是二次根式．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号；(2)被开方数是非负数．【例2】当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．【互动探索】(引发学生思考)二次根式有意义要满足什么条件？本题是否还要考虑其他条件？【分析】要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.【答案】≥－3且x≠－1【互动总结】(学生总结，老师点评)使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数为非负数，三是零次幂的底数不为零．活动2巩固练习(学生独学)1．下列式子中，是二次根式的是(A)A．－7B．3 7C．x D．x 2．使式子－(x－5)2有意义的未知数x有(B) A．0 个B．1 个C．2 个D．无数个3．当x是多少时，2x＋3x＋x2在实数范围内有意义？解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，x ≠0.∴当x ≥－32且x ≠0时，2x ＋33＋x 2在实数范围内没有意义．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若实数x 、y 满足y ＞x －2＋6－3x ＋3，求|y －3|－(x －y )2的值．【互动探索】要求|y －3|－(x －y )2的值，需确定出x 、y 的取值范围．根据式子y ＞x －2＋6－3x ＋3，可以确定出x 、y 的取值范围．【解答】由题意，得x －2≥0且6－3x ≥0， 解得x ＝2，则y ＞3.故|y －3|－(x －y )2＝y －3－y ＋2＝2－3＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式有意义的条件求出x 的值，从而确定y 的取值范围，然后利用二次根式的性质化简代数式．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式⎩⎪⎨⎪⎧概念有意义的条件——被开方数是非负数练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的性质教学目标一、基本目标 【知识与技能】理解a (a ≥0)是一个非负数、(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)，并利用它们进行计算和化简；了解代数式的概念．【过程与方法】在明确(a )2＝a (a ≥0)和a 2＝a (a ≥0)的算理的过程中，感受数学的实用性；通过小组合作交流，培养学生的合作意识．【情感态度与价值观】通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的性质． 【教学难点】运用二次根式的性质进行有关计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P3～P4的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)当a >0时，a 表示a ；(2)当a ＝0时，a 表示0概括：一般地，a (a ≥0)是一个非负数．2．教材P3“探究”，根据算术平方根的意义填空： (1)(4)2＝4； (2)2＝2；⎝⎛⎭⎫132＝13； (0)2＝0. (2)一般地，(a )2＝a (a ≥0)． 3．教材P4“探究”，填空： (1)22＝2；0.012＝0.01； ⎝⎛⎭⎫232＝23； 02＝0.(2)一般地，a 2＝a (a ≥0)．教师点拨：二次根式的三个性质：(1)a (a ≥0)是一个非负数；(2)(a )2＝a (a ≥0)；(3)a 2＝a (a ≥0)．4．用基本运算符号把数或表示数的字母连结起来的式子，我们称这样的式子为代数式． 5．计算：0.019 6×22 500＝21；549＝73. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)( 1.5)2； (2)(25)2； (3)16； (4)(－5)2.【互动探索】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？【解答】(1)()1.52 ＝1.5. (2)(25)2＝22×(5)2＝4×5＝20. (3)16＝(42)＝4. (4)()－52＝52＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数．当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，a 2＝||a ＝⎩⎨⎧a ()a ≥0；－a()a <0.【例2】化简下列二次根式． (1)8a 3b (a ≥0，b ≥0)； (2)(－36)×169×(－9).【互动探索】(引发学生思考)根据开方的定义化简．注意：二次根式的结果是最简二次根式．【解答】(1)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝(2a )2·2ab ＝2a 2ab . (2)(－36)×169×(－9)＝36×169×9＝6×13×3＝234.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数；(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(式)，即化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式正确的是( D ) A ．(－4)×(－9)＝－4×－9 B ．16＋94＝16×94C ．449＝4×49D ．4×9＝4×92．计算：(1)(9)2； (2)－(3)2； (3)64； (4)a 2＋2a ＋1. 解：(1)9. (2)－3. (3)8. (4)a 2＋2a ＋1＝()a ＋12＝||a ＋1.当a ≥－1时，原式＝a ＋1；当a <－1时，原式＝－a－1.3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |.解：从数轴上a 、b 的位置关系，可知－2＜a ＜－1,1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0，原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－|a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简(a ＋b ＋c )2－(b ＋c －a )2＋(c －b －a )2. 【互动探索】根据三角形的三边关系，得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，然后去绝对值符号合并即可．【解答】∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的性质⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0(a ≥0)(a )2＝a (a ≥0)a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)a (a <0)练习设计请完成本课时对应训练！16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5； (2)13×27； (3)9×27； (4)12× 6. 【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【解答】(1)3×5＝15. (2)13×27＝13×27＝9＝3. (3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3. (4)12×6＝12×6＝ 3. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)4a 2b 3； (5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90. (4)4a 2b 3＝4·a 2·b 3＝2·a ·b 2·b ＝2ab b . (5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x ＋1·x －1＝x 2－1成立的条件是( A ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1 C ．－1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤－12．计算： (1)12×3； (2)23×315； (3)23×3512×5936. 解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： (1)(－4)×(－9)＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3. 解：(1)不正确．改正：(－4)×(－9)＝4×9＝36＝6. (2)不正确． 改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】比较大小：(1)35与53； (2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45， 53＝25×3＝75. 因为45<75，所以35<5 3. (2)－413＝－16×13＝－208， －511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5B ．27C ． 2D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0) C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4(x ＋1)＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减教学目标一、基本目标【知识与技能】通过合并被开方数相同的二次根式，会进行二次根式的加法与减法运算．【过程与方法】在分析问题的过程中，渗透对二次根式加减法的理解，再总结经验，用它来指导二次根式的计算和化简．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，体会合作学习的先进性．二、重难点目标【教学重点】会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算．【教学难点】运用二次根式的加减运算解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P13的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．2．计算下列各式．(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.解：(1)原式＝(2＋3)2＝5 2.(2)原式＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)原式＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4) 原式＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】计算： (1)27＋13＋12； (2)32＋48－8＋3； (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223；(4)()6－222＋()23－1()23＋1.【互动探索】(引发学生思考)运用二次根式的加减法法则及乘法公式进行计算，在计算时要注意哪些问题？【解答】(1)27＋13＋12＝33＋33＋23＝1633. (2)32＋48－8＋3＝32＋43－22＋3＝2＋5 3. (3)3⎝⎛⎭⎫22－63＋ 1.5－223＝26－2＋62－223＝326－53 2.(4)()6－222＋()23－1()23＋1＝6－412＋8＋()12－1＝25－8 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)计算二次根式的加减法时，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式．计算二次根式的混合运算时，注意运算顺序．【例2】已知a －5－2＋b －5＋2＝0，求a 2＋b 2＋7的值．【互动探索】(引发学生思考)根据算术平方根的非负性，可得a ＝5＋2，b ＝ 5－2，然后再代入求值即可．【解答】由题意，得a －5－2＝0，b －5＋2＝0，解得a ＝5＋2，b ＝5－2，a 2＋b 2＋7＝5＋4＋45＋5＋4－45＋7＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了二次根式的加减，关键是掌握算术平方根具有非负性．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算32－2的值是( D ) A ．2 B ．3 C ． 2D ．2 22．若最简二次根式3a －8与17－2a 可以合并，则a ＝5. 3．计算： (1)348－913＋312； (2)(48＋20)＋(12－5)． 解：(1)＝15 3. (2)63＋ 5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝0，求23x 9x ＋y 2x y 3－x 21x －5x yx的值． 【互动探索】先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x －1)2＋(y －3)2＝0，即可求出x 、y 的值．再根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．【解答】∵4x 2＋y 2－4x －6y ＋10＝4x 2－4x ＋1＋y 2－6y ＋9＝(2x －1)2＋(y －3)2＝0，∴x ＝12，y ＝3. 原式＝23x 9x ＋y 2x y3－x 21x＋5x y x＝2x x ＋xy －x x ＋5xy ＝x x ＋6xy . 当x ＝12，y ＝3时，原式＝12×12＋632＝24＋3 6. 【互动总结】(学生总结，老师点评)化简求值时一般是先化简为最简二次根式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次根式的混合运算教学目标一、基本目标 【知识与技能】掌握含有二次根式的混合运算和含有二次根式的乘法公式的应用． 【过程与方法】复习整式运算知识并将该知识应用于含有二次根式的混合运算． 【情感态度与价值观】理解知识间的类比，进一步体会数学学习方法的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】熟练地进行二次根式的混合运算，进一步提高运算能力． 【教学难点】正确地运用二次根式混合运算法则及运算律进行运算，并把结果化简．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P14的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．2．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用． 3．计算： (1)13×27； (2)35； (3)80－45； (4)(25－2)2. 解：(1)3. (2)155. (3) 5. (4)22－410. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算： (1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3.【互动探索】(引发学生思考)如何进行二次根式的混合运算？ 【解答】(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝ 2. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5. (3)原式＝2－3＋23＝2－1－233.【互动总结】(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样，即先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．【例2】计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．【互动探索】(引发学生思考)(1)利用平方差公式进行计算即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．【解答】(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋6 2.(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列计算：①(2)2＝2；② (－2)2＝2；③(－23)2＝12；④(2＋3)( 2－3)＝－1.其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果(2＋2)2＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＝ 6，b ＝ 4. 3．计算： (1)(6＋8)×3； (2)(46－32)÷22； (3)(5＋6)(3－5)； (4)(10＋7)(10－7)．解：(1)32＋2 6.(2)23－32.(3)13－3 5.(4)3.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】先化简，再求值：1x＋y＋1y＋yx x＋y，其中x＝5＋12，y＝5－12.【互动探索】化简式子→代入x、y的值进行计算【解答】1x＋y＋1y＋yx(x＋y)＝xyxy(x＋y)＋x(x＋y)xy(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝xy＋x(x＋y)＋y2xy(x＋y)＝(x＋y)2xy(x＋y)＝x＋y xy.当x＝5＋12，y＝5－12时，x＋y＝5，xy＝1，所以原式＝ 5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求代数式的值，如果直接代入计算比较繁琐，可以根据式子特点，整体代入进行计算．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次根式的混合运算同整式的混合运算顺序相同，乘法公式和乘法法则同样适用．练习设计请完成本课时对应训练！。

第十六章二次根式出处何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理1．二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式。

2．最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。

（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。

（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（2）二次根式根号下被开方数≥07.【公式】：（1）√a·b=√a×√b；√a×√b=√a·b（2）√ab=√a√b√a√b=√ab（3）(√a)2=a （４）√a²=|a|={a (a≥0)–a (a≤0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。

比如：91691675734916525916916916+≠+∴≠=+=+==++≠+1625162513145162539162516251625-≠-∴≠=-=-==--≠-分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。

比如：413√2（×）；133√2（√）1.填空（1）√8=________；（2）√18=________；（3）√32=________；（4）√50=________；（5）√12=________；（6）√27=________；（7）√48=________；（8）√75=________；（9）√20=________；（10）√45=________；（11）√80=________；（12）√125=________；2.填空；（1）√4x=________；（2）√9x=________；（3）√16x=________；3.填空；（1）√2x²=________；（2）√3x²=________；（3）√4x2=________；（4）√8x2=________；（5）√2x³=________；（6）√3x3=________；（7）√4x3=________；（8）√8x3=________；4.填空（1）√12=________；（2）√13=________；（3）√18=________；（4）√19=________；（5）√23=________；（6）√25=________；（7）√35=________5.填空（1）√1x=________；（2）√12x=________；（3）√1x²=________；（4）√12x²=_______；（5）√1x³=________；（6）√12x³=_______6、计算:(1)√16x+√9x (2)√80−√45(3) 5√2+√8−7√18 (4)√80+√8−√45−7√18 (5)√32−√12−2(√18+√27) (6) 2√8+12√18−14√32(7)√12−(√13−√127) (8) 3√40−√25−2√110(9) 2√12−4√127+3√48 (10)√24−√12+2√23−√18−√6 7．计算：（1）(√8+√3)×√6（2）(5√8+3√3)×2√3（3）(4√2−3√6)÷2√2（4）2√3(4√2−3√6＋5√12−√8)（5）(7√2+2√6)(2√6−7√2)（6）(√7−7√3)²（7）已知x=√3+2，y=√3−2，求x2-y2的值二、函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（∵分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数≥0（∵负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x﹣2 （2）y=1x﹣2（3）y=5x﹣2-1x+3（4）y =x﹣2（5）y=1x﹣2（6）y=1√x−2（7）y =x+5x﹣2（8）y=x﹣2+2﹣x解：（1）x取任意实数【∵题目中没有分母也没有根号∴x取任意实数】（2）x≠2【∵由分母x-2≠0得x≠2】（3）x≠2并且x≠﹣3 【由{分母x−2≠0分母x+3≠0解之得{x≠2x≠−3即x≠2并且x≠﹣3】（4）x≥2【∵由被开方数x-2≥0得x≥2】（5）x＞2【由{被开方数x−2≥0分母√x−2≠0解之得{x≥2x≠2∴x＞2】（6）x≥0并且x≠4【由{被开方数x≥0分母√x−2≠0解之得{x≥0x≠4∴x≥0并且x≠4】（7）x≥﹣5并且x≠2【由{被开方数x+5≥0分母x−2≠0解之得{x≥−5x≠2∴x≥﹣5并且x≠2】（8）x=2【由{被开方数x−2≥0被开方数2−x≥0解之得{x≥2x≤2∴x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x﹣2﹣1x+3（4）y=x+3（5）y=1x+3（6）y=√x−3（7）y=x+3x﹣2（8）y=x-3 +3-x11. (武汉)式子x-1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ． x ≥1 C ． x ≤－1 D ．x <－111.（鞍山）要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤211.（江苏盐城）有意义，则x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数x 的取值范围是_________。

第十六章二次根式16.1二次根式16.2二次根式的乘除16.3二次根式的加减【知识精要】二次根式及其性质一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．5、商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负 (≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．化简：．分析：待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解：由数轴上点的位置可知a>b，0<a<1，b<－1，∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．例2、化简下列二次根式：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．例3、若x为实数，化简下列各式（1）（2）由于x为实数，要确定中的x＋1和中的x－2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论．解：（1）==|x＋1|当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|=x＋1当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|=－(x＋1)=－x－1（2）=＋2=|x－2|＋2|1＋x| 令x－2=0，则x=2，令x＋1=0，则x=－1，x=2,x=－1称为零点值把x=2，x=－1这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x≥2，－1≤x<2，x<－1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号．1）当x≥2时|x－2|＋2|1＋x|=(x－2)＋2(1＋x)=3x；2）当－1≤x<2时，|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)＋2(1＋x)=x＋4；3）当x<－1时|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)－2(1＋x)=－3x解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的．例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．中考解析例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数a、b的位置可知，a－b<0，例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3解析：是正整数，12－n是一个整数的平方数，当n增大时，12－n减小，所以当n=11时，12－n=1，所以n的最大值为11．答案：B例3、（荆门市）若，则x－y的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析：本题考查二次根式的意义， 由题意可知 x －1≥0且1－x ≥0, ∴，，∴x －y=2，故选C ． 答案：C一、选择题(共20分)：1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）AB2、下列根式中,最简二次根式是( )3、计算：3÷6的结果是 ( )A 、12B 、62C 、32 D 、 2 4、如果a 2＝－a ，那么a 一定是 （ ）A 、负数B 、正数C 、正数或零D 、负数或零 5、下列说法正确的是( )A 、若,则a ＜0 B 、若 ,则a ＞0C 、D 、5的平方根是6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m 为( ) A 、-3 或1 D 、-17、能使等式成立的x 值的取值范围是（ ）8X C.6X 3 D.X 2+1a 2=- a a 2= a 5a 4b 8=a 2b 4A 、x ≠2B 、x ≥0C 、x ＞2D 、x ≥2 8、已知xy ＞0,化简二次根式2x yx -的正确结果是( )9、已知二次根式2x 的值为3，那么x 的值是（ ） A 、3B 、9C 、-3D 、3或-310、若a =，b =，则a b 、两数的关系是（ ）A 、a b =B 、5ab =C 、a b 、互为相反数D 、a b 、互为倒数 二、填空题(共30分)：11、当a=-3时，二次根式1－a 的值等于 。

第16章二次根式一、二次根式的概念核心提要1．二次根式的定义：形如________(其中a≥0)的式子叫做二次根式．2．与二次根式相关的概念：(1)若x2＝a，则________是________的平方根；(2)a(a≥0)表示________的算术平方根．知识点1：平方根与算术平方根1．填空：(1)9的平方根是________；(2)25的算术平方根是________；(3)0的算术平方根是________；(4)a(a≥0)的算术平方根是________．知识点2：二次根式的定义2．下列式子中是二次根式的是()A．7B．3 7C．x D．－7知识点3：二次根式有意义的条件3．式子1x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x＜1B．x≤1 C．x＞1D．x≥1 4．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)x＋1；(2)2x；变式1填空：(1)5的平方根是________；(2)11的算术平方根是________；(3)－3________平方根是(填“有”或“没有”)；(4)a(a≥0)的平方根是________．变式2下列式子：①12；②－3；③－x2＋1；④327；⑤（－3）2是二次根式的有()A．①③B．①③⑤C．①②③D．①②③⑤变式3式子x－1 x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥1B．x≥1且x≠2 C．x＞1D．x≤1且x≠2变式4当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)3－x；(2)－4x；基础巩固1.下列各式①12；②2x；③x2＋y2；④－5；⑤35，其中二次根式的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3的是()A．2x－3B．1x－3C．x－3D．x－3 3．若使二次根式2x－6有意义，则x的取值范围是________ 4．若|3－a|＋2＋b＝0，则a＋b的值是________．5．若式子4－x－x－3有意义，求x的取值范围．6．若式子11－3a有意义，求a的取值范围．能力提升7．下列式子没有意义的是()A．－3B．0C．2D．（－1）28．若代数式11－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥0B．x≥1C．x≠1D．x≥0 且x≠1 9．若a为实数，则下列各式中一定有意义的是()A.a＋3B．a2＋3C.a2－3D．a a2＋310．一个面积为18 cm2的矩形，它的长与宽之比为3∶2，求它的长与宽各是多少？培优训练11．若y＝x－3＋3－x3，求(x＋y)y的值．二、二次根式的性质核心提要二次根式的性质：1．(a)2＝________(a≥0)．2．a2＝________．知识点1：(a)2＝a(a≥0)1．计算：(1)(3)2＝________；(2)(7)2＝________；(3)(4)2＝________；(4)(0.3)2＝________；(5)(13)2＝________；(6)(23)2＝________．知识点2：a2＝a(a≥0)(一般地a2＝|a|)2．计算：(1)42＝________；(2)（－3）2＝________；(3)（13）2＝________；(4)（－0.2）2＝________．知识点3：双非负性a≥0(a≥0)3．已知实数x、y满足(5－x)2＋y＋6＝0，求代数式(x＋y)2 001的值．变式1计算：(1)(5)2＝________；(2)(8)2＝________；(3)(34)2＝________；(4)(0.6)2＝________；(5)(24)2＝________；(6)(－32)2＝________.变式2计算：(1)112＝________；(2)（－7）2＝________；(3)（－1.2）2＝________；(4)（－13）2＝________．变式3已知1＋a＋||b－7＝0，求a＋b的值．基础巩固1.计算（－4）2的结果是()A．－4B．4C．±4D．162．二次根式（3－2）2的值等于()A．3－2B．2－3C．±(3－2)D．2＋3 3．当x＜5时， (x－5)2的值是()A．x－5B．5－x C．5＋x D．－5－x 4．计算：(1)(9)2＝________；(2)－(5)2＝________；(3)32＝________；(4)－（－34）2＝________；5．若a、b、c分别是三角形的三边长，化简： (a＋b－c)2＋ (b－c－a)2＋ (b＋c－a)26．若(m＋1)2＋n－2＝0，求代数式m＋n的值．能力提升7.计算：(1－2)(1＋2)＝________．8．若（x－1）2＝1－x，则x的取值范围是________．9．在实数范围内分解因式：x2－2＝_____________．10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（a－1）2＋a.培优训练11．已知x＝1－2，y＝1＋2，求x2＋y2－xy－2x＋2y的值．三、二次根式的乘法核心提要二次根式的乘法公式a·b＝________(a≥0，b≥0)．知识点：a×b＝ab(a≥0，b≥0)1．计算：(1)5×6；(2)12×8.2．计算：(1)32×23；(2)212×(－3)；(3)a3·a；(4)x3·2 x.3.计算：ab·bc·cd·da.变式1计算：(1)3×5； (2)13×27.变式2 计算： (1)23×276； (2)2a7×(－14a )；(3)(5＋3)(5－3)； (4)()2－32. 变式3 计算：115×23×(－1210).巩固练习1．计算3×2的结果( )． A ．5 B ．6 C ．23D ．322．一个矩形的长和宽分别是36、23，则它的面积是( ) A ．203B ．182C．172D．1623．化简x－1x，正确的是()A．－x B．xC．－－x D．－x4．已知7·a的积是一个整数，则正整数a的最小值是()A．7B．2C．19D．55．若一个长方体的长为3 6 cm，宽为2 3 cm，高为 2 cm，则它的体积为________ cm3.6．计算：(1)2a·8a(a≥0)＝________；(2)43×(－12)＝________．(3)54×64125＝________．(4)－8x3×63x＝________．7．如图，在△ABC中，AD△BC于点D，BC＝42，AD＝2，求△ABC的面积．8．把代数式(a－1)11－a中的a－1移到根号内，则这个代数式等于()A．－1－a B．a－1C．1－a D．－a－1 9．化简：(1)0.4×(－ 3.6)＝________；(2)(3＋22)99(3－22)100＝________．10．计算：ab·5ab·(－ba)·(－1ab)．培优训练11．已知x＝3－2，求代数式(x＋1)2＋2(x＋1)＋1的值．四、积的算术平方根核心提要积的算术平方根ab＝________(a≥0，b≥0)．(此公式用于化简二次根式)知识点：ab＝a·b(a≥0，b≥0)1．化简：(1)4＝________；25＝________；81＝________；(2)9×16＝________；32×72＝________；(3)4×5＝________；16×3＝________；(4)8＝________；24＝________；32＝________；4a＝________．2．化简：(1) 1 000＝________；(2)9a3＝________；(3)5×15＝________；(4)4a2b＝________；(5)3a·6a＝________；(6)2y 3·8y＝________． 3．设正方形的边长为a ，面积为S . (1)如果a ＝2 5 cm ，则S ＝________cm 2； (2)如果S ＝32 cm 2，则a ＝________cm ； (3)如果S ＝50 cm 2，则a ＝________cm. 变式1化简：(1)9＝________；16＝________； 64＝________；(2) 32×52＝________；36×4＝________；(3)4×16＝________；3×49＝________； (4)12＝________；18＝________； 60＝________；36b ＝________． 变式2化简：(1)25b 3＝________； (2)10a ·5a ＝________； (3)28×(－36)＝________； (4)－16a 2b 3c ＝________； (5)2×23×12＝________； (6)133x 2y 3·12x 2y＝________.变式3已知非负实数a、b、c满足a2＋b2＝c2.(1)如果a＝3，b＝5，则c＝________；(2)如果c＝12，b＝10，则a＝________；(3)如果a＝32，b＝3，则c＝________．基础巩固－32×3的计算结果是()1．二次根式()A．33B．－33C．3D．92．若a＜0，b＞0，则－a3b化简得()A．－a－ab B．－a abC．a－ab D．a ab3．化简：(1)24＝________；(2)28＝________；(3)45＝________；(4)72＝________；(5)25a2(a>0)＝________；(6)80ab3(a>0，b>0)＝________．4．已知x>0，y>0，则xy2·x2y＝________．5．化简：（a2－b2）（a4－b4）(b＜a＜0)得_______________．6．计算：(1)32×224；(2)214x·4xy.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，BC＝12，AC＝18.求△ABC 的面积．能力提升8.已知12n是正整数，则满足条件的最小正整数n为()A．2B．3C．4D．59．计算：(1)62＋82＝________；(2)132－52＝________；(3)4－2＝________．10．先化简，再求值：x＋2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3＋2.培优训练11．先化简，再求值：(a2－b2a2－2ab＋b2＋ab－a)÷b2a2－ab，其中a、b满足1＋a＋||b－3＝0.五、二次根式的除法核心提要1．二次根式的除法法则为：ab＝________(a≥0，b>0)．2．最简二次根式同时满足下列条件：(1)________________________________________；(2)________________________________________．知识点1：二次根式的除法1．计算：(1)186；(2)8a÷2a.知识点2：化成最简二次根式2．将下列式子化成最简二次根式：(1)3100；(2)11336；(3)13； (4)35.知识点3：二次根式的乘除混合运算 3．计算：34÷112×24. 变式1 计算：(1)455； (2)243.变式2 将下列式子化成最简二次根式：(1)225； (2)112；(3)123； (4)a 1a变式3 计算：20×3515÷(－6)．基础巩固1．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12B ．0.2C ．2D ．202．化简－32×27的结果是( )A ．－23B ．－23C ．－66D ．－23．能使等式x x －2＝x x －2成立的x 的取值范围是( ) A ．x ≠2 B ．x ≥0 C ．x ＞2D ．x ≥24．若长方形的宽为 2 cm ，面积为2 6 cm 2，则长方形的长为________．5．计算： (1)(－113)÷554；(2)512×34÷52；(3)12÷227×18.能力提升6．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：△ab＝ab，△ab·ba＝1，△ab÷ab＝－b，其中正确的是()A．△△B．△△C．△△D．△△△7．计算：(1)6－33＝________；(2)233－1＝________．8．先化简，再求值：a2＋3aa2＋4a＋4÷a＋3a＋2－2a＋2，其中a＝2－2.培优训练9．小芳在学习了ab＝ab后，认为ab＝ab也成立，因此她认为一个化简过程：－20－5＝－20－5＝－5×4－5＝－5×4－5＝4＝2是正确的．△你认为她的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；△说明ab＝ab成立的条件．六、二次根式的加减法核心提要1．同类二次根式：把几个二次根式化成____________后，如果被开方数(即根号下的数或式)________，则这几个二次根式叫做同类二次根式．2．二次根式加减时，先将二次根式化为_______________，再将______________的二次根式进行合并．知识点：二次根式的加减1．计算：(1)4a－3a＝________；(2)5a＋6ab－a＋2ab＝________；(3)32－22＝________；(4)5ab－3ab＝________．2．计算：(1)35＋2－25－32；(2)3－12＋18.3．计算：22－23＋12.变式1计算：(1)5xy＋6xy＝________；(2)3x＋5xy－4x－xy＝________；(3)66－6＋26＝________；(4)7x－x＝________．变式2计算：(1)37－28＋7；(2)36－2＋24＋8.变式3计算：a＋a4－2a1a.基础巩固1．计算27－3的结果是()A．24B．26C．3D．232．下列根式中，与18为同类二次根式的是()A．2B．3C．5D．63．如果等腰三角形的底边长为8，腰长为18，则其周长为________．4．计算：(1)3－32＋33＋2；(2)16b－25b；(3) (48＋20)＋(12－5)；(4)28＋1417－700.能力提升5．已知2a －3＋5＝25，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x －y 的值是( ) A ．33－3 B ．3 C ．1D ．37．若x ＝12(a ＋b )，y ＝12(a －b )，则x ＋y 的值为________．8．若对实数a ，b ，c ，d 规定运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－38＝________．9．计算：(48－418)－(313－20.5)．培优训练10．已知x＝1＋3，求x2－x＋1的值．七、二次根式的混合运算核心提要二次根式的混合运算顺序：先算________，再算________，最后算________，有括号先算括号里面的．知识点1：化成最简二次根式1．化简：(1)8＝________；(2)32＝________；4(5)35＝________；(6)2a＝________．知识点2：二次根式的混合运算2．计算：(1)3×15＝________；(2)363＝________；(3)12＋3＝________；(4)28－63＝________．3．计算：13×(212－75).4．若x＝2＋1，求x2－2x＋1的值．变式1化简：(1)27＝________；(2)40＝________；(3)18a2＝________；(4)17＝________；168变式2计算：(1)2×98＝________；(2)40÷5＝________；(3)2＋18＝________；(4)27－75＝________．变式3计算：(248－327)÷ 3.变式4若m＝2＋3，n＝2－3，求mn2＋m2n的值．巩固练习1．下列运算错误的是()A．2＋3＝5B．2×3＝6C．8÷2＝2D．(－2)2＝22．估计32×12＋20的运算结果应在( ) A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间3．计算5×153的结果是________．4．一个矩形的长和宽分别为12 cm 和27 cm ，则这个矩形的周长为___________．5．计算：(1)(12＋58)×3；(2)(48＋36)÷27；(3)3＋33；(4)(3＋2)2－(3＋22)(3－22).能力提升6．计算：(2＋1)2 018×(2－1)2 019.7．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，CD△AB于D.AC＝3＋1，BC＝3－1，AB＝22，求CD的长．8．如图所示，在Rt△ABC中，△B＝90°，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为24平方厘米？(结果用最简二次根式表示)第十六章二次根式第1课时二次根式的概念【核心提要】1.a2．(1)x a (2)a【典例精讲】1．±3 5 0a2．A 3.C4．(1)x ≥－1 (2)x ≥0【变式训练】1．±511 没有 ±a 2．B 3.B4．(1)x ≤3 (2)x ≤0【基础巩固】1．B 2.D3．x ≥3 4.1 5.3≤x ≤4 6.a <13【能力提升】7．A 8.D 9.B10．长3 3 cm 宽2 3 cm【培优训练】11．1第2课时 二次根式的性质【核心提要】1．a 2.|a |【典例精讲】1．(1)3 (2)7 (3)4 (4)0.3 (5)13(6)12 2．(1)4 (2)3 (3)13(4)0.2 3.－1 【变式训练】1．(1)5 (2)8 (3)34(4)0.6 (5)16 (6)18 2．(1)11 (2)7 (3)1.2 (4)133.6 【基础巩固】1．B 2.B 3.B4．(1)9 (2)－5 (3)3 (4)－345．a ＋b ＋c 6.1【能力提升】7．－18．x ≤1 9.(x ＋2)(x －2) 10.1【培优训练】11．7＋42第3课时 二次根式的乘法【核心提要】ab【典例精讲】1．(1)30 (2)2 2.(1)66 (2)－12(3)a 2 (4)2x 3.1【变式训练】1．(1)15 (2)32．(1)3 (2)－2a(3)－4 (4)5－263．－6【基础巩固】1．B 2.B 3.C 4.A5．366．(1)4a (2)－4 (3)45 (4)－4x7．4【能力提升】8．A 9.(1)－1.2 (2)3－22 10.5【培优训练】11．3第4课时 积的算术平方根【核心提要】a ·b【典例精讲】1．(1)2 5 9 (2)12 21 (3)25 43 (4)22 26 42 2a2．(1)1010 (2)3a a (3)53(4)2a b (5)3a 2 (6)4y3．(1)20 (2)42 (3)52【变式训练】1．(1)3 4 8 (2)15 12 (3)8 73(4)23 32 215 6b 2．(1)5b b (2)5a 2 (3)－243(4)－4ab bc (5)122 (6)2x 2y3．(1)34 (2)211 (3)33【基础巩固】1．A 2.A3．(1)26 (2)27 (3)35 (4)62 (5)5a (6)4b 5ab4．xy xy5．(b 2－a 2)a 2＋b 26．(1)243 (2)2x y7．36【能力提升】8．B9．(1)10 (2)12 (3)1410.1x －2 33【培优训练】11.a b －33第5课时 二次根式的除法【核心提要】 1.a b2．(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(2)被开方数中不含分母【典例精讲】1．(1)3 (2)22．(1)310 (2)76 (3)33 (4)1553．66【变式训练】1．(1)3 (2)222．(1)25 (2)62 (3)36 (4)a 3．－32【基础巩固】1．C 2.C 3.C4．2 3 cm5．(1)－6105 (2)324(3)2 【能力提升】6．解析：∵ab ＞0，a ＋b ＜0，∴a ＜0，b ＜0.①a b ＝a b，被开方数应≥0，a ，b 不能作被开方数，(故①错误)， ②a b ·b a ＝1，a b ·b a ＝ab ＝a b ×b a ＝1＝1，(故②正确)， ③ab ÷a b ＝－b ，ab ÷a b ＝ab ÷ab －b ＝ab ×－b ab＝－b ，(故③正确)． 故选：B. 7．(1)2－1 (2)3＋3 8.1－22【培优训练】9．解：①化简不对，正确过程为－20－5＝205＝5×45＝4＝2； ②∵0作除数无意义，∴a b ＝a b 成立的条件：a ≥0，b ＞0. 第6课时 二次根式的加减法【核心提要】1．最简二次根式，相同2．最简二次根式，被开方数相同【典例精讲】1．(1)a (2)4a ＋8ab (3)2 (4)2ab 2．(1)5－22 (2)－3＋323.223【变式训练】1．(1)11xy (2)－x ＋4xy (3)76(4)6x2．(1)27(2)56＋23．－a 2【基础巩固】1．D 2.A3．824．(1)43－22(2)－b(3)63＋5(4)－67【能力提升】5．C 6.C7.a8.529.33【培优训练】10．解：∵x＝1＋3，∴x2－x＋1＝(1＋3)2－(1＋3)＋1＝1＋23＋3－1－3＋1＝3＋4；第7课时二次根式的混合运算【核心提要】乘方乘除加减【典例精讲】1．(1)22(2)42(3)2a6(4)3 2(5)155(6)2aa2．(1)35(2)23(3)33(4)－7 3．－1 4.2【变式训练】1．(1)33(2)210(3)3a2(4)7 7(5)22 (6)324 2．(1)32(2)22 (3)42 (4)－233．－1 4.4【基础巩固】1．A 2.C 3．5 4.10 3 cm 5．(1)6＋106 (2)43＋2 (3)3＋1 (4)4＋26 【能力提升】6.2－17.22【培优训练】8．解：设t 秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米，根据题意得： 12×2t ×t ＝24， 解得：t 1＝－26(不合题意舍去)，t 2＝2 6.答：26秒后△PBQ 的面积等于24平方厘米．。

2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。

2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。

3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。

4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。

5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。

6.若a≥0，则√a²=a。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。

8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。

3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。

八年级数学（下册）知识点总结第十六章 二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：a ：①0≥a ，②0≥a 附：具有非负性的式子：①0≥a ；②0≥a ；③02≥a4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 27.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=（b ≥0，a>0）． （3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315； （2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++-+-=x yy x xy y x x x y例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()ba b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >a b >a b <a b < 例1、比较35与53的大小。

第十六章二次根式知识点归纳一、形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．三、二次根式（）的双重非负性：1、被开方数非负。

2、a的值非负。

四、二次根式的化简。

1、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.2a=∣a∣①若a是正数，则∣a∣等于a本身；②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a,③若a是0，则∣a∣等于0.2、()2a=a (a≥0).3、被开方数是乘积用ab =a ·b（a≥0，b≥0）化，4、被开方数是商的形式用ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。

（五）二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

（六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。

构成()2a 化去分母中的根号。

分母有理化有两种方法I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。