玉林师范学院本科生毕业论文数学归纳法及其应用Mathematical Induction and Application数学归纳法及其应用摘要理解数学证明思想方法和原理在数学学习中十分重要．证明原理不理解，就很难切实有效的理解概念、掌握知识内容、解决问题．数学归纳法是高中的一个重要的证明思想方法之一．高中新课程标准要求学生了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．本文是对高中数学归纳法的研究，通过对数学归纳法在最近10年全国高考和最近3年全国各地高考所出现的情况进行统计分析，确定数学归纳法的地位，使大家认识到数学归纳法的重要性．同时列举数学归纳法的各种题型，以便大家能更方便的学习数学归纳法．关键词：归纳，数学归纳法，分析，证明Mathematical Induction and applicationMathematics and applied mathematics2004-2 Chen Jin-rongSupervisor Zhao QiangAbstractUnderstood that mathematics proof thinking method and the principle are very important in mathematics study, if you don’t understood the proof principle, you may be difficult to understand concept, to grasp the knowledge content, to solve the problem. The Mathematical Induction is one of important proof thinking methods in high school. New curriculum standard requests the student to understand that the principle of Mathematical Induction,And requests they can use the mathematical induction to prove some simple mathematics proposition. This article is research the Mathematical Induction in high school,The Mathematical Induction 's status is through statistical analysis the situation which appears at the recent 10 year national and the recent 3 year different area college entrance examination, It makes everybody to realize to the mathematical induction importance.And enumerates a kind of topic of the Mathematical Induction, so that everybody can more convenient to study Mathematical Induction.Key words：Induction, mathematical induction, analysis, proof目录1引言 (1)1.1问题的起源 (1)1.2问题的阐述 (1)2基本概念 (2)2.1归纳 (2)2.2数学归纳法 (2)3数学归纳法的地位作用 (5)4数学归纳法的应用 (7)4.1证明恒等式 (7)4.2证明整除性 (8)4.3证明不等式 (9)4.4在证明数列题中的应用 (11)4.5在证明排列和组合中的应用 (16)4.6在几何中的应用 (17)5结束语 (17)5.1总结 (17)5.2建议 (18)致谢 (18)参考文献 (19)玉林师范学院本科生毕业论文（设计）1引言1.1问题的起源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，一般认为，归纳推理可追溯到公元6世纪的毕达哥拉斯时代，小亚西亚西岸米利都城的泰勒斯开创了证明的几何学，证明几何学的重要意义之一在于泰勒斯为几何定理本身提供了某种逻辑推理，尽管这种推理还没建立在自然数的公理系统之上，它还是标志着证明数学的诞生．这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨．他确信无疑地得出：22+++-+2(n=5)131n毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明，他的几乎所有的有关点子数的命题，都是由有限个特殊情况而作出一般的结论，但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理．尽管如此，他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础．早期的数学归纳法是欧几里得对系数个数无穷的证明，他指出若有n个系数，就必有1n个系数，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供+了原形．欧几里得以后,印度的拜斯迦罗和法国的莱维本热尔松用数学归纳法讨论级数求和,及从n个东西中取r个的组合数．16世纪，经过文化复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性．1575年，意大利的数学家莫罗利科在他所著的《算术》一书中，提出了这样的一个递归推理思想，它首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去确证命题具有后续数也是真的．这是一个重大的突破，它是现代数学归纳法表述的模式．应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，但数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的．直到1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》．他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，其中第五条归纳公理：若有一个由自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a 时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部自然数．自然数理论的建立，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也就是严格意义下的数学归纳法的进一步明确．1.2问题的阐述从上一小节我们可以知道数学归纳法和归纳法有一定的联系，普通归纳法为数学陈金荣 数学归纳法及其应用归纳法奠定了一定的基础．我们应注意的是，虽然数学归纳法和普通归纳法有相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的，在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的．因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，法国数学家费马曾根据655371225712171251243212222=+=+=+=+，，，都是素数而提出如下猜想：“任何形如)(122N n n=+的数（即费马数，记为n F ）都是素数．”然而，半个世纪后，欧拉给出当5=n 时，670041764142949729712525⨯==+=F ，推翻了费马猜想．归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性．然而，数学归纳法则不同.它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.归纳法能导致错误这个道理太明显了(归纳在一定意义上是以偏概全)，而且出现错误的机会占据了绝大多数．所以笔者在本文章中没有过多的介绍普通归纳法，但普通归纳法有时能够导出真理．本文会出现用归纳法归纳出来的结论再用数学归纳法进行证明．笔者主要是对高中的数学归纳法进行研究，所以本文是介绍高中数学归纳法的定义、地位、作用和应用的方式方法．2基本概念本论主要研究数学归纳法的应用，所以这里有必要先呈现一些关键的概念:归纳、归纳法和数学归纳法． 2.1归纳所谓归纳，郑毓信认为是指通过特例的观察和综合去发现一般的规律．而波利亚在《数学与猜想》中认为归纳是指从特殊例子推出一般规律或者从提出事实到证明一般命题的过程．“归纳”一词可以包含三种意思．它是一种研究方法，用以由两个或几个单称判断或特称判断得出一个新的全称判断（结论）．它是一种研究方法，当需要研究某一对象（或者某一现象）时，用它可以研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质．它也可以是一种叙述的形式，借以表述从个别情况到一般情况的过渡．玉林师范学院本科生毕业论文（设计）简而言之，归纳法是由个别（特殊）到一般的推理方法，是由个别或特殊场合的知识推出一般原理的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法两种． 2.1.1 不完全归纳法不完全归纳法是根据事物或现象中出现的部分或特殊性质，推理其整体或一般的性质的方法．其一般推理模式为：1S 具有性质P ， 2S 具有性质P ，……………n S 具有性质P ， )},,({21S S S S n ,则S 中所以元素都具有性质P]2[．不完全归纳法包括枚举归纳法和因果关系归纳法，然而两种不完全归纳法，都只是寻找真理与发现真理的一种手段，对其所作的猜想，必须补充严格的证明方能成为真命题．尽管如此，不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题的思路中有着它的独特的作用．书上有些公式和定理，常用不完全归纳法给出．例如，等差数列与等比数列的通项公式在教材中就是如此处理的，很多数列的题目，都是用不完全归纳法在探索得到结论，而后再用数学归纳法加以证明． 2.1.2 完全归纳法完全归纳法即是在考察某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况后得到该类事物的普遍命题或一般结论．其一般的推理模式为：1S 具有性质P ， 2S 具有性质P ，……………n S 具有性质P ，陈金荣 数学归纳法及其应用)},,,({21S S S S n = ,则S 中所以元素都具有性质P]2[．完全归纳法又包括穷举归纳和类分法． 2.2数学归纳法我们知道完全归纳法是在研究一切情况得到普遍命题或一般结论的推理方法．数学中作为完全归纳法的“数学归纳法”，在数学解题中有着广泛的应用．下面介绍数学归纳法的几种形式． 2.2.1 第一数学归纳法数学归纳法的理论基础是皮亚诺公理，它包括以下五条： （1）1是自然数．（2）若x 是自然数，则x 的后继数（记作+x ）也是自然数． （3）对任意1,≠+x x ． （4）若++=y x ,则y x =．（5）任意一个自然数的集合，如果包含1；另外，假设集合中包含x 也必然包含+x ，那么这个集合包含所有的自然数．其中第（5）条公理就是数学归纳法的根据，称为数学归纳法原理，可用符号表述如下：若S 是自然数N 的一个子集，且满足 （1）S ∈1；（2）S k S k ∈+⇒∈1；则N S =．据此得到第一归纳法的推理格式，它分两个步骤：（1）归纳基础，即验证)1(P 为真，这里“1”指使命题成立的最小自然数； （2）归纳递推，即设)(k P 为真，推出)1(+k P 为真]3[． 2.2.2 第二数学归纳法第二数学归纳法的步骤为：玉林师范学院本科生毕业论文（设计）（1）验证1=n 是命题成立（1为起始值）；（2）假设当k n ≤≤1时命题成立，推出当1+=k n 时命题成立．据（1）、（2）知对N n ∈命题)(n P 成立．第二数学归纳法的理论根据是最小数原理；自然数非空集合A 一定含有最小者，即A 中存在一个自然数a ，对于A 中任意x 都有x a ≤]3[． 2.2.3跳跃归纳法跳跃归纳法的步骤为（1）验证当l n ,2,1=时命题成立；（2）假设当k n =时命题成立，推出当l k n +=时命题成立． 当项数中出现“间隔型”，即宜用跳跃归纳法]3[． 2.2.4反向归纳法反向归纳法是由于在归纳递推中采用反向递推而得名．其主要的步骤为： （1）证明有无穷多个自然数使命题成立；（2）假设当1+=m n 时命题成立，推出当m n =时命题成立．其中（1）的证明常常取)(2N k n k ∈=加以过渡．可以证明，反向归纳法与第一，第二数学归纳法是等价的，在解题时可把反向归纳法和其他归纳法变通使用．一些有名的不等式（如凹、凸函数定理、平均不等式等）都可以用反向归纳法加以证明]3[． 2.2.5跷跷扳归纳法当有一些与自然数有关的命题难以直接应用前面的数学归纳法证明时，可以根据具体情形，主动加强命题，设计一个更一般性的新命题，通过新命题的证明来确定原命题的正确性，这就是跷跷扳归纳法的初衷．其形式简述为“两个与自然数有关的命题1,,A B A n n 成立”，假设“k A 成立k B ⇒成立；k B 成立1+⇒k A 成立”，那么“n n B A ,正确”]2[．跷跷扳归纳法它适用于两个相关命题的证明．3数学归纳法的地位作用陈金荣数学归纳法及其应用归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法,是寻找真理和发现真理的主要手段,科学上的无数定理、定律都是归纳的结果．而数学归纳法则是对定理、定律的证明．在高中新课程标准明确要求要高中学生掌握数学归纳法，能用数学归纳法证明一些命题．本文主要研究的是高中数学归纳法在试题中的应用，我们研究数学归纳法的地位作用时，主要是对数学归纳法在历年全国高考题和最近这几年全国各地高考题所出现的情况进行统计分析．下面几个表就是关于数学归纳法在最近10年全国高考题和最近这3年全国各地高考题所出现的情况（其中√表示有出现数学归纳法的试题，○表示没有出现）．表3.1最近10年全国高考Table3.1 the recent 10 year national college entrance examination表3.2 2005年全国各地高考Table3.2 National college entrance examination in 2005表3.3 2006年全国各地高考Table3.3 National college entrance examination in 2006表3.4 2007年全国各地高考对于上面4个表，作出以下说明和总结：(1)、全国历年统一高考中，2004年后每年都出了4份试卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，每份又分理科和文科．而本文只是对试卷Ⅰ理科进行统计，但发现有些年份试卷Ⅰ没有出现数学归纳法时，在其他卷出现了，比如2006年试卷Ⅰ没有出现数学归纳法，但在试卷Ⅱ却出现了．(2)、全国各地高考中，独自命题的省份（除了江苏和广东）所出的试卷都分为理科和文科（2007年广东也分文理卷）．而本文也只是对理科进行统计．(3)、从上表来看，出题情况：最近10年高考，有5年出现数学归纳法，占50％；2005年全国各地高考14省有8省出现数学归纳法，占57％；2006年全国各地高考16省有4省出现数学归纳法，占25％；2006年全国各地高考16省有8省出现数学归纳法，占50％．(4)、从上面的数据看，数学归纳法在高考占有比较大的地位，这说明在高中必须掌握数学归纳法，特别要能灵活运用数学归纳法证明各种体型．4数学归纳法的应用数学归纳法在证明等式和不等式、数列中通项公式的探索、代数中的整除问题以及在数学领域中得到广泛的应用．当用数学归纳法证题要注意下面几点：(1)证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程．(2)成败的关键在于第二步对一时的证明：①要突破对“归纳假设”的运用；②要用好命题的条件；③要正确地运用与命题有关的知识及变换技巧．用数学归纳法证明有关的命题,关键是“一凑一证”,常用比较法、作差法、分析综合法、放缩法等方法完成．4.1证明恒等式例4.1.1 用数学归纳法证明 *)()1(25312N n n n ∈=+++++ .分析 应用数学归纳法解题时,第一个步骤中的初始值0n 是使命题成立的最小正整数, 在本题这个正整数是1,所以第一步可以直接验证1=n 时命题的正确性．证明 （1）当1=n 时,左边1=,右边1=,等式成立.（2）假设当k n =时等式成立，就是2)12(531k k =+++++ ，则当1+=k n 时， 22)1(12]1)1(2[)12(531+=++=-+++++++k k k k k ，即 1+=k n 时，等式成立.根据（1）、（2）可知,等式对任何*N n ∈都成立.例4.1.2 用数学归纳法证明： *)(212111211214131211N n nn n n n ∈+++++=--++-+- . 分析 这种等式的左边、右边都是数列的和的题目,我们证明时要注意的是，当k n = 到1+=k n 时，等式两边会增加多少项，增加怎么样的项，并要注意项的合并．证明（1）当1=n 时，左边21211=-=，右边21=，命题成立. （2）假设当k n =时命题成立，即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-，那么当1+=k n 时， 左边221121211214131211+-++--++-+-=k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k 2211213121++++++++=k k k k上式表明当1+=k n 时命题成立.由（1）、（2）可知，命题对一切正整数都成立.4.2证明整除性例4.2.1 设n 是任何的正整数，求证：n n 53+能被6整除.分析：与正整数有关的整除问题,常用数学归纳法解决,在这题的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”,即把1+=k n 代入被除式，然后再设法证明“剩余部分”．证明（1）当1=n 时，61513=⨯+，命题显然成立.（2）假设当k n =时，k k 53+能被6整除.由于6)1(3)5(55133)1(5)1(3233++++=+++++=+++k k k k k k k k k k .因为两个连续的正整数)1(+k k 是偶数，所以)1(3+k k 能被6整除．同时由假设我们知道k k 53+能被6整除．因此6)1(3)5(3++++k k k k 能被6整除，即1+=k n 时，命题成立．根据（1）、（2）可知，命题成立.例4.2.2 试证当n 为正整数时，983)(22--=+n n f n 能被64整除.分析：这道题目也可以和例4.2.1一样，拼凑出“归纳假设”，再证明“剩余部分”．在这里我们可以将归纳假设转化变通，我们可以令m k k 6498322=--+，当把1+=k n 代入)(n f 时，能够更容易解题．证明（1）当1=n 时，64983)1(4=--=f ，命题显然成立．（2）假设当k n =时，983)(22--=+k k f k 能被64整除.由归纳假设，设m k k 6498322=--+（m 为大于1 的正整数），将9864322++=+k m k 代入到)1(+k f 中，得 )19(649)1(8)9864(9)1(++=-+-++=+k m k k k f ，∴1+=k n 时命题也成立.根据（1）、（2）知，对于任意*N n ∈，命题都成立.4.3证明不等式例4.3.1 比较12+n 与2n 的大小*)(N n ∈.分析：解本题我们要注意的是，本题先归纳，然后再用数学归纳法对其归纳的结果进行证明，题中当1=n 时，212n n >+；当2=n 时，212n n >+；当3=n 时，212n n =+ ；当3>n 时，212n n >+．所以用数学归纳法证明时，第（1）步应令4=n ，而不是令3≤n 的整数．解:：当1=n 时，21112>+，即212n n >+；当2=n 时，22212>+，即212n n >+；当3=n 时，23312=+，即212n n =+；当4=n 时，24412>+，即212n n >+；当5=n 时，25512>+，即212n n >+；…………猜想：当4≥n 时，212n n >+.下面用数学归纳法证明猜想成立.证明（1）当4=n 时，有上面可知猜想成立.（2）假设)4(≥=k k n 时，命题成立，即212n n >+.∴222221)1()12(212212+=++>+=>+=+••+k k k k k k k k ，即1+=k n 时命题成立.根据（1）、（2）知，当4≥n 时，212n n >+.例4.3.2 若*N n ∈，且1>n ，求证：241321312111>+++++++n n n n . 分析：（1）20=n ；（2）注意由k n =变化到1+=k n 时，不等式左边不是单纯增加)1(21+k ，而是增加了221121+++k k ，又减少了11+k ． 证明（1）当2=n 时，241324141274131>==+，∴不等式成立. （2）设n n n n S n 21312111)(+++++++= .假设k n =时，有2413)(>n S 成立，那么，因221121213121)1(+++++++++=+k k n n n S k +=)(k S 221121+++k k 11+-k 2413)1)(12(21)()(>>+++=k k S k k S ∴1+=k n 时，原不等式也成立.根据（1）、（2）知原不等式对1*,>∈n N n 均成立.例4.3.3 求证*)(12131211222N n n n ∈-≤++++ . 分析：数学归纳法证题关键是第二步，难点也是第二步，我们不能象证等式那样，将不等式式中右边k 12-和2)1(1+k 相加，一般来说，这两项相加并不恰好等于112+-k ，这正是难点所在，所以经常利用归纳假设结合分析法、求差法、比较法和放缩法等，从k n =推出1+=k n 时命题成立．证明（1）当1=n 时，1121-≤，命题成立 （2）假设k n =时，命题成立，即 k k12131211222-≤++++ ，当1+=k n 时，22222)1(112)1(1131211++-≤++++++k k k k 11211112)1(112+-=+-+-=++-≤k k k k k k k ，命题成立. 根据（1）、（2）知，原不等式当*N n ∈时成立.例4.3.4 用数学归纳法证明 ).()1211)(21(2N n n nn ∈≥++++++ 分析：本题可能由于大家不够仔细，很容易作出以下错误的证明证明（1）当1=n 时，左边111=⨯=，右边1=，原式成立.（2）假设k n =时，原式成立，即.)1211)(21(2k k k ≥++++++ 立.于是有]111211)][1(21[++++++++++k k k k )21(11)1211)(21(k k k k +++++++++++=)11)(1()1211)(1(++++++++k k k k 123)1(2)1(112++++++≥••k k k k k 22)1(1232+=+++≥k k k k . 即当1+=k n 时，原式成立. 根据（1）、（2）知，原不等式均成立.不知大家看到了没有，上述证明忽略了在第一步验证0n n =后，第二步中所考虑的k 必须满足0n k ≥的一切自然数，然而以上证明的第二步用的不等式关系231211≥+++k 却默认了1>k 而不允许1=k ，因而第二步所形成的递推就失去了基础，所以上述证明是错误的．正确的证明：应在上述证明的第一步中加上验证2=n 不等式也成立，这样归纳 假设中可以取2≥k ．4.4在证明数列题中的应用本小节数学归纳法在数列}{n a 的应用,它包括一些等式、不等式证明和归纳通项公式，再加以证明等等．高考中这一类题型是命题的重点．例4.4.1（2007年天津高考）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；分析：这类先归纳再证明的题目，并不是很难的题，类似等式的证明．归纳时多加小心就可以了．解（Ⅰ）22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+，3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k k a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a n λ=-+ 对任何n *∈N 都成立．（Ⅱ）略.例4.4.2 对于数列}{n a ，若nn a a a a a a a a 1),1,0(1111-=≠>+=+且. （1）求,,32a a 并猜想n a 的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想；分析：这类题题目很明确n n a a 和1+有直接的关系的，当由k n =推到1+=k n ，直接把假设k a 代到关系式kk a a a 111-=+中去，即可． 解（1）∵,1,1111nn a a a a a a -=+=+∴)1(111111122422112+++=+-+=+-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a )1(11)1(11242462422213+++++=+++-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a . 猜想)1(11111)1(1222222224222222--=----=++++++=++---•n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a . （2）（ⅰ）当1=n 时，右12241)1(1a a a a a a =+=--=，∴等式成立. （ⅱ）假设当*)(N k k n ∈=时，等式成立，即,)1(1222--=+k k k a a a a 则当1+=k n 时，)1()1()1)(1(1)1(112222222222211----+=---+=-=++++k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a )1(1)1(2)2(2--=++k k a a a . 也就是说，当1+=k n 时，等式也成立.根据（ⅰ）、（ⅱ）知，对于一切)1(1*,222--=∈+n n n a a a a N n . 例4.4.3 设,1,1,101a a a a a a nn +=+=<<求证：对一切自然数1,>n a n 有 . 分析：设k n =时，1>k a 成立；则当1+=k n 时，a a a k k +=+11.因1>k a ，11<k a ，故无法由a a a k k +=+11推出11>+k a .怎么办呢？要想证11>+k a ，只要证11>+a a k ，即证a a k -<11，只要把命题加强为aa -<<111即可完全归纳过渡． 证明 （1）当1=n 时，111>+=a a ，又由112<-a 可得a a -=+111，∴aa -<<1111.（2）假设aa N k k n k -<<∈=111,)(时，那么当a a a k n k k +=+=+1,11时，假设得,111<<-k a a ∴a a a a k -<+<+<11111，∴aa k -<<+1111. 根据（1）、（2）知对任意自然数n ，都有a a n -<<111，从而有)(1N n a n ∈>. 例4.4.4（2005年江西高考）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 证明;,21N n a a n n ∈<<+分析：此题当由k n =推到1+=k n 时，从)4(211k k k a a a -=+很容易知道21<+k a ，但要判断1+<k k a a 就很难，所以在这里我们可以运用求差法，即作差1+-k k a a ，看是大于0还是小于0，即可．证明（1）当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确.（2）假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 )4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=----- 而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a 又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时，命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a例4.4.5已知数列}{n a ),2,1( =n ，若对任意自然数n ，都有120+-≤>n n n a a a a 及，试证：)(1N n na n ∈<． 分析：此题证明时，由假设当k n =时不等式成立，即.1k a k <当1+=k n 时，由于12+-≤k k k a a a ，即有)1(1k k k a a a -≤+.显然110<-<k a ，从而有k k a a <+1，因此，若有11,111+<<+<+k a a k a k k k 则，但k a k 1<，所以我们要另外考虑ka k k 111<≤+．证明（1）当1=n 时，由021212>-≤a a a a ，且，可得1101<<a ，所以不等式立. （2）假设k n =时，命题成立，现在证+<⇒<+k a k a k k 111. 鉴于k a 的不确定性，需分类讨论.①11)1(,1101+<<-≤+<<+k a a a a k a k k k k k 时当. ②11)111(1)1(1111+=+-<-≤<≤++k k k a a a k a k k k k k 时，当. 根据（1）、（2）可知，)(1N n n a n ∈<成立. 例4.4.6（1998年高考全国卷）已知数列{b n }是等差数列, b 1=1, b 1 + b 2 + ⋅⋅⋅+ b 10 = 145.（Ⅰ）求数列{b n }的通项b n ;（Ⅱ）设数列{a n }的通项a n =log a (1+ 1/ b n ) (其中a>0, 且a ≠1), 记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与13log a b n+1 的大小 ,并证明你的结论． 分析：由（Ⅰ）我们易得到,23-=n b n 并分别代入n S 与13log a b n+1整理后知，只要比较313)2311()411)(11(+-+++n n 与 的大小．这显然是与自然数有关的问题，取,3,2,1=n 可以发现前者大于后者． 由此我们可以猜测313)2311()411)(11(+>-+++n n （*） 下面我们对其进行证明（1）当1=n 时，不等式成立；（2）假设当k n =时，不等式（*）成立，即313)2311()411)(11(+>-+++k k ，那么，当1+=k n 时，)1311(13)1311)(2311()411)(11(3+++>++-+++•k k k k 32)13(23++=k k（若继续用综合法顺推，则放缩难度很大，此时应瞄准特征的结论，改用分析法探路）要证33243)23(23+>++k k k ，只要证23)13)(43()23(++>+k k k ，由其结构特征，运用均值不等式知233)13()13()43()13)(13)(43(3+=+++++<+++k k k k k k k 故23)13)(43()23(++>+k k k综上可知，当1+=k n 时，不等式)(*成立.又由于对数函数的单调性知，当1>a 时，31>n S ㏒1+n a b ； 当10<<a 时，31<n S ㏒1+n a b 点评：面对综合能力要求比较强的题目，“综合与分析”是利用归纳假设的常用方法，一般地，由归纳假设导出的式子与特征的式子联系较弱，不易证明，往往采用分析法．4.5在证明排列和组合中的应用数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式．例4.5.1 证明)!(!!m n m n C m n -=. ① 分析：首先，,11=nC 这是显然的，如果再能证明当n m <<1的时候，111---+=m n m n m n C C C ，那么，式子①也就可用数学归纳法来证明．证明（1）当1=n 时，式子①显然成立我们假定有n 个不同的元素n a a a ,,,21 ,每次取出m 个元素的组合里,可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a ,含有1a 的组合数,就等于从n a a a ,,,21 里取1-m 个元素的组合数,它等于11--m n C ;不含有1a 的组合数,就等于n a a a ,,,21 里取m 个的组合数,它等于m n C 1-,所以111---+=m n m n m n C C C（2）假设当1+=k n 时，式子①成立，那么有)1()!(!!)!()!1()!1()!1(!)!1(111k m m k m k m k m k m k m k C C C m k m k m k <<-=---+---=+=---这里玉林师范学院本科生毕业论文（设计）所以k n =时，式子①也成立根据（1）、（2）可知，)!(!!m n m n C m n -=成立. 4.6在几何中的应用例 4.6.1 在同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这n 个圆将平面分成22+-n n 个部分.证明（1）当1=n 时,22112=+- ,即把平面分成两个部分,结论成立.（2）假设k n =时,k 个圆把平面分成22+-k k 个部分.若再增加一个圆,它与原来的k 个圆相交,共有k 2个交点,这些点把第1+k 个圆分成k 2段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了k 2个部分.所以,当1+=k n 时,平面被分成了2)1()1(2)2(22++-+=++-k k k k k 个部分,即1+=k n 时命题成立.根据（1）、（2）知，N n ∈时结论成立.5结束语本章主要是对文章进行一个总结，并当教师学生在教学学习数学归纳法时，给出一些的建议，以供大家参考．5.1总结本论文主要研究数学归纳法的定义、作用和应用．第二章研究了近年来高考情况，只是对数学归纳法是否出现在高考作出了一些统计分析，但没有更深入的了解研究在高考中数学归纳法的题型，以及其特征.而且在论述数学归纳法的地位只单一表现在高考上，这是不足之处；第三章阐述了数学归纳法的几种定义，但本文主要是对第一数学归纳法应用进行研究，而其他几种归纳法只是让大家知道，在本文就没有过多的论述；第四章是研究数学归纳法的应用，本文以数学归纳法的应用作为研究的重点，而数学归纳法在数列}{n a 和不等式中的应用又是本文章的重中之重，从第四章可以看出，所列出的应用题型中，数列包含着不等式，不等式包含着数列．陈金荣 数学归纳法及其应用5.2建议以下是作者对教师和学生提出的几点建议：（1）、教师在数学归纳法的教学中，通过探究，让学生经历观察、猜想、证明等过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，体验创造性工作的真实过程，领会归纳时的科学研究方法．（2）、教师应对数学归纳法有正确的认识．在课堂教学中教师引导着整节课的方向，教师对数学的认识决定和影响了具体的教学过程．首先教师要意识到数学归纳法在中学数学教学过程中的重要地位，同时教师应该对数学归纳法进行一个系统地整理，特别把数学归纳法应用中经典题型进行整理分类．（3）、学生在学习数学归纳法时，要了解重点所在．对于常规的数学问题中，并不是仅仅要求你给出一个证明，而是要求先通过归纳得出一个结论，再用数学归纳法证明，这里就要求正确的归纳，或者说归纳出一个正确的结论．就像归纳出一个通项公式、一个等式或其他公式，因此在归纳出一个结论后，要先做验证工作，否则“证明”是得不到好结果的．（4）、在数学归纳法的证明中，有时要用到各部分的知识、综合性较强．比如上面例4.4.6中，它还要求你懂对数函数、均值不等式知识，并能灵活的运用．所以说有时一个命题不会证明，并不是因为不熟悉数学归纳法，而是综合能力较弱．（5）、学生在用数学归纳法证明时，不能死套数学归纳法证明了两个步骤．有时命题在证明之前宜将形式作些变化，以便于证明与叙述．例如，用数学归纳法证明等差数列的前n 项的和的公式)(21n n a a n S +=，宜改成])1(2[21d n a n S n -+=．又如，在证明：当n 为奇数时，22y x +一定能被y x +整除；n 是偶数时，22y x -一定被y x -整除．宜将n n n n y x y x -+与改写成1212--+n n y x 及*)(22N n y x n n ∈-．致谢四年的学习生活即将结束，回首往事，难以忘怀在这四年的学习和生活中给予我关怀和支持的老师和同学们．我在玉林师范学院数学与计算机科学系学习期间，得到了系领导和其他老师的帮助，尤其是赵强老师，他在我的毕业论文写作过程中倾注了大量的精力，指导我顺利完成毕业论文写作．在此，谨向辛勤培育我的各位老师致以最诚挚的谢意．。
