连续频域分析3

n = −∞
因为 F0 ( jnω1) = δ (t) ←⎯F →1
，δT(t)的傅里叶级数的谱系数
Fn
=
1 T
周期脉冲的傅里叶系数Fn等 于其单脉冲的傅里叶变换在nω1 频率点的值乘以1/T。
∑ ∑ ∑ ∑ 所以频谱为
F(
jω)
=
F
[δT (t)]
=
1 T
∞
F
n=−∞
[e
jnω1t
]
δT
=
1 T
=
Eτ
T
sin c( nω1τ
2
)
单个矩形脉冲信号的傅里叶变换以及周期矩形信号的傅里叶级数和傅里叶 变换的信号波形和频谱图。由此可更直观地看到单个矩形脉冲信号的傅里叶 变换与周期矩形信号傅里叶变换的关系。
Fn
=
1 T
F0 (
jnω1 )
=
Eτ
T
sin c( nω1τ
2
)
图 单个矩形脉冲信号与周期矩形信号傅里叶(级数)变换之间关系
=
π j
[δ
(ω
− ω0 )
−δ
(ω
+ ω0 )]
其频谱如图所示
图 余弦信号和 正弦信号的频谱
2.周期单位冲激序列的傅里叶变换 将单位冲激序列展成复指数形式的傅里叶级数：
∑ ∑ ∑ δT (t)
=
∞
Fne jnω1t
n=−∞
=
∞1 T n = −∞
F0 ( jnω1 )e jnω1t
=
1 T
∞
e jnω1t
通过以上对连续信号理想抽样的分析，得到：
∑ Fs (
jω)
=
1 Ts
∞ n=−∞
F[
j(ω
−
nωs )]
由式可见，一个连续时间信号经过理想抽样后，其频率谱将沿着
频率轴以抽样频率ωs 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期
性延拓。但是，由于抽样频率ωs的不同选取，则会使这种延拓
产生不同的结果。下面我们来看图所示的时域抽样的图解。从图
冲序列信号p(t)来控制电子开关，即可实现fs(t) 信号的获取。抽样 过程可以看成由一个原信号f(t)与一个开关信号p(t)的乘积来描
述，即
fs(t)=f(t)·p(t)
信号的采样
信号的采样( sample)是由采样器来进行的， 采样器是如图所示的开关。
1s
f (t)
2
fs (t)
f (t) fs (t)
=
2π Ts
通常称为抽样频率。
f (t) ⋅ p(t) ←⎯F → 1 F ( jω) * P( jω)
2π
∑ P (
jω
)
=
∞
2π
n = -∞
τ Ts
sin
c ( nω sτ到
Fs (
jω)
=
1 2π
F(
jω) ∗
P(
jω)
∑ =
τ
Ts
∞ sin c( nωsτ
n=-∞
依此，可求得周期信号f(t)的傅里叶变换为
∞
∞
∑ ∑ F ( jω) = F [ Fne jnω1t ] = 2π Fnδ (ω − nω1)
n=−∞
n=−∞
∞
∞
∑ ∑ F ( jω) = F [ Fne jnω1t ] = 2π Fnδ (ω − nω1)
n=−∞
n=−∞
此式表明，周期信号的傅里叶变换由一系列的冲激信号δ(t)组
2π T
。
3.周期矩形脉冲序列的傅里叶变换 周期矩形脉冲信号，幅度为E，周期为T。
图 周期矩形脉冲信号
从如图周期矩形脉冲信号中截取一个周期的单脉冲信号（门函 数信号）：
f0 (t)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨
E
⎪ ⎪⎩
0
t≤T 2
t >T 2
其傅里叶变换
F0
(
jω)
=
Eτ
sin
c(ωτ
2
)
F0
(
jnω1 )
=
时域连续信号的频域分析
引言 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质 周期信号的傅里叶变换 抽样信号的傅里叶变换
抽样信号的傅里叶变换
抽样，又称采样、取样，就是从信号函数或信号波形中每隔
一段时间间隔抽取一个样本，并将这一系列离散样本集合起来构
2
超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。 由此得出结论：一个频带受限的信号f(t)，要想抽样后能够
不失真地还原出原信号， 则抽样频率必须大于两倍信号谱的最
信号频谱的周期重复，其频谱形状未发生变化，仅幅度大小变为
原信号频谱 1 的而已。
Ts
图 理想抽样信号、原信号的波形及频谱
用冲激序列对信号采样，使之变成离散信 号，对应的是将原连续信号的频谱进行周期 延拓。即时域的离散性对应着频域的周期 性。
时域的周期性对应着频域的离散性。从而揭 示了信号的时域与频域之间的另一种对应关 系，即周期性与离散性的对应关系。
时域和频域的变换关系
时间函数
非周期、 连续
周期、 连续
非周期、 周期、
离散
离散
连续、 频率函数 非周期
离散、 非周期
连续、 周期
离散、 周期
周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱为离散的振幅谱，而非周期信号的频谱是连 续的密度谱。在频域分析中，如果对周期信号用傅里叶级数，而 对非周期信号用傅里叶变换，显然会给频域分析带来很多不便。 那么周期信号是否存在傅里叶变换呢？
n=−∞
∞
得
∑ fs (t) = f (t)δT (t) = f (nTs )δ (t − nTs )
n=−∞
所以有
Fs (
jω)
=
F
[
f
(t )δ T
(t)]
=
1 2π
F(
jω) ∗ F
[δT (t)]
∑ =
1 2π
F(
jω) ∗
2π Ts
∞
δ
n=−∞
(ω
−
nωs )
∑ =
1 Ts
∞ n=−∞
F[
f (t)e− jωt dt
2
对照傅里叶系数
∫ Fn
=
1 T
T
2 −T
f (t)e− jnω1t dt
2
显然有
Fn
=
1 T
F0 (
jnω1 )
变换上在式nω表1明频，率周点期的脉值冲乘的以傅T1里叶，系于数是Fn等于其单脉冲的傅里叶
∞
∞
∑ ∑ F ( jω) = 2π Fnδ (ω − nω1) = ω1 F0 ( jnω1)δ (ω − nω1)
成一个新信号，这个新信号就是抽样信号。抽样是从连续信号通
往离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的非常关键的第一
个环节。
图中 f(t)为原来的信号，p(t)是抽样序列信号， fs(t)是所得到的 抽样信号。实际的抽样器相当于一个定时开关，每隔Ts时间闭合
一由次此，可每见次，闭只合要时用间一为个τ周，期从为而Ts，得宽到度样为本τ信的号矩即形离串散也信即号矩fs(形t)：脉。
∑ p (t ) = ∞ Π ( t − n Ts )
n = −∞
τ
其频谱P(jω) ：
∞
∑ P ( jω ) = 2 π Pnδ (ω − nω s ) n = -∞
∑ =
∞
2π
n = -∞
τ
Ts
sin
c ( nω sτ
2
)δ
(ω
−
nω s )
式中，傅里叶系数
Pn
=
τ
Ts
sin
c( nωsτ
2
)
；ωs
(a)图可见，f(t)的最高频率分量为ωm ，周期延拓后的谱间隔为 ωs ；
图 时域抽样定理的图解
图(b)图示了频谱的混叠现象，这是由于抽样频率ωs小于2倍的 信号最高频率ωm所致；图(c)是ωs =2 ωm 时，各次延拓分量与
原频谱分量不发生频谱混叠的图示。我们将 抽样频率之半 ωs 称为折叠频率，它如同一面镜子，当信号频谱
数字信号处理
解焱陆
北京语言大学信息科学学院
课程目录
第一章 信号与系统的时域分析 第二章 时域连续信号的频域分析 第三章 时域离散信号的频域分析 第四章 离散傅里叶变换 第五章 快速傅里叶变换 第六章 数字滤波器
时域连续信号的频域分析
引言 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质 周期信号的傅里叶变换 抽样信号的傅里叶变换
Eτ
sin
c(
nω1τ
2
)
∞
有
∑ F ( jω) = ω1 F0 ( jnω1)δ (ω − nω1)
n=−∞
∑ F
(
jω)
=
ω1
∞ n=−∞
Eτ
sin
c(
nω1τ
2
)
⋅δ
(ω
−
nω1 )
∑ =
Eτω1
∞ n=−∞
sin
c(
nω1τ
2
)
⋅
δ
(ω
−
nω1
)
此时，傅里叶系数
Fn
=
1 T
F0 (
jnω1 )
图 矩形脉冲抽样的傅里叶变换频谱结构示意图
∑ Fs (
jω)
=