幂函数(解答题)

高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B【例2】 11．函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】【例3】 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】典例分析【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例6】 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D【例7】 函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2【例8】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【答案】{|0,3}x x x >≠且【例9】 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m >．故选（Ｂ） 【答案】Ｂ【例10】 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U(3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【例11】 已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴ 6020m m -<⎧⎨-<⎩，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.【答案】4m =【例12】 幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.【答案】25()f x x =或85()f x x =.【例13】 已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈ 的图形与x 轴对称，y 轴无交点，且关于y 轴对称，试确定的解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由()22230232m m m m n n N m Z ⎧--≤⎪--∈∈⎨⎪∈⎩得113m =-，， 1m =-和3时解析式为()0f x x =，1m =是解析式为()4f x x -=【答案】()4f x x -=题型二：幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ）A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数．【答案】C【例16】 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】5；【例17】 比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<< ∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-【答案】（1）6611110.60.7<（2）5533(0.88)(0.89).-<-【例18】 幂函数(1)knmy x-=（,,*,,m n k N m n ∈互质）图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】k m ,为奇数，n 是偶数；【例19】 求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-， 其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数.【例20】 设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例21】 比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】>,≤, <,【例22】 （1）若0a <，比较12,(),0.22aa a 的大小；（2）若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 （1）当0a <时，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调减，∵10.222<<，∴12()0.22a a a <<． （2）当10a -<<时，13330,0,0aa a ><<， 指数函数()x y a =-在(0,)+∞上单调减，∵133>，∴1330()()a a <-<-，∴ 1330a a >>， ∴ 1333a a a >>【答案】（1）12()0.22aa a <<（2）1333a a a >>【例23】 函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1- C ．4D ．4-【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 函数2y x -=在区间1[,2]2上单调减，当12x =时，max 4y =．【答案】C【例24】 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 由22240x x +-≥得：46x x ≥≤-或，∵ 函数12y t =在[0,)+∞上为增函数，函数2224t x x =+-在(,6]-∞上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]-∞-．【答案】(,6]-∞-【例25】 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例26】 已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【答案】R 上单调递增【例27】 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】A【例28】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a yb b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..【答案】()()aa a a a a a a >>【例29】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<； 当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <-综上可知a的取值范围为23 (,1)(,)32 -∞-⋃.【答案】23(,1)(,)32-∞-⋃.【例30】若11(1)(32)m m--+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（分类讨论）：（1）10320132mmm m+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm<<；（2）10320132mmm m+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320mm+<⎧⎨->⎩，，，解得1m<-．综上可得23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞．【答案】23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞【例31】若33(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（利用单调性）：由于函数3y x=在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m+<-，解得23m<．【答案】23m<【例32】若1122(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由图3，10320321mmm m+⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得213m-<≤．【答案】213m-<≤【例33】若44(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】作出幂函数4y x=的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+U，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x=．于是有44(1)(32)m m+<-，即44132m m+<-．.又∵幂函数4y x=在(0)+，∞上单调递增，∴132m m+<-，解得23m<，或m＞4．【答案】23m<，或m＞4【例34】已知函数2()f x x=，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x=-+-+，问是否存在实数(0)q q<，使得()g x在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】∵2()f x x=，则42()(21)1g x qx q x=-+-+．假设存在实数(0)q q<，使得()g x满足题设条件，设12x x<，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x-=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.． 从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>． 要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在(40)-，上是增函数．【答案】存在，130q =-【例35】 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A (110x+)， 现在卖出个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，现在售货金额为111110101010x bx x bx A B AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应交税款为11101010x bx a AB ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，剩余款为21111111010101010010x bx a a b b y AB AB x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=--++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以5(1)b x b -=时y 最大 要使y 最大，x 的值为5(1)b x b-=.【答案】5(1)b x b-=题型三：幂函数的图像【例36】 函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例37】 函数43y x =的图象是（ ）【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例38】 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <-> 【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【答案】B.【例39】 【答案】如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<【考点】幂函数的图像 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】D【例40】 下图为幂函数y x α=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的顺序排列为 。

幂函数的练习题一、填空题1. 计算2的平方。

答：2^2=4。

2. 计算(-3)的立方。

答：(-3)^3=-27。

3. 若a>0，b<0，那么a的幂次方与b的幂次方哪个比较大？答：当a>0且b<0时，a的幂次方比b的幂次方要大。

4. 计算10的0次幂。

答：10^0=1。

5. 当指数为0时，幂函数的结果是多少？答：当指数为0时，任何数的0次幂都等于1。

6. 若x>1，那么x的正整数次幂增大还是减小？答：当x>1时，x的正整数次幂增大。

7. 若0<x<1，那么x的正整数次幂增大还是减小？答：当0<x<1时，x的正整数次幂减小。

二、选择题1. 若a>1，那么a的2次幂与3次幂的关系是：A. a^2=a^3B. a^2>a^3C. a^2<a^3D. 无法确定答：C. a^2<a^32. 若p和q都是正数且p>q，那么以下哪个等式成立？A. p^2=q^2B. p^3=q^3C. p^4=q^4D. 无法确定答：D. 无法确定三、解答题1. 计算2的4次幂。

答：2的4次幂等于2^4=16。

2. 若x>0，计算x的2次幂与x的3次幂之和。

答：x的2次幂与x的3次幂之和为x^2+x^3。

3. 计算(-5)的平方。

答：(-5)的平方等于(-5)^2=25。

4. 若a>1，b<1，那么a的幂次方与b的幂次方哪个更大？答：当a>1且b<1时，b的幂次方更大。

5. 若x>1，计算x的4次幂与x的2次幂之差。

答：x的4次幂与x的2次幂之差为x^4-x^2。

总结：幂函数是数学中常见的函数类型，用来表示数的幂次运算。

幂函数可以通过指数的正负、大小关系来判断结果的大小变化。

当指数为0时，幂函数的结果为1。

若底数大于1，则幂函数随指数增大而增大；若底数在0和1之间，则幂函数随指数增大而减小。

通过填空题和选择题的练习，我们可以巩固对幂函数的理解和计算能力。

3.3 幂函数中档题一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是．三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围．7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值围．8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值围．9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值围．14．已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值围．16．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，数c的取值围．3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2015•一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目．2．（2015秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．3．（2015秋•校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．4．（2014•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．【解答】解：因为函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题．二．填空题（共1小题）5．（2016春•校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f （x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是②③．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．三．解答题（共13小题）6．（2016春•校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值围为[0，1]【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．7．（2016春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目．8．（2015秋•资阳期末）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值围．【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．（Ⅱ）函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x﹣1）=，推导出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值围为（2﹣lg2，2）．（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．（2015秋•校级期中）．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③当a＞e时，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．10．（2014秋•旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围．【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值围．【解答】解：（1）∵幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣，∴g（x）=；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=，∴设f（x）=log a x（a＞0且a≠1），∴log a（﹣m+1）+log a（﹣m﹣1）=，即log a（m2﹣1）=log a2=，解得a=4，∴f（x）=log4x；（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），且f（x）=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴，解得；即＜a＜2，∴实数a的取值围是（，2）．【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．11．（2013秋•大县校级期末）函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；∴a=0，∴f（x）=；（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；∴==；∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．12．（2011•模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f （a）的值，直接法求g（a）=AC•BB′．（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）﹣g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′，则f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'===（），g（a）=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=，==，∴f（a）＜g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想．13．（2011秋•高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值围．【分析】（1）幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．（2）再根据幂函数y=xα的单调性，求满足的a的取值围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值围为【点评】幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．14．（2010秋•如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．【分析】（1）设y=x a，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．【解答】解：（1）设y=x a，代入，得a=﹣1，∴．（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，∴f（x）为奇函数．单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），即f（3x+2）＞f（4﹣2x），①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，综上所述，或x＞2．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．15．（2010秋•校级期末）已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值围．【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的围．【解答】解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），∴3=27α∴，∴故函数在（﹣∞，+∞）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=log a（x+3）∵0＜a＜1，∴y=log a（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减所以当x=﹣2时y取得最大值0，当x=﹣1时y取得最小值log a2∵|y|≤2∴﹣log a2≤2【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式．16．（2007秋•虹口区校级期末）已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【分析】（1）因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有，m﹣1=1，函数f（x）=（m ﹣1）才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；（2）根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）有f（x）为幂函数，得m﹣1=1，∴M=2，∴f（x）=，（x≠0），∴g（x）=，由g（﹣x）=（﹣x）+=﹣（），∴函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；（2）设任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=（=，由x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，得：x1﹣x2＞4，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，数c的取值围．【分析】（1）由幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解出即可得出．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，依题意，c＞[﹣（x+1）2+3]max．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解得m=1，∴f（x）=x4．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．∴实数c的取值围是c＞3．【点评】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

幂函数的图像专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)=xα的图象必不经过平面直角坐标系中的第几象限( )A.一B.二C.三D.四2. 已知幂函数y=x n，y=x m，y=x p的图象如图，则（）A.m>n>pB.m>p>nC.n>p>mD.p>n>m3. 函数y=|x−1|的图象是（）A. B.C. D.4. 下列图象中幂函数y=x 32的大致形状的是（）A. B.C. D.5. 已知幂函数y=x a，y=x b，y=x c的部分图象如下，则点(ab−b,c2−c)所在象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 幂函数y=x a（α是常数）的图象（）A.一定经过点(0, 0)B.一定经过点(1, 1)C.一定经过点(−1, 1)D.一定经过点(1, −1)7. 在直角坐标系xOy的第一象限内分别画出了函数y=x,y=√x，y=x2，y=x3，y=x−1的部分图象，则函数y=x4的图象通过的阴影区域是（）A. B.C. D.8. 函数y=x 43的图象是（）A. B. C. D.9. 下图为两幂函数y=xα和y=xβ的图象，其中α，β∈{−12, 12, 2, 3}，则不可能的是（）A. B. C. D.10. 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（）(1)y=x32；(2)y=x13；(3)y=x23；(4)y=x−2；(5)y=x−3；(6)y=x−12．A.(1)↔(A)，(2)↔(F)，(3)↔(E)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(B)B.(1)↔(B)，(2)↔(E)，(3)↔(C)，(4)↔(D)，(5)↔(A)，(6)↔(F)C.(1)↔(A)，(2)↔(E)，(3)↔(B)，(4)↔(D)，(5)↔(C)，(6)↔(F)D.(1)↔(B)，(2)↔(F)，(3)↔(A)，(4)↔(C)，(5)↔(D)，(6)↔(E)11. 如图，曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象，已知n取2，3，12，−1四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．12. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x−m−1(m∈R)为偶函数．则m=________．13. 若幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，则实数α的值为________.14. 幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为________．15. 当α∈{12, 1, 3}幂函数y=xα的图象不可能经过的是第________象限（符合条件的要全填）．16. 函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点________．17. 如果幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，则m的值是________．18. 若y=x n的图象在x>1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是________．19. 当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围________．20. 把函数y=x 12的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是________．21. 画出y=x−12的函数图象．22. 画出y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象．23. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称．（1）确定f(x)的解析式；（2）画出f(x)的图象．24. 已知幂函数f(x)=x9−3m(m∈N∗)的图象关于原点对称，且在R上函数值随x的增大而增大．（1）求f(x)表达式；（2）求满足f(a+1)+f(2a−3)<0的a的取值范围．25. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(8，m)和(9，3).(1)求实数m的值；(2)若函数g(x)=logaf(x) (a>0,a≠1)在区间[16，36]上的最大值比最小值大1，求实数a的值.26. 若点(√2, 2)在幂函数f(x)的图象上，点(2, 12)在幂函数g(x)的图象上，定义ℎ(x)={f(x),f(x)≤g(x)g(x),f(x)>g(x)求函数ℎ(x)的最大值及单调区间．27. 已知幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数g(x)=q⋅√f(x)+2x(q>0)，若g(x)≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，求实数q的取值范围．28. 已知幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值．29. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴无公共点且关于y轴对称．（1）求m的值；（2）画出函数y=f(x)的图象（图象上要反映出描点的“痕迹”）．30. a、b、c、m∈R+，a m=b m+c m，若长为a、b、c三线段能构成三角形，求m的取值范围．31. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.32. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a的取值范围．33. 已知函数y=x 2 3，（1）求定义域；（2）判断奇偶性；（3）已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．参考答案与试题解析幂函数的图像专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数性质，直接求解即可.【解答】解：利用幂函数的性质即可得：当x>0时，xα不可能为负数，所以不经过第四象限.故选D.2.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象特征：在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，结合图象即可得到答案．【解答】解：因为在区间(1, +∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴，所以由图象可得：n>p>m，故选：C．3.【答案】A【考点】幂函数的图像【解析】先根据函数的定义域排除B、C，然后根据函数的值域可排除D，从而得到正确的选项．【解答】解：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y=|x−1|的值恒正可知选项D不正确.故选A．4.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数y=x 32性质，即可得出正确的选项．【解答】解：幂函数y=x 32的定义域是[0,+∞)，可以排除CD选项；当x>1时，幂函数y=x 32的函数值大于y=x的函数值，故当x>1时，幂函数y=x 32的图象高于y=x的图象，故排除选项A.故选B.5.【答案】C【考点】幂函数的图像【解析】由幂函数的由幂函数的图像得，a>1,b<0,0<c<1,进而判断得结论.【解答】解：由幂函数的图象得，a>1，b<0，0<c<1，∴ ab−b=(a−1)b<0，c2−c=c(c−1)<0，∴ 点(ab−b,c2−c)在第三象限.故选C.6.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．【解答】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=x a（α是常数）的图象一定经过(1, 1)点．故选B．7.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象和性质判断函数y=x14的单调性和大小关系即可．【解答】解：当0<x<1时，函数y=x n为单调递减函数，所以x4<x3．排除A，D．当x>1时，函数y=x n为单调递增函数，所以x4>x3．排除C．故选B．8.【答案】A幂函数的图像【解析】本题要用函数的性质与图象性质的对应来确定正确的选项，故解题时要先考查函数y= x43性质，单调性奇偶性等，再观察四个选项特征，选出正确答案．【解答】解：研究函数y=x 43知，其是一个偶函数，且在(0, +∞)上增，在(−∞, 0)上减，由此可以排除C，D，又函数的指数43>1，故在(0, +∞)其递增的趋势越来越快，由此排除B，故A正确．故选A．9.【答案】B【考点】幂函数的图像【解析】根据所给的幂函数的α，β的值，逐个说明函数的图象所经过的象限，最后得到函数的图象情况，从而得出答案．【解答】解：α，β∈{−12, 12, 2, 3}时，幂函数y=xα和y=xβ的图象列举如下：则不可能的是：B．故选B．10.【答案】A【考点】幂函数的图像函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0故(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故(2)↔(F)观察答案知选A．【解答】解：函数(1)的定义域为[0, +∞)且幂指数大于0在第一象限单调递增故：(1)↔(A)函数(2)的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故：(2)↔(F)函数(3)的定义域为R且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数大于0小于1在第一象限单调递增且上凸；故(3)↔(E)函数(4)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(4)↔(C)函数(5)的定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)且为奇函数图象关于原点对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：(5)↔(D)函数(6)的定义域为(0, +∞)且幂指数小于于0在第一象限单调递减故：(6)↔(B)故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】3，2，1，−12【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：利用幂函数的图象与性质可得：相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为3，2，1，−1．2，−1．故答案为：3，2，1212.【答案】3【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的定义和函数奇偶性的性质进行求解建立．【解答】解：∵f(x)是幂函数，∴m2−5m+7=1，即m2−5m+6=0，解得m=2或m=3，若m=2，则f(x)=x−2−1=x−3为奇函数，不满足条件．若m=3，则f(x)=x−3−1=x−4为偶函数，满足条件．故m=3，故答案为：3．13.【答案】4【考点】幂函数的图像【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出f(x)，将x用100代替，求出值．【解答】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(3, 81)，∴81=3α，解得α=4.故答案为：4.14.【答案】2【考点】幂函数的图像【解析】先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)【解答】解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2, √2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：215.【答案】二、四【考点】幂函数的图像【解析】利用幂函数的图象与性质即可得出．【解答】解：当α=1时，y=x值经过第一、三象限和原点；时，y=√x值经过第一象限和原点；当α=12当α=3时，y=x3值经过第一、三象限和原点．综上可知：幂函数y=xα的图象不可能经过的是第二、四象限．故答案为：二、四．16.【答案】【解析】根据幂函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵对所有的幂函数都过定点(1, 1)，∴当x−1=1，即x=2时，f(2)=1+1=2，即函数f(x)=(x−1)1m+1的图象恒过定点(2, 2)．故答案为：(2, 2)．17.【答案】1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．【解答】解：幂函数y=(m2−3m+3)x m2−m−1的图象不过原点，所以{m 2−m−1≤0m2−3m+3=1解得m=1，符合题意．故答案为：118.【答案】n>1【考点】幂函数的图像【解析】幂函数图象恒过(1, 1)点，结合图象容易推出n的取值范围．【解答】解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，显然n>1故答案为：n>119.【答案】【解析】直接利用幂函数的图象，结合已知条件，求出a的范围．【解答】解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，当x∈(1, +∞)时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是：(−∞, 1)．故答案为：(−∞, 1)．20.【答案】)12．y=3×(x3【考点】幂函数的图像【解析】，纵坐图象的变换体现在自变量和函数的变化，横坐标扩大到原来的3倍就是将x→x3标也扩大到原来的3倍就是将y→y，从而得解．3【解答】解：∵函数y=lg x图象横坐标扩大到原来的3倍∴得y=(x)123∵纵坐标也扩大到原来的3倍∴得y=3×(x)12．3)12．故填：y=3×(x3三、解答题（本题共计 13 小题，每题 10 分，共计130分）21.【答案】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：【考点】幂函数的图像【解析】研究函数的定义域，单调性，根据幂函数的性质判断．【解答】，所以定义域为(0, +∞)，解：将函数化为y=1√x<0．根据幂函数的性质可知，图象在第一象限为减函数．且过点(1, 1)．又指数为−12做出图象如下：22.【答案】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；【考点】幂函数的图像【解析】根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出这几个函数的图象即可．【解答】解：根据幂函数的图象与性质，在同一坐标系中画出函数y=x−12，y=x−13，y=x12，y=x13的图象，如图所示；23.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称∴m2−2m−3≤0且m2−2m−3为偶数解得−1≤m≤3∴m=−1或m=0或m=1或m=2或m=3∴f(x)=x−4或f(x)=x0=1(x≠0)（2）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）有幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m（2）借助幂函数的解析式画出幂函数的图象． 【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3(m ∈Z)的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称∴ m 2−2m −3≤0且m 2−2m −3为偶数 解得−1≤m ≤3∴ m =−1或m =0或m =1或m =2或m =3 ∴ f(x)=x −4或f(x)=x 0=1(x ≠0)（2）24.【答案】 解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3． 又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3． （2）∵ f(a +1)+f(2a −3)<0，∴ f(a +1)<−f(2a −3)． 又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)， 又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ， 解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)．【考点】函数单调性的性质函数解析式的求解及常用方法 幂函数的图像【解析】（1）函数在(0, +∞)上递增，可得9−3m >0，再由m ∈N ∗，且3m −9为奇数，可得m 的值，从而得到f(x)的解析式．（2）由题意可得不等式即f(a +1)<f(3−2a)，根据函数在R 上递增，可得a +1<3−2a ，由此求得a 的范围．【解答】 解：（1）∵ 函数在(0, +∞)上递增，∴ 9−3m >0，解得m <3． 又m ∈N ∗，∴ m =1，2．又函数的图象关于原点对称，∴ 3m −9为奇数，故m =2，故f(x)=x 3．又f(x)为奇函数，∴ f(a +1)<f(3−2a)， 又函数在R 上递增，∴ a +1<3−2a ， 解得a <23，即a 的范围为(−∞, 23)． 25.【答案】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.所以实数m =f(8)=812=2√2. (2)函数g(x)=log a f(x)， 即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4， 由log a 4−log a 6=log a 23=1， 解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6， 由log a 6−log a 4=log a 32=1， 解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32.【考点】 幂函数的性质 幂函数的图像 对数函数的值域与最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)设f(x)=x a ，依题意可得9a =3. 所以a =12. 所以f(x)=x 12.1(2)函数g(x)=log a f(x)， 即为g(x)=log a √x .又因为√x ∈[4,6]，所以：①当0<a <1时，g(x)min =log a 6,g(x)max =log a 4， 由log a 4−log a 6=log a 23=1， 解得a =23.②当a >1时，g(x)min =log a 4,g(x)max =log a 6， 由log a 6−log a 4=log a 32=1， 解得a =32.综上，所求实数a 的值为23或32. 26. 【答案】解：设f(x)=x α，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上， 所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x 2. 设f(x)=x β，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上， 所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x −1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x 2和g(x)=x −1的图象，由题意及图，可知 ℎ(x)={x −1，x <0或x >1x 2,0<x ≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).【考点】幂函数的图像函数的单调性及单调区间分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】设f(x)=x n，g(x)=x m，代入点的坐标，解方程可得f(x)，g(x)的解析式，再由定义，求得ℎ(x)的解析式，通过二次函数和反比例函数的性质，可得最大值和单调区间．【解答】解：设f(x)=xα，因为点(√2,2)在幂函数f(x)的图象上，所以(√2)α=2，解得α=2，所以f(x)=x2.设f(x)=xβ，因为点(2,12)在幂函数g(x)的图象上，所以(√2)β=12，解得β=−1，所以g(x)=x−1.在同一坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x−1的图象，由题意及图，可知ℎ(x)={x−1，x<0或x>1 x2,0<x≤1.根据函数ℎ(x)的解析式及图象（如图），可知函数ℎ(x)的最大值为1.ℎ(x)的单调递增区间是(0,1]，单调递减区间是(−∞,0)和(1,+∞).27.【答案】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．【考点】函数恒成立问题幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的图像幂函数图象及其与指数的关系【解析】（1）利用幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数，确定m的值，即可求函数f(x)的解析式；（2）分离参数，求最值，即可求实数q的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x−m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调增函数∴−m2+2m+3>0，∴−1<m<3，又m∈Z，函数f(x)为偶函数，故m=1，∴f(x)=x4；（2）g(x)=q⋅√f(x)+2x =qx2+2x≥0对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2x2对任意x∈[1, +∞)恒成立，∴q≥−2，而q>0，∴q>0．28.【答案】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．【考点】幂函数的实际应用幂函数的图像【解析】幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数或0，而图形关于y轴对称说明函数为偶函数．【解答】解：由题意可得：根据题意，幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，则m2−2m−3≤0，①m2−2m−3=0，解可得m=−1或3，此时y=1(x≠0)，符合题意；②m2−2m−3<0解得−1<m<3，又∵m∈Z，∴m=0，1，2∵图象关于y轴对称∴m2−2m−3是偶数，故m的值为±1或3．29.【答案】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点说明指数为负数，而图形关于y轴对称说明指数数为偶函数，由此求得整数m的值．（2）根据（1）中结论写出幂函数的解析式，画出函数y=f(x)的图象．【解答】解：（1）由于幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，故幂函数是偶函数，且m2−2m−3=(m−3)(m+1)为非正的偶数．由m2−2m−3≤0可得−1≤m≤3，即m=−1、0、1、2，3．再由m2−2m−3为偶数，可得m=−1、1、3．（2）当m=−1或3时，f(x)=x0；当m=1时，f(x)=x−4；图象如图所示．30.【答案】解：根据题意，由a m=b m+c m，可得(ba )m+(ca)m=1，且a>b，a>c；设(ba )m=sin2θ；(ca)m=cos2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 【考点】同角三角函数基本关系的运用 幂函数的图像 【解析】根据题意，由a m =b m +c m 变形可得(b a )m +(ca )m =1，由常数1联系同角三角函数的平方关系，可以设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)，又由题意，可得b +c >a ，将b 、c 与a 的关系代入可得，a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；进而整理变形可得，√sin 2θm+√cos 2θm >1=sin 2θ+cos 2θ，结合幂函数的性质，分析可得答案．【解答】解：根据题意，由a m =b m +c m ，可得(ba)m +(ca)m =1，且a >b ，a >c ；设(b a )m =sin 2θ；(ca )m =cos 2θ，(0∘<θ<90∘)化简可得：b =a ⋅√sin 2θm，c =a ⋅√cos 2θm；若长为a 、b 、c 三线段能构成三角形，则b +c >a ，即a ⋅√sin 2θm+a ⋅√cos 2θm>a ；整理可得，√sin 2θm+√cos 2θm>1=sin 2θ+cos 2θ，由幂函数的性质分析可得，当且仅当m >1时，√sin 2θm>sin 2θ与√cos 2θm>cos 2θ同时成立，即b +c >a ，故m 的取值范围为m >1． 31.【答案】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：32.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=x m2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，∴m2−2m−3<0，解得−1<m<3，∵m∈N∗，∴m=1，或m=2．当m=1时，f(x)=x−4，其图象关于y轴对称，符合题意；当m=2时，f(x)=x−3是奇函数，不符合题意，∴m=1．（2）∵ m =1，∴ 满足(1+a)−2m3<(1−2a)−2m3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23． ∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12， 从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)． 【考点】其他不等式的解法幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的性质 幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】（1）由幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数，知m 2−2m −3<0，由此能求出m ．（2）由m =1，知满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．由此能求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵ 幂函数f(x)=x m 2−2m−3在(0, +∞)上是减函数， ∴ m 2−2m −3<0， 解得−1<m <3，∵ m ∈N ∗，∴ m =1，或m =2．当m =1时，f(x)=x −4，其图象关于y 轴对称， 符合题意；当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不符合题意， ∴ m =1．（2）∵ m =1， ∴ 满足(1+a)−2m 3<(1−2a)−2m 3的a 即满足(1+a)−23<(1−2a)−23．∵ y =x −23为偶函数，且定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)，在(0, +∞)上单调减， ∴ {|1+a|>|1−2a|1+a ≠01−2a ≠0，即{(1+a)2>(1−2a)2a ≠−1a ≠12， 从而0<a <2且a ≠12，故a 的取值范围是(0, 12)∪(12，2)．33. 【答案】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数． （3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数， 对应的图象为： 【考点】 幂函数的性质 幂函数的图像【解析】根据幂函数的性质分别求出函数的定义域和奇偶性． 【解答】解：（1）∵ 函数y =x 23=√x 23，∴ 函数的定义域为R ．（2）∵ f(−x)=√(−x)23=√x 23=f(x)，∴ 函数y =x 23=√x 23是偶函数． （3）∵ 函数y =x 23=√x 23是偶函数．∴ 函数图象关于y 轴对称，且(−∞, 0]为减函数，[0, +∞)为增函数， 对应的图象为：。