平面直角坐标系0..

八年级数学上册知识点：平面直角坐标系一、平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内两条有公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。

建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图所示.说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。

点的坐标：对于平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对叫做P的坐标。

点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。

常见考法由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;求某些特殊点的坐标。

误区提醒求点的坐标时，容易将横、纵坐标弄反，还容易忽略坐标符号;思考问题不周，容易出现漏解。

【典型例题】点p关于x轴的对称点p1的坐标是，点p 关于原点o的对称点P2的坐标是。

【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填,。

一、目标与要求解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法。

培养学生用数学的意识，激发学生的学习兴趣。

掌握坐标变化与图形平移的关系;能利用点的平移规律将平面图形进行平移;会根据图形上点的坐标的变化，来判定图形的移动过程。

发展学生的形象思维能力，和数形结合的意识。

坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用。

二、重点掌握坐标变化与图形平移的关系;有序数对及平面内确定点的方法。

三、难点利用坐标变化与图形平移的关系解决实际问题;利用有序数对表示平面内的点。

四、知识框架五、知识点、概念总结有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作其中a表示横轴，b表示纵轴。

平面直角坐标系与点的坐标平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上的点的位置。

它由两个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。

一、直角坐标系的定义与特点直角坐标系是由两条相互垂直的直线构成，它们通常被称为x轴和y轴。

这两个轴分别代表了水平方向和垂直方向。

在这个坐标系中，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的一个点P，其中x表示点P在x 轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。

直角坐标系的特点有以下几点：1. 坐标原点：直角坐标系中的原点O位于x轴和y轴的交点处，它的坐标为(0, 0)。

2. 坐标轴：x轴和y轴相互垂直，并且共同构成了整个平面。

3. 坐标值：每个点P在直角坐标系中都有唯一的坐标表示。

x轴的坐标值是实数集上的所有数，y轴的坐标值也是实数集上的所有数。

二、点的坐标表示方法在直角坐标系中，点P的坐标可通过以下方法求得：1. 水平和垂直距离：假设点P的水平距离为x，垂直距离为y，则点P的坐标为(x, y)。

2. 垂直和水平投影：假设点P的垂直投影在x轴上的坐标为x，水平投影在y轴上的坐标为y，则点P的坐标为(x, y)。

例如，点A位于x轴上，其坐标为(3, 0)；点B位于y轴上，其坐标为(0, 5)；点C位于第一象限，其坐标为(2, 4)；点D位于第四象限，其坐标为(-1, -2)。

三、坐标系的应用举例直角坐标系在数学和科学领域中有广泛的应用。

以下是一些具体的应用举例：1. 几何图形：通过直角坐标系，我们可以方便地描述几何图形的位置、形状和大小，如直线、抛物线、圆等。

2. 数据分析：直角坐标系可以用于绘制数据图表，帮助我们分析和比较数据，如折线图、柱状图、散点图等。

3. 物理学：在物理学中，直角坐标系可以用于描述力、速度、加速度等物理量的方向和大小。

4. 工程应用：直角坐标系可以应用于工程领域，如建筑设计、城市规划等，帮助确定位置、测量距离等。

总结：平面直角坐标系是用来描述平面上点的位置的数学工具，由x轴和y轴组成。

平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。

本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。

一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。

x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。

两条轴的交点称为原点，记作O。

平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。

二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。

2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。

1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。

对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。

2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。

在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。

3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。

向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。

向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。

它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。

平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。

平面直角坐标系知识讲解【要点梳理】要点一、有序数对定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要点诠释：有序，即两个数的位置不能随意交换，(a，b)与(b，a)顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是6排7号，可以写成(6，7)的形式，而(7，6)则表示7排6号．要点二、平面直角坐标系及点的坐标的概念1. 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1).要点诠释：平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的.2. 点的坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b 分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2.要点诠释：（1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．（2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离.(3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．要点三、坐标平面1. 象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要点诠释：（1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限．（2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方.2. 坐标平面的结构坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.要点四、点坐标的特征1.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律要点诠释：（1）对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上.（2）坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0．（3）根据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面上的位置也可以判断点的坐标的符号情况．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．3.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b)．4.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.【典型例题】类型一、有序数对表示位置1．如图是小刚的一张笑脸，他对妹妹说：如果我用（0,2）表示左眼，用（2,2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（）．A．（1，0）B．（-1，0）C．（-1，1）D．（1，-1）【思路点拨】由（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可以确定平面直角坐标系中x轴与y轴的位置，从而可以确定嘴的位置．【答案】A．【解析】解：根据（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，可得嘴的坐标是（1，0），故答案为A．【总结升华】此题考查了坐标确定位置，由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键．举一反三：【变式】下列数据不能表示物体位置的是（）．A．5楼6号B．北偏东30°C．希望路20号D．东经118°，北纬36°【答案】B （提示A. 5楼6号，是有序数对，能确定物体的位置；B.北偏东30°，不是有序数对，不能确定物体的位置；C.希望路20号，“希望路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置；D.东经118°北纬36°，是有序数对，能确定物体的位置．）类型二、平面直角坐标系与点的坐标的概念2.有一个长方形ABCD，长为5，宽为3，先建立一个平面直角坐标系，在此坐标系下求出A，B，C，D各点的坐标.【答案与解析】解：本题答案不唯一，现列举三种解法.解法一：以点A为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（1）：A（0，0），B（5，0），C（5，3）， D （0，3）.解法二：以边AB的中点为坐标原点，边AB所在的直线为x轴，AB的中点和CD的中点所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2）：A（﹣2.5，0），B（2.5，0），C（2.5，3）， D （-2.5，3）.解法三：以两组对边中点所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图（3）：A（﹣2.5，-1.5），B（2.5，-1.5），C（2.5，1.5）， D （-2.5，1.5）.【总结升华】在不同平面直角坐标系中，长方形顶点坐标不同，说明位置的相对性与绝对性，即只要原点、x轴和y轴确定，每一个点的位置也确定，而一旦原点或x轴、y轴改变，每一个点的位置也相对应地改变.举一反三：【变式】点A(m，n)到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为________．【答案】(2，3)或(-2，3)或(-2，-3)或(2，-3).3.平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-3，-1)，B(1，3)，C(2，-3)．求△ABC的面积．【思路点拨】三角形的三边都不与坐标轴平行，根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形的面积转化为梯形或长方形的面积减去多余的直角三角形的面积，即可求得此三角形的面积．【答案与解析】解：如图所示，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线与过B 点平行于x 轴的直线交于点D 、E ，则四边形ACED 为梯形，根据点A(-3，-1)、B(1，3)、C(2，-3)可求得AD ＝4，CE ＝6，DB ＝4，BE ＝1，DE ＝5，所以△ABC 的面积为：． 【总结升华】点的坐标能体现点到坐标轴的距离，解决平面直角坐标系中的三角形面积问题，就是要充分利用这一点，将不规则图形转化为规则图形，再利用相关图形的面积计算公式求解．举一反三：111()222ABC S AD CE DE AD DB CE BE =+--△111(46)5446114222=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=【变式】如图所示，已知A 1(1，0)，A 2(1，1)，A 3(-1，1)，A 4(-1，-1)，A 5(2，-1)，……，则点A 2008的坐标为________．【答案】(-502，-502)．类型三、坐标平面及点的特征4. 在平面直角坐标系中，点（﹣1，m +1）一定在第________象限．【思路点拨】根据点在第二象限的坐标特点解答即可．【答案】二.【解析】解：∵点（﹣1，m +1）的横坐标﹣1＜0，纵坐标m +1＞0，∴符合点在第二象限的条件，故点（﹣1，m2+1）一定在第二象限．【总结升华】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号．举一反三：【变式1】点P(－m,n)在第三象限，则m ，n 的取值范围是________.【答案】．【变式2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标满足下面条件的点，分别在第几象限或哪条坐标轴上．(1)点P(x ，y)的坐标满足xy ＞0．(2)点P(x ，y)的坐标满足xy ＜0．（3）点P(x ，y)的坐标满足xy=0．2220,0m n ><【答案】(1)点P在第一、三象限；(2)点P在第二、四象限；（3）x轴或y轴.【变式3】若点C(x,y)满足x+y＜0，xy＞0，则点C在第_____象限.【答案】三．5.一个正方形的一边上的两个顶点O、A的坐标为O(0，0)，A(4，0)，则另外两个顶点的坐标是什么．【思路点拨】有点的坐标说明已有确定的平面直角坐标系，但正方形的另两个顶点位置不确定，所以应按不同位置分类去求．【答案与解析】解：不妨设另外两个顶点为B、C，因为OABC是正方形，所以OC＝BA＝BC＝OA＝4．且OC∥AB，OA∥BC，则：(1)当顶点B在第一象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，4)，C点坐标为(0，4)．(2)当顶点B在第四象限时，如图所示，显然B点坐标为(4，-4)，C点坐标为(0，-4)．【总结升华】在解答这类问题时，我们千万不要忽略了分类讨论而导致错误．举一反三：【变式】在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是（）A.（0，0） B.（0，2） C.（2，﹣4） D.（﹣4，2）【答案】A。

平面直角坐标系00表示坐标
坐标系是一种用于描述物体位置的工具，它由两个互相垂直的坐标轴组成。

在平面直角坐标系中，这两个坐标轴通常被标记为x轴和y轴，它们的交点被定义为原点O，表示为(0, 0)。

在这个坐标系中，每个点都可以用一个有序对来表示，第一个数字表示点在x轴上的位置，第二个数字表示点在y轴上的位置。

例如，点A的坐标为(3, 2)，表示它在x轴上距离原点3个单位，在y轴上距离原点2个单位。

通过坐标系，我们可以方便地描述物体的位置和移动。

例如，如果一个物体在原点的基础上向右移动3个单位，向上移动2个单位，那么它的新坐标将是(3, 2)。

坐标系不仅可以用于描述物体的位置，还可以用于表示方向和距离。

例如，如果我们要从原点出发向右移动5个单位，我们可以将起点设置为原点，终点设置为(5, 0)，这样就可以清楚地描述出移动的方向和距离。

除了描述物体的位置和移动，坐标系还可以用于解决各种几何问题。

例如，我们可以利用坐标系来计算两个点之间的距离，或者判断一个点是否在一个图形内部。

平面直角坐标系是一种非常有用的工具，它可以帮助我们描述物体的位置、移动和几何性质。

通过熟练运用坐标系，我们可以更好地
理解和解决与位置有关的问题。

大地原点与平面直角坐标系的原点的区别
大地原点与平面直角坐标系的原点存在以下区别：
大地原点是大地坐标系中的一个特定点，通常选在特定范围的中心位置。

这个点的坐标是通过各种方法综合确定的，比如1980年西安坐标系的大地原点就是基于我国范围内高程异常平方和最小的条件，采用多点定位的结果来确定的。

大地原点的坐标不是（0，0，0），而是与大地原点在椭球上所处具体位置密切相关的（B，L，H）。

而平面直角坐标系的原点，通常定义为（0，0），是平面坐标系中各点位置的参照点。

平面直角坐标系是一种用于描述平面上点的位置的坐标系，与大地坐标系不同，其坐标系中的点位于平面上。

总的来说，大地原点是大地坐标系中的一个特定的、与地球形状和位置有关的点，而平面直角坐标系的原点则是平面坐标系中用于参照的、固定的点。

两者在定义、用途和确定方法上都有显著的差异。

平面直角坐标系
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是一种在二维空间里应用的坐标系。

它是由两个互相垂直的直线组成的，分别叫做X轴和Y轴，可以将二维平面上的任何一点定位。

一般来说，平面直角坐标系的原点为坐标原点(0,0)，X轴水平向右延伸，Y轴垂直向上延伸。

每一点都可以用一对数字来表示，分别表示其在X轴和Y轴上的坐标。

用坐标显示出来形成一个坐标轴，已经有助于理解平面坐标系。

平面直角坐标系的使用非常广泛，应用于数学、物理、地理等诸多学科，是学习和处理二维数据的非常有用的工具。

它可以帮助我们更好地理解物体的位置和运动路径，以及分析函数的结构和趋势。

同时，平面直角坐标系还可以帮助我们将二维地图投影到平面上，帮助人们更清楚地理解地形和地貌。

可以说，平面直角坐标系是研究和处理二维数据的必不可少的工具。

在科学研究中，平面直角坐标系是一种非常重要的技术，它被广泛用于表达空间结构，分析和模拟各种现象，有很多强大的数学工具，可以帮助我们更好地了解这些现象。

当然，也可以用平面直角坐标系来研究各种曲线问题，比如椭圆、抛物线、双曲线等等。

总而言之，平面直角坐标系是一种重要的坐标系，应用于数学、物理和地理等多个领域，被广泛用于研究和处理二维数据。

它是一个强大的工具，对于理解二维空间中的物体结构和现象非常有用，也是研究函数曲线的重要基础。

平面直角坐标系知识点总结一、引言平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，也是解析几何的基础。

它在代数课程中广泛应用，对于理解和解决各种几何问题有着重要的作用。

本文将对平面直角坐标系的相关知识进行总结和介绍。

二、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系是由两条相互垂直的坐标轴组成的，其中一条称为x轴，另一条称为y轴。

x轴和y轴的交点称为原点O，它的坐标为(0, 0)。

平面直角坐标系中的每一个点可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示该点在 x 轴上的投影，y 表示该点在 y 轴上的投影。

三、平面直角坐标系的四象限在平面直角坐标系中，将x轴和y轴的正负方向分别延长，将整个平面分为四个象限。

第一象限为x轴和y轴的正方向区域，第二象限为x轴负方向和y轴正方向区域，第三象限为x轴和y轴的负方向区域，第四象限为x轴正方向和y轴负方向区域。

四、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，点的坐标可以用两种方式表示：直角坐标和极坐标。

直角坐标用有序数对 (x, y) 表示，x 表示点在 x 轴上的投影，y 表示点在 y 轴上的投影。

极坐标则用极径和极角来表示，极径表示点到原点的距离，极角表示点与x轴正半轴的夹角。

五、距离的计算平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。

若两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则这两点之间的距离d可以计算为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

六、图形的表示与运算在平面直角坐标系中，各种图形都可以通过方程进行表示。

例如，直线可以用一次方程y = kx + b来表示，其中k为斜率，b为截距。

圆可以用二次方程表示，例如(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径。

七、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在几何学和物理学中有着广泛的应用。

在几何学中，通过直角坐标系可以方便地解决几何形状的性质和关系问题。

在物理学中，直角坐标系可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。

平面直角坐标系概念
平面直角坐标系又称二维直角坐标系，是指将空间划分为由“横纵坐标”组成的直角坐标系统，其中一般以原点（0,0）为零点，根据两个坐标轴上的点到原点距离，以及坐标轴直线之间的夹角，来确定在平面上任意一点的坐标位置。

平面直角坐标系在经济、工程计算、地理空间数据分析、导航定位和机器人工程等方面具有广泛的实际应用价值。

除了精确度更高和更好的表现力以外，平面直角坐标系还具有简单的结构、精确的表现形式和易于操作等优点，被广泛应用在科学研究、工程技术、地理空间数据分析等领域。

简单来说，平面直角坐标系的关键作用就是用来描述地球上的某些地标点和路径的位置和变化，从而有效地进行后续分析、研究，这样有助于推进社会经济发展进程。

因此，推荐各位运用平面直角坐标系，以及赖以支持的相关技术，为提高工程技术水平，推进高质量发展的各项计划，进行有效的记录和分析。

数学平面直角坐标系的四个象限
数学平面直角坐标系是指由两条相互垂直的直线（通常称为x 轴和y轴）构成的坐标系。

这个坐标系将平面分为四个部分，分别称为象限。

下面我将从不同角度来介绍这四个象限。

首先，我们可以从数学定义的角度来看。

在数学平面直角坐标系中，x轴和y轴的交点被定义为原点O(0,0)。

根据x轴和y轴的正方向，我们可以将平面分为四个象限。

第一象限位于x轴和y轴的右上方，所有点的x坐标和y坐标都是正数。

第二象限位于x轴和y轴的左上方，所有点的x坐标为负数，y坐标为正数。

第三象限位于x轴和y轴的左下方，所有点的x坐标和y坐标都是负数。

第四象限位于x轴和y轴的右下方，所有点的x坐标为正数，y坐标为负数。

其次，我们可以从几何图形的角度来看。

将直角坐标系画在平面上，可以清晰地看到四个象限的位置。

第一象限位于右上方，第二象限位于左上方，第三象限位于左下方，第四象限位于右下方。

另外，我们还可以从实际问题的角度来理解。

在实际问题中，四个象限可以用来表示不同的情况或者数据。

例如，第一象限可以
表示两个变量都为正的情况，第二象限可以表示一个变量为负，一个变量为正的情况，依此类推。

总的来说，数学平面直角坐标系的四个象限在数学上、几何上和实际应用中都有着重要的意义，它们帮助我们理解平面上的位置关系、解决实际问题以及进行数学推导和证明。

希望这些信息能够帮助你全面了解四个象限的概念。