高思奥数导引小学四年级含详解答案第15讲 加法原理与乘法原理,

本讲主线
本讲
1．加法原理、乘法原理
2．加乘原理的综合考察
3.
1. 乘法原理，
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步果件事情需要分
中方法数相乘.
2. 加法原理，分类相加
3. 经典案例：穿衣服，组数字，站队问题，染色问题
(乘法)
用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有
色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同
共有多少种不同用四种不同的颜色对下图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同
要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。

问：共有多少种不同的染色方
如果一件事情需要分几步完成，那么，完成这件事情的总的方法数＝每一步件事情需要分几步完成。

第十五讲逻辑推理一逻辑学是一门思维科学，它的研究对象是人们的思维形式及其规律．逻辑学主要包括形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑，我们学习的逻辑推理主要是形式逻辑中的推理部分．有一位家喻户晓的人物是演绎推理方面的大师，他就是江户川柯南！你想成为小柯南吗？跟着我们一起学习吧！首先，我们看一下简单的真假话问题．一句话不是真话，就是假话．这在逻辑学中被称为排中律．判断真假是逻辑推理中最基本的问题之一．甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我是牧师．”乙说：“我是骗子．”丙说：“我是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是牧师？谁是骗子？谁是赌棍？「分析」这三句话哪句是真话？哪句是假话？练习1甲、乙、丙三人中有一人是牧师，有一人是骗子，还有一人是赌棍．牧师从不说谎，骗子总说谎，赌棍有时说真话有时说谎话．甲说：“我不是牧师．”乙说：“我不是骗子．”丙说：“我不是赌棍．”请问：甲、乙、丙三人中谁是赌棍？我们在进行逻辑推理时，往往还需要应用假设法分析问题，要考虑全面．既要考虑到所假设的条件成立的情况，还要考虑到条件不成立的情况．例题2有甲、乙、丙三名学生一起到动物园看到一只动物．甲判断：“不是鸡，不是鸭．”乙判断：“不是鸡，而是鹅．”丙判断：“不是鹅，而是鸡．”经饲养员的证实，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错．那么这只动物是什么呢？「分析」谁说的全对呢？不妨假设一下．练习2某地质学院的3名学生对一种矿石进行分析．甲判断：“不是铁，不是铜．”乙判断：“不是铁，而是锡．”丙判断：“不是锡，而是铁．”经化验证明，有一个人判断完全正确，一个人只说对了一半，一个人则完全说错．那么谁说对了一半？当甲说A这次考试考了第一名，乙说A这次考试不是第一名，这两个人中间肯定有一个人说了真话，一个人说了假话．有时候我们会利用一些相互矛盾的话找出说话的人有几个说真话的人和几个说假话的人，从而找到突破口．某校数学竞赛，A、B、C、D、E、F、G、H这8位同学获得前八名.老师让他们猜一下谁是第一名. A说：“F或者H是第一名．”B说：“我不是第一名．”C说：“G是第一名．”D说：“B不是第一名．”E说：“A说的不对．”F：“我不是第一名，H也不是第一名．”G说：“C不是第一名．”H说：“我同意A的意见．”老师指出：8人中有3人猜对了．问：第一名是谁？「分析」这8位同学中一定有一人是第一名，对第一名逐个试验，似乎可以解决问题．有没有更简单的方法呢？这8个人说的话中有没有哪些人意见相同？有没有哪些人意见相反？练习3小刚、小李、小杨、小王4个人中有一位打破了玻璃．老师问：“这是谁干的？”小王说：“不是我干的．”小刚也说：“不是我干的．”小李说：“是小王干的．”小杨说：“是小李干的．”已知他们4个人中有且仅有一个人没有说真话，那么谁打碎了玻璃？对于多对多的逻辑推理问题，通常状况下都可以通过列表法分析．虽然分析过程没有变化，但是借助表格我们可以把条件之间的联系变得更加清晰，这正是列表法的优势．例题4徐、王、陈、赵四位师傅分别是木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷．已知：①木工只和车工下棋，而且总是输给车工；②王、陈两位师傅和木工经常一起看球；③陈师傅与电工下棋互有胜负；④徐师傅比赵师傅棋艺高很多．问：徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？「分析」这是一个多对多的逻辑推理问题，我们可以用列表分析的方法来解决．比如根据条件②，王师傅和陈师傅都不是木工，我们可以在相应的格子中画上“×”．练习4甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，并决出了一、二、三、四名．已知：甲比乙的名次靠前；丙、丁喜欢一起踢足球；乙、丁每天一起骑自行车上班；第二名不会骑自行车，也不爱踢足球；第一、三名在这次比赛之前并不认识．请你按照名次给出他们的排名．例题5甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计．甲说：“A先生有500本书．”乙说：“A先生至少有1000本书．”丙说：“A先生的书不到2000本．”丁说：“A先生最少有1本书．”实际上这四个人的估计中只有一句是对的．问：A先生究竟有多少本书？「分析」这四句话中只有一句是对的，是哪句呢？大家不妨用假设法试着分析．例题6有三户人家，父亲分别姓王、张、陈，母亲分别姓刘、李、胡，每家一个孩子，分别叫明明（女）、宁宁（女）、松松（男）．已知：①王家和李家的孩子都参加了女子体操队；②张家的女儿不叫宁宁；③陈和胡不是一家．请问：哪些人是一家？「分析」本题的条件很杂，既有父母的姓氏，又有孩子的名字和性别，还能用列表法解决吗？大家不妨试一试．课堂内外哪个下落得快？古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle，公元前前384-322年）认为，物体从高处落下，重的物体下落得快，轻的物体下落得慢．亚里士多德在当时被公认为最博学的人，他所说的结论，没有人不相信，更没有人敢反驳．两千年过去了，直到1590年的某一天，年仅26岁的伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）却推翻了亚里士多德的结论．伽利略发现：（1）假设亚里士多德的结论是对的，则一块10磅重的物体会比一块1磅重的物体下落得快．（2）把一块10磅重的物体和一块1磅重的物体绑在一起，和另一块10磅重的物体同时往下丢．根据亚里士多德的观点，会发生两种现象：A：合起来重11磅的物体，比10磅重的物体下落得快，因为11磅更重．B：合起来重11磅的物体，比10磅重的物体下落得慢．因为其中较轻的1磅重的物体会因为下落较慢而拉扯10磅重的物体，减缓它的下落速度，结果整体速度反而变慢．由此可见，如果亚里士多德的说法是对的，将会得出A和B两个自相矛盾的结论．因此，亚里士多德的说法是错误的．1590年，伽利略在比萨塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，得出了重量不同的两个铁球同时下落的结论，从此推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说，纠正了这个持续了1900多年之久的错误理论．作业1.一天，小黄遇到了疯子、傻子、骗子各一个，傻子只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话．第一个人说：“我和第二个人是兄弟．”第二个人说：“我是骗子．”第三个人说：“傻子和疯子是兄弟．”究竟哪个人是骗子？2.甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码．赵说：“甲是2号，乙是3号．”钱说：“丙是4号，乙是2号．”孙说：“丁是2号，丙是3号．”李说：“丁是1号，乙是3号．”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半．请问：丙的号码是几号？3.赛马比赛前四名观众给A、B、C、D四匹马排名次，甲说：“第一名不是A就是C”；乙说：“B跑的比D快”；丙说：“如果A得第一，C就得第二”；丁说：“B、D都不会得第三”；结果四个人谁也没猜错，那么四匹马的名次是什么？4.甲、乙、丙三位老师教五年级三班的语文、数学和外语．已知甲老师上课全用汉语，外语老师是一个学生的哥哥，丙是一位女老师，她比数学老师活泼，那么乙老师教什么课？5.甲、乙、丙三人分别是一班、二班和三班的学生，在校运动会上他们分别获得跳高、百米和铅球冠军．已知：（1）甲不是百米冠军；（2）一班的不是铅球冠军；（3）二班的是百米冠军；（4）乙既不是二班的也不是跳高冠军；问：他们三人分别是哪个班的？分别获得哪项冠军？第十五讲逻辑推理一1.例题1答案：甲牧师、丙骗子、乙赌棍详解：牧师只可能说“我是牧师”，所以甲是牧师．骗子不可能说“我是骗子”，所以乙是赌棍，那么丙就是骗子．2.例题2答案：鸡详解：假设是鸭，则甲说对一半、乙说对一半，不成立；假设是鹅，则甲全对、乙全对，不成立；假设是鸡，则甲说对一半、乙全错、丙全对，所以成立．3.例题3答案：B详解：“几真几假”找矛盾：共八个人，其中，A、E、F、H这四个人所说的一定是两真两假，B和D所说的一定是一样的，而8个人中只有3人猜对了，所以B和D所说一定是错的，他们说：“B不是第一名”，所以第一名就是B．答案：如右表．详解：根据②可知王、陈不是木工；根据③可知陈不是电工；木工只能是徐或赵，而且木工只和车工下棋，且总是输给车工，由④可知，赵是木工、徐是车工．5.例题5答案：0本详解：假设法：假设甲对：则丙也是对的，矛盾，假设不成立；假设乙对：则丁也是对的，矛盾，假设不成立；假设丙对：则其他三人的话可以全错，假设可以成立，此时，A先生有0本书；假设丁对：则其他三人必须全错，看甲、A先生藏书不是500本，看乙、A先生藏书不够1000本，看丙、A先生藏书至少2000本，出现矛盾，所以假设不成立．所以，丙说的对，A先生实际上没有书，0本．6.例题6答案：三家分别是王、胡、宁宁；张、李、明明；陈、刘、松松详解：王和李的孩子都是女生，所以不是松松，而且王和李不是一家；张家女儿是明明．7.练习1答案：甲是赌棍详解：骗子只能说“我不是骗子”是假话，所以乙是骗子．说“我不是牧师”的人不可能是牧师，只有是赌棍了，所以甲是赌棍，丙是牧师．8.练习2答案：甲说对了一半详解：第一种方法：乙和丙说的完全是矛盾的，所以乙和丙一个全对，一个全错，那么甲就是一半对一半错．如果甲说的不是铁是对的，那么不是铜就是错的，所以这个矿石是铜，那么乙和丙中没有人全对，矛盾；所以甲说的不是铜是对的，这个矿石是铁，所以乙全错，而丙全对．第二种方法：如果甲说的完全正确，则乙说“不是铁”是正确，只能是乙说对了一半，“而是锡”是错误的，该矿石不是锡，丙也是说对了一半，矛盾．用同样的方法去分析如果是乙全对或者丙全对，最后可以确定丙全对．9.练习3答案：小李简答：“几真几假”找矛盾：共4个人，其中，小李和小王所说一定是一真一假，而只有一个人说了假话，所以小刚和小样说的都是真话，所以玻璃是小李打碎的．10.练习4简答：第二名不会骑车、不会踢球，所以乙、丙、丁都不是第二名；第二名是甲，甲比乙靠前，所以乙只能是三或四名；第一、三名之前不认识，而丁和乙、丙都认识，所以，丁既不能是第一名也不能是第三名，丁是第四名；所以乙只能是第三名、丙是第一名．11.作业1答案：第一个人简答：第二个人只能是疯子，而第一个人不能是说真话的傻子，所以第一个人是骗子．12.作业2答案：丙是4号简答：如果“甲是2号”对，则“乙是2号”错，“丙是4号”对，“丙是3号”错，“丁是2号”错，矛盾．只能是“乙是3号”对，“乙是2号”错，“丙是4号”对．13.作业3答案：A第三，B第二，C第一，D第四简答：A不是第一，否则丙与丁说的矛盾．C第一，B比D快又都不是第三，只能B第二，D 第四，A第三．14.作业4答案：外语简答：先判断出丙是语文老师，则甲是数学老师，乙是外语老师．15.作业5答案：甲、一班、跳高；乙、三班、铅球；丙、二班、百米简答：先判断乙是铅球冠军，是三班的．再判断甲是跳高冠军，是一班的．丙是百米冠军，二班的．。

93“加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子：餐厅供应4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨．点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐之一，或是土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有426+=（种）点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：94（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有428×=（种）点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．分析 选择不同的交通工具是分类还是分步？是用加法原理还是乘法原理呢？练习1.书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的取法？分析 要给三个字母涂色，我们很容易想到要依次涂每个字母，这是分类还是分步呢？只涂一个字母能完成这件事情吗？练习2.把“CHINA ”这五个字母涂上五种不同的颜色，每个字母只能涂一种颜色．共有多少种涂色方法？以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有有2字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色．现有五种不同颜色的笔，按上述要求能有多少种不同的涂色方法？例题295 IMO 国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad ）的简称1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出倡议，并于1959年7月在罗马尼亚举行了第一届国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad ，简称IMO ），当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马利亚和前苏联参加．以后每年举行（只在1980年中断过一次），参加的国家和地区逐渐增多，目前参加这项赛事的代表队有80余支．我国第一次派队参加IMO 是在1985年，当时只去了两位同学，除了1998年因故未能参加外，截止2009年的25年中，我国中学生代表队共参加了24届IMO ，140人次参赛，取得107块金牌、26块银牌、5块铜牌，15次取得团体总分第一．2009年第50届IMO ，我国6名参赛队员全部获得金牌，并以总分221分蝉联团体第一，来自山师附中的韦东奕取得满分（满分共2人）．即时通讯软件（instant messaging office ）的简称Instant messaging office ，是中国领先的企业级即时通讯运营平台，致力于为政府、企业、组织用户提供文字/语音、文件传输、文档协作、电子白板、公告传达、短信群发、电子传真、网络文件柜、电子考勤、日程安排等网络化实时沟通、网络化协同办公、网络化运营管理服务，构建组织的“互联网办公室”．国际海事组织（International Maritime Organization ）的简称国际海事组织是联合国负责海上航行安全和防止船舶造成海洋污染的一个专门机构，总部设在伦敦．该组织最早成立于1959年1月6日，原名“政府间海事协商组织”，1982年5月改为现名．分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事．这种情况下一般要用到加法原理．分步是指完成一件事情有几步不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事．这种情况下一般要用到乘法原理．分析 被减数与减数都有很多种写法，只写其中一个能完成这个减法算式吗？写被减数和写减数是写出减法算式的两类还是两步？须是三位数，减数必须是两位数．请问墨莫共有多少种不同的写法？96练习3.有6个不同的文具盒，5支不同的铅笔，3支不同的钢笔，2把不同的尺子．若从中各取一个，配成一套学习用具，最多可以配成多少套不同的学习用具？分析 从第一层取1本书、从第二层取1本书、从第三层取1本书，这三件事对于前两问来说是分类还是分步？练习4.商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔．铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色．（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的笔，有多少种买法？本漫画，第三层放了例题497分析 要从甲地到丙地，就必须途径乙、丁两地之一．“甲→乙→丙”与“甲→丁→丙”这两类路线各有多少条呢？练习5.有两个不同的骰子，每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．任意摆放这两个骰子，如果要求朝上的面所标数字之和为偶数，共有多少种放法？通过上面这几个例题，我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别．加法原理类与类之间会满足下列要求：1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．比如例题1中，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工具，就能到达目的地了．乘法原理步与步之间满足下列要求：1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．比如例题2中，“I ”、“M ”、“O ”都要涂上颜色，只是可以有先后的步骤关系．在这里，“I ”、“M ”、“O ”的书写顺序可以随意安排，先写哪个字母都是可以的．但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在下一讲会遇到．地到丙地有丁地到丙地有复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？98加法原理与乘法原理的混合有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系，这时应该分清主次关系，弄清楚到底是“分类中含有分步”，还是“分步中含有分类”．如果是某一大类里面又可以再分为几小步，那么这一类里应该用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类中的情况加在一起，比如例题4的题（3）和例题5．当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况，这就要先用加法原理算出这一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来．在本讲的最后，我们来介绍标数法，标数法是解决路径条数问题的重要方法．如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条．由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论（特别地，我们把A 点处标上1，表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式）．我们用标数法标出蚂蚁到达点A 、C 、D 、F 、H 的路线数，如下图所示．容易看出，蚂蚁可以从C 点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那么我们可以在E 点处标上数字112+=（把C 点与D 点的数字相加），表示蚂蚁到达E 点有两条路线．同样道理，蚂蚁可以从E 点或者F 点到达G 点，那么蚂蚁到达G 点就有213+=（条）路线（把E 点与F 点的数字相加）．最后可以得到蚂蚁到达B 点有4条路线，如下图所示．99分析 本题中蚂蚁可以斜线爬行，虽然蚂蚁的运动方式有了变化，但是问题的实质没有改变，我们仍用标数法来计算．练习6.在下图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？本 一、加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走．请问：B 点的不同路线有多少条？爸爸妈妈带萱萱去吃西餐．餐厅里一共有米饭和面条羊排和烤鸡排萱想要点萱萱一共有多少种点菜方法？题100把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．二、加法原理与乘法原理的辨析：1.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求． 2.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； （2）步骤之间有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后．三、标数法是解决路径条数问题的重要方法．作业1.题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加．请问：报名的情况有多少种？3.图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书．（1）墨莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）墨莫三种书都要各借1本，有多少种不同的选择？4.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5.在右图中，从A点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？AB。

第11讲加法原理与乘法原理内容概述理解加法原理和乘法原理，体会分类计数与分布计数的区别；能够根据题目条件，对问题进行合理的分类与分步；学习用标数法解决各类路径问题。

典型例题兴趣篇1．墨莫去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个，他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？答案：l4种解析:中餐厅、西餐厅、日餐厅是三种不同口味的餐厅，墨莫只是选择其中的某一种口味，而不是逐一品尝各种口味，所以不同口味的餐厅之间是分类关系．如图所示：由加法原理，共有9+3+2=14种不同的选择．2．墨莫进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种．他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？答案：60种解析:主食和热菜都要买，缺一不可，只是可以有先后顺序，逐步完成．假设墨莫先买主食，再买热菜，这样就把这件事情分为两步完成．如图所示：由乘法原理，共有3×20=60种不同的买法．3．传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现．邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序，请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？答案：5040次解析:7颗不同的龙珠分别是一星珠到七星珠，当把7颗龙珠排成一行的时候，从左到右，分别称为“位置1”到“位置7”，如图所示：逐步在这7个位置放上龙珠，一共需要7步，即从位置1到位置7依次放入龙珠．“位置1”可以放7颗龙珠当中的任意一颗，有7种可能．“位置2”需要从剩下的6颗中任意选出一颗来，有6种可能．类似地，“位置3”有5种可能，“位置4”有4种可能，剩下的三个位置分别有3、2、1种可能．根据乘法原理，得不同的排列方法总共有7×6×5×4×3×2×1=5040种可能．所以沙鲁最多要试5040次才能遇见神龙。

4．电影院里有10个空座位，萱萱和卡莉娅去看电影，每个人坐一个座位，共有多少种不同的坐法？答案：90种解析:如图所示：由乘法原理，共有10×9=90种不同的坐法．5．用红、黄、蓝三种颜色给图11-1的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色．一共有多少种不同的染色方法？答案：6种解析:三个圆圈都要染色，可以先染圆圈A的颜色，再染圆圈B的颜色，最后染圆圈C的颜色，这显然是；一个分步的关系．第一步是对圆圈A的染色，可以染成红、黄、蓝中的任意1种颜色，有3种选择；第二步是对圆圈B的染色，由于圆圈B与圆圈A之间有线段相连，不能同色，只有2种选择；第三步是对圆圈C的染色，由于圆圈C与圆圈A和圆圈B都有线段相连，那么除去圆圈A和圆圈B 的2种颜色，只有1种选择．如图所示：根据乘法原理，对A、B、C这三个圆圈的染色有；3×2×1=6种不同的方法，6．用红、黄两种颜色给图II -2中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？答案：8种解析:如图所示：根据乘法原理，对小丑的眼睛、鼻子、嘴巴的染色有2×2×2=8种不同的方法。

第一讲数串规律掌握数与数之间的联系以及数形之间的变化规律，能够从整体出发找出部分之间的特点；善于抓出问题的主要特征，运用已知的规律解决实际问题。

培养观察能力、探究能力、分析能力、综合能力、推算能力。

训练条理思想、比较思想、归纳思想教会方法：一看数字、二想联想、三分析算法一尝试、二验证、三运用一观察、二比较、三归纳例1、计算下面数列从左往右的第10个数是什么？1 7 13 19 25……【导学】本题主要应用比较思想和归纳思想，1、首先比较相邻两个数，很容易知道相差，2、7=1+，13=7+=1+6×，19=13+ =1+6×，……3、第10个数=1+6×。

练习一1、 3、 6、 12、 24、（）、……2、请根据规律计算出下面数列从左往右数的第9个数是多少？5 10 15 20 25……例题2、1+1，2+3，3+5，1+7，2+9，3+11，1+13，2+15，3+17，…，第20个算式是多少？【导学】本题主要运用比较思想和归纳思想，通过比较知：1、每组第一个加数依次是…；2、第二个加数是连续的单数…；3、那么第20个数组中第一个加数是，即为，第二个加数为，第20个算式是。

练习二1、1+2，2+4，3+6，4+8，1+10，2+13，3+14，4+16，1+18，…，问第21个算式是（）+（）。

2、下面算式是按一定规律排列的，其中第六个算式的计算结果是多少？3+12，6+10，12+8，24+6，48+4，……例题3、观察下面各题中的排列规律，然后填上所缺的数。

【导学】在图1中尝试知5×9=45，7×8=56，所以3×6=18；在图2中尝试知2+1+3=6，3+2+5=10，1+4+6=11，所以4+3+1=8；在图3中尝试知2×2=3+1，7×2=6+8，4×2=4+4，所以6×2=12，12-9=3。

第15讲加法原理与乘法原理兴趣篇1、铮铮去吃午饭，发现附近的中餐厅有9个，西餐厅有3个，日式餐厅有2个。

他准备找一家餐厅吃饭，一共有多少种不同的选择？2、铮铮进入一家中餐厅后，发现主食有3种，热菜有20种。

他打算主食和热菜各买1种，一共有多少种不同的买法？3、老师要求冬冬在黑板上写出一个减法算式，而且被减数必须是两位数，减数必须是一位数，冬冬共有多少种不同的写法？4、传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。

邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。

请问：运气不好的沙鲁最坏要试几次才能遇见神龙？5、用红、黄、蓝三种颜色给图的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法？6、在图中，从“北”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“北京奥运会”。

那么一共有多少种不同的读法？7、运动会种有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项。

甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目，请问：（1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？8、冬冬的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书。

请问：（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？9、如图，甲、乙两地之间有4条路，乙、丙两地之间有2条路，甲、丙两地之间有3条路，那么从甲地去丙地一共有多少条不同的路线？10、图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A到B，可以选择的最短路线一共有多少条？拓展篇1、铮铮一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机。

经过网上查询，出发的那一天种火车有4班，汽车有3班，飞机有2班。

他们乘坐这些交通工具，一共可以有多少种不同的选择？2、“IMO”是“国际数学奥利匹克”的缩写，要求把这三个字母涂上三种不同的颜色，且每个字母只能涂一种颜色。

四年级数学奥数思维训练导学案乘原理（一）导学案通用版（含答案）x学习目标1.渗透两种数学思想：分类讨论，化归.2.学习三种思维方法：分类列举法，分布搭配法，标数法.3.训练两种基本技能：能理解加乘原理的实质，能区分加法原理和乘法原理.4.体验一种乐趣：排列的有序性与严密性.学习重点：分类列举法，分布搭配法，标数法学习难点：能理解加乘原理的实质，能区分加法原理和乘法原理探究案一、题型、技巧归纳题型一：书架取书书架的第一层放有5本不同的计算机书，第二层放有12本不同的文艺书，第四层放有不同的体育书.从书架上任取1本书，有种不同的取法.分析：第一类办法是：从第一层取1本计算机书，有5种方法；第二类办法是：从第二层取1本文艺书，有12种方法；第三类办法是：从第三层取1本体育书，有4种方法；所以不同的取法有：5+12+4=21（种）加法原理：如果完成一件事情有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类方法数相加就能得到所有的方法数.题型二：路线问题从A地到B地有3条路，从B地到C地有2条路，从C地到D地有3条路.问：从A地经B、C、两地到D地，共有种不同的走法.DCBA乘法原理：完成一件事情需要几个步骤，每步共有几种可能，则完成这件事的方法数是：各步的可能性总数相乘.题型三：组成分数从2、3、5、7、11、13这六个数中，每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母，这里改为：一共可以组成 个真分数.方法1：先选分母法以13为分母，可以用2、3、5、7、11分别作为分子，共5个数；以11为分母，可以用2、3、5、7分别作为分子，共4个；……；以2为分母，不能组成真分数5+4+3+2+1=15（种） 方法2：先选分子法当2作为分子时，有5种；当3作为分子时，有4种；当5作为分子时，有3种；当7作为分子时，有2种；当11作为分子时，有1种；当13作为分子时，有0种.5+4+3+2+1=15（种） 方法3：利用乘法原理选取分母时，共有6种选择，选择分子时，则剩下6-1=5种选择.根据乘法原理，共有6×5=30个分数，其中一半分母大于分子，一半分子大于分母，取一半，30÷2=15（种）题型四：确定路线如图，按箭头所指方向，从A到B共有条不同的路线.42344459171111114217985411BA标数法按箭头所指方向，从A走到B的规则是按从上往下、从右往左走.必须经过图中的各个交点，逐次标出各交点线路的条数.对角相加法17+17+8=42（条）二、本节总结加乘原理歌（一）一件事情几类分，类类独立能完成，共有方法多少种？几类方法来相加，一件事情需几步，步步做好才完成，共有方法多少种？几步可能来相乘.随堂检测1.书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.若从这些书中，任取一本，有多少种不同的取法.2.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中火车有4班，汽车有10班，轮船有2班.问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有种不同的走法.3.用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数做分母，可构成多少个不同的的真分数？4.掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？5.复兴小学三、四、五年级共订300份报纸，每个年级至少定99份报纸.问：共有多少种不同的订法？参考答案1.14种.提示：分成三类，从书架上取一本数学书有3种取法，取一本语文书有5种取法，取一本英语书有6本取法.根据加法原理，一共有3+5+6=14（种）取书方法.2.16种.提示：乘三种交通工具都可以从甲地到达乙地，乘火车有4种选择，乘汽车有3种选择，坐轮船有2种选择.根据加法原理，一共有4+10+2=16（种）从甲地到乙地的方法.3.10个.真分数就是分子比分母小的分数.分子为1时，分母可以为4、8、12、16中任意一个，可构成4个；分子为5时，分母可以为8、12、16中任意一个，可构成3个；分子为9时，分母可以为12、16中任意一个，可构成2个；分子为13时，分母可以为16，可构成1个；因此一共可构成：4+3+2+1=10（个）4.18种.提示：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数.因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的可能为3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况.根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9+9=18（种）.5.9种.提示：300份报纸每个班至少订99份，有三类组合：①100、100、100，②99、100、101，③99、99、102.可用列表法：。

第十四讲加乘原理应用活趣味数学一天，四（1）班的小聪同学放学后发现数学书忘在教室里。

于是他去门房找张师傅拿教室的钥匙开门。

张师博性格憨厚，有时候爱开玩笑，还是个数学爱好者。

他笑着对小聪同学说：“对不起，我不小心把九间教室的九把钥匙弄混了，不知道哪把钥匙开哪间教室。

请你想一想，你最多试开多少次就能把你班的教室门打开呢？”同学们，你们知道答案吗？知识提纲：加法原理：为了完成一件事，有几类方法。

第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有mn种不同的方法。

那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn,种不同的方法。

乘法原理：为了完成一件事，需要n个步骤。

做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。

那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn,种不同的方法。

【典型例题1】一把钥匙开一把锁，现在有4把钥匙4把锁,但不知道怎么相配了，那么最多要试_____次，才能确保配对成功。

如果有6把钥匙6把锁，那么最多要试_____次，才能确保把所有的锁都打开。

【分析】4把钥匙和4把锁弄混淆了，可以先拿着第一把钥匙来试，最多试3次就能配对；第二把钥匙最多试2次；第三把钥匙最多只需试1次。

一共要试:3+2+1=6（次），可确保配对。

如果有6把钥匙和6把锁，最多要试几次呢？请同学们自己做做。

【随堂练习1】学校门房的王师傅不小心把9把钥匙和9把锁弄混淆了,不知道哪把钥匙开哪把锁。

请问：最多要试多少次才能确保把钥匙和锁一一配起来？【典型例题2】书架上有2本不同的科技书，5本不同的故事书和4本不同的漫画书。

小华想从书架上任取一本科技书、一本故事书和一本漫画书，一共有多少种不同的取法？【分析】可以分为三个步骤，第一步取科技书，有2种不同的方法；第二步取故事书，有5种不同的方法；第三步取漫画书，有4种不同的方法。

根据乘法原理，可以计算出所有的取法。

小学四年级数学奥数《加法原理》优秀练习题及答案1.难度：★★★★从6幅国画，4幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？2.难度：★★★★从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？1.难度：★★★★从6幅国画，4幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？【解答】6×4＝24种6×2＝12种4×2＝8种24＋12＋8＝44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。

当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。

由此可知这是一道利用两个原理的综合题。

关键是正确把握原理。

符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在6张国画中选1张，第二步再在4张油画中选1张。

由乘法原理有6×4＝24种选法。

第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有6×2＝12种选法。

第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有4×2＝8种选法。

这三类是各自独立发生互不相干进行的。

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 24＋12＋8＝44种。

2.难度：★★★★从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？【解答】从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72 个数不含4．三位数只有100．所以一共有8+8×9+1=81 个不含4的自然数．。

第十五讲捆绑法与插空法我们已经学习了排队问题，解决这类问题的关键是处理好有特殊要求的对象．对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑成一个“大胖人”的方法来处理，但最后不要忘了还要给这个“大胖人”的内部安排一下站法，这就是捆绑法．例题1小羊们要从羊村学校毕业了，5只小羊要和3位老师站成一排照相．要求3位老师站在一起，一共有多少种不同的站法？「分析」先看看开篇故事，然后琢磨一下，如果想让3位老师相邻，可以采取什么手段？练习1文艺汇演共有2个舞蹈节目和3个歌唱节目．现在需要编排一张节目单，要求这三个歌唱节目必须紧挨着演，那么有多少种节目单的编排方法？例题2小高买来1本科普书、2本不同的小说、3本不同的漫画书．现在要把这些书摆放在书架上，同类的书必须放在一起，请问一共有多少种不同的摆法？「分析」要让同类书相邻，共3类，该如何使用捆绑法实现呢？练习2学校迎新晚会上，数学系有2个表演节目，文学系有4个表演节目．现在需要编排一张节目单，每个系的节目必须安排在一起，那么有多少种节目单的编排方法？排队问题中，对于不能相邻的人排列问题，可以先把其他人先安排好，再把不能相邻的人插入其他人之间的空隙中去，这就是插空法．例题3某班4名男生、3名女生一起去秋游，在一处风景优美的地方7个人要站成一排照相．要求任意两名男生都不能相互挨着站在一起，有多少种不同的站法？如果要求任意两名女生都不能相互挨着站在一起，有多少种不同的站法呢？「分析」任意两名男生都不能相互挨着，那么应该怎么用插空法，得先让那些人排好呢？换成女生不挨着，又该怎么考虑呢？练习3文艺汇演共有3个舞蹈节目和5个歌唱节目．现在需要编排一张节目单，要求任意两个舞蹈节目不能排在一起，那么有多少种节目单的编排方法？下面我们来学习较为复杂的数字排列问题．首先要学习的就是“数字挑位置”的方法，这种方法通常用来解决有重复数字的问题．例题4（1）用两个1、两个2可以组成多少个不同的四位数？（2）用两个0、两个2可以组成多少个不同的四位数？（3）用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数？「分析」（1）两个1、两个2组四位数，我们可以想象成1、2这两个数字去挑4个数位，其中1要挑两个数位，2要挑两个数位．（2）两个0、两个2组四位数时，有什么需要特殊的情况吗？练习4用一个1、两个2、三个3可以组成多少个不同的六位数？通过前面两道排队问题，我们可以知道相邻必捆绑，不相邻必插空．然而在很多题目中，往往需要两种方法同时使用，这个时候需要我们合理安排做事情的顺序，以满足题目的要求．例题5文艺汇演共有8个节目，分3种类型：3个小品，2个舞蹈，3个演唱．现在要编排一个节目单，要求每两个演唱节目之间必须有其他类型的节目，同时2个舞蹈节目必须连续，那么有多少种节目单编排顺序？「分析」演唱节目不相邻，需要用插空法；舞蹈节目必须连续，需要用捆绑法，那么我们应该先捆绑后插空呢，还是先插空后捆绑呢？之前排列组合应用一讲，我们已经接触过了一些简单的出现重复的情况，还有一些比较复杂的、容易发生重复计算的情况，需要大家格外小心．例题68名学生和7名老师进行拔河比赛，首先选一名老师担任裁判，接着再把其余14人分成两队，每队都必须包含4名学生和3名老师，那么共有多少种不同的分队方法？「分析」首先，选一名老师担任裁判．然后再从剩下的8名学生和6名老师中挑出3名学生和2名老师，共有多少中不同的选法？这个选法数是不是本题的答案呢？课堂内外会排队的毛毛虫在非洲和地中海一带，有一种被昆虫学家称之为行列蛾类的昆虫，这种蛾倒没什么特别之处，它们的幼虫毛毛虫却引起昆虫学家的注意．这些毛毛虫从卵孵化出来之后，就成百地集结在一起生活．在外出觅食时，通常是一只队长带头，其它的毛毛虫头顶着前一只伙伴的屁股，一只贴着一只排成一列或两列前进，这队伍的最高纪录是600只．为预防自己不小心走岔路跟丢了，它们还一面爬一面吐丝．等到吃饱了叶子，它们又排好队原路返回．法国昆虫学家法布尔曾经仔细研究过这些毛毛虫．先是把队长拿走，但后边的一只迅速补上，继续前行；又把它们的丝路切断，虽然会暂时把它们分开，但后边的那队会到处闻，到处找，只要追上前边，马上就会合二为一．法布尔所做的实验中，最有意思的是计诱毛毛虫走上一个花盆的边缘．毛毛虫一走上去就沿着边缘前进，一面走一面吐丝．令法布尔惊讶的是，这群硬头毛毛虫当天在花盆边缘一直走到精疲力尽才停下来，其间曾经稍作休息，但是没吃也没喝，连续走了十多个小时．第二天，守纪律的毛毛虫队列丝毫不乱，依然在花盆边缘上转圈，没头没脑地跟着前边的走．第三天、第四天……，一直走了一个星期，看得法布尔都不忍心了．终于到了第八天，有一只毛毛虫掉了下来，意外地突破困境，这一群毛毛虫才重返家园．作业1. 6名同学排成一排，如果小张和小李相邻，共有多少种排列的方式？2. 6名同学排成一排，如果小张和小李相邻，小王和小许相邻，共有多少种排列的方式？3. 2名男生和4名女生排成一排．如果要求男生和男生不能相邻，共有多少种排列的方式？4. 用两个3、两个4、三个5可以组成多少个不同的七位数？5．用两个0、三个1可以组成多少个不同的五位数？第十五讲 捆绑法与插空法1. 例题1答案：4320种详解：要求三位老师必须站在一起，那么可以把三个老师捆绑成一个羊，这时候一共是5只小羊加这个“大胖羊”共6个，6个羊站成一排共有66A 种站法，又因为3位老师站成一排绑在一起时有33A 种站法．最后一共有63634320A A ⨯=种站法． 2. 例题2答案：72种详解：把小说捆绑成1本书，漫画捆成成1本书，现在一共是3本书摆在一起有33A 种摆法，然后要再去看看那些绑在一起的书内部又有多少种摆法，其中小说有22A 种摆法，漫画有33A 种摆法．一共有32332372A A A ⨯⨯=种摆法． 3. 例题3答案：144种；1440种详解：（1）当男生不能相互挨着时，这时我们可以安排3名女生先站好，有33A 种站法．接下来可把男生安排到这3个女生的空隙中，4个空隙真好可以放4男生，有44A 种站法．一共有3434144A A ⨯=种站法．（2）要求女生不相互挨着，那么要先安排男生站好，有44A 种站法．然后安排3名女生站在男生的5个间隙中去，有35A 种站法．最后有43451440A A ⨯=种站法． 4. 例题4答案：6个；3个；90个详解：数字去选位置时，要每个数字都去选吗？每个数字都去选位置时，就会出现重复，所以要相同的数字一起选出几个位置出来就可以了．（1）从4个位置选2个位置放两个1（或2），有种选法，剩下2个位置放两个2（或1），只有1种方法，所以有个四位数．（2）当有0时，因为0的特殊性，可让0先去选位置，从除首位的3个位置中选2个位置出来放0，有23C 种选法，剩下的2个位置放两个2，有1种方法，所以有2313C ⨯=个四位数．（3）首先从6个位置中选2个位置放1，26C 种选法；有再从剩下4个位置选2个位置放2，24C 种选法；最后剩下的2个位置放3,1种选法．最后有2264190C C ⨯⨯=个六位数． 5. 例题5答案：2880种详解：演唱节目彼此不能挨着，需要插空，而舞蹈节目必须连续，需要捆绑．先捆绑，再让其与3个小品排列，最后让3个演唱节目插空，所以一共有2416C ⨯= 24C2432452880A A A ⨯⨯=种不同的编排顺序．6. 例题6答案：4900种详解：先选择1名老师做裁判，再从8名学生中选择4名学生，有48C 种，最后从6名老师中选择3名老师，有36C ，注意两队是没有区别的，即不需要考虑两队的顺序，再除以重复数，所以一共有14378624900C C C ⨯⨯÷=种不同的分法．7. 练习1答案：36种简答：333336A A ⨯=种．8. 练习2答案：96种简答：种．9. 练习3答案：14400种简答：535614400A A ⨯=种．10. 练习4答案：60个简答：首先从6个位置中选1个位置放1，16C 种选法；有再从剩下5个位置选2个位置放2，25C 种选法；最后剩下的3个位置放3，1种选法．最后有1265160C C ⨯⨯=个六位数．11. 作业1答案：240简答：先把小张和小李捆绑成一个人进行排列，有55A 种排法．最后要安排一下小张和小李的顺序，一共有5252240A A ⨯=种排法．12. 作业2答案：96简答：分别把小张和小李、小王和小许捆绑成两个人进行排列，有44A 种排法．最后要安排一下捆绑的人的排序，一共有42242296A A A ⨯⨯=种排法．13. 作业3答案：480简答：男生与男生不相邻，那么要先安排女生，有44A 种排法，然后再把男生安排在女生的5个空隙里去，有种排法．一共有4245480A A ⨯=种排法．25A 22422496A A A ⨯⨯=14.作业4答案：210简答：从7个位置中选2个位置放3，再从剩下的5个位置中选2个位置放4，最后3个位置放5．七位数有223753210C C C⨯⨯=个．15.作业5答案：6简答：首位不能是0，从除首位之外的另4个位置中选2个位置放0，剩下的3个位置放1就可以了，五位数有23436C C⨯=个．。