四年级奥数乘法原理讲义(专业奥数)

第一讲 乘法原理本讲的三个教学要点：①使学生掌握乘法原理主要内容；掌握乘法原理运用的方法.②引导学生排列组合入门.③培养学生准确分解步骤的解题能力.Ⅰ、简单乘法原理应用【例1】（★★★）在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过.问：这只甲虫最多各有几种不同走法?分析：（1）从A 点到C 点一共有3种走法，从D 点到B 点一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3专题精讲 教学目标D C BA【例2】（★★★）要从五年级六个班中评选出学习、体育先进集体各一个，卫生集体三个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体）?分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出没有评上卫生先进集体的一共有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.[前铺]从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？分析：第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体剩下一共有5种方法，第三步选出卫生先进集体一共只剩有4种评选方法，根据乘法原理一共有6×5×4=120种评选方法.【例3】（★）“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法?分析：第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，一共有720种方法.[拓展] 有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的的方法？分析：写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字不同就行了，都有5种选择，所以，有6×5×5×5×5×5=18750种写法.Ⅱ、较复杂的乘法原理应用【例4】（★★）北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）分析：京沪线上连北京上海一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，不同的起点站都可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8×7=56种不同的车票.[拓展]北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站（不包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？分析：京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×11=44种不同的车票【例5】（★★★）如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不相邻的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？分析：第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择； 第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择．共有4×3×2×2×2=96种着色方法．[拓展1] 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同.那么一共可以有多少种染色方法？分析：这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4×3×2×2×2=96种方法.讨论:如果染色步骤为C-A-B-D-E,那么应该该如何解答？答案：也是4×3×2×2×2=96种方法.如果染色步骤为C-A-D-B-E 那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D 与A 颜色相同，那么B 有2种染法，E 也有2种方法，如果D 与A 染不同的颜色，那么D 有2种染法那么B 只有一种染法，E 有2种染法，所以一共应该有4×3×（1×2×2+2×1×2）=96种方法，（教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻.[拓展2]如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？分析：对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4×3×2×2×2×2×2×2×2=1536.【例6】（★★）右图中共有16个方格，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法?分析：由于四个棋子要一个一个地放入方格内，故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A ，A 可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B ，由于A 已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放B ，故还剩下9个方格可以放B ，B 有9种放法；第三步放C ，再去掉B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C ，C 有4种放法；最后一步放D ，再去掉C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D ，D 有1种放法．由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．E DC BA[前铺]:国际象棋棋盘是8×8的方格网，下棋的双方各有16个棋子位于16个区格中，国际象棋中的“车”同中国象棋中的“车”一样都可以将位于同一条横行或竖行的对方棋子吃掉，如果棋局进行到某一时刻，下棋的双方都只剩下一个“车”，那么这两个“车”位置有多少种情况？分析：对于如果只有一只“车”的情况，它可以有64种摆放位置，如果在棋盘中再加入一个“车”，那么它不能在原来那个“车”的同行或同列出现，他只能出现在其他七行七列，所以它只有7×7=49中摆放，所以这两个“车”的摆放位置有64×49=3136种方法.【例7】（★★★）在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？分析：至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6.我们可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数.三位偶数共有450个，我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含6的三位偶数共有4×9×8=288个,则至少出现一个6的三位偶数有450－4×9×8=162（个）[拓展] 所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？分析：与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有999-99=900个，其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，所以一共有5×5×4=100个数，所以与456相加产生进位的数一共有900-100=800个数.Ⅲ、排列组合问题例如1023，2341等，求全体这样的四位数之和．分析:先求出5个数字共能组成多少个符合条件的数,分为4步,第一步确定千位数一共有4种选择,然后确定百位,有4种选择,确定十位数有3种选择,确定个位数有2种选择.一共有4×4×3×2=96种选择.这96种选择中,千位数字出现1、2、3、4的次数都是24次，百位、十位、个位出现的次数为18次(0出现24次).所以全体这样的四位数和为(1+2+3+4) ×24×1000+(1+2+3+4) ×18×(100+10+1)=259980[前铺]用1，2，3，4，5这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1523，2341等，求全体这样的四位数之和．分析：这道题的意思实际上是将1，2，3，4，5这5个元素中取出4个进行全排列，所以一共有5×4×3×2=120种排列方法.【例9】（★★★）书架上有4本不同的漫画书，2本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？分析：每种书内部任意排序，分别有4×3×2×1， 2×1，3×2×1种排法，然后再排三种类型的顺序，有3×2×1种排法，整个过程分4步完成.4×3×2×1×2×1×3×2×1×3×2×1=1728（种）,所以一共有1728种不同排法.[前铺]：书架上有4本不同的漫画书，3本不同的童话书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？分析：这一摞书，不是漫画书在前面，就是童话书在前面，而改变漫画书和童话书内部的排列又分别有4！×3！种排列方法，所以一共有2×4！×3！=288种排列方法.[拓展]：如果不要求同类型的书不要分开，那么一共有多少种排列方法？分析：如果不要求同类型的书不要分开，那么实际上就是将9本书任意放置，一共有9！=362880种方法.女生各2名，那么一共有多少种选派方法：分析：第一步：在男生中先选一名有10种方法.第二步：在剩下的男生中再选一名有9种方法，男生中选两人一共有10×9=90种方法，需要注意的是，每一种方法，例如，甲乙两人的组合，被统计了两次，一次是第一步选甲第二步选乙，另一次是第一步选乙，第二步选甲，所以实际的选取方法有90÷2!=45种，第三、四步：在女生中选取两人一共有10×9÷2!=45种.所以一共有45×45=2025种选派方法.【例11】（★★★）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？分析：相当于在10个数字中选出3个不同的数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种[前铺]9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？分析：相当于在10个数字选出7个划去，一共有10×9×8×7×6×5×4÷（7×6×5×4×3×2×1）=10×9×8÷（3×2×1）=120种.【例12】（★★★）从一个班级10名优秀学生中选出5人组成班委，5人中再选出班长和副班长，一共有多少种方法？分析：（1）第一步，先把班长和副班长选出来，一共有10×9=90种选法，第二步，在其余8人中选出3人一共有8×7×6÷（3×2×1）=56种选法.所以一共有90×56=5040种选法.(2)第一步，先选出五人，一共有10×9×8×7×6÷（5×4×3×2×1）=252种选法.第二步，选出正副班长，一共有5×4=20种选法.所以一共有252×20=5040种选法.[拓展] 从一个班级10名优秀学生中选出5人组成班委，5人中再选出班长和两个副班长，一共有多少种方法？分析：(1)第一步，先选出五人，一共有10×9×8×7×6÷（5×4×3×2×1）=252种选法.第二步，选出正班长，一共有5种选法.第三步，选出两个副班长，一共有4×3÷（2×1）=6种选法所以一共有252×5×6=7560种选法.（2）第一步，先把班长选出来，一共有10种选法，第二步，在其余9人中选出2人，一共有9×8÷（2×1）=36种第三步，在其余7人中选出2人一共有7×6÷（2×1）=21种选法.所以一共有10×36×21=756种选法.本讲介绍了对于分步解决问题所用到的乘法原理，下一讲加法原理中我们将重点介绍对于同一步骤不同类方法的计数原理.练习一1、（★例2）学而思学校需要三、四年级各选派两名学生参加活动，已知学而思两个年级的学生人数分别有250、240人，那么一共有多少种选派方式？分析：一共有250×249÷2×（240×239÷2）=892665000种选派方式.2、（★★例9）10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？分析：两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×6=60（种）共有60种不同的选法.3、（★★例11）在21世纪中，有些年的年份数是由4个不相同的数字组成的，这样的年份共有个．分析：符合要求的年份形如20xy，其中x有8种不同选法，y有7种不同选法，所以有56个四位数满足题目要求．4、（★★例1）从地面到七楼，每层都有楼梯，但电梯只停底楼、四楼、五楼、六楼、七楼，二楼、三楼不停，那么从底楼上七楼有几种方式?分析：从底楼到四楼有两种，四楼以上没上一层都有两种，所以一共有2×2×2×2=16种方式.5、（★★★）世界杯小组赛由4个球队进行单循环赛，安排这四个球队先后比赛次序，有几种方法？分析：小组赛一共要赛4×3÷2=6场，排列这六场赛事有6×5×4×3×2×1=720种.6、(★★例12)有8名跳水运动员，将从中选出4人参加奥运会，其中两人参加双人跳水，两人参加单人跳水，一共有多少种报名方式？分析：从8名运动员中选出4人有8×7×6×5÷(4×3×2×1)=105种方法，从4人当中选两人参加双人跳一共有4×3÷(2×1)=6种，所以一共有105×6=630种报名方式.二进制记数法的光辉第一次是闪现在中国的一部古书《周易》中.传说在远古时代，伏羲为天下王，他向外探求大自然的奥秘，向内省视自己的内心，终于推演出了太极八卦图.太极八卦图中心是由两条黑白相间、首尾相顾的鱼形成的一个圆圈，四周还围着结构奇特的八组图符，每组都含有三个或断或连的线段.这八组图符便是著名的八卦图，古人曾解释说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”再进一步，若把八卦两两组合，就会生成六十四卦.据学者考察，德国数学家莱布尼兹（1616－1703）看到“伏羲六十四卦方位图”后，从中领悟出了阴爻“－－”代表“0”，阳爻“—”代表“1”，从而完善、撰写了《二进制数字算术》一书，他意味深长地说，自己不过是重新发现了中国古代数学中的秘密而已.古老的太极八卦图竟与现代数学上的二进制有着如此神秘的联系.数学知识。

乘法原理一、知识梳理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理。

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。

二、例题精讲例1. 在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过，问这只甲虫最多各有几种不同走法？例 2. 要从五年级六个班中评选出学习，体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体？）例3. 5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？例4. 如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？A B例5. 北京到上海之间一共有6站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）三、课堂小测7. 邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？8.将四封不同的信投入3个不同的信箱中，有多少种不同的投法。

9. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？10.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色.问：共有多少种不同的染色方法？11. 北京到广州之间有10个站，其中有四个站是大站（包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票。

《小学四年级奥数教程乘法原理》2023-10-28contents •乘法原理概述•乘法原理基础•乘法原理进阶•乘法原理的应用•乘法原理的练习题与解析目录01乘法原理概述乘法原理定义乘法原理是关于两个或两个以上整数相乘的原理，即任何整数都可以表示为其他整数的和与倍数的乘积。

乘法原理公式乘法原理的公式为a×b=a×(b+n)−n，其中a、b和n均为整数，且n为任意整数。

什么是乘法原理基础数学知识乘法原理是小学数学中的基础知识，对于理解乘法的本质和解决乘法问题具有重要意义。

数学思维的培养学习乘法原理有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。

乘法原理的重要性在古代数学中，乘法原理已经得到广泛应用。

例如，在古埃及和古希腊的数学文献中，都有关于乘法原理的记载和应用。

古代数学中的乘法原理在现代数学中，乘法原理不仅是基础数学知识之一，还在其他数学分支和实际应用领域发挥着重要作用。

现代数学中的乘法原理乘法原理的历史与发展02乘法原理基础如果有一个数 a 和另一个数 b 相乘，那么它们的乘积就是 a × b。

乘法原理定义乘法原理是关于乘法的数学原理，它描述了两个或多个数相乘的结果和如何进行这些乘法运算。

乘法原理公式乘法原理的公式与定义VS乘法结合律将三个数相乘，可以任意组合，它们的乘积不变。

例如：(a × b)× c = a × (b × c)。

乘法交换律交换两个数的位置，它们的乘积不变。

例如：a × b = b × a。

分配律将一个数与另一个数的和相乘，等于分别将这两个数相乘再求和。

例如：a × (b + c) = a × b+ a × c。

乘法原理的运算规则在购物时，如果一个商品的价格是 a 元，购买 b 个，那么总价就是 a × b 元。

四年级奥数详解答案第九讲乘法原理一、知识概要如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有m n种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N= m1×m2×…×m n种不同的方法。

这就是乘法原理。

乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。

二、典型例题精讲1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。

要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。

第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。

第二步：甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。

这两种走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。

解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。

2. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。

第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。

解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。

3. 有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。

现从中取出3张片排在一起，组成一个三位数，如□1□5□2，可以组成个不同的偶数。

分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。

四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理◆温故知新：1. 加法原理：如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.2.乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.3.分类是指完成一件事有几类不同的方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理.4.分步是指完成一件事情有几步不同步骤,每一步都必须执行,他们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理.5.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类,而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.6.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论；（2）步骤之间有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,直到最后.7.标数法的运用.◆练一练1.小明去吃午饭,发现附近的中餐厅有9个,西餐厅有3个,日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭,一共有多少种不同的选择？2.小明进入一家中餐厅后,发现主食有3种,热菜有4种.他打算主食和热菜各买一种,一共有多少种不同的买法？3.电影院里有10个空座位,小红和小丽去看电影,每个人坐一个座位,共有多少种不同的坐法？◆例题展示例题1小高一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画,大头要从书架上任意取一本书,有多少种不同的取法？例题2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的编写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同的涂色方法？练习2把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色,每个字母只能涂一种颜色.共有多少种涂色方法？例题3老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法？练习 3 （1）小高在练习本上写出一个加法算式,要求其中一个加数是四位数,另一个加数是两位数,请问小高一共有多少种不同的写法？（2）有6个不同的文具盒,5支不同的铅笔,3支不同的钢笔,2把不同的尺子.若从中各取一个,配成一套学习用具,最多可以配成多少套不同的学习用具.例题4 书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同.请问：（1）如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本,共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法？练习4商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔.铅笔有4种颜色,钢笔有3种颜色,圆珠笔有2种颜色.（1）要买任意一支笔,有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支,有多少种买法？（3）要买两支不同类的比,有多少种买法？◆拓展提高拓展1从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？练习1有两个不同的骰子,每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.任意摆放这两个骰子,如果要求朝上的面所标数字之和为偶数,共有多少种放法？拓展2 在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA练习2 图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA◆思维挑战挑战如图所示,蚂蚁在线段上爬行,只能按照箭头的方向行走.请问：从A点走到B点的不同路线有多少条？◆作业1、题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,要从三种类型的题目中取出一道题目,共有多少种不同的取法？2、传说地球上有7颗不同的龙珠,如果找齐这7颗龙珠,并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠,但是他不知道排列的特定顺序.请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？3、图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书.（1）小莫要去图书馆借1本书,有多少种不同的选择？（2）小莫三种书都要各借一本,有多少种不同的选择？4、萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法？5、图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA。

乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．特别提示： 1、做一件事分几步完成 2、每一步都有多种选择 3、步步相乘4、步步相关例1、某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有多少种走法呢？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？习题一1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3、在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4、一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5、由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6、某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7、某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？8.有五张卡片，分别写有1、2、4、5、8，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问:可以组成多少个不同的偶数？替换题2.有五张卡片，分别写有1、2、4、5、8，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问:可以组成多少个不同的偶数？。

第八讲乘法原理进阶◆温故知新：1.要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面三个要求：（1）每步都只是整体事情的一个部分，必须全部完成才能做完这件事；（2）步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再做下一步，直到最后。

（3）做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数。

如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数不同，就不能直接用乘法原理计算。

2.应用乘法原理时，某一步的结果可以影响后面步骤的结果，但一定不能影响到后面步骤的方法数。

3.对于染色问题较复杂的乘法原理问题，在分布时要优先考虑可选择情况较少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。

4.在做数字迷问题时，要从可能情况较少的地方入手分析。

对于较复杂的乘法原理问题，在分步时，也要优先考虑可选择情况较少的步骤，尽可能地让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数。

◆例题展示例题1运动会中有四个跑步比赛项目，分别为50米、100米、200米、400米，规定每个参赛者只能参加其中的一项，甲、乙、丙、丁四名同学报名参加这四个项目。

请问：（1）如果每名同学都可以任意报这四个项目，一共有多少种报名方法？（2）如果这四名同学所报的项目各不相同，一共有多少种报名方法？练习1小萱的书包里有5本不同的语文书、6本不同的数学书、3本不同的英语书。

（1）如果从中任取1本书，共有多少种不同的取法？（2）如果从中取出语文书、数学书、英语书各1本，共有多少种不同的取法？例题2用红、黄、蓝三种颜色给下图的三个圆圈染色，一个圆圈只能染一种颜色，并且相连的两个圆圈不能同色，一共有多少种不同的染色方法？练习2用红、黄两种颜色给下图中小丑的眼睛、鼻子、嘴巴染色，如果每种器官必须染相同的颜色，一共有多少种不同的染色方法？例题3 如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。