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《概率》全章节复习与巩固【要点梳理】要点一、离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母ηξ,等表示。
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 若ξ是随机变量，,b a +=ξη其中a,b 是常数，则η也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。
2．离散性随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1,x 2,…,x 3,…,若ξ取每一个值x i (i=1,2,…)的概率为i i P x P ==)(ξ，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： （1）p i ≥0,i=1,2…； （2）P 1+P 2+…=13称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布。
要点二、超几何分布在含M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{}X k =发生的概率为：()k n k M N MnNC C P X k C --⋅==，0,1,2,,k m =L ， 其中min{}m M =，n ，n N M N n M N N *≤≤∈，，，，，称分布列为超几何分布列。
离散型随机变量X 服从超几何分布。
要点三、独立性1.条件概率的概念设A 、B 为两个事件，且()0P A >，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号(|)P B A 表示。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2.条件概率的公式 ①利用定义计算先分别计算概率P （AB ）及P （B ），然后借助于条件概率公式()(|)()P AB P A B P B =求解． ②利用缩小样本空间的观点计算在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而(|)AB P A B B =包含的基本事件数包含的基本事件数，即：()(|)()n AB P B A n A =， 此法常应用于古典概型中的条件概率求解． 3.事件的独立性事件A 、B 满足()()P A B P A =，则称事件A 、B 独立。
【巩固练习】、选择题 1. 2. 抛掷两颗骰子，所得点数之和为 E ，那么E =4表示的随机试验结果是( ) A.两颗都是2点 B.一颗是3点，一颗是1点 C.两颗都是4点 D. —颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 (2015春 宁夏校级期末)设随机变量 A . 1.6 B . 3.2 C. 6.4 D . 3. 已知随机变量E 的分布列为P (E =k ) A. — B.- 16 4 袋中有大小相同的5个球，分别标有 件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 A.5 B.94. X 〜B (10, 0.8)，贝U D (2X+1)等于( ) 12.8 1=1, k=1 , 2,…，贝y P (2<E w 4)等于() 2k 1 1 C. — D.- 16 5 1, 2, 3, 4, 5五个号码，现在在有放回抽取的条 E ,则E 所有可能取值的个数是( ) C.10 D.25 5. 一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直 10次时停止，设停止时共取了 (3) 8 (5 ) 8 到红球出现 A.C 10cQ i 10.( 5 ) 28 9.( 3 ) 28 B.C 91 ( 3) 8 6.甲、乙、 E 次球，则P ( E =12)等于( ) ,2 • 3 8 9.( ?))8 20次，三人的测试成绩如下表 9( § ) 2 8 D.C191 ( rn ) 8 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭s , S 2, S 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差, 则有( A. S 3 >S i >S 2 B. S 2>S>S 3 C. S i > S 2 >S 3 D. S 2 > S 3 > Si 二、填空题 7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 为了准时起床, 他用甲、 乙两个闹钟叫醒自己，假 设甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟至少有一准时响 的概率是 8.在平面直角坐标系 xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则落入E 中的概9. 随机变量E 的分布列如下:-10 1Pabc其中a , b, c 成等差数列，若,1 E E =-, 3贝U D 匕的值是 .10.以连续两次抛掷一枚骰子得到的点数m 、n 得点P(m,n)，则点P 在圆的概率为 三、解答题件产品中至多有1件是二等品”的概率 P(A) =0.96 •(1)求从该批产品中任取 1件是二等品的概率 P ;(2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，©表示取出的2件产品中二等品的件数，求©的分布列.12. (2014陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(I )设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求 X 的分布列；(n )若在这块地上连续 3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的 概率. 13.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，22 2 1 答错得零分。
概率单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．● 会用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率．● 理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件发生的概率．● 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，初步体会几何概型的意义．重点难点：● 重点：互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率．古典概型及其概率计算公式．几何概型的意义．● 难点：古典概型及几何概型．学习策略：● 通过本章的学习，我们要了解随机现象与概率的意义．正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性．认清古典概型和几何概型的特征，多尝试如何把实际问题转化为古典概型和几何概型．二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识要点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx6#253788 知识框图 通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
知识点一：随机事件的概率（一）随机事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．（1）随机事件：在一定条件下可能也可能的事件；（2）必然事件：在一定条件下要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下发生的事件．（二）随机事件的概率：事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）．由定义可知≤P（A）≤，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是．（三）事件间的关系：（1）互斥事件：不能的两个事件叫做互斥事件．（2）对立事件：不能，但的两个事件叫做对立事件．（3）包含：事件A发生时事件B，称事件A事件B（或事件B事件A）．要点诠释：（1）随机事件是指在一定条件下出现的某种，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在条件下进行研究．随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果，但随着实验的重复进行，其结果呈现．（2）频率与概率的区别与联系：概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的．频率在大量重复试验的前提下可以地作为这个事件的概率．（3）从集合角度理解互斥事件为两事件交集为，对立事件为两事件．若两事件A与B对立，则A与B必为事件，而若事件A与B互斥，则是对立事件．知识点二：古典概型（一）基本事件：试验结果中不能的最的随机事件称为基本事件．基本事件的特点：（1）每个基本事件的发生都是的．（2）因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有个．（3）任意两个基本事件都是的，一次试验只能出现个结果，即产生个基本事件．（4）基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的的形式来表示．（二）古典概型的定义：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有个；（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性；我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．（三）计算古典概型的概率的基本步骤为：（1）计算所求事件A所包含的m；（2）计算基本事件的n；P A=计算概率．（3）应用公式()（四）古典概型的概率公式：P A=．应用公式的关键在于准确计算事件A所()包含的和基本事件的．要点诠释：古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型．如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题．知识点三：几何概型（一）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内地取一点，该区域中每一点被取到的机会；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是，图形，图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（二）几何概型的基本特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有个；（2）每个基本事件出现的可能性．（三）几何概型的概率：一般地，在几何区域D中取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率()P A ．说明：（1）D的测度不为；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是，和；（3）区域为＂开区域＂；（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度而与其无关．要点诠释：几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段l上的点数与线段l的长度成正比，而与线段l在线段L上的相对位置无关，则点落在线段l上的概率为：P=（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：P=（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：P=知识点四：随机数的产生（一）随机数的概念：随机数是在一定范围内产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是的．它可以帮助我们，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到成本，时间的作用．（二）随机数的产生方法：一般用试验的方法，如把数字标在小球上，搅拌均匀，用统计中的抽签法等抽样方法，可以产生某个范围内的随机数．在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数，当作随机数来应用．（三）随机模拟法（蒙特卡罗法）：用计算机或计算器模拟试验的方法，具体步骤如下：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的M和N；f A 作为所求概率的值．（3）计算频率()n要点诠释：（1）对于抽签法等抽样方法试验，如果亲手做大量重复试验的话，花费的时间太多，因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大时间．（2）随机函数RANDBETWEEN（a，b）产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．（3）随机数具有广泛的应用，可以帮助我们安排和模拟一些试验，这样可以代替我们自己做试验，比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中．（4）在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．（5）利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求、、等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．（6）用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的作为参照，通过计算机产生某区间内的，再利用两个图形的面积之比等于分别落在这两个图形区域内的之比来解决．（7）利用计算机和线性变换，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数．类型一：随机事件的概率例1（1）计算表中击中10环的各个频率，（2）各射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？思路点拨：（1）将m，n的值逐一代入mn计算，（2）观察各概率能否在一常数附近摆动，用多次试验的频率估测概率．解析：总结升华：．举一反三：经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
《概率初步》单元复习与巩固一、概率1、事件的划分必然事件：一定发生的事件为必然事件事件不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件2、概率（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数）（2）因为0≤m≤n，所以0≤mn≤1，即0≤P（A）≤1。
当A为必然发生事件时，m＝n，mn＝1，P（A）＝1.当A为不可能事件时，m＝0，mn＝0，P（A）＝0.当A为随机事件时，0<P（A）<1.（3）概率反映可能性大小的一般规律，它从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近１；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0.二、用列举法求概率1、对于某些特殊类型的试验（如古典概型），实际上不需要做大量的重复试验，而通过列举法进行分析就能得到随机事件的概率。
2、古典概型是具有如下两种特点的试验：①一次试验中，可能出现的结果有限多个；②一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
3、在古典概型中事件An表示在一次试验中有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等；m表示事件A包含其中的m种结果。
4、列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
5、树形图法：当一次试验要涉及三个或更多个因素（当事件要经过三次或更多步骤完成）时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法。
三、利用频率估计概率1、当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。
2、频率稳定性定理：在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率。
九数上期《概率初步》单元知识点复习.练习 第 1页（共 6页） 第 2页 （共 6页）《概率初步》单元知识点复习·练习注：先阅读，再思考典型例题和做练习 赵化中学 郑宗平= ; 可能事件A 的概率()P A = ;③.随机事件A 的概率 . 3.概率的计算方法：⑴.列举法（列表或画树状图）： 列表法①.定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
②.列表法的应用场合：当一次试验要涉及 因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏列出列出 可能的结果，通常采用 . 树状图法①.定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
②.运用树状图法求概率的条件：当一次试验要涉及 个或更多的因素时，为不重不漏列出列出 可能的结果，通常采用 . 四个步骤：定 → 画 → 数 → 算. 列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果. 特别提醒：不管是“列表法”还是“树状图法”均要注意“放回”和“不放回”两种类型. （2）公式法（了解）.4.用频率估计概率得关键词：①.大量重复试验：②.稳定；③.近似值.例题解析及练习：例1.1个不透明的袋中装有20个除颜色外其他都相同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球.⑴.求从袋中摸出一个球是黄球的概率；⑵.现在从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出1个球是黑球的概率是13.求从袋中取出黑球的个数. 追踪练习：1.一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同. ⑴.求从袋中摸出一个球是黄球的概率；⑵.现从袋中取出若干黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使袋中摸出一个是黄球的概率不小于13，问至少取出了多少个黑球？2.在围棋盒中有x 颗黑色棋子和y 颗白色棋子，从盒子中随机地取出一颗棋子，如果它是黑色棋子概率是38.⑴.试写出y 与x 的函数关系式；⑵.若往盒中放进10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12，求x 和y 的值例2.甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A B 、做游戏，游戏的规则如下: 分别转动两个转盘，转盘停止后，指针分别指向一个数字（或指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）.用所指的两个数字相乘，如果积是奇数，则甲获胜；如果积是偶数，则乙获胜.请你帮助解决下列问题：⑴.用列表法表示游戏所有可能出现的结果； ⑵.这个游戏公平吗？请说明理由.例3. “手心、手背”是同学们常玩的一种游戏. 甲、乙、丙三个同学游戏时，当三个手势相同时，不分胜负，需继续比赛；当出现一个“手心”和两个“手背”或出现一个“手背”和两个“手心”时，则出现一种手势者为胜，两种相同手势者为负.假定甲、乙、丙三位同学每次都是等可能地做这两种手势，那么甲、乙、丙三位同学胜的概率是否一样？若公平，请说明理由.若不公平，如何修改规则才能使游戏对三方都公平？追踪练习：1.小刚为赵化中学艺术节的联欢活动设计了一个用转盘“配紫色”游戏,下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.游戏规则是: 游戏者同时转动两个转盘,若转盘A转出了红色,转盘B 转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.⑴.利用列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果；⑵.游戏者获胜的概率是多少?2.2a □2ab □2b 的“□”内任意添上“+”或“-”符号后,其中代数式能够构成完全平方分解因式的概率为多少?变式：将“ □2a □2ab □2b ”改为“2a □2ab □2b ”呢？ A 盘九数上期《概率初步》单元知识点复习.练习 第 3页（共 6页） 第 4页 （共 6页）3. 在33⨯的方格纸中，点A B C D E F 、、、、、分别位于如图所示的小正 方形的顶点上. ⑴. 从A D E F 、、、四点中任意取一点，以所取的这一点及点B C 、为顶点 画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 . ⑵. 从A D E F 、、、四点中 先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及 B C 、为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率.（用树状图或列表法求解）. 课外选练：1.下列属于随机事件的个数为 （ ） ①.氢气在空气中燃烧生成水；②.一鸡蛋从10米高的楼顶摔落在地面的水泥地板上不会摔破； ③.掷一枚硬币，反面向上；④.老王连续买了三期彩票都中奖；⑤.正三角形的外角和等于360°；⑥.2x 2x 6-+的值一定是正数；⑦.水中捞月；⑧.守株待兔；⑨.弧长相等的弧为等弧. A.4个 B.5个 C.6个 D.7个2.赵化中学决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任两周后将举行的艺术节交流演出专场的主持人，则选出的两名同学恰为一男一女的概率是 （ ） A.45 B.35 C.25 D.153.某养鱼户为了估计鱼池中有多少条鱼，养鱼者从鱼池中捕上100条做好标记，然后放回池中，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次从池中捕上120条，其中带有标记的鱼有15条，则该鱼池中的鱼约有 （ ） A.600条 B.700条 C.800条 D.900条4.袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同，任意摸出一个球，记下球的颜色，放回搅匀后再任意摸出一个球，第三次摸到白球的概率是 .5.一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次摸出一个小球，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是 .6.一个盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，三种球除颜色外都相同，从中任取一个球，如果取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是. 7.一个均匀的立方体六个面上分别标有123456、、、、、，抛掷这个立方体，则 朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数字的12的概率是 . 8.甲、乙两人玩猜数字游戏，游戏规则如下：有四个数字0123、、、，先由甲心中任意选一个数字，记为“m ”，再由乙猜甲刚才所选的数字，记为“n ”.若m n 、满足m n 1-≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”，则甲、乙两人“心有灵犀”的概率为 .9. 有四张背面相同的红牌A B C D 、、、，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形、正五边形四个不同的几何图形；小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张；摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率 .10. 有A B 、两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字123456、、、、、）,用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ,小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点(),P x y ，那么他们各掷一次所确定的点P 落在抛物线2y x 4x =-+上的概率为 . 11.小颖有20张大小相同的卡片，上面写有1至 20这20个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出一张卡片，记录结果如表，则从盒中摸出一张卡片是3的倍数的频率估计是 . 12.一个家庭有三个孩子，请用树状图法分析并求出：⑴.求这个家庭有三个男孩的概率；⑵.求这个家庭有两个男孩一个女孩的概率； ⑶.求这个家庭至少有一个男孩的概率．13.口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同，其中红球4个，绿球5个，任意摸出一个绿球的概率是13；求：⑴.口袋里黄球的个数；⑵.任意摸出1个红球的概率.14.在一次晚会上，大家玩飞镖游戏，靶子设计成如图所示的形式，已知从里到外的三个圆的半径分别为123、、，并且形成A B C 、、三个区域，如果飞镖没有落在最大圆内或落在圆周上，那么可以重新投镖.⑴.分别求出三个区域的面积；⑵.雨薇与方冉约定：飞镖落在A B 、区域，雨薇得1分；飞镖落在C 区域，方冉得1分，你认为这个游戏公平吗？为什么?如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平.15.有七张正面分别标有3210123---、、、、、、的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于一元二次方程()2x 2a 1-- ()x a a 30+-=有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数()22y x a 1x a 2=-+-+的图象不经过（1，0），求满足以上条件的概率.16.如图，口袋有5张完全相同的卡片，分别写有1cm 2cm 3cm 4cm 5cm 、、、、，口袋外有2张卡片，分别写有4cm 和5cm ，现在随机从袋内取出一张卡片，与口袋外两张卡片放在一起，以卡片的数量分别作为三条线段的长度，回答下列问题： ⑴.求这三条线段能构成三角形的概率；⑵.求这三条线段能构成直角三角形的概率；⑶.求这三条线段能构成等腰三角形的概率.能力提升如图，小茶几的桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯口 朝上；若我们做蒙眼睛翻杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的 翻上为杯口朝上）的游戏．⑴.随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；⑵.随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯c m 5c m口朝上的概率和全部三个杯口全部向上的概率分别是多少？九数上期《概率初步》单元知识点复习.练习第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）。
第六章概率初步复习与巩固1.理清基本概念，明确每一个试验及实验的结果，在具体问题中，关注如何完成一次试验（几个对象，几个步骤），是“放回”还是“不放回”的问题，所研究的问题是否需要关注顺序等；2.理清基本方法，对于列举法求概率，明确使用条件（等可能性和有限性）和使用方法，列举时关注等可能，做到不重不漏.关于列举的方法，当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能的结果数目较少时，可采用枚举法；当一次试验涉及两个因素且出现的等可能结果数目较少时，采用列表法；当一次试验涉及两个或更多个因素时，可使用画树状图法，要特别关注表格和树状图的规范性.3.规范书写与表达，培养有逻辑的概率思维，拿到问题分步走：（1）选择合适的方法整理数据（表格，树状图等），指明有多少种等可能的结果；（2）分析数据求出对应概率，得出结论.知识点01.必然事件、不可能事件和随机事件1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.知识点02.概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点：（1）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3)事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.知识点03.古典概型满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.要点：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m n.知识点04.用列举法求概率常用的列举法有两种：列表法和树形图法.1.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.知识点05.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.知识点01必然事件、不可能事件和随机事件典例：1.下列事件中是必然事件的是（）A．清明时节一定下雨B．水加热到100℃时沸腾C．小明经过马路，恰好是红灯D．任意画一个三角形，内角和是180︒【答案】D【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【解析】解：A．清明时节一定下雨，是随机事件，故该选项不符合题意；B．只有在一个大气压下，水加热到100℃时沸腾，才是必然事件，故该选项不符合题意；C．小明经过马路，恰好是红灯，是随机事件，故该选项不符合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180︒，是必然事件，故该选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．巩固练习1．“购买1张彩票，恰好中奖”这个事件是（）A．随机事件B．确定事件C．不可能事件D．必然事件【答案】A【分析】根据事件发生可能性的大小进行判断即可．【解析】解：购买1张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此“购买1张彩票，中奖”这个事件是随机事件，答案：A．【点睛】本题考查事件发生的可能性，理解随机事件、必然事件、不可能事件，确定事件的意义是正确判断的前提．知识点02概率的意义典例：1.一只不透明的袋子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，每个球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，下列说法正确的是（）A．摸到红球的可能性最大B．摸到黄球的可能性最大C．摸到白球的可能性最大D．摸到三种颜色的球的可能性一样大【答案】C巩固练习知识点03古典概型巩固练习1．“从布袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是（）A．若取出一只球肯定是红球B．取出一只红球的可能性是99%C．若取出一只球肯定不是红球D．若取出100只球中，一定有99只红球【答案】B【分析】根据概率的意义即可解答．【解析】解：∵从布袋中取出一个红球的概率为99%，∴这是一个随机事件，布袋中除了有红球，还有可能有别的球，∴布袋中取出一只红球的可能性是99%．故选：B．【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．概率是反映事件发生机会的大小的概念．知识点04用列举法求概率故选：A．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．巩固练习知识点05利用频率估计概率x 是原方程的解，经检验，12∴估计木箱中蓝色卡片有12张，故选B．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．巩固练习能力提升一、单选题A．打开电视机，正播放新闻B．通过长期努力学习，你会成为数学家C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天【答案】D【分析】根据必然事件和随机事件的定义即可解答．【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意；D、是必然事件．故选D．【点拨】本题考查了随机事件和必然事件，掌握必然事件和随机事件的定义是解题的关键．3．甲、乙两人做掷骰子游戏（掷1枚骰子），下面（）游戏规则是公平的．A．小于3的甲赢，大于3的乙赢B．质数甲赢，合数乙赢C．奇数甲赢，偶数乙赢【答案】C【详解】由于奇数和偶数的个数一样多，所以选择C.4．下列事件中为必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放茂名新闻B．早晨的太阳从东方升起C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上D．下雨后，天空出现彩虹【答案】B【详解】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．故选B．5．抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（）A．12B．13C．14D．1【答案】A8．下列事件：（1）打开电视机，正在播放新闻（2）父亲的年龄比他儿子年龄大（3）下个星期天会下雨（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1（5）一个实数的平方是正数（6）若a、b异号，则a+b<0属于确定事件的有（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件；（2）父亲的年龄比他儿子年龄大是必然事件；（3）下个星期天会下雨是随机事件；（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1是不可能事件；（5）一个实数的平方是正数是随机事件；（6）若a、b异号，则a+b＜0是随机事件．故选：B．【点拨】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．9．气象台预报“本市明天降水概率是30%”，对此消息下列说法正确的是【】A．本市明天将有30%的地区降水B．本市明天将有30%的时间降水C．本市明天有可能降水D．本市明天肯定不降水【答案】C【分析】根据随机事件及概率可进行排除选项．【详解】解：由“本市明天降水概率是30%”可知指明天降水的可能性问题，且可能性比较小，即本市明天有可能降水．二、填空题三、解答题（2）如图：（3）观察可知频率稳定在33%左右，故摸出一个黄球的概率是33%≈1 3．【点拨】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率情况数与总情况数之比．21．2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A．蓝天保卫战，【答案】停在黑色方砖上的概率是【分析】利用方砖共有。
概率初步单元复习与巩固撰稿：庄永春审稿：严春梅责编：张杨一、知识框图二、目标认知学习目标1．理解并掌握确定事件和不确定事件，必然发生的事件和不可能发生的事件.知道必然发生的事件概率为1，不可能发生事件的概率为0，随机事件发生的概率在0和1之间；2．会用列表法和树形图法解决随机事件的概率，并注意二者的区别与联系；3．用频率去估计实际概率要注意试验的次数必须足够多.重点1．随机事件、必然事件、不可能事件等的判断；2．用列举法求概率；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.难点1．用试验得出概率；2．列表法与树形图法的选择使用；3．利用稳定后的频率值来估计概率的大小.三、知识要点梳理(一)概率的有关概念： 1.概率的定义：某种事件在同一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2.概率论：研究概率的科学叫概率论.概率主要研究不确定现象，概率论作为一门科学，和人们的日常生活有着紧密的联系，比如：各种彩票、抽奖等等.人们用概率知识解决了许多生产实际问题.3.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.4.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.5.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.必然事件、不可能事件都是在事先能肯定它们会发生，或事先能肯定它们不会发生的事件，因此它们也可以称为确定性事件.(二)概率的计算：概率的计算有理论计算和实验计算两种方式，根据概率获得的方式不同，它的计算方法也不同.当试验次数很大时，一个事件发生的频率也稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.对于某些特殊类型的试验，实际上不需要作大量重复的试验，而通过列举法进行分析就能得到事件的概率.例如掷一个骰子(骰子的构造相同，质地均匀)，向上的一面的点数有6种可能，即1，2，3，4，5，6.因此每种结果的可能性相等，都是.或从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根(纸签的形状，大小相同)，抽出的签上的号码有5种可能，即1，2，3，4，5.因此每个号被抽到的可能性相等，都是.以上两个试验的共同特点是：1．一次试验中，可能出现的结果有限多个；2．一次试验中，各种结果发生的可能性相等.具有这些特点的试验称为古典概型.如何求具有上述特点的随机事件的概率呢？如果一次试验中共有n种可能出现的结果，而且这些结果出现的可能性都相同，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A发生的概率P(A)=，可以利用列表法或树状图来球其中的m、n，从而得到事件A的概率.由此我们可以得到：不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.四、规律方法指导1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1.2．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：①理论计算又分为如下两种情况：第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.②实验估算又分为如下两种情况：第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.综上所述，目前掌握的有关于概率模型大致分为三类；第一类问题没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值；第二类问题虽然存在理论概率但目前尚不可求，只能借助实验模拟获得其估计值；第三类问题则是简单的古典概型，理论上容易求出其概率.这里要引起注意的是，虽然我们可以利用公式计算概率，但在学习这部分知识时，更重要的是要体会概率的意义，而不只是强化练习套用公式进行计算.3．你知道概率有哪些应用吗？通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.经典例题透析类型一：随机事件1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )A.可能发生B.不可能发生C.很可能发生D.必然发生思路点拨：共有9个小球，从中摸出8个还剩下一个，不管剩下什么颜色的球，这8个球中必然红、白、黑都有，故选D.答案：D.举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )A.中秋节晚上能看到月亮B.今天考试小明能得满分C.早晨太阳会从东方升起D.明天气温会升高答案：C.【变式2】在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )A. B. C. D.答案：A.类型二：概率的意义：2．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中；事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数.在这几个事件中，发生的概率恰好等于的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拨：事件是从前100个正整数中随意选取一个数，其中任何一个数被选取出来的可能性都是一样的，所以有100个可能的结果，而从中随意选取一个，只有一种结果，所以其中每个数被选取的概率都是.解：事件1：在前100个正整数中，不大于50的数共有50个(1，2.…，50)，因此，事件1发生的概率为而；事件2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前100个正整数中恰好有50个偶数，因此，事件2发生的概率也是.事件3：1到50这50个正整数的2倍都在前100个正整数之中，且只有这50个正整数符合这一要求，因此，事件3发生的概率仍然是.事件4：前100个正整数3的倍数有33个(3，6，…，99)，5的倍数有20个(5，10，…，100)，既是3的倍数，又是5的倍数有6个(15，30，…，90).所以前100个正整数中恰好是3的倍数或5的倍数有33+20-6=47(个)，而47≠50，因此，事件4发生的概率不是.答案：C举一反三【变式1】从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.答案：.【变式2】口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.答案：.类型三：概率的计算 1.列表法3．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.思路点拨：如下表所示、两球都是黄球只有一种，而所有的情况共有12种，所以两个球都是黄球的概率是.解：所有可能结果共有12种，两球都为黄球只有1种.故P(两球都是黄球)总结升华：列表法可以不重复、不遗漏地列举所有可能结果.举一反三【变式1】抛两枚普通的正方体骰子，朝上一面的点数之和大于5而小于等于9的概率是多少?思路点拨：试验涉及的因素多，可能的结果数目较多，且要计算朝上一面的点数之和，用列表法列举比较容易.由表可以看出两个向上一面的点数之和共有36种结果，符合条件的有20种.∴P(点数之和大于5而不大于9)=.【变式2】在生物学中，我们学习过遗传基因，知道遗传基因决定生男生女，如果父亲的基因用X和Y来表示，母亲的基因用X和X来表示，X和Y搭配表示生男孩，X和X搭配表示生女孩，那么生男孩和生女孩的概率各是多少?通过上表可知，生男孩和生女孩的概率各是.【变式3】两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?解：两人所写整数相加的和的所有可能如下：由此可知，绝对值是1的有8种.所有可能有25种.所以两人所写数字之和的绝对值是1的概率是.【变式4】有两组卡片，第一组的三张卡片上分别写有A、C、C；第二组的五张卡片分别写有A、B、B、C、C，那么从每组卡片中各抽出一张，两张都是C的概率是多少？从表中可看出两张都是C的情况有4种，所有可能情况有15种，所以两张都是C的概率是.2.树形图法4．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上.(1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？解：(1)P(奇数)=.(2)从树形图中得到所组成的两位数有6个：12，13，21，23，31，32.恰好是32的概率是.举一反三【变式1】两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？ 思路点拨：可列出下面的树形图，如图所示.所以一个回合不能决定胜负的概率为.3.进球频率(1)计算表中各次比赛进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？ 解：(1)0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7； (2)0.75．总结升华：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．举一反三(1)计算表中相应的频率.(精确到0.01)(2)估计这名运动员射击一次“射中8环以上”的概率.(精确到0.1)思路点拨：用频率估计概率的方法是根据试验中，试验次数增多时，频率值稳定在哪个常数附近.解：(1)表中频率依次为0.60，0.85，0.83，0.78，0.78，0.82，0.81，0.80(2)可以看出：随着射击次数的增多，该运动员射中8环以上的频率稳定在0.8左右，从而估计，他随机射击一次，“射中8环以上”的概率约为0.8.总结升华：用频率估计概率实质上看频率的变化趋势.类型四：概率的思想方法6．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.解：解法1：设口袋中有x个白球，由题意得，解得，经检验知是原方程的根.答：口袋中大约有30个白球.解法2：因为P(50次摸到红球)，所以.所以白球的个数为40-10=30.答：口袋中大约有30个白球.7．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有鱼________条，总质量为________千克.思路点拨：根据第二个样本有鱼200条，其中有20条鱼带有记号，说明捕捞得到带标记鱼的概率为，那么鱼塘中鱼的总条数是第一个样本中的100条鱼的10倍，算出鱼塘中每条鱼的平均质量，即可估算出鱼塘中鱼的总质量.解：由题意可知：第一次捞出的鱼的条数占鱼塘中鱼的总条数的.所以估计鱼塘中的鱼的总条数为(条)，鱼塘中每条鱼的平均质量为：(千克)，∴鱼塘中估计有1000条鱼，总质量为2.011×1000=2011(千克).总结升华：本题的信息引导学生用数学的方法去分析，看待身边的事物，有利于提高数学意识和应用数学的能力.类型五：概率的综合应用8．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.(1)一定能构成三角形吗？(2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？(3)请设计一种模拟方案.思路点拨：(1)三角形的构成必须符合任意两边之和大于第三边，如2，4，6就不可以.(2)2，4，6，8，10这5个数中抽3个数组成一组总共有10种情况.而能构成三角形条件的共有3种，即机会为.(3)模拟实验的方法有很多，如纸片、小球、扑克牌等，只要合情合理即可.解：(1)不一定；(2)30%；(3)在5只球上分别写上2，4，6，8，10，放在一个不透明的袋中，闭上眼睛任摸3只，考查摸出的3只球上的数字满足任意两数之和大于第三个数的机会.总结升华：此题为概率与三角形内容的综合应用题.举一反三【变式1】某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.思路点拨：设红球、黄球和蓝球分别有、和个，摸到3种颜色乒乓球的理论概率分别为，和，分别等于摸到它们的频率.解：由题意，得，，，解之，得，，.所以，红、黄、蓝3种乒乓球分别有25个、18个、29个.总结升华：只要让试验频率等于理论频率，列出方程即可.【变式2】某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.(1)出生人数超过60人的月份有哪些？(2)出生人数最多的是几月份？(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？思路点拨：本题是从实际问题中抽象出概率模型，计算事件发生的可能性.正确解决问题，作出合理推断.解：(1)由条形统计图可知，超过60人的月份有：1月份，2月份，3月份，7月份，8月份，9月份，10月份，11月份，12月份.(2)出生人数最多的是1月份.(3)10月份出生的学生共有80人，所以有两个人生日在10月5日是可能的.(4)5月份出生的频率最小，所以这位学生的生日在5月份的概率最小.11 / 11。
