第二章
定态薛定谔方程
本章主要内容概要：
1. 定态薛定谔方程与定态的性质：
在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）
222.2d V E m dx
ψ
ψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱）
*()()m n mn x x dx ψψδ∞
-∞
=?
或δ函数正交归一性（连续谱）
'
*'()()()q q
x x dx q q ψψδ∞
-∞
=-? 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数
/(,)()n iE t n n x t x e ψ-ψ=
定态波函数满足含时薛定谔方程。
对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可
归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。
含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为
(,)(,)n n n
x t c x t ψ=ψ∑
系数n c 由初始波函数确定
(,0)()n n n
x c x ψψ=∑ ， *
()(
,0)n n c x x dx ψ∞
-∞
=ψ? 由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性
2
1n
n
c
=∑
对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2
n c ，能量的期待值可由
2
n n n
H c E =∑
求出。这种方法与用
*?
(,)(,)
H x t H x t dx
∞
-∞
=ψψ
?
方法等价。
2. 一维典型例子：
（a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态）
0,0
()
,
x a
V x
<<
?
=?
∞
?其它地方
能量本征函数和能量本征值为
222
2
(), 0;1,2,3,...
2
n
n
n x
x x a n
a
n
E
ma
π
ψ
π
??
=<<=
?
??
=
若
0,
()
,
a x a
V x
-<<
?
=?
∞
?其它地方
则能量本征函数和能量本征值为
222
2
()s i n(),;1,2,3,...
2
2(2)
n
n
n
x x a a x a n
a
n
E
m a
π
ψ
π
??
=+-<<=
?
??
=
1
n=是基态（能量最低），2
n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替
的：
1
ψ是偶函数，
2
ψ是奇函数，
3
ψ是偶函数，依次类推。
（b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）：
22
1
(),
2
V x m x x
ω
=-∞<<∞
能量本征函数和能量本征值为
2
1/4
/2
()(), ;
1
, 1,2,3,...
2
n n
n
m
x H e
E n n
ξ
ω
ψξξ
π
ω
-
??
=≡
?
??
??
=+=
?
??
其中()
n
Hξ厄米多项式，可由母函数
2
eξ-生成
22
()(1)
n
n
n
d
H e e
d
ξξ
ξ
ξ
-
??
=- ?
??
厄米多项式多项式满足递推关系
111()2()2()
()
2()
n n n n
n H H nH dH
nH d ξξξξξξξ
+--=-=
定义产生算符?a
+与湮灭算符?a -
)???a
m x
ip ω±= 则有
))??????, x a a p a
a +-+-=+=-
)1100??, , ??, 0.n n n n n
n a a
a a ψψψψψ++--+-====
当处于能量本征态时
222
0, 0
111122222n x p p m x E n m ωω
==??=====+ ???
（c ）一维自由粒子（连续谱，散射态）：
定态薛定谔方程为
222
, 2d E x m dx
ψ
ψ-=-∞<<∞ 能量本征函数和本征值为
22(), ; 2ikx k k x k k k E m
ψ=≡-∞<<∞
=
能量本征函数满足δ函数正交归一性
''*()'
1()2i k k x k k
dx e dx k k ψψδπ∞∞
--∞
-∞
==-?? 定态波函数为
2
/(/2)()111(,)k i E t i k x i
k x
k t i k x t
k x t e e e e ω
---ψ==
=
定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（0k >）或向
左传播的正弦波（0k
<）
，波的传播速度(相速度)为 2phase k v k m ω== 尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包
2(/2)
(,)()(,)()i kx k t m k x t k x t dk k e
dk φφ∞∞
--∞
ψ=ψ=
??
可以是物理上可实现（可归一化）的态。其中叠加系数
()k φ由初始波包(,0)x ψ决定
(,0)()ikx
x k e dk φ∞
-∞
ψ=?
由能量本征函数满足δ函数正交归一性
()(,0)ikx
k x e dk φ∞
--∞
=ψ?
波包在空间的传播速度称为群速度
2group phase d k
v v dk m
ω=== （d ）一维δ函数势阱： (
)()
V x x αδ=- ()x δ函数的性质为
, 0()0, 0
x
x x δ∞=?=?≠?
()1, ()()(x d x f x x a d x
f a
δδ∞
∞
-∞
-∞
=-=?? 在0x
=处由于()x δ函数势的存在，波函数的导数出现跃变
2002(0)d d d m dx dx dx εε
ψψ
ψαψ+-???≡
-=- ??? （如果是()x a δ-函数势，上式中做0a →代换）
0E <束缚态：只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为
2
2222
(), 22x
m x m E m κα
ψκκα-=≡=-=-
0E >散射态（连续谱）：定态薛定谔方程的解为
,
0; (), 0ikx ikx
ikx ikx Ae Be x k x Fe Ge x ψ--?+<≡?=??+
尽管散射态不是可归一化的态，但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反
射或透射的情况。由波函数及其导数在0x
=连续和跃变条件，可以得出反射波振幅B ，
透射波振幅F 与入射波振幅A 的关系（设0G =，没有从右向左入射的波）。计算出反射波几率流密度R J ，投射波几率流密度T J ，入射波几率流密度I J ，可以得到反射系数R 和透射系数T 。由几率流密度定义
**2i J m x x ???ψ?ψ=ψ-ψ ????? （三维情况为()**2i m
=ψ?ψ-ψ?ψJ ） 计算出
2
222
2211(2/)
11(/2)
R I T I J B R J A E m J F T J A m E αα===
+===
+
反射系数R 和透射系数T 之和为1.
1
R T +=
*习题2.1 证明下列三个定理
解：（a ） 证：假设在定态解把实数E 改为复数)(0
Γ+i E ，则
//0
)(),(t t iE e e x t x Γ-=ψψ
若在0=t
时刻，波函数是归一化的，即
1)()
0,(2
2
==ψ??∞
∞-∞∞
-dx x dx x ψ
在以后时刻
/22
/22
)(),(t t e dx x e
dx t x Γ∞
∞
-Γ∞
∞
-==ψ?
?ψ 所以要求在任何时候都有
1),(2
=ψ?∞
∞
-dx t x
必须有0=Γ，即E 必须为实数。
（b ）设)(x ψ满足定态薛定谔方程
)()()(22
22x E x x V x m ψψ=??
?
??+??- 把这个式子取复共轭，注意到E x V ),(是实的，得到
)()()(2*
*2
22x E x x V x m ψψ=??? ??+??- 显然)(x ψ和)(*
x ψ是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
)()()(*
x x x ψψφ+=
或
[])()()(*x x i x ψψφ-=
也是同一薛定谔方程的解。显然)()(*
x x φφ=是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总
可以取为实函数。 （c ）对
)()()(2222x E x x V x m ψψ=??
? ??+??- 进行空间反演x x -→，得到
)()()()(2222x E x x V x m -=-???
? ??-+-??-ψψ 如果势能)()(x V x V -=是偶函数，则有
)()()(22
22x E x x V x m -=-??
?
??+??-ψψ 因此)(x ψ和)(x -ψ是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加 )()()(x x x -±=±ψψφ
也是同一薛定谔方程的解。)()(x x ±±±=-φφ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的
解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果min E V <，那么ψ和它的二次导数有同样的符号。如果ψ是正值，它将一直增加，这与我们±∞→x ，0→ψ的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果ψ是负值，它
将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们±∞→x ，0→ψ的要求不符，导致函数是
不可归一化的。
我们还可以从另一个方面讨论这个问题。设
/)(iEt e x -ψ是定态薛定谔方程的一个归一
化解，我们有
min 2)()(2V x V x V m p H E ≥≥+??
?
??==
在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动，它的总能量为动能加势能，因为动能0≥，所以总能≥势能≥势能最小值。如果总能<势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。在量子力学中，如果min V E
<，则意味着动能的期待值为负值，或2
p 的期待值为负值。这对归一化的解是不可能的。
*习题2.5 解：
(a) 利用哈密顿本征函数的正交归一性
*
m n mn dx ψψδ=?
()()2
2
2
122
*
*1
2122
22
**
1
212212
1(,0)()()()
()()()2x dx A
x x dx
A x x x x dx
A
dx
A
ψψψψψψψψψψψψ=ψ=+=++??=+++?
?
=????
所以
2
1=
A
(b)
12//12(,)()()iE t iE t x t x e x e ψψ--??ψ=
+?? 1221212
2
//1222()/()/**1212121
(,)()()2
12
iE t iE t i E E t i E E t x t x e x e e e ψψψψψψψψ-----ψ=+??=
+++??
代入
(), 0n n x x x a a
πψ??
=
≤≤ ???
222
2
2n n E ma
π= 并令
21
E E ω-≡
()1222
//1222221(,)()()2
122sin sin sin sin 122sin sin 2sin sin cos iE t iE t i t i t x t x e x e x x x x e e a a a a a
x x x x t a a a a a
ωωψψππππππ
π
π
ω---ψ=+??????????
=+++ ? ? ? ???????????????????????
=
++ ? ? ? ?????????????
(c) 0t ≠时
2
220
01222(,)sin sin 2sin sin cos 2a a
x x x t dx x x x x x t dx a a a a a π
π
π
π
ω??????????
=ψ=++
? ? ? ?????????????
??完成积分得到
216cos 29a a
x t ωπ
=
- (以/2a 为中心的振荡) （d ）由动量期待值与坐标期待值之间的关系
216sin 9d x a
p m
m t dt ωωπ
== （e ）
()()()()()()12121212121212*////**1212////**1212////**12112222()11222(,)(,)1212
1212iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t i E E E x t H x t dx
e e H e e dx e e H e H e dx e e E e E e dx E dx E dx E e ψψψψψψψψψψψψψψ-------=ψψ=
++=++=++=++????
()12/()/**12121121
2t i E E t dx E e dx E E ψψψψ--??
+?
?=+???? 对),(t x ψ测量能量，得到1E 的几率为1/2,得到2E 的几率为1/2.，这个几率同0=t 时刻
是一样的，也就是说
E
不随时间变化，这是能量守恒的体现。
为什么,x p 会随时间变化,而E 不随时间变化?因为n ψ是哈密顿算苻的本征函数,
n n n H E ψψ=, 干涉项1212()/()/**
21212
1i E E t i E E t E e dx E e dx ψψψψ---+?? 由于本征函数的正交性,结果为零。但是对,x p 算苻,干涉项一般不为零 (2x ψ与1ψ, 2?ψp
与1ψ一般不会正交)
*习题2..7 解：（a ）(,0)x ψ的图形为
归一化波函数
()12)0,(1322/02/2
22
2
a A dx x a dx x A dx x a a
a =??
????-+=ψ=???∞
∞- 所以
312a
A =
（b ）一维无限深势阱的定态波函数为 ??
? ??=a x n a x n πψsin 2)( a x <<0 把初始波函数用定态展开
)()0,(x c x n n
n ψ∑=ψ
其中展开系数为
??
?
???-+=ψ=???a
a a a
n
n dx a x n x a dx a x n x a dx x x c 2/2/020*
)/sin()()/sin(24)0,()(ππψ
利用积分公式 d
b d
b
kx k x kx k dx kx x ???
??-=?)cos()sin(1)sin(2
可以求出
?
?
???
=-==???
??=-,...5,3,1,64)1(,...6,4,2,02
sin )(64222/)1(2
n n n n n c n n πππ 所以
)(),(/x e c t x n t iE n
n n ψ
-∑=ψ 2
2
222ma n E n π = （ｃ）测量能量得到结果为1E 的几率是9855.0642
22
11=???
? ??==πc P （d ）
2
2
22222
616162ma n ma E c E n n n
n =?==∑∑=奇数π 其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查
到）
8 (715131112)
2222
π=++++=∑=奇数n n
习题２.８ 解：（a ）初始波函数为 ??
?<<<<=ψa
x a a x A x 2/,
02
/0,
)0,(
归一化
2/)0,(12
/0
2
20
2
a A dx A
dx x a a
??==ψ=
所以
a A /2=
（b ）一维无限深势阱的定态波函数为 ??
? ??=a x n a x n πψsin 2)( a x <<0 把初始波函数用定态展开
)()0,(x c x n n
n ψ∑=ψ
其中展开系数为
[])2/cos(12
)/sin(2)0,()(2/00
*πππψn n dx a x n a dx x x c a a
n
n -==ψ=?? 所以测量能量得到基态2
2212/ma E π=的几率为221/4π=c
*习题 2.12 解：由
);).x a a p a a +-+-=
+=-
1n n a ψ++=， 1--=n n n a ψψ
***
11() )0n n n n n n n x x dx a a dx dx ψψψψψ∞
∞
+--∞∞
+-==+=+=???
**
*
11?() )0n n n n n n n p p dx a a dx dx ψψψψψ∞∞
+--∞∞
+-==-=-=???
2
*2*2
*
11*22()2 ()2 (1)2(21) )2n n n n n n n n n n n n x x dx a a dx m a a dx m n m n n dx m ψψψψωψωψψωψω
∞
∞
+--∞
-∞∞
+-+--∞∞
+-∞-==+=++=+++++=
????
2
)12()1)1(12(2)1)((2)(2?22*11*2
*2
*
2
ωψψψψψωψψψωψψωψψm n dx n n n n n n m dx n n a a m dx a a m dx p p n n n n n n n n n n n n
+=
-+-+-++-=-+--=--==-+∞
∞
--+-+∞∞
--+∞∞-∞
∞
-????
ω )2/1(2
122+==n m p T
2/)2/1(2
22
2 ≥+=--=
n p
p x
x p x σσ
习题 2.13
解：（a ）归一化)0,(x ψ
2
1*
00*12
12
02
10*
10
2
2)169()1212169()43()43()0,(1A
dx A
dx A
dx x +=+++=++=ψ=?
??∞
∞
-∞
∞-∞
∞
-ψψψψψψψψψψ
所以
5/1=A
)(5
4
)(53)0,(10x x x ψψ+=ψ
（b ） /1/01
)(54
)(53),(t iE t iE e x e x t x --+=ψψψ
其中 ωω 2
3
,2110==E E 是谐振子基态和第一激发态的能量。
()t x x x x e e x x x x e x x e x x x x e x e x e x e x t x t i t i t
i t i t iE t iE t iE t iE ωψψψψψψψψψψψψψψψψψψωωωωcos )()(25
24)(2516)(259)()(2512)(2516)(259)()(2512)()(2512)(2516)(259)(54)(53)(54)(53),(102
120102
1200*11*02
120/1/0*
/1/02
1
1
++==+++=+++=?
?
?
??+??? ??+=ψ------
（c ）
dx
x x x t dx
t x x x x x dx t x x x ???∞
∞
-∞
∞-∞
∞-++=??????++=ψ=)()(cos 2524
00cos )()(2524)(2516)(25
9),(101021202
ψψωωψψψψ利用
()-++=a a m x ω2 ，()-+-=a a m i p 2?ω
n n n a ψψ1+=+， 1--=n n n a ψψ
t m dx x x m t dx
x x x t x ωωψψωωψψωcos 22524)()(2cos 2524)()(cos 2524
1110 ==
=??∞
∞-∞
∞
-
t m t m m dt x d m p ωωωωωsin 2
2524sin 22524 -=-==
或者
()t m e e m i
e x e x e x e x e x dx m i e x e x a a e x e x dx m i dx t x p
t x t i t
i t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE t iE ωωωψψψψψωψψψψωωωsin 2
252425122)(54)(254)(53)(54)(532)(54)(53)()(54)(532),(?),(/0/2/1*
/1/0/1/0*
/1/01
1
1
1
1
-=-=??
? ??-+??? ??+=??? ??+-??? ??+=ψψ------∞∞----+--∞∞-∞∞
-??? 由Ehrenfest ’s 定理
x
V
dt p d ??-= 代入谐振子势能2
22
1)(x m x V ω=，及p
，有
t m t m m x m x V t m dt p d ωω
ωωωωωωω
ωcos 2
2524cos 22524cos 2252422 -=-=-=??-
-=
显然满足Ehrenfest ’s 定理
如果用)(2x ψ替代)(1x ψ，则有
/2/02
)(5
4
)(53),(t iE t iE e x e x t x --+=ψψψ
其中ω 2
5
2=E ，重复上面的计算，有
0)()(2)2cos(2524)()()2cos(2524
2120==
=??∞
∞
-∞
∞
-dx x x m t dx
x x x t x ψψωωψψω
0==dt
x d m p
显然此时，x
V
dt p d ??-=仍然满足（也必须满足）。 讨论：当不同的谐振子定态叠加时，只有叠加态中有相邻态时，即有n ψ态时，必须还有1±n ψ态，
x 才会以t ωcos 的形式震荡。
（d ）测量能量得到2/0ω =E 的几率是25/92
0=c ，得到2/31ω =E 的几率是
25/162
1=c 。
习题 2.14 解：本题其实就是以经典频率为ω的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为
22)2(2
12??x m m p H ω+= 能量本征函数为
)
'21/4
'
/2()m x n n
m x H ωωφπ-??
= ?
??
能量本征值为
ωω 2)2/1()2/1('+=+=n n E n
含时薛定谔方程的一般解为 /),(t iE n n
n n
e c t x -∑=Φφ
当0=t
时，
0)0,(ψφ==Φ∑n n
n c x
显然对),(t x Φ测量能量，不可能得到2/ω ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到/2ω 的几率为零。现在体系基态的能量为ωω =2/'
，所以测
量能量得到ω 的几率是
2
c ，由
dx dx x c 0*0*00)0,(ψφφ??∞
∞
-∞
∞
-=Φ=
代入
)2/exp(24
/10 x m m ωπωψ-??
? ??= )2/2exp(22
4
/10 x m m ωπωφ-??
? ??=
*2
000
(2)exp(3/2)
(2)0.97098
c dx m x
?ψω
∞∞
-∞
==-
===
??
94281
.0
2
=
c
（注意在0
t=时刻，体系的能量期待值不是/2
ω
，因为体系的哈密顿是频率为'2
ωω
=的谐振子哈密顿。）
习题2..19
解：把
2
()
2
(,),
k
i kx t
m
k
x t Ae-
ψ=
代入
?
?
?
?
?
?
ψ
?
ψ
-
?
ψ
?
ψ
=
x
t x
t x
x
t x
t x
m
i
t x
J
),
(
),
(
),
(
),
(
2
),
(*
*
得到
2
),
(A
m
k
t x
J
=
显然，几率流是朝x正方向，即波的传播方向流动。
*习题2.27
解：（a）
-a a
V(x)
δ(x-a)
δ(x+a)
I II III
（a）对束缚态必须有0
<
E，解薛定谔方程：
)()()(2222x E x x V dx d m ψψ=??
????+- 其解为
∞
<<=<<-+=-<<∞-=--x a De x a x a Ce Be x a
x Ae x x x x x ,)( ,)( ,)(321κκκκψψψ
其中
2
2
E
m ≡κ 并且已经利用了波函数在±∞→x 时应为有限的条件。 波函数在a x ±=处必须连续，我们有
a
a a
a
a a Ce
Be De
Ce Be Ae κκκκκκ----+=+=
但是由于此处势能为无限大，所以波函数的导数是不连续的，波函数导数的跃变可以由薛定谔方程求出。在a x -=处，由积分
??+---+---=??
????+-ε
εε
εψψa a a a dx x E dx x x V dx d m )()()(2222 得到
)()(2lim 22
02a a m
dx
d m a a -+=-?-=-+---→αψψψε
ε
ε
其中
ε
ε
εψ
ψ+---→=-?a a dx d a 0
lim )(
为波函数导数在a x -=处的跃变。同样可以求得波函数导数在a x +=处的跃变为
)()(2lim 22
02a a m
dx d m a a αψψψε
εε+=?-=-++-+→ 所以 ()a
a a a Ae m Ce Be Ae κκκκακκ---=--2
2 ()a a a a
De m Ce Be De κκκκα
κκ---=-+22
与
a
a a
a a a Ce
Be De
Ce Be Ae κκκκκκ----+=+=
一起整理得到
0000)1(00
0)1(=+--+=+--=-+-+=++----------D e C e B e C e B e A e D e C e B e C e B e A e a a a a
a
a
a a a a a a κκκκκκκκκκκκββ
其中
κ
αβ2
2 m ≡
这个以D C B A ,,,为未知数的方程组有非零解的条件是系数行列式为零，即
00
0)1(00)1(=----------------a
a
a
a
a
a
a
a a a a a
e e e e e e
e e e e e e κκκκκκκκκκκκββ
得到
0)1(4442=-+--a
e κββ 这个方程可以表示为
[][]0)2()2(22=-+----ββββκκa a
e e
所以我们有两个解±κ（单δ势阱时有一个解，双δ势阱时有两个解，你可以推论当有
N 个δ
势阱时，应该有N 个解）
对ma
2
=αa κβ2=→
得到±κ满足的方程为
1)2ex p(-=---a a κκ
a a ++-=-κκ1)2ex p( 数值解这两个方程（注意0>a κ）得到
78
.013
.1≈≈+-a a κκ
所以能量为
2
2
22
2
22)78.0(2)13.1(ma E ma E -
=-
=+- 注意当取ma
2
=α时，单δ势阱的能量为222ma E -
=，所以双阱时的两个能量本征值，
一个比单阱时大，一个比单阱时低。
对ma
42
=α情况，a κβ21=
±κ满足的方程为
14)2ex p(-=---a a κκ
a a ++-=-κκ41)2ex p(
数值解为
36
.0==+-a a κκ
所以能量为
2
222)36.0(0
ma E E -
==-+
但是0=E 的解，不符合波函数必须归一化的要求（在这种情况下，波函数在三个区间都是常数，积分为无限大，或者说不符合我们开始要求的0 下面求出两种情况下的波函数。首先把所有的系数都用A 表示，可以解出 A B )2/1(β-= A e C a κβ2)2/(-+= A e A e D a a κκββ22)2/()2/1(-+-= 对ma 2 =αa κβ2=→，满足1)2ex p(-=---a a κκ的解，有 , ,A e e e C B D A a a a - - - --+===κκκ 所以波函数为 ∞ <<=<<-++=-<<∞-=----- - - x a Ae x a x a e e A e e e x a x Ae x x x x a a a x ,)( )()( ,)(321κκκκκκκψψψ 可以看出这是一个偶函数。 归一化 1)()(222222 =??????++++???∞ ------∞-- - - - - -- a x a a x x a a a a x dx e dx e e e e e dx e A κκκκκκκ 积分得到 14)(2=??????? ?-+++---- - - κκκκκa a a e e A 解出 ) () 1)(2/1(4a a a A -----+= κκκκ 这个波函数的图形为 a x 对ma 2 = α a κβ2=→，满足a a ++-=-κκ1)2ex p(的解，有 ,1 ,A e e e A a a C B D A a a a + ++ --++--=-=-=-=κκκκκ 所以波函数为 ∞ <<-=<<----=-<<∞-=----+ + + x a Ae x a x a e e A e e e x a x Ae x x x x a a a x ,)( )()( ,)(321κκκκκκκψψψ 可以看出这是一个奇函数。 归一化 1 )()(222222 =??????+--+???∞ ------∞-+ + + + + + + a x a a x x a a a a x dx e dx e e e e e dx e A κκκκκκκ 积分得到 14)(2=??????? ?---+++-+ + + κκκκκa a a e e A 解出 ) () 1)(2/1(4a a a A ++++--= κκκκ 这个波函数的图形为 对ma 42 = α情况，a κβ21=，14)2ex p(-=---a a κκ （我们也只需考虑这种情 况），我们得到 A D A e e e A a a C B a a a =+=-==- - - -+--- ,414κκκκκ 所以波函数为 ∞ <<=<<-++=-<<∞-=----- - - x a Ae x a x a e e A e e e x a x Ae x x x x a a a x ,)( )()( ,)(321κκκκκκκψψψ 是偶函数。除了能量与ma 2 =α时不同外，形式上这个波函数与ma 2 =α时，能量为-E 的 波函数一样。 （b ） *习题2.34： 解: (a) 对0E V <情况，定态薛定谔方程的解为 高等工程数学试题 ( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 ) 注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604 .2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === , , ,, . 一 填空题(每空3分,共30分) 1. )(P 2t 中的多项式132)(2 +-=t t t p 在基)}2)(1(11 {---t t t , ,下的坐标向量为 . 2. 设0α是欧氏空间n V 中固定的非零向量,记0{ |0}n W V ξαξξ? =<>=∈,, ，则 )dim(=W . 3. 设111121i A i +?? =? ?-?? ，则|||| A ∞=. 4．设? ?? ? ????=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件 时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设??? ?????=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X ,是来自)0(~2 ,σN X 的样本，则当常数 =k 时有 10.0)()()(2 212212 21=? ?????>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值 )s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正 态分布) (2 σN , μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体 X 的概率密度函数为 )0( . 0,0,0,)(>?????≤>=-λλλx x e x f x ,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ?=λ. 9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下： 11 10137811 6 54321 数频出现点数 则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2 χ______________ . 学院（部） 学号（编号） 姓名 修读类别（学位/进修） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） …………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………… 《高等工程数学》试题 注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u === 一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ?的基： 1001000000001001??????????=??????????? ?????????，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22 011 0P x R ???=∈???? ，.则T 在基B 下的矩阵为 A =. 2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3 V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示） ． 3．设211113 01021i 0A x ???? ????==????+???? ，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞?=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116 k k k c k c ∞ =?? ??-?? ∑收敛. 5．对称阵321220103A ?? ??=????的Cholesky 分解为 A =. 6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，， ，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4 21 10 2 5()() i i i i i i X Y c X Y ==-? -∑∑服从F 分布． 7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次 记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为? N =. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不 超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥. 学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） ……………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………… 高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 2005年吉林大学硕士研究生入学试题 一、[25分] 一维线性谐振子 [222 1)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(5 1)(52)0,(210x C x x x ???Ψ++=， 其中，)(x n ?为谐振子的正交归一化能量本征函数。 １）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=2 3，试求系数C 。 ２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均 值的几率。 0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。 0>t 二、[25分] 在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞?处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？ 三、[25分] 已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ?}{n q }{|>n (，)。现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψ?||?Q >ψ|为已知态矢。 １）在表象中求出态矢Q >?|的表达式。 ２）若以和分别表示投影到?P ?ψ P ?>?|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。 Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。 3/1?Q 四、[25分] 设一自旋粒子的能量算符为 2/1z y x S C S B S A H ????++= 其中A 、B 、C 均为实数。 １）求粒子的能量本征值和本征态矢。 ２）若粒子处在H ?的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。 y 五、[25分] 设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势 2/12212)4()(r b s s a r V ???=G G = 作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于 零的实数。 １）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。 2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。 六、[25分] 设体系能量算符为 且有 ,'???0H H H +=,||?)0(0 >>=i E i H i ,|ij j i δ>=<);2,1(=i ;2|1|1|'?>+>>=b a H 、b 均为实数，且为小量。 ,2|1|2|'?>?>>=a b H a １） 若，求体系能级至二级近似，并求出一级近似态矢量。 )0(2)0(1 E E ≠２） 若，求体系能级至一级近似，并求出零级近似态矢量。 )0(2)0(1E E = 中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2013年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ； 2．设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ，从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本 12(,,,)m X X X ，12(,,,)n Y Y Y 。记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差，2,Y Y S 为 样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差，则12θθ-的95%的置信区间为 ； 3．如果2 113342 53,5351154 6 4Ax b A ??????? ? ==?????????? ，矩阵A ∞= ， 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ； 4．在进行二元方差分析时，当两个因子之间存在交互作用时，需要进行重复试验，假设两个因子都取3水平，各种组合时试验的重复次数均为4，则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ； 5．函数22 1212(,)y f x x x x ==，已知1x 和2x 的绝对误差限分别为1()0.1x ε≤和2()0.2x ε≤，则函数 值的绝对误差限为： ； 6．线性规划123123123123min 32..2363260,0,x x x s t x x x x x x x x x +-? ?++≥??-+≤? ?≤≥-∞≤≤∞ ? 的标准形式是 ； 7．方程()sin(1)2 x f x x =+- 与()x x ?== 等价，由于迭代函数()x ?满足： ，可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根* x 的近似值； 8. 设011n n a x x x x b -=<< <<=为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()b a f x dx ?复合梯 形公式，利用Romberg 思想写出复化Simpson 求积计算式 n S = 。 二、（本题14分）某工厂生产A 、B 两种产品，需利用甲、乙两种资源。已知生产产品A 一件 需消耗资源甲、乙分别为3吨、4吨，生产产品B 一件需消耗资源甲、乙分别为4吨、3吨。A 、B 产品每件产值分别为1、2万元。工厂现有甲、乙资源量分别为120、120吨。 （1） 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。 （2） 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中 第二章幼儿园课程与教学的理论基础 第一节心理学基础 第二节社会学基础 第三节哲学基础 第一节心理学基础 一、认知心理学和幼儿园课程与教学 （一）皮亚杰理论和幼儿园课程与教学 1. 皮亚杰的知识建构理论 皮亚杰认为，个体是主动地建构内部的心理结构、主动地进行学习的。 2. 皮亚杰知识建构理论的发展 ——社会建构理论 一批欧洲学者将皮亚杰的建构主义理论带入了社会交往的领域，提出了社会建构理论，认为社会文化背景在儿童的知识建构中起重要作用。 3.皮亚杰理论对幼儿园课程与教学的启示 幼儿园课程与教学既要重视儿童自身建构活动在儿童知识建构中的作用，又要重视社会文化背景对幼儿园课程编制和实施的影响。 （二）维果茨基理论和 幼儿园课程与教学 维果茨基（1896-1934），前苏联心理学家。 1.维果茨基理论的主要观点 （1）儿童建构自己的知识； （2）发展与社会背景不可分离； （3）学习能引导发展； （4）语言在心理发展中起关键作用。 2. 维果茨基理论中三个影响幼儿园课程与教学的概念 （1）“最近发展区” 所谓的“最近发展区” ，是指儿童独立行为水平与其依靠帮助所能达到的水平之间的差异。 （2）支架式教学 支架式教学(Scaffolding Instruction)是通过提供一套恰当的概念框架，来帮助学习者理解特定知识、建构知识意义的教学模式，借助该概念框架，学习者能够独立探索并解决问题。 （3）“心理工具” “心理工具” (Mental Tools)是指能扩展心理能力，帮助儿童记忆、注意和解决问题的内在工具。如各种符号、记号乃至词、语言，而语言是最重要的心理工具。 3.维果茨基理论对幼儿园课程与教学的启示 （1）幼儿园课程与教学应该既能适合儿童发展，又能对儿童的认知具有挑战性； （2）应该能够通过提供支持，促进儿童思维的发展，并使儿童获得成功； （3）应该能够帮助儿童获得智慧的和社会交往的技能，特别是获得语言的技能。 二、精神分析理论与 幼儿园课程和教学 （一）精神分析理论的主要观点 弗洛伊德（1856-1939），奥地利精神病医生，精神分析学派的创始人。 弗洛伊德将人的心理分为意识、前意识和潜意识三个领域，并在此基础上提出了人格结构说。 第2章学与教的理论 学习目标 1. 了解学习理论和教学理论的基本内容。 2. 能够分析各种学习理论特点和适用范围。 3. 理解各种学习理论和教学理论指导下的基本教学原则和规律。 4.能够根据不同的教学实际应用相应的学习理论和教学理论。 第一节行为主义理论 行为主义认为，学习是刺激与反应的联结，有机体接受外界的刺激，然后作出与此对应的反应，这种刺激与反应之间的联接（S-R）就是所谓的学习。 行为主义理论早期的代表人物桑代克（Edward L.Thordike）、华生（John Watson），新行为主义的代表人物斯金纳（B. F. Skinner）等。 一、桑代克的试误说 通过动物实验来研究学习，提出了联结主义的刺激—反应学习理论即试误说：学习的实质在于形成刺激与反应的联结，即S—R联结，这种联结形成的过程是渐进的、尝试错误直至最后成功的过程。 提出了三个学习定律：准备律（law of readiness）、效果律（law of effect）、练习律(law of exercise) 理论缺陷：他的理论不能配合教学的实际需要，毕竟教育的对象是人而不是动物。 桑代克的试误理论 学习律 准备律 学习者是否会对某种刺激作出反应，同他是否作好准备有关。 效果律 只要当反应对环境产生某种效果时，学习才会产生。 练习律 一个已形成的可变联结，若不予以使用，这种联结的力量便会减弱。 美国教育心理学之父 试误：饿猫学习如何逃出迷笼获得食物 二、华生的刺激－反应说 主张对心理学要进行完全客观的实验研究。应该把行为而不是把意识当作研究的客观对象，在心理学中应该抛弃所有有关心智的内容。 学习是塑造外显的行为，而内部的心理状态是不可知的；学习是一种刺激替代另一种刺激建立条件反射的过程；人类所有的行为都是条件反射建立刺激—反应联结（S—R联结）而形成的。 提出两个学习规律：频因（frequency）律、近因（recency）律。 理论缺陷：对外界客观的过分强调则忽视了人类学习内部心理过程。 华生的刺激—反应说 主要观点 学习是塑造外显的行为，而内部的心理状态是不可知的。 学习是刺激—反应的联结，人的反应完全由客观刺激决定。 强调学习过程的实验研究。 南京理工大学 工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3） （一）矩阵分析 一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。 二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ， 求矩阵.A 。 三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ； （2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。 四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。 五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘 构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间； 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页 中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕== 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关. ---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1第一章第二章教育与教育学 第一章教育及其产生与发展第一节教育的概念教育的概念教育是人类有目的地培养人的一种社会活动，是传承文化，传递生产与社会生活经验的一种途径。 教育一词最早见于《孟子尽心上》中的得天下英才而教育之，三乐也。 广义的教育： 社会教育学校教育家庭教育狭义的教育： 是教育者依据一定的社会要求，依据受教育者的身心发展规律，有目的、有计划、有组织地对受教育者施加影响，促使其朝着所期望的方向发展变化的活动。 兼顾社会和个体两个方面给教育下定义： 教育是在一定社会背景下发生的促使个体社会化和社会个性化的实践活动。 第二节教育的本质一，我国关于教育本质问题的主要观点知识 1 教育是上层建筑知识 2 教育是生产力知识 3 教育具有上层建筑和生产力的双重属性识知识 4 教育是一种综是合性的社会实践活动识知识 5 教育是促进个体社会化的过程识知识 6 教育是培养人的社会活动二教育的本质教育是一种有目的地培养人的社会活动第三节教育的结构与功能一，教育的构成要素教育者、受教育者和教育媒介（教育影响）是构成教育活动的基本要素。 1 / 14 （一）教育者在社会教学活动中，有目的地影响他人生理、心理及性格发展的人，统称为教育者。 教育者是教育活动的主导，目的性是教育活动的一个重要特征。 （二）受教育者受教育者是教育的对象及学习的主体，是教育活动构成的基本要素。 （三）教育媒介（教育影响）教育媒介（教育影响）： 是指建构于教育者和被教育者之间起桥梁或沟通作用的一切事物的总和，包括教育内容。 教育方法与组织形式和教育手段等。 受教育者与教育内容教育中的基本的，决定性的矛盾，因为它是教育活动的逻辑起点二，教育的功能教育功能是教育活动和系统对个体发展和社会发展所产生的各种影响和作用。 （一）按教育功能作用的对象，个体发展功能和社会发展功能个体发展功能指教育对个体发展的影响和作用。 教育的本体功能。 社会发展功能指教育对社会发展的影响和作用。 教育的派生功能。 （二）按教育功能作用的方向，正向功能与负向功能。 正向功能是指教育有助于社会进步和个体发展的积极影响和作用。 负向功能是指教育阻碍社会进步和个体发展的消极影响和作用。 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 令EX X =，得5 ?6 θ=. （2）最大似然估计： 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂 生产是否正常（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σχs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=-- n =或χ2≥2 025.022 )1(χχα=-n =， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-=t Θ< ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显着水平0.05α=下对因素A 是否显着做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显着的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显着性检验（0.05α=）. 解：（1）125.5218?84.39750.3024 xy xx l l β=== 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 拒绝原假设，故回归效果显着. 高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； 一、填空题 1. 求方程 ()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 1()1() n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2. 在求解方程组b AX =时，建立的迭代格式f BX X +=+)()1(k k 对于任意初始向量）0(X 及任意f 收敛的充要条件是 . 1)( ??? ??=++=++=-+5 223122321 321321x x x x x x x x x 的Gauss-Seidel 迭代法，并说明其收敛性. 解：解线性方程组的系数矩阵可以表示为 U L D --=??? ? ? ??---????? ??----????? ??=????? ??-000100220022001000 100010001122111221， 则Gauss-Seidel 迭代格式为 b L D UX L D f BX X k k k 1)(1)()1()()(--+-+-=+=， 这里???? ? ??-=-=-200120220)(1 U L D B ，b 为右端向量， 且12)(>=B ρ，则该迭代法发散. 3. 用复化Simpson 公式求积分 x e x d 1 ?=I 的近似值时，为使计算结果误差不超过4102 1 -?，问至少需要取多少个节点？ 解：由x e x f =)(，x e x f =)()4(，1=-a b ，有 [] 4 4 )4(4102 1128801)(2880-?≤??? ??≤--=e n f h a b f R n η 解得08441.2≥n ，故至少需将[]1,0三等分，即取7132=+?个节点. 4. 用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,y y y ?+=?=? 证明其近似解为2,2n n h y h -??= ?+??并证明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.x y e -= 1。解：由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从 而知 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-， 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化 5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2 112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时， 12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又 1. 导语也成前言、导言，通常在学位论文或篇幅较长的论文中出现，导语应明确交待该领域的学术史，不能闭门造、车自说自话。下列哪个选项不属于导语基本要素 A. 研究方法 B. 研究的价值 C. 研究的计划 D. 研究所用材料的来源 2. 中国科协的一项调查发现，38.6%的科技工作者自认为对科研道德和学术规范缺乏足够了解，49.6%的科技工作者表示自己没有系统的了解和学习过科研道德和学术规范。这种现象所反映出在科学道德和学风问题中应该( ) A. 坚持教育引导 B. 加强制度规范 C. 强化监督约束 D. 坚持自我反省 3. 引文应当是作者在撰写论著时确实参考或引用过的文献，如果为了给人一种阅读了大量文献资料、研究基础扎实的印象，而故意在论著中加入大量实际没有参考或引用过的、或者与本文论题根本不相干的文献，做不相关引用、无效引用。这种行为属于 A. 过度他引 B. 不当自引 C. 模糊引注 D. 著而不引 4. 在合作研究中，故意隐瞒应共享的信息，不提供相关数据和资源等。根据相关加强科研规范的措施和意见，这种行为违反了科研人员须遵守科研规范中的( ) A. 诚实原则 B. 公开原则 C. 公正原则 D. 尊重知识产权 5. 1964年，新疆的一位年轻人郝天护给时任中国科学院力学研究所所长钱学森写信，指出钱学森近期发表的一边力学论文中有一处需要商榷，钱学森当时在力学界已是绝对权威，但收到来信后，不仅亲笔回信，承认了自己的错误，更鼓励郝天护将自己的观点写成文章，并推荐发表在《力学学报上》，这体现出钱学森作为一名合格科技工作者的( ) A. 严谨作风 B. 诚信品行 C. 责任意识 D. 人文素养 6. 解决科学道德和学风问题，关键在于抓好教育、制度和监督三个环节教育是( )，制度是( )监督是( )，惩防结合、标本兼治。 A. 基础关键保障 B. 基础保障关键 C. 核心手段保证 D. 手段保证核心 7. 科研规范是基于科研道德和科学共同体共识的，具有稳定性、连续性的规制和安排，因而具有文化的意义，要求研究者自觉遵守和共同维护。下列（不属于：题干错误）属于当代科技工作者应该坚持的规范是 A. 诚实原则B. 不伤害原则 C. 公正原则 D. 尊重原则 8.在一般学术性期刊中对于署名和单位地址下列描述不正确的是( ) A. 一个作者下写一个地址 B. 如果换了新地址，则应在脚注中写上新地址 C. 必须提供邮政编码 D. 必须提供作者全名，不可隐名发表 9. 学界公认的科研规范中，规定在保守国家秘密和保护知识产权的前提下，公开科研过程和结果相关信息，追求科研活动社会效益最大化。这条原则属于当代科研工作者应该坚持的 A. 公开原则 B. 诚实原则 C. 尊重知识产权原则 D. 声明与回避原则 10. 一搞多投是指同一作者，在法定或约定的禁止再投期间，或者在期限以外获知自己作品将要发表或已经发表，在期刊编辑和审稿人不知情的情况下，试图或已经在两种或多种期刊同时或相继发表内容相同或相近的论文。一稿多投的行为是严格被学界所禁止的行为。下列属于一稿多投行为的是 A. 不尊重科学和实验结果 B. 拼凑数据 C. 不尊重他人学术思想、学术观点 D. 将他人的论文翻译成外文发表在国际学术刊物上 11. 任鸿隽先生于1916 年在“科学精神论”一文中首次明确提出科学精神的概念“科学精神者何？求真理是已。”美国著名学者莱科维茨将科学精神概括为激情（enthusiasm）、创造性和诚信三个方面。可见，科学精神是在长期的科学实践活动中形成的、贯穿于科研活动全过程的共同信念、价值、态度和行为规范的总称。下列不属于科学精神的内涵的是 A. 求真精神 B. 理性的怀疑精神 C. 民主精神 D. 激情状态 12. 病态科学是科学研究者被其主观性错误所自我欺骗而导致的“科学式”的研究。在一定意义上看，病态科学实属科学的常态。下列情况不属于病态科学的是 A. 主观期望的科学 B. 一厢情愿的科学 C. 独断论式的科学 D. 伪科学《高等工程数学》试题(2007年1月)
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