高中数学第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法212二阶矩阵与平面列向量的乘法新人教A版4-2!

2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法
教学目标
1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则
2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射 教学重点、难点
二阶矩阵与平面列向量的乘法规则 教学过程： 一、问题情境
（一）问题：已某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：
规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩分别是多少?
（二）一般地，我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则为：
二阶矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡22211211
a a a a 与列向量⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡00y x 的乘法规则为：
（三）一般地，对于 则称T 为一个变换． 简记为： 或
二、建构数学
一般地，我们规定行矩阵[]1211a a 与列矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡1211b b 的乘法法则为
[][]2112111121111211
b a b a b b a a ⨯+⨯=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
二阶矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2221
1211a a a a 与列向量⎥⎦
⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法法则为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0220
210120110022211211
y a x a y a x a y x a a a a 。

一般地，对于平面上的任意一个点（向量）(x ,y ),若按照对应法则T ，总能对应唯一的
一个平面点（向量）(x ′,y ′),则称T 为一个变换，简记为
T ：(x ,y )→(x ′,y ′),
或
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤
⎢⎣⎡'':y x y x T
一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换法则为
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡→⎥⎦⎤
⎢⎣⎡dy cx by ax y x y x T '':， 那么，根据二阶矩阵与列向量的乘法法则可以改写为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤
⎢⎣⎡y x d c
b a y x y x T '': 由矩阵M 确定的变换T ，通常记为M T .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射.当α＝⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x 表示平面图形F 上的任意点时，这些点就组成了图形F ，它在M T 的作用下，将得到一个新图形F ′——原象集F 的象集F ′. 三、例题精讲
例1 计算⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1002
思考：二阶矩阵M 与列向量的乘法⎥⎦
⎤⎢⎣⎡→⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同？ 例2 ：若⎥⎦⎤⎢
⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x 解：⎩⎨⎧=+-=⨯+1210y x y x ⎩⎨⎧=-=∴11y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-11
例3⑴已知变换⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 23
41
'
'
，试将它写成坐标变换的形式；
⑵已知变换'
'3x x x y y y y ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，试将它写成矩阵乘法的形式. 解⑴⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 234'' ⑵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 1031''
例4 已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，2x C a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，若A=BC ，求函数()f x 在[1,2] 上
的最小值.
三、课堂精练
1．计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡120110
2．(1)点A （1，2）在矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________
(2) 若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到的点为（2，4），点A 的坐标___________.
3.若△ABC 的顶点(1,1),(0,1),(2,0)A B C -，经1 23 4⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
变换后，新图形的面积为 3 4.2233,1119A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，求 A
解：设 b c d a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2221
33
39
a b c d a b c d -+=-⎧⎪-+=-⎪
⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1,0,2,3a b c d ====,则A =1 02 3⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
5．(1)已知变换⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'
'→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式. (2)已知1002x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
,试将它写成坐标变换的形式.
五、回顾小结 1. 我已掌握的知识 2. 我已掌握的方法 六、课后作业
1．用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组232
21x y x y +=⎧⎨-=-⎩
其中正确的是（ ）
A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-122132y x B ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x
2．设 3 2-1 1A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，点P 经过矩阵A 变换后得到点(5,5),.若P (,)x y ，则x y += 3 3．已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.
4． 已知变换T 把平面上的点(2，－1)，(0，1)分别变换成点 (0，－1)，(2，－1) ，试求
变换
T 对应的矩阵．。