(通用版)202x高考数学一轮复习 1.1 集合学案 理

第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义，元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算．1．集合元素的三个特征：______、______、______.2．元素与集合的关系是____或______关系，用符号____或____表示．3．集合的表示法：______、______、图示法．4．常用数集：自然数集______；正整数集______(或______)；整数集______；有理数集________；实数集____．5．集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______.6．子集、真子集及其性质：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)；若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，则A B(或B A)；∅⊆A；A⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个．7．集合相等：若A⊆B，且____，则A＝B．8．集合的并、交、补运算：并集：A∪B＝____________；交集：A∩B＝__________；补集：∁U A＝__________；U为全集，∁U A表示集合A相对于全集U的补集．9．集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．设M＝{x|x≤211}，a＝2 014，则下列关系中正确的是( )．A．a⊆M B．a∉MC．{a}∉M D．{a}⊆M2．(2012山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( )．A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为( )．A．a≤1 B．a＜1C．a≥1 D．a＞14．(2012湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B ＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )．A．1 B．2C．3 D．45．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__________．一、集合的概念【例1－1】若集合A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为( )．A．2 B．3 C．4 D．5【例1－2】已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2 014a的值为__________．方法提炼1．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．集合 {x |f (x )＝0}{x |f (x )＞0}{x |y ＝f (x )} {y |y ＝f (x )} {(x ，y )|y ＝f (x )} 集合的 意义方程f (x )＝ 0的解集 不等式f (x ) ＞0的解集函数y ＝f (x ) 的定义域函数y ＝f (x ) 的值域函数y ＝f (x ) 图象上的点集2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．3．空集是一个特殊的集合，要注意正确区分∅，{0}，{∅}三个符号的含义．∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．请做演练巩固提升1二、集合间的基本关系【例2－1】已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a2 014＋b 2 014＝__________.【例2－2】已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，函数y＝lg 2a －xx －a 2＋1的定义域为集合B ．求满足B ⊆A 的实数a 的取值范围．方法提炼1．解决有关集合相等的问题，应利用集合相等的定义，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程(组)，求解，还要注意检验．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n－2.3．通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．请做演练巩固提升2三、集合的基本运算【例3－1】(2012广东粤西北九校高三联考)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )．A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)【例3－2】设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围． 方法提炼1．集合运算的常用方法(1)集合元素离散时借助Venn 图运算；(2)集合元素连续时借助数轴运算，借助数轴运算时应注意端点值的取舍．2．常用重要结论(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．3．A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B ．请做演练巩固提升3,4忽视集合为空集的情况而失误【典例1】已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝( )．A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ．因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D ． 答案：D【典例2】若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为__________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}答题指导：1．典例1易出现忽略a ＝0的情况，典例2易出现不讨论B ＝∅的情况．2．在解决有关A ∩B ＝∅，A ∪B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．1．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且log x y ∈N *}，则集合C 中的元素个数是( )．A ．9B ．8C ．3D ．42．(2012课标全国高考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |－1＜x ＜1}，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅3．(2012广东高考)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( )．A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U4．(2012北京高考)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞)5．(2012山东济宁模拟)设集合P ＝{x |sin x ＝1，x ∈R }，Q ＝{x |cos x ＝－1，x ∈R }，S ＝{x |sin x ＋cos x ＝0，x ∈R }，则( )．A ．P ∩Q ＝SB ．P ∪Q ＝SC ．P ∪Q ∪S ＝RD ．(P ∩Q )⊆S参考答案基础梳理自测知识梳理1．确定性互异性无序性2．属于不属于∈∉3．列举法描述法4．N N*N＋Z Q R5．有限集无限集6．2n2n－1 2n－27．B⊆A8．{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A}基础自测1．D 解析：∵2 014＜211＝2 048，∴{2 014}⊆M，故选D.2．C 解析：易知∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.3．B 解析：在数轴上表示出两个集合，可以看到，当a＜1时，A∩B≠∅.故选B.4．D 解析：由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D.5．1 解析：∵A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，a2＋4＞3，∴a＋2＝3，a＝1.考点探究突破【例1－1】B 解析：由题意知，B中的元素有：2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，因此B＝{6,8,12}，故选B.【例1－2】1 解析：当a＋2＝1，即a＝－1时，(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同，∴不符合题意．当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时，①a＝0符合要求．②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意．当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意．②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意．综上所述，a＝0.∴2 014a＝1. 【例2－1】1 解析：由题意知b ＝0，因此集合化简为{a,0,1}＝{a 2，a,0}，因此a 2＝1，解得a ＝±1.经检验a ＝1不符合集合元素的互异性，故a ＝－1.故a 2 014＋b 2 014＝1.【例2－2】解：由于2a ≤a 2＋1，当2a ＝a 2＋1时，即a ＝1时，函数无意义，∴a ≠1，B ＝{x |2a ＜x ＜a 2＋1}．①当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，要使B ⊆A成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，即a ＝－1.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x <109，此时不满足B ⊆A ；③当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，要使B ⊆A成立，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，即1≤a ≤3.又a ≠1，故1＜a ≤3.综上所述，满足B ⊆A 的实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤3}∪{a |a ＝－1}．【例3－1】D 解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2＞0}＝{x |－1＜x ＜1}，则u ＝1－x 2∈(0,1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}， A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1,0]，故题图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)，选D.【例3－2】解：由x 2－3x ＋2＝0， 得x ＝1或x ＝2， 故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件， 综上，a 的值为－1或－3. (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ＜0，即a ＜－3时，B ＝∅，满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是(－∞，－3]．演练巩固提升 1．D2．B 解析：由题意可得，A ＝{x |－1＜x ＜2}， 而B ＝{x |－1＜x ＜1}，故B A .3．A 解析：∵M ＝{1,3,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}， ∴∁U M ＝{2,4,6}．4．D 解析：由题意得，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－23，B ＝{x |x ＜－1，或x＞3}，所以A ∩B ＝(3，＋∞)．5．D 解析：方法一：由sin x ＝1得，x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；由cos x ＝－1得，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以Q ＝{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }； 由sin x ＋cos x ＝0得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，可得x ＋π4＝k π，k ∈Z ，即x ＝k π－π4，k ∈Z ，所以S ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π4，k ∈Z .由于P ∩Q ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }＝∅，因此(P ∩Q )⊆S ，所以选项D 正确．方法二：P 表示终边落在y 轴非负半轴上角的集合，Q 表示终边落在x 轴非正半轴上角的集合，故P ∩Q ＝∅，所以选项D 正确．。

第一节集合1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、V enn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算续表1．(人教A版教材习题改编)若集合M＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆M B．a⊆MC．{a}∈M D．a∉M『解析』∵M＝{x∈N|x≤10}＝{0，1，2，3}，∴a∉M.『答案』 D2．(2013·慈溪模拟)设集合M＝{x|x＜2 013}，N＝{x|0＜x≤2 013}，则M∪N＝() A．M B．NC．{x|x≤2 013} D．{x|0＜x＜2 012}『解析』M∪N＝{x|x≤2 013}．『答案』 C3．(2012·广东高考)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，则∁U M＝() A．U B．{1，3，5}C．{3，5，6} D．{2，4，6}『解析』∵U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，2，4}，∴∁U M＝{3，5，6}．『答案』 C4．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P『解析』∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，因此∁R P⊆Q.『答案』 C5．若集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x≥a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值范围为() A．{a|a≤1} B．{a|a＜1}C．{a|a≥1} D．{a|a＞1}『解析』∵A∩B≠∅，∴a＜1，故选B.『答案』 B(1)(2013·洛阳模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)(2013·连云港模拟)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m ，－3}，若3∈A ，则m 的值为________．『思路点拨』 (1)先确定a 值，再确定b 值，注意元素的互异性． (2)根据元素与集合的关系知，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，注意元素的互异性． 『尝试解答』 (1)当a ＝0，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{1，2，6}； 当a ＝2，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{3，4，8}； 当a ＝5，b ＝1，2，6时，P ＋Q ＝{6，7，11}．∴当P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}时，P ＋Q ＝{1，2，3，4，6，7，8，11}． 故集合P ＋Q 有8个元素．(2)∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，解得m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ＝3，不满足集合元素的互异性，当m ＝－32时，A ＝{－3，12，3}满足题意．故m ＝－32. 『答案』 (1)B (2)－32,1．解答本题(1)时，若不按分类讨论计算，易漏掉元素，对于本题(2)易忽视元素的互异性而得到错误答案．2．用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其它的集合．3．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．(1)若定义：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．6(2)已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 『解析』 (1)∵A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， 又A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，∴A *B ＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D. (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a ＜0，∴a ＞98.『答案』 (1)D (2)(98，＋∞)(1)已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．『思路点拨』 (1)0∈{a ，ba ，1}，则b ＝0，1∈{a 2，a ，0}，则a 2＝1，a ≠1，从而a ，b 可求．(2)A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种情况求解． 『尝试解答』 (1)由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.(2)A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}， 又A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 『答案』 (1)－1 (2)(－∞，3』,1．解答本题(2)时应注意两点：一是A ∪B ＝A ⇒B ⊆A ；二是B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．集合A 中元素的个数记为n ，则它的子集的个数为2n ，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n －2.3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、V enn 图化抽象为直观．若集合M ＝{x |x 2＋x －6＝0}，N ＝{x |ax ＋2＝0，a ∈R }，且M ∩N ＝N ，则实数a 的取值集合是________．『解析』 因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M . 又M ＝{－3，2}， 若N ＝∅，则a ＝0.若N ≠∅，则N ＝{－3}或N ＝{2}．所以－3a ＋2＝0或2a ＋2＝0，解得a ＝23或a ＝－1.所以a 的取值集合是{－1，0，23}．『答案』 {－1，0，23}(1)(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2)∪(3，4)(2)(2012·天津高考)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．『思路点拨』 (1)先化简集合B ，求出∁R B ，再借助数轴求A ∩∁R B . (2)根据A ∩B 结构特征求解．『尝试解答』 (1)解x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3， ∴B ＝『－1，3』，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， ∴A ∩(∁R B )＝(3，4)．(2)∵A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}， 且A ∩B ＝{x |－1＜x ＜n }，∴m＝－1，n＝1.『答案』(1)B(2)－11,1．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．3．要注意六个关系式A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅、(∁U A)∪B ＝U的等价性．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ＝{0，1，3，5，8}，集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝() A．{5，8}B．{7，9}C．{0，1，3} D．{2，4，6}『解析』因为∁U A＝{2，4，6，7，9}，∁U B＝{0，1，3，7，9}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝{7，9}．『答案』 B一种方法正如数轴是研究实数的工具，Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．两个防范1.空集在解题时具有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误.(见学生用书第3页)从近两年课标区高考试题看，集合间的关系与集合的运算是高考命题的重点，常与函数、方程、不等式等知识结合命题，而以集合为背景的新定义题，则是高考命题的热点．创新探究之一以集合为背景的新定义题(2012·课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10『解析』因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，即x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，共有4个数；当y＝2时，x可取3，4，5，共有3个数；当y＝3时，x可取4，5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10，即集合B中的元素共有10个，故选D.『答案』 D创新点拨：(1)本题以元素与集合的关系为载体，用附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”定义以有序实数对(x，y)为元素的集合B，通过对新定义的理解与应用来考查阅读理解能力与知识迁移能力．(2)考查创新意识、化归转化能力，以及分类讨论思想．应对措施：(1)准确理解集合B是解决本题的关键，集合B中的元素是有序实数对(x，y)，并且要求x∈A，y∈A，x－y∈A，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素进行判断．(2)为化复杂为简单，以y取何值为标准分类，分别求值．1．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4『解析』由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．『答案』 D2．(2012·山东高考)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则(∁U A)∪B为()A．{1，2，4} B．{2，3，4}C．{0，2，4} D．{0，2，3，4}『解析』∵∁U A＝{0，4}，B＝{2，4}，∴(∁U A)∪B＝{0，2，4}．『答案』 C。

一．课题：集合（1）二．教学目标：1.理解集合的概念和性质．2.了解元素与集合的表示方法．3.熟记有关数集．4.培养学生认识事物的能力三．教学重、难点：集合概念、性质.四．教学过程：（一）复习：回顾初中代数中涉及“集合”提法（二）新课讲解：1.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）.进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.由此上述例中集合的元素是什么？（例（1）的元素为1、3、5、7，例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，例（3）的元素为满足不等式323x x +>+的实数x ，例（4）的元素为所有直角三角形，例（5）为高一·三班全体男同学.）请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.一般用大括号表示集合，则上几例可表示为……由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性.元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉（ ∉ 也可表示为 ）两种.请同学们熟记上述符号及其意义.∈请同学回答：已知a b c m ++=，2{|}A x ax bx c m =++=，判断1与A 的关系. [1A ∈]五．课堂练习：课本P 5，练习1、2补充练习：若23{1,3,1}m m m -∈-+，求m 。

[1m =-或2]m =-六．小结：1.集合的概念2.集合元素的三个特征：其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为：对于一个给定的集合，它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为：对于给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号.七．课后作业：课本P 7，习题1.1 第1题.。

高考数学一轮复习学案：1.1 集合及其运算（含答案）1.1集合及其运算集合及其运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言.图形语言.集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用韦恩Venn图表达集合的基本关系及集合的基本运算.集合的交.并.补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式.函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩Venn图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.1集合与元素1集合中元素的三个特征确定性.互异性.无序性2元素与集合的关系是属于或不属于，用符号或表示3集合的表示法列举法.描述法.图示法4常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中即若xA，则xBAB或BA真子集集合A 是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合ABx|xA且xB并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合ABx|xA或xB补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合UAx|xU且xA 知识拓展1若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1.2ABABAABB.3AUA；AUAU；UUAA.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1任何一个集合都至少有两个子集2x|yx21y|yx21x，y|yx213若x2,10,1，则x0,1.4x|x1t|t15对于任意两个集合A，B，关系ABAB恒成立6若ABAC，则BC.题组二教材改编2P11例9已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则UAB________.答案x|x是直角3P44A组T5已知集合Ax，y|x2y21，Bx，y|yx，则AB中元素的个数为________答案2解析集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线yx，圆x2y21与直线yx相交于两点22，22，22，22，则AB中有两个元素题组三易错自纠4若集合A1,1，B0,2，则集合z|zxy，xA，yB中的元素的个数为A5B4C3D2答案C解析当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z1；当x1，y0时，z1；当x1，y2时，z3，故集合z|zxy，xA，yB中的元素个数为3，故选C.5已知集合Ax|x22x30，Bx|x1答案D解析因为AB，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a1.2集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为A0B1C2D4答案D解析由题意可得a，a24,16，a4.3设集合A0，4，Bx|x22a1xa210，xR若ABB，则实数a的取值范围是______答案，11解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况当BA时，B0，4，由此可知，0和4是方程x22a1xa210的两个根，由根与系数的关系，得4a124a210，2a14，a210，解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4a124a210，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4a124a210，解得a1.综上所述，所求实数a的取值范围是，11思维升华1一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况2运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化跟踪训练1xx天津设集合A1,2,6，B2,4，CxR|1x5，则ABC等于A2B1,2,4C1,2,4,6DxR|1x5答案B解析AB1,2,4,6又CxR|1x5，则ABC1,2,4，故选B.2已知集合Ax|x2x120，Bx|2m1xm1，且ABB，则实数m的取值范围为A1,2B1,3C2，D1，答案D解析由x2x120，得x3x40，即3x4，所以Ax|3x4又ABB，所以BA.当B时，有m12m1，解得m2；当B时，有32m1，m14，2m1m1，解得1m2.综上，m的取值范围为1，题型四题型四集合的新定义问题集合的新定义问题典例已知集合Ax，y|x2y21，x，yZ，Bx，y||x|2，|y|2，x，yZ，定义集合ABx1x2，y1y2|x1，y1A，x2，y2B，则AB中元素的个数为A77B49C45D30答案C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合x，y||x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点3，3，3,3，3，3，3,3之外的所有整点即横坐标与纵坐标都为整数的点，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故AB 中元素的个数为45.故选C.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点1紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中2用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素跟踪训练定义一种新的集合运算ABx|xA，且xB若集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则按运算，BA等于Ax|3x4Bx|3x4Cx|3x4Dx|2x4答案B解析Ax|1x3，Bx|2x4，由题意知，BAx|xB，且xAx|3x4.。

第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA⊆B,∃x0∈B,x0∉AAB或B⫌A 相等集合A,B的元素完全A⊆B,B⊆A空集任何元素的集合,空集∀x,x∉⌀,⌀是任何集合的子集⌀⊆A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)= ;∁U(∁U A)= ;∁U(A∪B)=(∁U A)(∁U B);∁U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则A⊆C(真子集也满足);④若A⊆B,则有A=⌀和A≠⌀两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(∁U A)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,√m},B={1,m},若B⊆A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A⫋B,则a的取值范围为.探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N⊆M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.=1,则集合A,B间的关系为变式题 (1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)mm()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.A∩B=⌀(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=⌀,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}C.A∪(∁R B)=RD.(∁R A)∩B={x|0<x<1}(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(∁U A)∩B=⌀,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1∉A且x+1∉A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b={m+m,m与m的奇偶性相同,m×m,m与m的奇偶性不同,集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系:(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算:(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)确定性 互异性 (2)∈ ∉ (3)描述法 图示法 (4)N N *或N + Z Q R 2.任意一个元素 B ⊇A 至少 ⫋ 相同 A=B 不含 3.且 且 A ∩B 或 或 A ∪B 不 ∉ ∁U A 4.(1)B ∪A A (2)⊆ (3)⌀ A ∩ (∁U A ) (∁U B ) 对点演练1.4或1 [解析] 因为-4∈A ,所以x 2-5x=-4,解得x=1或x=4. 2.4 [解析] 因为(A ∪B )⊇B ,A={a ,b },所以满足条件的集合B 可以是{c },{a ,c },{b ,c },{a ,b ,c },所以满足条件的集合B 有4个.3.(-∞,0)∪[1,+∞) [解析] 因为∁U A={x|x>2或x<0},B={y|1≤y ≤3},所以(∁U A )∪B=(-∞,0)∪[1,+∞).4.1 [解析] 由题意可得1∈B ,又a 2+2≥2,故a=1,此时B={1,3},符合题意.5.0或3 [解析] 因为B ⊆A ,所以m=3或m=√m ,即m=3或m=0或m=1,根据集合元素的互异性可知,m ≠1,所以m=0或3.6.4 [解析] 依题意得M={(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M ∩N={(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)},所以M ∩N 中有4个元素.7.0或1或-1 [解析] 易得M={a }.∵M ∩N=N ,∴N ⊆M ,∴N=⌀或N=M ,∴a=0或a=±1. 8.2≤a ≤4 [解析] 由|x-a|<1得-1<x-a<1,∴a -1<x<a+1,由A ⫋B 得{m -1≥1,m +1<5或{m -1>1,m +1≤5,∴2≤a ≤4.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)根据列举法,确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9∈A ,所以依据2a-1=9或a 2=9分类求解,但要注意集合元素的互异性.(1)A (2)-3 [解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.(2)∵集合A ,B 中有唯一的公共元素9,∴9∈A.若2a-1=9,即a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},则集合A ,B 中有两个公共元素-4,9,与已知矛盾,舍去.若a 2=9,则a=±3,当a=3时,A={-4,9,5},B={-2,-2,9},B 中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={9,-8,4},符合题意. 综上所述,a=-3.变式题 (1)C (2)2 [解析] (1)当k=0时,x=-1,所以-1∈A ,所以A 错误;令-11=3k-1,得k=-103∉Z,所以-11∉A ,所以B 错误;令-34=3k-1,得k=-11,所以-34∈A ,所以D 错误;因为k ∈Z,所以k 2∈Z,则3k 2-1∈A ,所以C 正确.(2)由题知,若3-m=2,则m=1,此时集合B 不符合元素的互异性,故m ≠1; 若3-m=1,则m=2,符合题意;若3-m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2.例2 [思路点拨] (1)先求出集合M={x|x 2=1}={-1,1},当a=0和a ≠0时,分析集合N ,再根据集合M ,N 的关系求a ;(2)把集合对应的函数化简,求出集合M ,N ,即可得M ,N 的关系. (1)D (2)A [解析] (1)∵集合M={x|x 2=1}={-1,1},N={x|ax=1},N ⊆M ,∴当a=0时,N=⌀,成立;当a ≠0时,N={1m },则1m =-1或1m =1, 解得a=-1或a=1.综上,实数a 的取值集合为{1,-1,0}.故选D .(2)集合M={x|x=5-4a+a 2,a ∈R}={x|x=(a-2)2+1,a ∈R}={x|x ≥1},N={y|y=4b 2+4b+2,b ∈R}={y|y=(2b+1)2+1,b ∈R}={y|y ≥1},∴M=N.变式题 (1)B (2)a<-12或a>1 [解析] (1)由题意得,集合A={(x ,y )|y=x }表示直线y=x 上的所有点,集合B=(x ,y )mm =1表示直线y=x 上除点(0,0)外的所有点,所以B ⫋A.故选B .(2)当N=⌀时,由a>3a+1得a<-12,满足M ∩N=⌀;当N ≠⌀时,由M ∩N=⌀得{1<m ,m ≤3m +1,解得a>1.所以a 的取值范围是a<-12或a>1.例3[思路点拨] (1)先求出∁R A,∁R B,再判断各选项是否正确;(2)先求出A,B中不等式的解集,确定出集合A,B,再求出两集合的并集即可.(1)C(2)A[解析] (1)∵集合A={x|x<1},B={x|e x<1}={x|x<0},∴∁R B={x|x≥0},∁R A={x|x≥1}.易知A∩B={x|x<0},故A错误;A∪B={x|x<1},故B错误;A∪(∁R B)=R,故C正确;(∁R A)∩B=⌀,故D错误.故选C.(2)集合A={x|2x≤1}={x|x≤0},B={x|ln x<1}={x|0<x<e},∴A∪B={x|x<e},故选A.例4[思路点拨] (1)分别求出集合A和B,根据A∩B中有三个元素,求出实数m的取值范围;(2)根据补集、交集和空集的定义即可得出p满足的条件.(1)C(2)B[解析] (1)集合A={x∈Z|x2-4x-5<0}={0,1,2,3,4},B={x|4x>2m}={m|m>m 2},∵A∩B中有三个元素,∴1≤m2<2,解得2≤m<4,∴实数m的取值范围是[2,4).(2)∵全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},∴∁U A={x|x≤1},又(∁U A)∩B=⌀,∴p≥1.例5[思路点拨] (1)按照S的无“孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论,可得出结果;(2)根据定义分情况讨论满足条件的点(a,b)的个数,从而得出M中的元素个数.(1)D(2)41[解析] (1)根据“孤立元素”的定义知,单元素集合都含“孤立元素”.S的无“孤立元素”且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含4个元素的子集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无“孤立元素”且含5个元素的子集为{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},共4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},共1个.故S的无“孤立元素”的非空子集有5+4+6+4+1=20(个).(2)由a*b=36,a,b∈N*知,若a和b一奇一偶,则a×b=36,满足此条件的有1×36=3×12=4×9,故点(a,b)有6个;若a和b同奇同偶,则a+b=36,满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18,共18组, 故点(a,b)有35个.所以M中的元素个数为41.【备选理由】例1考查对两集合之间关系以及元素与集合之间关系的理解;例2考查集合的运算及集合子集个数的计算;例3考查集合的运算;例4为根据集合运算求参数问题,重点关注区间端点的取值情况.例1[配合例2使用] [2018·陕西黄陵中学三模]已知集合M={x|y=(-x2+2x+3)12,x∈N},Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},则下列运算正确的是 ()A.M∩Q=⌀B.M∪Q=ZC.M∪Q=QD.M∩Q=Q[解析] C由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,∵x∈N,∴x=0,1,2,∴M={0,1,2}.∵Q={z|z=x+y,x∈M,y∈M},∴Q={0,1,2,3,4},∴M∩Q=M,M∪Q=Q,故选C.例2[配合例3使用] [2018·佛山南海中学模拟]已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},B={x|-1≤x≤2},则A∩B的子集的个数为()A.3B.4C.7D.8[解析] D∵A={x∈N|x2-2x≤0}={0,1,2},B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={0,1,2},∴A∩B的子集的个数为23=8,故选D.例3[配合例3使用] 设集合A={x||x-1|≥2},B={x|y=lg(-x-3)},则A∩B=() A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)C.(-∞,-3)D.(-∞,-3)∪[3,+∞)[解析] C由|x-1|≥2,得x-1≥2或x-1≤-2,即x≥3或x≤-1.由-x-3>0,得x<-3,所以A∩B={x|x≥3或x≤-1}∩{x|x<-3}={x|x<-3},故选C.例4 [配合例4使用] 已知集合A={x|y=√4-m 2},B={x|a ≤x ≤a+1},若A ∪B=A ,则实数a 的取值范围为 ( )A .(-∞,-3]∪[2,+∞)B .[-1,2]C .[-2,1]D .[2,+∞)[解析] C 要使函数y=√4-m 2有意义,则4-x 2≥0,据此可得A={x|-2≤x ≤2}.若A ∪B=A ,则集合B 是集合A 的子集,据此有{m ≥-2,m +1≤2,求解不等式组可得,实数a 的取值范围为[-2,1].。

课题第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教学目标：知识与技能：了解集合的含义，元素与集合的属于关系，理解集合之间的包含与相等关系，理解子集与补集的关系。

过程与方法：会求两个集合的交，并，补集，能使用韦恩图表达集合的关系及运算。

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验集合的具体应用，应用集合解决实际问题的方法。

教学重点：集合的交，并，补关系及运算教学难点：使用韦恩图表达集合的关系及运算教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.集合的含义与表示方法2.集合间的基本关系3.集合的基本运算二、例题讲解例1判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2}，则A=B=C.( )(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.( )(3)A∩B= 的充要条件是A=B= .( )(4)A∩B=A⇔A⊆B.( )(5)A∪B=A⇔B⊆A.( )(6) (A∪B)=( A)∩( B).( )【解析】(1)错误．集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-∞,+∞)；集合B是函数y=x2的值域，即B=［0,+∞)；集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等．(2)正确．空集的子集个数为1个，即；含有1个元素的集合{a1}的子集个数为2个，即 ,{a1}；含有2个元素的集合{a1,a2}的子集个数为4个，即 ,{a1},{a2},{a1,a2}……归纳可得含有n个元素的集合的子集个数为2n个，故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2．(3)错误． A∩B= 时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定是A=B= ．(4)正确．当A⊆B时，显然A∩B=A；当A∩B=A时，对任意x∈A，得x∈A∩B，得x∈B，即x∈A⇒x∈B，故A⊆B．(5)正确．当B⊆A时，显然A∪B=A；当A∪B=A时，对任意x∈B，则x∈A∪B，得x∈A，即x∈B⇒x∈A，即B⊆A．(6)正确．设x∈ (A∪B)，则x (A∪B)，得x A且x B，即x∈ A且x∈ B，即x∈( A)∩( B)，即 (A∪B)⊆( A)∩( B)；反之，当x∈( A)∩( B)时，得x∈ A且x∈ B得x A且x B，得x (A∪B)，得x∈ (A∪B)，即 (A∪B) ( A)∩( B)．根据集合相等的定义得 (A∪B)=( A)∩( B)．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√考向 1 集合的基本概念∈A},则B中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)10(2)已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足x∈A,y∈A,x-y∈A的有序实数对，根据要求分类列举求解．(2)据1∈A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数．【规范解答】(1)选D.方法：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=( 2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10．(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A={1,0,1}，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A={2,1,3}或A={0,1,1}，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A={1,0,1}或A={0,1,1}，都与集合元素的互异性相矛盾．综上可知，只有a=0符合要求，故集合B中只有一个元素．【互动探究】在本例(1)的集合B中如果去掉x-y∈A的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？5×5=25个元素【变式训练】定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B={0，2，4}，故集合A*B中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2014·三明模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(2)若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是.【思路点拨】(1)求出A,B中的元素,由A⊆C⊆B,知集合C的个数由B中有A中没有的元素个数决定.(2)A∪B=A∩B⇔A=B，得出关于a,b的方程组，解出a,b，再根据集合元素的性质加以检验得出结论．【规范解答】(1)选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},方法一:则C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.(2)方法一：因为A∪B=A∩B,所以A=B，所以{1,b}={a2,ab}，所以解得反代回A,B集合知，只有适合，所以即实数a的取值集合是{-1}.【变式训练】(1)已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( ) (A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选D．M∩N=N⇔N⊆M．当a=0时，N= ，符合要求，当a≠0时，只要即a=±1即可．(2)设集合A={x,y,x+y},B={0,x2,xy}，若A=B，则实数对(x,y)的取值集合是_________.【解析】由A=B，且0∈B，故集合B中的元素x2≠0,xy≠0，故x≠0,y≠0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，{x,y}={x2,xy}，答案：{(1,-1),(-1,1)}考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012·福建高考)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是( )(A)N⊆M (B)M∪N=M (C)M∩N=N (D)M∩N={2}(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}【思路点拨】(1)根据集合M，N中元素的特点逐一验证.(2)可以根据补集定义求出 A, B，再根据交集定义得出结论，还可以利用Venn图解决．【规范解答】(1)选D.显然M∩N={2}. (2)选B.方法：集合( A)∩( B)= (A∪B)={7,9}．如图所示：【拓展提升】小结：集合的运算律(1)交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C).(3)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).【变式训练】(1)已知集合M={y|y=2x}，集合N={x|y=lg(2x-x2)}，则M∩N=( )(A)(0,2) (B)(2,+∞)（C）［0,+∞］ (D)(-∞,0)∪(2,+∞)【解析】选A. 集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+∞)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x2＞0，解得N=(0,2)，所以M∩N=(0,2).三，布置作业思考辨析，考点自测，知能巩固中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

1.1集合的概念与运算考情分析：1．考查集合中元素的互异性．2．求几个集合的交、并、补集．基础知识1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.注意事项：(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．典型例题题型一：集合的概念【例1】1已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D【解析】5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个. 【变式1】 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋2}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解析 若a ＋2＝3，a ＝1，检验此时A ＝{－1,1,3}，B ＝{3,5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．若a 2＋2＝3，则a ＝±1.当a ＝－1时，B ＝{1,3}此时A ∩B ＝{1,3}不合题意，故a ＝1. 答案 1题型二：集合的基本运算若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12(a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．【变式2】 (2013江西模拟)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1} 解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． 答案 B题型三：集合间的基本关系【例3】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，得m ≤2，当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上：m ≤4.【变式3】 (2013江苏模拟)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ⎪⎪⎪ m2≤x －22＋y 2≤m 2，⎭⎬⎫x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾；②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2 巩固提高：1．设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )． A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}解析 B ＝{x |3x －7≥8－2x }＝{x |x ≥3}，∴结合数轴得：A ∪B ＝{x |x ≥2}． 答案 D2．若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )． A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 解析 ∵∁R P ＝{x |x ≥1}∴∁R P ⊆Q . 答案 C3．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )．A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i ∈S解析 ∵i 2＝－1，∴－1∈S ，故选B. 答案 B4．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]． 答案 C5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________. 解析 A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2. 答案 2。

一轮复习学案 §1.1.集合的概念 ☆学习目标： 1．理解集合、子集的概念,元素的性质，集合的表示方法，集合语言、思想； 2．能利用集合、元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．☻知识梳理：1. 集合：某些指定的对象集在一起成为一个集合．10. 集合的元素：集合中的对象称元素， ① 若a 是集A 的元素，记作a A ；若b 不是集合A 的元素，记作b A ；② 集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A 是一给定的集，x 是某一具体对象，则a A ∈或a A ∉两者 成立；互异性：同一集合中不应 同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合与元素的排列顺序 ．20. 集合的表示：一个集合可用列举法、描述法或图示法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；如：描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内；如：图示法：如：30.常用数集及其记法：自然数集，记 ；正整数集，记 ；整数集，记 ； 有理数集，记 ；实数集， 记 ；复数集，记 ．2. 子集：若集A 的任一元素都是集B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A B ；10. 集合相等：两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A B ； 20. 真子集：若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；30. 性质：① A A ； Φ A ； ② 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A C ； ③ 若Card A n =，则集合A 有 个子集（其中有 个真子集）．3．全集与补集：10. 包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； 20. 若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； 30. 简单性质：①S C (S C A ) A ； ②S C S= ，ΦS C = ．☆ 案例分析：例1.(1) (08湖北)若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则 ( )A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件(2) (08陕西)已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，， 则集合()U A B ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 (3) (08山东)满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a = ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(4) 已知集合P={(x ，y)||x|+|y|=1}，Q={(x ，y)|x 2+y 2≤1}，则 （ ）A.P ⊆QB.P=QC.P ⊇QD.P ∩Q=Q例2. 已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值.例3. ①若{}2|10,A x x ax x R =++=∈， {}1,2B =，且A B A = ，求a 的范围.②设{}2120P x x x =+-≥，{}132Q x m x m =-≤≤-，若Q P P = ，求m 的范围.例4. 已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}, 如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是 否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。