响水县南河中学九年级第二轮专题训练讲学稿 主备人：单东升
第 1 页 共 2 页 lBA 中考热点：线段和（差）最值问题
专题精讲：
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归于几何模型：
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．
一．求两线段和的最小值问题 (运用三角形两边之和大于第三边，也可归入“两点之间的连线中，线段最短”)
几何模型： 如图，A、B是直线l同旁的两个定点．在
直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．
模型应用：
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ．
2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．
5．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线交y轴于点C，
问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第1题 第2题 第3题 第4题 响水县南河中学九年级第二轮专题训练讲学稿 主备人：单东升
一次函数的应用—线段和差、存在性问题
一、一次函数线段和差最值问题
【知识点】
1. 最短路径原理
【原理 1】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为
P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为 AB．
【原理 2】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．
两点之间线段最短．
PA+PB 最小值为A B＇．
【原理 3】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使
作直线 AB，与直线 l
的交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB . PBPA－ 2. 具体题型：
（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式；
（2）求三角形周长最小值；
（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”
（一）一次函数线段和最小值问题
【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy中，y轴上有一点P，它到点(4,3)A，(3,1)B的距离
之和最小，则点P的坐标是( )
A．(0,0) B．4(0,)7 C．5(0,)7 D．4(0,)5
的值最大 .
【原理 4】 作法 作图 原理
在直线 l 上求一点 P，使的值最大 . 作 B 关于 l 的对称点
B＇作直线 A B＇，与 l
交点即为 P．
三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇ . PBPA－PBPA－PBPA－ ★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A，点(2,1)B，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是 ．
★★☆练习2．如图，直线34120xy与x轴、y轴分别交于点B、A两点，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD．若点P为x轴上的一个动点，求当PCPD的长最小时点P的坐标．
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 初中几何中线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）
一）、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：
（2）点A、B在直线同侧：
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧： P mAB mAB mAB mABP mABA' n mABQP
n
mABP'Q' n mABQP n
mABB' n mAB
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
填空：最短周长=________________
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
二）、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动： QP n mABB'A'mnABEDmnABA'B'mnAPQmnAA"A'4 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、两点在直线两侧：
2、两点在直线同侧：
（二）动点在圆上运动
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）
1、点与圆在直线两侧：
2、点与圆在直线同侧：
m
nAP m nAB m nAP m nAA'B mOAP'P
mOBAB' mOAP mOABA'
三）、已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
1 概述
由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学
中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实
际意义，形式变化多样，做法灵活。针对此类问
题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通
过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的
已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条
线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短
或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代
数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变
量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元
函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段
是建立函数模型。这两种方法各有优点，可配合使
用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化
折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。第二
种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确
定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，
然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的
问题使用较多。介于篇幅，本文只对该问题用几何
方法加以研究。
2 类型一：两点在直线异侧
如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB
上一点P，使得PC+PD的和最小。因为连结两点的所
有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。此
类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线
异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。
图13 类型二：两点在直线同侧
图2如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB
上一点P，使得PC+PD的和最小。
类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此
这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。作
C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的
交点即为所求的点P。这是一道典型的化折为直的题
目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两
点之间线段最短即可确定P的位置。类型二是类型一有关动点的线段和的最小值问题
陈 刚（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）
摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。 关键词：动点；对称点；化折为直；垂线段中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）
