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线段和的最小值问题

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1 专题复习：《线段和的最小值问题》教学案

一、教学目标：

知识与技能：利用“两点之间线段最短”解决线段和最小值问题

过程与方法：通过问题解决培养学生转化问题能力

情感态度与价值观：数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣

二、教学重点：利用轴对称、平移的方法解决线段和最小值问题

三、教学难点：如何把具体问题转化为求线段和最小值的基本模型

四、教学方法：自主探究、合作交流

五、教学过程

（一）、回忆

八上数学课本P75页改编题：

有一条道路和两个养鸡场，把这条道路看成一条直线l，两个养鸡场分别看成点A与点B，点A、B位于直线l的异侧，现要在道路旁建一座冷藏库，冷藏库应建在何处，可使两个养鸡场到该冷藏库的距离和最短？若点A、B位于直线l的同侧呢？

(二)、巧妙建模 多题归一

1、如图，等边△ABC中，AB=1，AD⊥BC, E为AB的中点，P为线段AD上任意一点，则PE+PB的最小值是 。

2、如图，已知抛物线243yxx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P为对称轴上一动点，则△APC周长的最小值是 。

（第1题图） （第2题图）

(三)、能力提升

变式1：

3、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，P、E分别是AD和AB上的动点，则PE+PB的最小值是____．

变式2：

4、如图，在直角坐标系中，有四个点A（-4,1）， B（-2，3），C（0,n），D（m,0）当四边形ABCD的周长最短时，求m、n的值. 2 变式3：

5、如图，在直角坐标系中，有四个点A（-4,1) ，B（-2,3）,C（a，0）,D（a+3，0）当以A、B、 C、D为顶点的四边形周长最短时，求a的值.

（第3题图） （第4题图 ） （第5题图）

（四）课堂小结：本节课的收获

（五）链接中考

1、(2015·内江) 如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为 ．

4、（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．

3、(2015.德州）已知抛物线y=－mx2+4x+2m与x轴交于点A(α，0)，B(β，0)，且

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

4、（2015.杭州）设抛物线

与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）若点P、Q位于抛物线对称轴上，且 求四边形ABQP周长的最小值。

33PQ3(1)(2)2yxx

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线段和最小值问题整理

线段和最小值问题整理

线段和最小值问题是一类数学问题，通常涉及到在给定的线段上找到使某个函数取得最小值的点。这类问题在数学建模、优化问题和几何学中都有应用。

下面是对线段和最小值问题的整理：

1. 定义线段：线段是由两个端点确定的一段连续的直线部分。

2. 定义函数：线段和最小值问题通常需要定义一个函数，该函数将线段上的点映射到一个实数上。

3. 最小值问题：线段和最小值问题的目标是找到线段上使函数取得最小值的点。

4. 解决方法：解决线段和最小值问题的方法通常包括数学分析和优化算法。

a. 数学分析：通过分析函数的性质、导数和极值点等，可以找到函数取得最小值的点。

b. 优化算法：如果函数较为复杂或者无法通过数学分析得到解析解，可以使用优化算法，如梯度下降法、遗传算法等，来搜索最小值点。

5. 约束条件：线段和最小值问题中，通常会存在一些约束条件，如线段的端点范围、函数的可行域等。这些约束条件需要考虑在解决问题时。

线段和最小值问题的具体形式和解决方法会因具体情况而异，可以根据具体问题的特点来选择合适的方法进行求解。

两定点到圆上一动点的线段和最小值

两定点到圆上一动点的线段和最小值

两定点到圆上一动点的线段和最小值

1. 引言

大家好！今天我们聊聊一个有趣的几何问题，那就是“两定点到圆上一动点的线段和的最小值”。这个问题看似复杂，但其实非常有趣。让我们一起揭开这个谜团，看看怎么找到这个最小值吧！

2. 问题背景

2.1. 定义问题

设想我们有一个圆和两个定点A和B。在这个圆上，有一个点P在移动，我们关心的是，从点A到点P的线段长度加上从点P到点B的线段长度的和，也就是AP + PB的和。这种情况下，我们想找出这个和的最小值。

2.2. 问题的意义

这个问题在现实生活中其实有点像“走最短的路”。比如你在城市里走路，要从家到公司，你会选择最短的路径，减少走的距离。在几何中，这个最小值也就是我们要寻找的目标。

3. 方法探讨

3.1. 对称性分析

先来简单理解一下，对称性是如何帮助我们解决问题的。我们可以把点A和点B看成两个固定的点，圆上的点P可以移动。如果我们把圆外的点A和B连接起来，形成一条线段，然后再考虑圆的对称性，这样我们可以发现，从点P到A和B的总距离，其实可以用镜像反射的技巧来简化。

3.2. 反射法

来个小窍门，设想把圆以点P为对称中心，进行镜像反射。这样，圆上的点P变成了圆外的点P'。这时候，我们可以得到从点A到点P加上从点P到点B的最短路径等于从点A到点P'的直线距离。听起来是不是很简单？

4. 解决过程

4.1. 几何直观

好啦，现在我们开始具体计算了。通过反射，我们就可以知道最短路径的长度是线段AP' + P'B。因为线段AP'是直线段，而圆上的任何点到这个直线段的距离都不会比直线段的长度长。所以最短的总和就是AP' + P'B，也就是我们最初所说的最小值。

4.2. 代数验证

为了更加确信，我们也可以通过代数方法来验证一下。假设圆心为O，半径为r，那么AP + PB的最小值就等于A和B之间的距离。这个距离可以通过简单的几何公式或者代数运算得出，结果是最小值等于线段AB的长度。就这么简单，点P的移动只不过是影响路径的一部分，但不会改变最终的最小值。

有关动点的线段和的最小值问题

有关动点的线段和的最小值问题

1　概述

由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学

中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实

际意义，形式变化多样，做法灵活。针对此类问

题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通

过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的

已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条

线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短

或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代

数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变

量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元

函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段

是建立函数模型。这两种方法各有优点，可配合使

用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化

折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。第二

种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确

定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，

然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的

问题使用较多。介于篇幅，本文只对该问题用几何

方法加以研究。

2　类型一：两点在直线异侧

如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB

上一点P，使得PC+PD的和最小。因为连结两点的所

有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。此

类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线

异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。

图13　类型二：两点在直线同侧

图2如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB

上一点P，使得PC+PD的和最小。

类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此

这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。作

C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的

交点即为所求的点P。这是一道典型的化折为直的题

目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两

点之间线段最短即可确定P的位置。类型二是类型一有关动点的线段和的最小值问题

陈　刚（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）

摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。 关键词：动点；对称点；化折为直；垂线段中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）

求线段之和的最小值问题的常用方法

求线段之和的最小值问题的常用方法

求线段之和的最小值问题的常用方法

嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！

你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到

B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。

先来说说对称法吧。这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。

再讲讲三角形三边关系法。这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！

还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。

咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。 有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。

哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？

总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！