线段和差最值问题练习题

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中考二轮复习之线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。

填空题：

1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是 ．

2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．

3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若PA＋PB长度最小，则最小值为 ．若PA—PB长度最大，则最大值为 ．

6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．

7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为

8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 ．

综合题：

1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

第1题 第2题

第3题 第4题 学习必备 欢迎下载

中考数学复习线段和差最值系列之阿氏圆问题

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．

所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．

如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．

下给出证明

法一：首先了解两个定理

（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则ABDBACDC．

证明：ABDACDSBDSCD，ABDACDSABDEABSACDFAC，即ABDBACDC

（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则ABDBACDC．

证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DBABDEAE，即ABDBACDC．

接下来开始证明步骤： ABPOFEDCBAABCDE

如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MAPAkMBPB，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；

作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NAPAkNBPB，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；

又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．

法二：建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：

222222222222222222222122102201xmykxmyxmykxmkykxymkmxkmmkmxyxmk

线段差最大值问题

一 预备知识

1. 三角任意两边之差＜第三边

2. 成轴对称的两点（A和A1）与对称轴上任意一点（P）的连线段长度相等（PA=PA1）

二 引入

如图1，已知两定点A和B,和直线m，试在m上确定一点P，使得|PA-PB|最大

图1

解决问题：

如图2，连接AB交m于P`，在▲ABP中，由三边关系可知

|PA-PB|

在线段BP`上可知

|P`A-P`B|=AB

故当P点处在P`点时

|PA-PB|max=AB

图

2 变式：如图3，已知两定点A和B,和直线m，试在m上确定一点P，使得|PA-PB|最大

图3

解决问题：

【千万不可直接连接AB】此题和上题相比，AB两点处在m的两侧，应先作其中一个点的对

称点，此时就会变回上题的情况

如图4，作A关于m的对称点A`，连接A`B交m于点P`，则P`就是要求点

图4

三 总结

条件：两个定点（A和B）,一个动点（P，在直线上运动）。求|PA-PB|的最大值

方法：两定点在直线同侧时，连接两定点，和直线的交点就是要求点

且|PA-PB|最大值极为AB

两定点在直线异侧时，先作其中一个定点的对称点，再做上一步

简记之【同侧连线差最大】

四 真题练习

1.如图5，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−13𝑥+2与x轴交于点A和点B，与轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）. （1）求的值和抛物线的顶点坐标；a=−19 （2）分别连接AC、BC.在轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等； （3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|.探究：是否存在一点N，使的值最大？若存在，请直接写出．．．．点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由. 图5 问题解答： 定点A和C在对称轴的两侧，故先作A的对称点B，再连接BC交对称轴于N点 ∵B（3，0），C（0，2） ∴𝑦𝐵𝐶=−23𝑥+2 对称轴为𝑥=−3

当𝑥=−3时，𝑦=4 ∴N（-3，4）

二次函数与线段和差问题

例题精讲：如图抛物线y=ax2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0与x轴交于A,B（1,0），与y轴交于点C,直线y=12𝑥−2经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,

（1） 求抛物线解析式。

（2） 求顶点D的坐标与对称轴l.

（3） 设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4） 设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5） 在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6） 在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

（7） 若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d

①求d关于h的函数关系式

②求d的最大值及此时H点的坐标

（8） 设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？

1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线412xy与轴相交于点A，点B与点O关于点A对称。

（1）填空：点B的坐标是 。

（2）过点的直线（其中）与轴相交于点C，过点C作直线平行于轴，P是直线上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k 的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.