导数典型例题讲解

（二）典型例题讲解：

1．导数的概念

例1．已知曲线y=上的一点P(0, 0)，求过点P的切线方程·

解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴

（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.

例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·

解析：∵ y=x2, ∴ y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2 =4x＋(x)2

∴ k＝.

∴ 曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.

例3．物体的运动方程是 S＝1＋t＋t2，其中 S的单位是米，t的单位是

秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的

平均速度．

解析：∵ S=1+t+t2, ∴ S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,

∴, 即, ∴ ,

即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒

∴ v(t)=S’＝

即v(5)＝2×5＋1＝11.

∴ 物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．例4．利用导数的定义求函数y=在x=1处的导数。

解析：y=, ∴ =,

∴ =.

例5．已知函数f(x)=, 求函数f(x)在点x＝0处的导数

解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=,

=, ==0, 即 f ’(0)＝0.

∴ 函数f(x)在x＝0处导数为0.

例6．已知函数f(x)=, 判断f(x)在x＝1处是否可导？

解析：f(1)=1, ,

, ∵,

∴ 函数y=f(x)在x＝1处不可导．

例7．已知函数 y＝2x3＋3，求 y’.

解析：∵ y=2x3+3, ∴ y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,

∴ =6x2+6x·x+2(x)2, ∴ y’==6x2.

例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线

方程和法线方程．

解析：∵ x=1, ∴ y=5, P点的坐标为(1, 5),

利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,

∴ y’＝6, ∴ 曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)

即6x－y－1＝0, 又曲线在P点处法线的斜率为－，

∴ 曲线在P点处法线方程为y－5＝－( x－1)，即 6y＋x－31＝0.

例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？

解析：∵ y’==,

令2x＝4．∴ x=2, y＝4, 即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.

例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值

(1) ； (2) .

解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x0)定义中的极限形式。

(1) =,

（其中－m·x0）

(2) =.

（其中）

例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且，求f ’(1).

解析：∵ f(x)在x＝1处连续，∴ f(1).

而又×2=0.

∴ f(1)=0.

∴ f ’(1)=（将x换成x－1）

即f ’(1)＝2.

例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处

与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．

解析：由y’＝=,

由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切, ∴ 2a×2＋b＝1， 又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a＋b＋c=1， 4a＋2b＋c＝－1，

由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.

例13．设曲线y＝sinx在点A(，)处切线倾斜角为θ，求tan(－θ)的值.

解析：∵ y=sinx，∴ y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+)sin,

∴ y’==.

即y’＝(sinx)’＝cosx,

令在A点处切线斜率为k=cos=, ∴ tanθ=, θ∈(0, π),

∴ tan(－θ)＝ H，

例14．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f

’(x)

解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0), 又f(0)≠0

∴ f(0)=1

由f ’(0)=1即,

∴ f ’(x)＝

.

即f ’(x)=f(x)成立．

2．几种常见函数的导数

例1．已知f(x)=x3，求f ’(x) ，f ’(1)，(f(1))’，f ’( 0.5)

解析：f(x)=x3, ∴ f ’(x)＝3x2, f ’(1)=3,

f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f(1))’=(1)’=0.

说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数

的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求

导函数值．

例2．已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4)，求 ① 割线AB的斜率；②在

[1， 1＋x]内的平均变化率；③ 过点A处的切线斜率kAT；④ 点A处的切

线方程．

解析：① kAB＝＝3；

② 平均变化率,

③ y’＝2x , ∴ y’|x＝1＝2. 即点A处的切线斜率为KAT＝2.

④ 点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.

说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜

率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之

间的关系

y’=.

例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．

解析：解法一：f(x)=, y=f(1+x)－f(1)=,

∴ y’|x=1==.

即在点P处斜率为k＝－1，∴ 倾斜角为135°，

法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.

解法(二)：y=f(x)＝，y’=f ’(x)=, ∴ y’|x=1＝－1.

即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法(一)

说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种

用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．

例4．已知曲线y=上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程.

解析：由y=, ∴ y’=, 在x=0处导数不存在，由图形知

过P点的切线方程是x=0.

例5．设曲线y＝cosx在A(，)点处的切线倾斜角为θ，求cot(－θ)的值

解析：y=cosx, y’=－sinx, x=时, k=－sin=－, ∴ tanθ=－，

∴ cot(－θ)=.

例6．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．

解析：∵ y=x3, ∴ y’=3x2, y’|x=3=27,

∴ 曲线 y=x3在点(3，27)处的切线方程为y－27＝27(x－3),

即y＝27x－54. 其与x轴，y轴交点分别为(2，0)，(0，－54)

∴ 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S=×2×54＝54.

例7．在抛物线y＝x2上取横坐标为x1＝1及x2＝3的两点，作过这两点的

割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？

解析：已知两点A(1，1)B(3，9)，割线斜率为kAB=4,

∵ y’＝2x，令y’=2x＝4得x＝2, 即在点(2，4)处切线平行于这一割线．

3．函数和、差、积、商的导数

例1．求下列函数的导数：

① y=3x2＋xcosx；② y=； ③ y=xtanx－；④ y=.

解析：① y’=6x+cosx－xsinx；

② y’=；

③ y=, ∴ y’=

=.

④ y=, y’=.

例2．已知函数f(x)=x3－7x+1，求f ’(x)，f ’(1)，f ’(1.5).

解析：f(x)=x3－7x+1, ∴ y’= f ’(x)=3x2－7, f ’(1)=－4，f ’(1.5)=－.

注意：导函数与导数的区别与联系，函数在某一点的导数是导函数

在这一点处的函数值．例3．已知函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也都使y值为0，求常数a的

值．

解析：y’=3x2+2ax, 令y’=0, 则3x2+2ax=0, x1=0, x2=－a,

当x=0时，y=0=－a，∴ a=0，即a＝0满足条件,

当x=－a时．y＝0= 得a＝0或a＝±3

检验知a＝±3不满足条件，

∴ 常数的值为0.

例4．曲线y＝－x2＋4x上有两点A(4，0)，B(2，4)，求① 割线AB的斜率

kAB；

② 过点A处的切线斜率kA；③ 点A处的切线方程。

解析：① 割线AB的斜率kAB==－2；

② y’=－2x+4，∴ y’|x=4=－4，即kA=－4；

③ 过A点的切线方程为y－0＝－4(x－4)，即 y＝－4x＋16.

例5．已知F(x)=f(x)＋g(x)，就下列两种情形判断F(x)在x＝x0处是否可

导？

① f(x)在x＝x0处可导，g(x)在x＝x0处不可导．

② f(x)，g(x)在x＝x0处均不可导．

解析： ① F(k)在x＝x0处不可导．

假设F(x)在x＝x0处可导， 由F(x)=f(x)＋g(x), ∴g(x)＝F(x)－f(x).

∵ f(x)在x＝x0处可导，∴ g(x)在x=x0处可导，与条件g(x)在x＝x0处不

可导矛盾， ∴ F(x)在x＝x0处不可导．

② F(x)在x＝x0处不一定可导．

如设 f(x)=sinx+, g(x)=cosx－, 则f(x)，g(x)在x＝0处均不可导，

但F(x)=f(x)+g(x)＝sinx＋cosx在x＝0处可导．

另：若．g(x)=tanx+上，在x＝0处不可导，

F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x＝0处也不可导．

例6．曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点切线与直线y=4x－7平行．

解析： y’=(x3＋x－1)’＝3x2＋1，

由过P点切线与直线y＝4x－7平行， 令3x2＋1＝4得x＝±1，

当x=1时，y=1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3与直线y＝4x

－7平行，∴ P点坐标为(1，1)。

当x＝－1时，y＝－3，此时切线为y＋3=－3(x＋1)，即y＝4x＋1也满

足条件，∴ P点坐标为(－1，－3).

综上得P点坐标为(1，1)或(－1，－3).

例7．证明：过抛物线y＝a(x－x1)(x－x2), (a≠0，x1＜x2)上两点A(x1，

0)，B(x2，0)的切线倾斜角互补．

解析： y’=2ax－a(x1+ x2).