高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题

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高中数学导数典型例题

高中数学导数典型例题

题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值

1. 已知函数32()fxxaxbxc 过曲线()yfx上的点(1,(1))Pf的切线方程为y=3x+1 。

(1）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；

（2)在(1)的条件下，求函数)(xfy在［－3，1］上的最大值；

(3)若函数)(xfy在区间[－2，1］上单调递增，求实数b的取值范围

解：（1）极值的求法与极值的性质

（2)由导数求最值

（3）单调区间 零点 驻点 拐点————草图

2. 已知).(3232)(23Raxaxxxf

(1）当41|| a时， 求证:)x(f在)1,1( 内是减函数；

(2)若)x(fy在)1,1( 内有且只有一个极值点, 求a的取值范围。

解：（1)单调区间 零点 驻点 拐点——-—草图

（2）草图——讨论

题型二：利用导数解决恒成立的问题

例1:已知322()69fxxaxax（aR）．

（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；

(Ⅱ)当0a时，若对0,3x有()4fx恒成立，求实数a的取值范围． 高中数学导数典型例题

例2：已知函数2()2(xxfxete，1()()2gxfx．

2023届新高考数学二轮复习：专题（导数解答题之零点题）提分练习

【总结】

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函

数零点情况，求参数的值或取值范围．

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴（或直线yk）

在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其

图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．

【典型例题】

例1．（2023秋ꞏ内蒙古包头ꞏ高三统考期末）已知函数

ln11fxxax.

(1)若

fx存在极值，求a

的取值范围；

(2)当2a时，讨论函数

singxfxx的零点情况.

例2．（2023春ꞏ全国ꞏ高三竞赛）已知函数1ecos,0,2xfxxx．设

fx

为

fx的

导函数．

(1)证明：

fx

有且仅有一个极值点；

(2)判断

fx的所有零点之和与2的大小关系，并说明理由．

例3．（2023秋ꞏ重庆ꞏ高三统考学业考试）已知函数2()ln,Rfxxxaxa.

(1)当1a时，求曲线

fx在点(1,0)处的切线方程；

(2)当02ea时，讨论函数

fx的零点个数.

例4．（2023秋ꞏ山东日照ꞏ高三校联考期末）已知函数()sine()xfxxafx，是()fx的导函

数．

(1)若()0fx

在(π,π)上恒成立，求实数a

的取值范围；

(2)若(π)0f，判断关于x

的方程()1fx在*[(21)π(22)π],(N)kkk，内实数解的个数，

并说明理由．

例5．（2023秋ꞏ江西赣州ꞏ高三统考期末）已知函数

exfx，2

2gxxxa．

(1)讨论函数

hxfxgx

的单调性；

(2)若函数

yfx的图象与函数

ygx的图象仅有一个交点M，求证：曲线

第 1 页 导数经典例题精讲

导数知识点

导数是一种特殊极限

几个常用极限：〔1〕1lim0nn，lim0nna〔||1a〕；〔2〕00limxxxx，0011limxxxx.

两个重要极限 ：〔1〕0sinlim1xxx；〔2〕1lim1xxex(e=…).

函数极限四那么运算法那么：假设0lim()xxfxa，0lim()xxgxb，那么

(1)0limxxfxgxab；(2)0limxxfxgxab;(3)0lim0xxfxabgxb.

数列极限四那么运算法那么：假设lim,limnnnnaabb，那么(1)limnnnabab；(2)limnnnabab(3)lim0nnnaabbb(4)limlimlimnnnnncacaca( c是常数)

)(xf在0x处导数〔或变化率或微商〕

.瞬时速度：00()()()limlimttssttststtt.

瞬时加速度：00()()()limlimttvvttvtavttt.

)(xf在),(ba导数：()dydffxydxdx00()()limlimxxyfxxfxxx.

函数)(xfy在点0x处导数几何意义

函数)(xfy在点0x处导数是曲线)(xfy在))(,(00xfxP处切线斜率)(0xf，相应切线方程是))((000xxxfyy.

几种常见函数导数

(1) 0C〔C为常数〕.(2) '1()()nnxnxnQ.(3) xxcos)(sin.xxsin)(cos

(4) xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (5) xxee)(; aaaxxln)(.

创作时间：二零二一年六月三十日

创作时间：二零二一年六月三十日 导数经典例题精讲之巴公井开创作

创作时间：二零二一年六月三十日

导数知识点

导数是一种特殊的极限

几个经常使用极限：（1）1lim0nn, lim0nna（||1a）；（2）00limxxxx,

0011limxxxx.

两个重要的极限 ：（1）0sinlim1xxx；（2）1lim1xxex(e=…).

函数极限的四则运算法则：若0lim()xxfxa,

0lim()xxgxb, 则

(1)0limxxfxgxab；(2)0limxxfxgxab;(3)0lim0xxfxabgxb.

数列极限的四则运算法则：若lim,limnnnnaabb, 则(1)limnnnabab；(2)limnnnabab(3)lim0nnnaabbb(4)limlimlimnnnnncacaca( c是常数)

)(xf在0x处的导数（或变动率或微商）

000000()()()limlimxxxxfxxfxyfxyxx.

.瞬时速度：00()()()limlimttssttststtt.

瞬时加速度：00()()()limlimttvvttvtavttt.

)(xf在),(ba的导数：()dydffxydxdx00()()limlimxxyfxxfxxx.

函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点0x处的导数是曲线)(xfy在))(,(00xfxP处的切线的斜率)(0xf, 相应的切线方程是))((000xxxfyy.