导数典型例题讲解
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专业技术 知识共享 资料一 ：导数.知识点
1．导数的概念
例1．已知曲线y=3x上的一点P(0, 0)，求过点P的切线方程·
解析：如图，按切线的定义，当x0时，割线PQ的极限位置是y轴（此时斜率不存在），因此过P点的切线方程是x=0.
例2．求曲线y＝x2在点(2，4)处的切线方程·
解析：∵ y=x2, ∴ y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2 =4x＋(x)2
∴ k＝00limlim(4)4xxyxx.
∴ 曲线y＝x2在点(2，4)处切线方程为y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.
例3．物体的运动方程是 S＝1＋t＋t2，其中 S的单位是米，t的单位是秒，求物体在t＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋t]内相应的平均速度．
解析：∵ S=1+t+t2, ∴ S=1+(t+t)+(t+t)2－(1+t+t2)=2t·t+t+(t)2,
∴21Sttt, 即()21vttt, ∴ (5)11vt,
即在[5，5＋t]的一段时间内平均速度为(t＋11)米／秒
∴ v(t)=S’＝00limlim(21)21ttStttt
即v(5)＝2×5＋1＝11.
∴ 物体在t＝5秒时的瞬时速度是11米／秒．
例4．利用导数的定义求函数y=1x在x=1处的导数。 WORD格式 可编辑
专业技术 知识共享 解析：y=111111xxx, ∴ yx=11(11)xx,
∴ 0limxyx=011lim21(11)xxx.
例5．已知函数f(x)=21sin000xxxx, 求函数f(x)在点x＝0处的导数
解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0处有定义，y=f(0+x)－f(0)=21()sinxx,
yx=1sinxx, 0limxyx=01limsinxxx=0, 即 f ’(0)＝0.
∴ 函数f(x)在x＝0处导数为0.
例6．已知函数f(x)=21(1)121(1)12xxxx≤, 判断f(x)在x＝1处是否可导？
解析：f(1)=1, 20001[(1)1]112limlimlim(1)12xxxxyxxx,
001(11)112limlim2xxxyxx, ∵00limlimxxyyxx,
∴ 函数y=f(x)在x＝1处不可导．
例7．已知函数 y＝2x3＋3，求 y’.
解析：∵ y=2x3+3, ∴ y=2(x+x)3+3－(2x3+3)=6x2·x+6x·(x)2+2(x)3,
∴ yx=6x2+6x·x+2(x)2, ∴ y’=0limxyx=6x2.
例8．已知曲线y＝2x3＋3上一点P，P点横坐标为x＝1，求点P处的切线方程和法线方程．
解析：∵ x=1, ∴ y=5, P点的坐标为(1, 5), WORD格式 可编辑
专业技术 知识共享 利用例7的结论知函数的导数为y’=6x2,
∴ y’1|x＝6, ∴ 曲线在P点处的切线方程为y－5＝6(x－1)
即6x－y－1＝0, 又曲线在P点处法线的斜率为－61，
∴ 曲线在P点处法线方程为y－5＝－61( x－1)，即 6y＋x－31＝0.
例9．抛物线y＝x2在哪一点处切线平行于直线y＝4x－5？
解析：∵ y’=0limxyx=220()lim2xxxxxx,
令2x＝4．∴ x=2, y＝4, 即在点P(2，4)处切线平行于直线y＝4x－5.
例10．设mt≠0，f(x)在x0处可导，求下列极限值
(1) 000()()limxfxmxfxx； (2) 000()()limxxfxfxtx.
解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x0)定义中的极限形式。
(1) 000()()limxfxmxfxx=0000()()lim()'()xfxmxfxmmfxmx,
（其中－m·x0）
(2) 000()()limxxfxfxtx=0000()()11lim'()xxfxfxtfxxttt.
（其中10xt）
例11．设函数f(x)在x＝1处连续，且1()lim21xfxx，求f ’(1).
解析：∵ f(x)在x＝1处连续，∴ 1lim()xfxf(1).
而又1111()()lim()lim(1)lim(1)lim011xxxxfxfxfxxxxx×2=0.
∴ f(1)=0.
∴ f ’(1)=01(1)(1)()(1)limlim21xxfxffxfxx（将x换成x－1）
即f ’(1)＝2. WORD格式 可编辑
专业技术 知识共享 例12．已知抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．
解析：由y’＝0limxyx=220()()()lim2xaxxbxxcaxbxcaxbx,
由函数在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切, ∴ 2a×2＋b＝1，
又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a＋b＋c=1， 4a＋2b＋c＝－1，
由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.
例13．设曲线y＝sinx在点A(6，21)处切线倾斜角为θ，求tan(4－θ)的值.
解析：∵ y=sinx，∴ y=sin(x+x)－sinx=2cos(x+2x)sin2x,
∴
y’=0limxyx=0002cos()sinsin222limlimcos()limcos22xxxxxxxxxxxx.
即y’＝(sinx)’＝cosx,
令在A点处切线斜率为k=cos6=23, ∴ tanθ=23, θ∈(0, π),
∴ tan(4－θ)＝311tan27431tan312 H，
例14．设f(x)是定义在R上的函数，且对任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(0)≠0，f ’(0)＝1，证明：对任何x∈R，都有f(x)=f ’(x)
解析：由f(x1＋x0)=f(x1)f(x2)，令x1＝x2＝0得f(0)＝f(0)f(0), 又f(0)≠0
∴ f(0)=1 WORD格式 可编辑
专业技术 知识共享 由f ’(0)=1即00()(0)()1limlim1xxfxffxxx,
∴ f ’(x)＝
000()()()()()()1limlim()lim()xxxfxxfxfxfxfxfxfxfxxxx.
即f ’(x)=f(x)成立．
2．几种常见函数的导数
例1．已知f(x)=x3，求f ’(x) ，f ’(1)，(f(1))’，f ’( 0.5)
解析：f(x)=x3, ∴ f ’(x)＝3x2, f ’(1)=3,
f ’( 0.5)＝3×(0.5)2= 0.75，(f(1))’=(1)’=0.
说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系．后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再直接求导函数值．
例2．已知曲线y=x2上有两点A(1, 1), B(2, 4)，求 ① 割线AB的斜率；②在[1， 1＋x]内的平均变化率；③ 过点A处的切线斜率kAT；④ 点A处的切线方程．
解析：① kAB＝4121＝3；
② 平均变化率2(1)(1)(1)12yfxfxxxxx,
③ y’＝2x , ∴ y’|x＝1＝2. 即点A处的切线斜率为KAT＝2.
④ 点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)即2x－y－1＝0.
说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均变化率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区别与联系，再次验证了导数与平均变化率之间的关系 WORD格式 可编辑
专业技术 知识共享 y’=0limxyx.
例3．利用导数定义和导数公式两种方法求曲线y=1x在点P(1，1)处的切线倾斜角及该点处的法线方程．
解析：解法一：f(x)=1x, y=f(1+x)－f(1)=1111xxx,
∴ y’|x=1=0limxyx=01lim11xx.
即在点P处斜率为k＝－1，∴ 倾斜角为135°，
法线方程y－1＝x－1即x－y＝0.
解法(二)：y=f(x)＝1x，y’=f ’(x)=21x, ∴ y’|x=1＝－1.
即在点P处切线斜率为k=－1，以下同法(一)
说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数，第二种用导数公式，要注意题目要求，若无声明，用最简单的方法即可．
例4．已知曲线y=3x上的一点P(0，0)，求过点P的切线方程.
解析：由y=3x, ∴ y’=3321()'3xx, 在x=0处导数不存在，由图形知
过P点的切线方程是x=0.
例5．设曲线y＝cosx在A(6，23)点处的切线倾斜角为θ，求cot(4－θ)的值
解析：y=cosx, y’=－sinx, x=6时, k=－sin6=－21, ∴ tanθ=－21，
∴ cot(4－θ)=1111tan1211tan3tan()142.
例6．求曲线y＝x3在点(3，27)处的切线与坐标轴所围成的三角形面积．
解析：∵ y=x3, ∴ y’=3x2, y’|x=3=27,
