高中数学4-4第一章坐标系全部教案北师大版选修四

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1 / 24 高中数学选修4-4坐标系与参数方程

一、[课程目标]

本专题的内容包括：坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

通过本专题的教学，使学生简单了解柱坐标系、球坐标系，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

二、[知识结构网络]

坐标系与参数方程坐标系极坐标系球坐标系与柱坐标系平面坐标系中的变换参数方程曲线的极坐标方程意义直线、圆、圆锥曲线意义、互化、应用、欣赏平移变换、伸缩变换直角坐标系第一章 坐标系

[课标要求]

1．坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法〔本节内容不作要求〕。

2．曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形〔过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆〕的极坐标方程。

3．平面坐标系中几种常见变换〔本节内容不作要求〕了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。 word

2 / 24 第一课时直角坐标系

一、教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

能力与与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

三、教学方法：启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

〔一〕、平面直角坐标系与曲线方程

1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？

2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ 〔2〕.在平面直角坐标系中，圆心坐标为〔a,b)半径为r的圆的方程是什么?

3、、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

〔1〕、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

〔2〕、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对〔x,y〕确定

〔3〕、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对〔x,y,z〕确定

〔4〕、抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0word

3 / 24 的实数解建立了如下的关系：A.曲线C上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线。

〔5〕、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。

4、学生练习：课本P3练习中1、2题。

5、建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。

〔1〕如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；

〔2〕如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；

〔3〕使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。

〔二〕、平面直角坐标轴中的伸缩变换

1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。

2、探究：(1)在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来12，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为12''xxyy通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

〔2〕怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.

设点P〔x,y〕经变换得到点为P’(x’,y’)'12'3{xxyy这就是变换公式。通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。

3、例题：课本P4例1.在以下平面直角坐标系中，分别作出以圆点为圆心，6为半径的圆： word

4 / 24 (1)、x轴与y轴具有相同的单位长度；〔2〕、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的2倍；〔3〕、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的12倍。

教师分析：关键是建立坐标伸缩变换关系式。

学生练习，教师准对问题讲评。

反思归纳：在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。

4、巩固训练：课本P6页练习题。

〔三〕求轨迹方程

1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。

2．在面积为1的PMN中，2tan,21tanMNPPMN，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程。

教师分析，学生练习，准对问题讲评。

反思归纳：求轨迹方程的方法和一般步骤。方法：定义法、直接法、相关点法、待定系数法、参数法。一般步骤：〔1〕、恰当建系；〔2〕、分析曲线特征，揭示隐含条件；〔3〕、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件；〔4〕列出方程。

〔四〕、小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；3．什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。

〔五〕、作业：课本P7页3、8、9、11

五、教学反思：

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第二课时 极坐标系的的概念

一、教学目的：

知识目标：理解极坐标的概念

能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

三、教学方法：启发、诱导发现教学.

四、教学过程：

〔一〕、复习引入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

〔1〕他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？

〔2〕如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置？

这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．

〔二〕、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 word

6 / 24 1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向〔通常取逆时针方向为正方向〕，

这样就建立了一个极坐标系。

〔其中O称为极点，射线OX称为极轴。〕

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对〔，〕就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值X围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标〔，〕建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.

3、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角，当＜0时，点M 〔，〕位于极角终边的反向延长线上，且OM=。

M 〔，〕也可以表示为))12(,()2,(kk或)(zk

〔三〕、应用导练

例1 写出以下图中各点的极坐标〔见教材P10页〕

A〔4，0〕B〔2，2〕C〔6，43 〕D〔4，-43 〕E〔6，0-120 〕F〔-6，π3〕G〔-3，3π2〕

反思归纳：〔1〕、平面上一点的极坐标是否唯一？〔2〕、假设不唯一，那有多少种表示方法？〔3〕、坐标不唯一是由谁引起的？〔4〕、不同的极坐标是否可以写出统一表达式。约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。

变式训练 ：在极坐标系里描出以下各点

A〔3，0〕 B〔6，2〕C〔3，2〕D〔5，34〕E〔3，65〕F〔4，〕G〔6，35〕 word

7 / 24 例2 在极坐标系中，

（1） 两点P〔5，45〕，Q)4,1(，求线段PQ的长度； 答案：6

（2） M的极坐标为〔5，〕且=3，写出符合条件的点A的极坐标：>0, -2<<0

解：当>0时，点A(5，3)的极坐标的一般形式为〔5，π32Кπ+〕〔K∈Z〕令-2

变式训练：1、假设ABC的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状CBA 答案：正三角形。2、假设A、B两点的极坐标为),(),,(2211求AB的长以及AOB的面积。〔O为极点〕

例3 Q〔，〕，分别按以下条件求出点P 的极坐标。〔1〕、P是点Q关于极点O的对称点；〔2〕、P是点Q关于直线2的对称点；〔3〕、P是点Q关于极轴的对称点。

答案：〔1〕〔-，2k+〕；〔2〕〔，2k+-〕；〔3〕〔 ，2k+2-〕。

3、在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是),45,2(),4,2(BA求第三个顶点C的坐标。

〔四〕、巩固与练习：课本P10页练习题2

〔五〕、小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位3．极坐标中的点与坐标的对应关系。

〔六〕、作业：课本P18页A组1、2 P25页B组3

五、教学反思：