拉格朗日中值定理在高数第几章

拉格朗日中值定理在高数第几章拉格朗日中值定理在高数第五章为标题高等数学是大学本科数学专业的一门基础课程，其中包含了很多重要的定理和方法。

在高等数学的第五章中，我们学习了拉格朗日中值定理，这是微积分中的一个重要定理，能够帮助我们研究函数的性质和求解相关问题。

拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日在18世纪提出的，它是微积分中的极值问题的核心定理之一。

这个定理的内容是：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一点c，使得f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。

换句话说，拉格朗日中值定理告诉我们，在函数f(x)在闭区间[a, b]上满足一定条件的情况下，必然存在一个点c，使得函数在这个点处的斜率等于函数在整个区间上的平均斜率。

拉格朗日中值定理的应用非常广泛，它在微积分中有着重要的地位。

首先，通过拉格朗日中值定理，我们可以证明某些函数的性质。

例如，当函数在闭区间上的导数恒为零时，根据中值定理，我们可以得知这个函数在该区间上是一个常数函数。

此外，拉格朗日中值定理还可以用于证明泰勒公式的一个特例，即拉格朗日余项的存在性。

除了理论研究外，拉格朗日中值定理还有很多实际的应用。

例如，在物理学中，我们经常需要通过对某个物理量的变化率进行研究来得到有用的信息。

这时，我们可以利用中值定理来寻找这个物理量在某个时间段内的平均变化率，从而得到有关物理问题的重要结论。

此外，在经济学、生物学等领域中，拉格朗日中值定理也广泛应用于相关问题的分析和求解。

尽管拉格朗日中值定理在微积分中有着重要的地位，但它也有一些限制和注意事项。

首先，定理要求函数在闭区间上连续，在开区间上可导，这是定理成立的基本条件。

其次，定理只能保证在(a, b)内至少存在一个点c满足给定的条件，并不能确定具体的取值。

因此，在具体运用中，我们需要结合具体问题进行分析，不能仅依赖于定理的结论。

高等数学同济七版教材目录第一章集合与函数1.1 集合1.2 常用函数与运算1.3 映射与函数第二章极限与连续2.1 数列的极限2.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 无穷小与无穷大2.5 极限存在准则与两个重要极限2.6 连续与间断第三章导数与微分3.1 导数与物理意义3.2 函数的求导法则3.3 高阶导数与莱布尼茨公式3.4 常用函数的导数3.5 隐函数与参数方程的导数3.6 微分3.7 导数在实际问题中的应用第四章微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔定理、拉格朗日中值定理4.2 柯西中值定理与洛必达法则4.3 幂指对数函数的凹凸性与曲率4.4 函数的单调性与曲线的图形4.5 弧长与曲线的面积第五章定积分5.1 不定积分5.2 定积分的概念与性质5.3 反常积分5.4 定积分的计算方法5.5 可积性与定积分中值定理5.6 定积分的应用第六章定积分的应用6.1 几何应用之平面图形的面积6.2 物理应用之质心、转动惯量和万有引力6.3 概率应用之统计平均值和方差第七章级数7.1 数项级数的概念7.2 收敛级数的性质7.3 正项级数的审敛法与特殊级数7.4 幂级数7.5 函数展开成幂级数第八章常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 可分离变量的微分方程8.3 齐次方程和一阶线性非齐次方程8.4 二阶齐次线性微分方程8.5 常系数线性微分方程和其它一些特殊方程附录1. 通用公式与常用极限2. 高等数学同济七版教材参考答案3. 数表4. 符号说明。

大一高等数学一教材目录引言本教材是为大一学生编写的高等数学一教材，旨在帮助学生建立对高等数学的基本概念和方法的理解。

本目录将详细列出本教材的各个章节和内容，以帮助学生更好地学习和使用本教材。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念1.1.1 实数集和有理数集1.1.2 函数的定义与性质1.1.3 函数的图像1.2 极限的概念1.2.1 极限的定义与性质1.2.2 极限存在准则1.2.3 极限运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数2.2 微分的概念2.2.1 微分与导数2.2.2 微分的运算法则2.2.3 微分中值定理2.3 函数的凹凸性与拐点2.3.1 函数的凹凸性2.3.2 函数的拐点2.3.3 凹凸函数的判定第三章：微分中值定理与导数应用 3.1 罗尔中值定理3.1.1 罗尔中值定理的几种形式 3.1.2 罗尔中值定理的应用3.2 拉格朗日中值定理3.2.1 拉格朗日中值定理的定义 3.2.2 拉格朗日中值定理的应用 3.3 柯西中值定理3.3.1 柯西中值定理的定义3.3.2 柯西中值定理的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的定义与基本性质4.1.1 不定积分的概念4.1.2 不定积分的基本性质4.1.3 换元积分法4.2 牛顿-莱布尼兹公式与定积分 4.2.1 牛顿-莱布尼兹公式的定义 4.2.2 定积分的概念与性质4.2.3 积分区间的分割和近似4.3 定积分的计算4.3.1 定积分的几种基本计算方法4.3.2 反常积分的计算4.3.3 定积分的应用结语通过本教材的学习，相信大一学生将对高等数学的基本概念和方法有更深入的理解。

希望学生们能够通过勤奋学习和实践，掌握高等数学的基本知识和技能，并将其运用于实际问题的解决中。

第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。

第四章微分中值定理和导数的应用【字体：大中小】【打印】4.1 微分中值定理费马引理：设函数y=f(x)在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或）则一、罗尔(Rolle)定理1.罗尔（Rolle）定理如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。

2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线是水平的。

例1.判断函数，在[-1，3]上是否满足罗尔定理条件，若满足，求出它的驻点。

【答疑编号11040101：针对该题提问】解满足在[-1，3]上连续，在（-1，3）上可导，且f(-1)=f(3)=0，∵，取例2.设f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。

【答疑编号11040102：针对该题提问】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点，使等式成立。

注意：与罗尔定理相比条件中去掉了f(a)=f(b)结论亦可写成。

2.几何解释:在曲线弧AB上至少有一点C，在该点处的切线平行于弦AB。

拉格朗日中值定理又称微分中值定理例3（教材162页习题4.1，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上是否满足拉格朗日中值定理。

【答疑编号11040103：针对该题提问】推论1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。

例4（教材162页习题4.1，4题）、证明【答疑编号11040104：针对该题提问】证设又，即，推论2 假设在区间I上两个函数f(x)和g(x)的导数处处相等，则f(x)与g(x)至多相差一个常数。

4.2 洛必达法则一、型及型未定式解法：洛必达法则1、定义如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为或型未定式。

第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日中值定理和函数的单调性引言为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB ．如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是y=f(x)，x ∈[a,b]的图像，点P 的横坐标为x ξ=．如点P 处有切线，则f(x)在点x ξ=处可导，且切线的斜率为()f ξ'；另一方面，弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a--，曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ⇔()()()f b f a f b a ξ-'=-． 撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值．这样这个公式就把函数及其导数联系起来．在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础．鉴于(,)a b ξ∈，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理．剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的．换言之，如保证类似点P 存在，曲线弧 AB 至少是连续的，而且处处有切线．反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导．一、 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理1、罗尔中值定理定理6．1：若f 满足如下条件：（1）f ∈[a ，b]；（2）f 在(a ，b )内可导；（3）f (a)=f (b)，则存在ξ∈(a ，b )，使得()0f ξ'=．（分析）由条件（1）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（2）及（3），应用费马定理便可得到结论．证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论： (i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立．(ii)若m ＜ M ，则因 f (a)=f (b)，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在(a,b)内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件(2) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知)(ξf '=0.Rolle 中值定理几何意义：在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）．注：定理中的条件都是充分但非必要，即定理中三个条件缺一不可．1）不可导，不一定存在；2）不连续，不一定存在；3）f(a)≠f(b)，不一定存在．“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立．但仍可能有()0f ξ'=的情形发生． 例上在]1,1[,)(-=x x f ，],1,0[,2)(在x x f =⎩⎨⎧=<≤=1010)(x x x x f 在[0,1] 例1：设f 为R 上的可导函数，证明：若方程()0f x '=没有实根，则方程f(x)=0至多只有一个实根． 例2；已知10021n c c c n +++=+ ，证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++= 至少有一正实根． 2、Lagrange 中值定理定理6．2：若函数 ƒ满足如下条件：（1）ƒ在闭区间[b a ,]上连续；（2）ƒ在开区间(b a ,)内可导；则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-． （分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理ƒ（a ）=ƒ(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 )(x F ，使得)(x F 满足罗尔定理的条件（1）-(3) 且a b a f b f x f x F ---'=')()()()(， 从而推得],[),()()()()((x)b a x a x ab a f b f a f x f F ∈-----=．证明：作辅助函数 ),()()()()((x)a x ab a f b f a f x f F -----= 显然，F （a ）=F(b)（=0），且F 在[a ，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ∈(a ，b)，使得0)()()()(=---'='a b a f b f f F ξξ 即 a b a f b f f --=')()()(ξ注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理)()(b f a f =时的特例．注2°Lagrange 中值定理的几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ，我们在证明中引入的辅助函数)(x F ，正是曲线 )(x f y = 与直线AB )()()()(a x ab a f b f a f y ---+= 之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新х轴（F （a ）=F （b ））．注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现．注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：),(),)(()()(b a a b f a f b f ∈-'=-ξξ)1,0(),)](([)()(∈--+'=-θθa b a b a f a f b f)1,0(,)()()(∈+'=-+θθh h a f a f h a f注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：f 在（a,b ）可导可以推出ƒ在（a ，b ）连续，但反之不成立．把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数)(x f 在（a ，b ）可导且)(x f 在a 右连续在b 左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述．例3 设f 在区间I 上可导，且)('x f 在I 上有界，证明f 在I 上满足Lipschitz 条件．例4 设0>h ，函数f 在],[h a h a +-上可导，证明存在)1,0(∈θ，使得)()()()(2)(''h a f h a f hh a f a f h a f θθ--+=-+-+ 例5：证明：对一切h>-1，h ≠0有公式ln(1)1h h h h<+<+ 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '=，x I ∈，则f 为I 上的一个常量函数．几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线．推广：若f(x)在区间[a,b]上连续，且在（a,b ）中除有限个点外有()0f x '=，则f 在I 上是常数函数． 推论2 若函数f 和g 均在I 上可导，且()()f x g x ''=，x I ∈，则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C ，使得()()f x g x C =+．例6 证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsin arccos 2x x π+=，（2）在(,)-∞+∞上恒有：arctan arc cot 2x x π+=4、导数极限定理 推论3设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x 内可导，且0lim ()x x f x →'存在，则f 在点0x 可导，且00()lim ()x x f x f x →''=． 例7 求函数⎩⎨⎧>+≤+=0)1ln(0sin )(2x x x x x x f 的导数．二、函数的单调性定理6．3 设f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上递增（减）()0(0)f x '⇔≥≤.注 （1）这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性，确定单调区间．例8 设2332)(x x x f -=，试讨论函数f 的单调区间．定理6．4 若函数f 在(a,b)内可导，则f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切(,)x a b ∈，有()0(0)f x '≥≤；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上()0f x '≠．推论 设函数f 在区间I 上可微，若()0(0)f x '><，则f 在I 上严格递增（减）．注（2）从实现充分性的证明中发现，若21()0(0)()()f x f x f x '><⇒>21(()())f x f x <，即f 严格递增（减），从而有如下推论：注（3）上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件．注（4）一个问题：f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)内严格递增（减），那么f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？答案：不一定．注： 若f(x)在(a,b)内可导，f(x)在(a,b)内严格递增（减），且y=f(x)在右端点a 右连续，则f 在[a,b]上变为严格递增（减），对左端点b 也有类似讨论．例9 证明不等式：)2,0(,2sin ππ∈>x x x 作业：P124 1， 4（1）（2）， 5， 7。

高等数学第七版上册教材目录第一章函数与极限1.1 实数集及其表示方法1.1.1 实数及其性质1.1.2 实数集合及其表示方法1.2 函数的概念及表示方法1.2.1 函数的定义与表示方法1.2.2 函数的性质与运算1.3 极限的概念1.3.1 数列极限的定义1.3.2 函数极限的定义1.3.3 极限的运算法则1.3.4 极限存在准则1.4 极限的性质1.4.1 极限存在性的判定1.4.2 极限唯一性的证明1.4.3 极限与基本四则运算的关系1.5 无穷小与无穷大1.5.1 无穷小的定义与性质1.5.2 无穷大的定义与性质1.5.3 极限与无穷小的关系1.5.4 极限与无穷大的关系1.6 函数的连续性1.6.1 连续函数的概念与性质1.6.2 连续函数的运算与复合函数的连续性 1.6.3 分段连续函数的连续性1.7 一元函数的微分学1.7.1 导数的概念与几何意义1.7.2 导数的计算1.7.3 导数的运算法则1.7.4 高阶导数与高阶微分1.7.5 微分与近似计算1.8 函数的应用1.8.1 函数的导数与变化率1.8.2 回顾平均值定理1.8.3 罗尔中值定理1.8.4 拉格朗日中值定理1.8.5 函数的单调性与单调函数的性质第二章导数与微分2.1 基本初等函数的导数2.1.1 幂函数的导数2.1.2 指数函数的导数2.1.3 对数函数的导数2.1.4 三角函数的导数2.1.5 反三角函数的导数2.1.6 双曲函数的导数2.2 高阶导数与高阶微分2.2.1 高阶导数的计算2.2.2 高阶微分的计算2.2.3 高阶导数与高阶微分的关系2.3 隐函数与参数方程的导数2.3.1 隐函数的导数2.3.2 参数方程的导数2.4 微分中值定理2.4.1 极值定理2.4.2 魏尔斯特拉斯中值定理2.4.3 柯西中值定理2.5 导数的应用2.5.1 泰勒公式2.5.2 麦克劳林公式2.5.3 应用一—函数近似计算2.5.4 应用二—函数图形的描绘2.5.5 应用三—曲线运动的问题第三章微分学中值定理与高阶导数的应用 3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔中值定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 泰勒中值定理3.2 凸函数与曲率3.2.1 凸函数的概念与性质3.2.2 曲率与凹凸性3.3 最值与单调性3.3.1 最值问题3.3.2 单调性与最值的关系3.4 弧长与曲线的表达式3.4.1 弧长的定义与计算3.4.2 曲线的参数方程与弧长 3.5 平面曲线的切线与法线3.5.1 曲线的切线与法线3.5.2 弧微分与切线方程3.6 曲率与曲率半径3.6.1 曲率的定义与计算3.6.2 曲率与切线、法线的关系 3.6.3 曲率半径的概念与计算 3.7 高阶导数的应用3.7.1 正定矩阵及其判别3.7.2 一元函数的最值问题3.7.3 二元函数的最值问题3.7.4 条件极值问题与拉格朗日乘数法 3.7.5 重要定理与其应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.1.3 一些常用积分公式4.2 基本积分公式与运算法则4.2.1 幂函数与三角函数的积分4.2.2 指数函数与对数函数的积分4.2.3 反三角函数的积分4.2.4 一些特殊函数的积分4.3 定积分的概念与性质4.3.1 定积分的定义4.3.2 定积分的性质4.4 定积分的计算4.4.1 定积分的基本计算方法 4.4.2 特殊函数的定积分4.4.3 无穷区间上的定积分 4.5 反常积分4.5.1 反常积分的定义4.5.2 收敛与发散性的判定 4.5.3 反常积分的计算方法 4.5.4 收敛反常积分的性质 4.5.5 瑕积分及其收敛性第五章定积分的应用5.1 定积分的应用5.1.1 曲线长度5.1.2 曲线面积5.1.3 旋转体的体积5.2 物理应用5.2.1 质点沿直线的运动5.2.2 质点的曲线运动5.2.3 质点的匀加速运动5.3 泰勒公式的应用5.3.1 函数近似计算的误差估计 5.3.2 级数的收敛域5.3.3 常微分方程的初值问题 5.3.4 二阶常微分方程的应用。

高数课本大连理工第四章习题答案在高等数学的学习过程中，解决课本习题是巩固知识点和提高解题能力的重要环节。

以下是大连理工大学出版的高等数学教材第四章习题的一些参考答案，请注意，这些答案仅供参考，解题思路和方法才是学习的关键。

第一章：极限与连续1. 求极限：对于函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果存在一个确定的实数L，使得f(x)的值无限接近于L，则称L为f(x)在x=a处的极限。

2. 极限存在准则：如果函数f(x)在x=a的邻域内连续，那么f(x)在x=a处的极限存在。

3. 连续性：如果函数f(x)在x=a处的极限与f(a)相等，则称f(x)在x=a处连续。

第二章：导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为极限\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]，如果该极限存在，则称f(x)在x=a处可导。

2. 基本导数公式：例如，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( (\sin x)' = \cos x \)，\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) 等。

3. 复合函数的导数：链式法则的应用，\( (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) \)。

第三章：微分中值定理及其应用1. 罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c在开区间(a,b)内，使得f'(c)=0。

2. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c在开区间(a,b)内，使得\( f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)。

3. 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)不为0，则存在一点c在开区间(a,b)内，使得\( \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)。

第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

（高等数学、考研数学通用）高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE 可逆，则先分解因子aA+bE再说。

●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。