高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案

第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体P­AMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C ­MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C ­MNB ＝V M ­BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C ­MNB ＝V M ­BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥P­ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。

第1课时 平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一 基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2．符号表达：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点二 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.( × ) 2．没有公共点的两条直线是异面直线．( × )3．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( × )类型一 基本性质4的应用例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．解 在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点， 所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD . 所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1 如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明 设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1. 又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三 空间四边形的认识例3 如图，设E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明 (1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EHBD ＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，∴EH 綊GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF . ∴四边形EFGH 是梯形．反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD ”，不包含平面四边形，说明“A ，B ，C ，D 四点必不共面”，不能因直观图中AD 与BC 看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3 已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，判定AE 与DF 的位置关系． 解 由已知，得E ，F 不重合． 设△BCD 所在平面为α， 则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ， 所以AE 与DF 异面．1．直线a ∥b ，直线b 与c 相交，则直线a ，c 一定不存在的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．无法判断答案 B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是( )A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4．下面三个命题，其中正确的个数是( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1 B．2 C．3 D．0答案 D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案 B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案 D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形答案 B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案 A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD 不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面A 1C 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解 如图所示，在面A 1C 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .13.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23.(1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′与BB ′相交于O 点， 且AO OA ′＝BO OB ′，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， 因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 答案 D解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )． 在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )． 15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。

数学必修2立体几何第一章全部教案第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)一、教学目标1 ?学问与技能(1)通过实物操作，增加同学的直观感知。

(2)能按照几何结构特征对空间物体举行分类。

(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2. 过程与办法(1)让同学通过直观感触空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

(2)让同学观看、研究、归纳、概括所学的学问。

3. 情感态度与价值观(1)使同学感触空间几何体存在于现实生活周围，增加同学学习的乐观性，同时提高同学的观看能力。

(2)培养同学的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让同学感触大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具(1)学法：观看、思量、沟通、研究、概括。

(2)实物模型、投影仪四、教学过程：一、创设情景，揭示课题1. 研究：经典的建造给人以美的享受，其中神秘为何？世间万物，为何千姿百态?2. 提问：学校与初中在平面上讨论过哪些几何图形？在空间范围上讨论过哪些？3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深化讨论一些空间几何图形，即学习立体几何，注重学习办法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算二、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：②提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？②研究：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有D哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）结合图形熟悉：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线?②分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等表示：棱柱ABCDE-A 'B'C'D''②研究：埃及金字塔具有什么几何特征？②定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形熟悉：底面、侧面、侧棱、顶点、高?→研究：棱锥如何分类及表示？②研究：棱柱、棱锥分离具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方?2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：②研究：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥?→列举生活中的棱柱实例→结合图形熟悉：底面、轴、侧面、母线、高.→表示办法②研究：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→ 柱体、锥体.②观看书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.3. 质疑答辩，排难解惑，进展思维，老师提出问题，让同学思量。

高中数学第一章立体几何初步1.2.2第2课时平面与平面平行学案（含解析）新人教B版必修21.掌握空间两个平面的位置关系，并会判断.(重点)2.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题.(重点)3.平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.(难点)[基础·初探]教材整理1 两个平面的位置关系阅读教材P44～P44“倒数第4行”以上内容，完成下列问题.位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l 无数个点(共线)如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？【解】如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行.教材整理2 平面与平面平行的判定与性质阅读教材P44“倒数第4行”以下～P45“例4”以上内容，完成下列问题.1.平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图1­2­26所示.图1­2­26推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图1­2­27所示.图1­2­27(4)作用：证明两直线平行.3.三个平面平行的性质两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.如图1­2­28所示，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：四边形BED1F是平行四边形.【导学号：45722047】图1­2­28【证明】取D1D的中点G，连接EG，GC，∵E是A1A的中点，G是D1D的中点，∴EG═∥AD.由正方体性质知AD═∥BC，∴EG═∥BC，∴四边形EGCB是平行四边形，∴EB═∥GC. ①又∵G，F分别是D1D，C1C的中点，∴D1G═∥FC，∴四边形D1GCF为平行四边形，∴D1F═∥GC，②由①②知EB═∥D1F，∴四边形BED1F是平行四边形.[小组合作型]平面与平面间的位置关系已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上).【精彩点拨】由平面间的位置关系逐一判断.【自主解答】①错.a与b也可能异面；②错.a与b也可能平行；③对.∵α∥β，∴α与β无公共点.又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点；④对.由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；⑤错.a与β也可能平行.【答案】③④两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键.[再练一题]1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定【解析】如图所示，由图可知C正确.【答案】 C平面与平面平行的判定如图1­2­29，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.图1­2­29求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【精彩点拨】(1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可.(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可.【自主解答】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面.(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.1.要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过线线平行来证明，注意这三种平行之间的转化.2.解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化.[再练一题]2.如图1­2­30所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.图1­2­30【证明】∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形.∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.[探究共研型]面面平行的性质定理的应用探究1 如图1­2­31，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点.你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？图1­2­31【提示】如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1.∴直线EG∥平面BDD1B1.探究2 上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1.【提示】连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.【精彩点拨】解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置.【自主解答】如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点.又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点.而GF∥CE，∴F为PC中点.综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.解决线线平行与面面平行的综合问题的策略1.立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的.2.线线平行判定性质线面平行判定性质面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.[再练一题]3.如图1­2­32，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA 的中点，N为BC的中点.证明：直线MN∥平面OCD.图1­2­32【证明】如图，取OB中点E，连接ME，NE，则ME∥AB.又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵ME⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵ME∩NE＝E，且ME，NE⊂平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面OCD.1.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )A.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bB.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b【解析】A错误，a与b也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C 错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确.【答案】 D2.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判断都不对【解析】 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交. 【答案】 C3.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题. ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c α∥c ⇒a ∥α；⑥⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α， 其中正确的命题是________.(填序号)【解析】 ①是平行公理，正确；②中a ，b 还可能异面或相交；③中α、β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a ⊂α；⑥也是忽略了a ⊂α的情形.【答案】 ①④4.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α的位置关系是________.【解析】 因为AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD ∥α. 【答案】 CD ∥α5.如图1­2­33所示，在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD ＝DC ＝PD .E ，F ，G 分别为线段PC ，PD ，BC 的中点，现将△PDC 折起，使点P ∉平面ABCD .求证：平面PAB ∥平面EFG .图1­2­33【证明】 ∵PE ＝EC ，PF ＝FD ，∴EF ∥CD ， 又∵CD ∥AB ，∴EF ∥AB ，又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ，同理可证EG ∥平面PAB . 又∵EF ∩EG ＝E ， ∴平面PAB ∥平面EFG .。

第一章立体几何初步学习目标 1.整合知识结构，形成知识网络、深化所学知识.2.会画几何体的直观图和三视图，并能计算几何体的表面积和体积.3.熟练掌握线线、线面、面面间的平行与垂直关系．1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．3．几何体的表面积和体积的有关计算(1)常见几何体的表面积和体积的计算公式面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h(2)求几何体体积常用技巧①等体积法；②割补法．4．平行关系(1)基本性质4平行于同一条直线的两条直线________．即如果直线a∥b，c∥b，那么________．(2)直线与平面平行的判定与性质(3)平面与平面平行的判定①文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． ②符号语言：a ⊂β，b ⊂β，________，a ∥α，b ∥α⇒β∥α. ③图形语言：如图所示．(4)平面与平面平行的性质定理①文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． ②符号语言：α∥β，α∩γ＝a ，______⇒a ∥b . ③图形语言：如图所示． ④作用：证明两直线平行． 5．垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的________________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条________________中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线与平面垂直的性质性质1：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的________一条直线垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . 性质2：如果两条直线________________________，那么这两条直线平行． (3)面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的________________，则这两个平面互相垂直． (4)面面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在________________垂直于________________的直线垂直于另一个平面． 6．共面与异面直线(1)共面：空间中的________或________________，如果都在同一平面内，我们就说它们共面．(2)异面直线：既________又________的直线．类型一三视图与表面积及体积的计算例1 (1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A．5＋ 3 B．5＋2 3C．4＋2 2 D．4＋2 3(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.反思与感悟此类题目是先将三视图还原成几何体，计算几何体的体积时，对于不规则的几何体可利用割补法求体积．跟踪训练 1 (1)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．类型二空间中的平行问题例2 如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.反思与感悟(1)判断线线平行的方法①利用定义：证明线线共面且无公共点．②利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线．③利用线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.④利用面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.⑤利用线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(2)判定线面平行的方法①利用定义：证明直线a与平面α没有公共点，往往借助反证法．②利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.③利用面面平行的性质的推广：α∥β，a⊂β⇒a∥α.(3)判定面面平行的方法①利用面面平行的定义：两个平面没有公共点．②利用面面平行的判定定理：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β.③垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.跟踪训练2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA 的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.类型三空间中的垂直关系例3 如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．反思与感悟空间中垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)．②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性)．②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)．③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)．④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)．⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)．②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．跟踪训练3 如图，在△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求证：平面EBC⊥平面ACD；(3)求几何体A－DEBC的体积V.1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．52．若l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．设有不同的直线m 、n 和不同的平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ＝________.5.如图，在棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥AC ，PA ＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.1．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．2．转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为答案精析知识梳理 4．(1)平行 a ∥c(2)不在一个平面 平面内 平行 l ⊄αl ∥m 平行 相交 两平面的交线平行 l ⊂β α∩β(3)②a ∩b ＝P (4)②β∩γ＝b5．(1)两条相交 平行直线 (2)任意 垂直于同一个平面 (3)一条垂线(4)一个平面内 它们交线 6．(1)几个点 几条直线 (2)不平行 不相交 题型探究例1 (1)A [如图所示，该几何体的表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，故选A.](2)83π 解析 由几何体的三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3)．跟踪训练1 (1)193π解析 由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则R 2＝(12)2＋(233)2＝1912(其中R 为球的半径)，则球的表面积S ＝4πR 2＝4π×1912＝193π.(2)24解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，111ABC A B C V 棱柱－＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，111P A B C V 棱锥－＝13111A B C S·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABC －PA 1C 1的体积为30－6＝24.例2 证明 (1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1， BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，四边形BEGO 为平行四边形． ∴OB ∥GE .∵OB ⊂平面BB 1D 1D ，GE ⊄平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.跟踪训练2 证明∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC，∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面ABC.例3 (1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面DCE，∴AE⊥平面CDE.(2)证明取AB的中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴GH ∥平面BCD . 同理，FH ∥平面BCD ， 又GH ∩FH ＝H ， ∴平面FHG ∥平面BCD ， ∵GF ⊂平面FHG ， ∴GF ∥平面BCD .(3)解 取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连接MS ，RS ，BR ，DR ，EM ， 则MS 綊12BC .又RE 綊12BC ，∴MS 綊RE ，∴四边形MERS 是平行四边形， ∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点， ∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ， ∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC . ∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD . ∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD . ∵RS ⊂平面BDR ， ∴平面BDR ⊥平面DCB .跟踪训练3 (1)证明 如图，取BE 的中点H ，连接HF ，GH .因为G ，F 分别是EC 和BD 的中点，所以HG ∥BC ，HF ∥DE .又因为四边形ADEB 为正方形， 所以DE ∥AB ，从而HF ∥AB . 所以HF ∥平面ABC ，HG ∥平面ABC . 又因为GH ∩HF ＝H ， 所以平面HGF ∥平面ABC . 所以GF ∥平面ABC .(2)证明 因为四边形ADEB 为正方形，所以EB ⊥AB . 又因为平面ABED ⊥平面ABC ， 平面ABED ∩平面ABC ＝AB ， 所以BE ⊥平面ABC ，所以BE ⊥AC . 又因为CA 2＋CB 2＝AB 2， 所以AC ⊥BC . 又因为BE ∩BC ＝B ， 所以AC ⊥平面BCE . 又因为AC ⊂平面ACD ， 从而平面EBC ⊥平面ACD . (3)解 取AB 的中点N ，连接CN ， 因为AC ＝BC ，所以CN ⊥AB ，且CN ＝12AB ＝12a .又平面ABED ⊥平面ABC ， 平面ABED ∩平面ABC ＝AB ， 所以CN ⊥平面ABED . 因为C －ABED 是四棱锥，所以V C －ABED ＝13S ABED ·CN ＝13a 2·12a ＝16a 3.即几何体A －DEBC 的体积V ＝16a 3.当堂训练 1．C 2.B 3.D 4.223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.5．证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA . 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线PA ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .。

第一章立体几何初步知识建构综合应用专题一几何体展开图问题几何体展开图因几何体不同而不同，它不仅反映了几何体本身特点，还能反映空间平行与垂直关系．通过几何体展开图形状研究可以使我们更加形象地理解空间几何体构造特征．应用1如图(1)(2)(3)三个图形能否折叠成棱柱？请试折叠一下并说明理由．提示：首先判断各图如果能折成棱柱那么应该折成什么样棱柱，再看各图与相应棱柱展开图有什么差异．这个题主要要求学生把握多面体根本情况，运用纸张折叠，结合想象，掌握简单几何体性质与构成．应用2如图，圆柱体底面圆周长为24 cm，高为5 cm，BC为上底面直径，一壁虎从距圆柱底端A点2 cm E处沿着外表爬行到母线CD距C点1 cm点F处，请你帮助壁虎确定其爬行最短距离．提示：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题根本、常用方法．在求空间图形外表两点间最短距离时，常运用“展开〞变换，化曲(折)为直，从而把“折线拉成直线，曲面展成平面〞，使问题得以巧妙解决．由于壁虎是沿着圆柱外表爬行，故需把圆柱侧面展开成平面图形．根据两点之间线段最短求最短距离．专题二外表积、体积计算问题几何体外表积及体积计算是现实生活中经常能够遇到问题，如制作物体下料问题、材料最省问题、一样材料容积最大问题，都涉及外表积与体积计算．这里应注意各数量之间关系及各元素之间位置关系，特别是特殊柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要平面图形作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆作用．本局部内容在高考中一直是重点考察内容，考察形式可以是选择、填空题，也可以是解答题，难度上属于容易题，应引起重视．B1C1D1棱长为2，动点E，F应用1如图，正方体ABCD－A在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．假设EF＝1，A1E ＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，那么四面体PEFQ体积( )．A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关提示：选取四面体面EFQ作为底，P到面EFQ距离为高．应用2(2021·湖北黄冈高三模拟)如图，正三棱柱棱长与底面边长均为2，主视图是边长为2正方形，那么左视图面积为( )．A．4 B．2 3 C．2 2 D．3提示：根据“长对正，高平齐，宽相等〞法那么找出左视图各边长再进展计算．专题三空间几何体中平行与垂直判断或证明空间线面位置关系，主要是通过平行、垂直关系判定定理与性质定理进展转换，通过相互转化，推证相关结论．应用1如图，ABCD为正方形，正方形ADEF所在平面与平面ABCD互相垂直，G，H是DF，FC中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)求证：BC⊥平面CDE.提示：(1)证出GH∥CD即可；(2)在平面CDE中找出与BC垂直两条相交直线CD，ED．应用2如图，在立体图形A－BCD中，各个面均是正三角形，G，F，M分别是BC，AB，AC中点，过FG平面与平面ACD相交于EH，求证：平面BMD⊥平面FGHE.提示：可以根据线面垂直证明面面垂直，进一步可以转化为线线垂直，反过来，面面垂直也可以转化为线面垂直，线线垂直，表达了整体与局部之间关系．专题四球与其他几何体切接问题球与规那么几何体如正方体、长方体切接问题一直是高考考察重点与热点问题．本局部内容可以与三视图结合，也可以与外表积、体积结合起来命题，一般以选择或填空题形式出现，难度上属于容易题．应用1一个六棱柱底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．该六棱柱顶点都在同一个球面上，且该六棱柱高为3，底面周长为3，那么这个球体积为__________．提示：根据球外接于六棱柱，先求出球半径．B1C1D1顶点均在同一个球面上，AB应用2长方体ABCD－A＝AA1＝1，BC＝2，那么A，B两点间球面距离为__________．提示：长方体体对角线长为球直径．应用3四个半径为R球两两外切，其中三个放在水平桌面上，第四个球放在这三个球之上，在这四个球中央放一个小球，那么这个小球半径为__________．提示：与球有关组合体主要是球与其他几何体切接问题．这类问题要仔细观察、分析，弄清相关元素之间位置关系与数量关系，选择最正确角度作出截面，把空间问题平面化，进而在平面内加以求解．注意各局部组合之间关系是解答此类问题成功所在．应用4如图，在三棱锥S－ABC中，SA＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，SA⊥面ABC，求三棱锥S－ABC内切球半径．提示：求简单多面体内切球半径常用方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规那么，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很烦琐．我们可以利用另一种既简便又快速方法——体积法，即把多面体进展分割，且分割成以内切球球心为公共顶点假设干个棱锥，这些棱锥高都是内切球半径，然后根据这些棱锥体积之与等于多面体体积，从而求出半径．真题放送1(2021·江西高考)将长方体截去一个四棱锥，得到几何体如以下图所示，那么该几何体左视图为( )．2(2021·广东高考改编)如图1～3，某几何体主视图是平行四边形，左视图与俯视图都是矩形，那么该几何体体积为( )．A．6 3 B．9 3 C．12 3 D．1833(2021·浙江高考)假设某几何体三视图如下图，那么这个几何体直观图可以是( )．4(2021·湖北高考)设球体积为V1，它内接正方体体积为V2，以下说法中最适宜是( )．A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半5(2021·四川高考)l1，l2，l3是空间三条不同直线，那么以下命题正确是( )．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面6(2021·福建高考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB ＝2，点E为AD中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段EF长度等于________．7(2021·福建高考)在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA ＝3，底面ABC是边长为2正三角形，那么三棱锥P－ABC体积等于________．8(2021·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD ⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD 中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD．答案：综合应用专题一应用1：解：图(1)可折成一个四棱柱．图(2)不能折成棱柱，因为折成后几何体两底面不在两个平面内．图(3)不能折成棱柱，因为与正方体每个面相邻面最多只有四个，因而展开后图形中，任一个正方形在它周围最多应只有四个正方形，而图中有一个正方形，在它周围有了5个正方形，而这是不可能．应用2：解：将圆柱沿着AB剪开铺平，得如下图展开图．过点E作CD垂线EG，连接EF，那么壁虎爬行最短距离为线段EF长．根据题意知AE＝2 cm，CF＝1 cm，因AB＝5 cm，那么FG＝2 cm，又因为EG＝AD为圆柱底面圆周长一半，故知EG＝12 cm，利用勾股定理可求得EF＝EG2＋FG2＝122＋22＝237(cm)．即壁虎爬行最短距离为237cm.专题二应用1：D ∵DC∥A1B1，EF＝1，∴S△EFQ＝12×1×22＝2 (定值)．四面体PEFQ中面EFQ上高为P到面A1DCB1距离为DP·sin 45°＝22z.∴V四面体PEFQ＝13×2×22z＝13z.应用2：B 由题意可知，此正三棱柱左视图如下图．其中左视图中高即为正三棱柱高，左视图中宽即为底面正三角形高，∴S左视图＝2×3＝2 3.专题三应用1：证明：(1)∵G，H分别是DF，FC中点，∴在△FCD中，GH∥CD.∵CD⊂平面CDE，GH⊄平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD.∵ED⊥AD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD，∴ED⊥BC.又∵BC⊥CD，CD∩DE＝D，∴BC⊥平面CDE.应用2：证明：因为△ABC是正三角形，M为AC中点，所以MB ⊥AC ，同理 MD ⊥AC .所以AC ⊥平面BDM .又F ，G 分别为AB ，CB 中点，所以FG ∥AC .所以FG ⊥平面BDM .又FG ⊂平面FGHE .所以平面MDB ⊥平面FGHE .专题四应用1：4π3根据球外接于正六棱柱，得球心与六棱柱上下底面中心连线中点重合．由勾股定理，得R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫362，解得R 4π3R 3＝4π3. 应用2：π3 由题意，知球半径为12AB 2＋AA 21＋BC 2＝1，设球心为O ，那么△AOB 为正三角形，∠AOB ＝π3， ∴A ，B 间球面距离为π3. 应用3：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62－1R 以四个大球球心连线构成四面体为正四面体，如下图，过O 4作O 4H ⊥平面O 1O 2O 3于H ，小球球心O 是正四面体中心，∴O ∈O 4H .分别连接O 与四个顶点，它们长度均为R ＋r (设r 是小球半径)，正四面体棱长均为2R ，所以O 1H ＝233R ，O 4H ＝263R . 设OH ＝h ，正四面体被分割成四个体积全等小正三棱锥，正四面体每个面面积设为S ，那么利用正四面体体积等于四个小正三棱锥体积与得V ＝13·S ·26R 3＝4·13·S ·h ，求得h ＝66R ， ∴O 4O ＝R ＋r ＝O 4H －OH ＝263R －66R ＝62R ， ∴r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62－1R .应用4：解：设内切球球心为O ，球半径为r ，那么V S －ABC ＝V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ＋V O －ABC ，又∵V O －SAB ，V O －SAC ，V O －SBC ，V O －ABC 高都是r ，SA ⊥面ABC ， ∴V S －ABC ＝V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ＋V O －ABC＝13r (S △SAB ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △ABC ) ＝13r ⎝ ⎛ 12×1×1＋12×1×1＋34×2＋⎭⎪⎪⎫12×1×1 ＝13×1×12， ∴r ＝13＋3＝3－36. ∴三棱锥S －ABC 内切球半径为3－36. 真题放送1．D 根据正投影性质，并结合左视图要求及如下图，AB 正投影为A ′B ′，BC 正投影为B ′C ′，BD ′正投影为B ′D ′，综上可知左视图为选项D.2．B 由几何体三视图知直观图如下图．原几何体为底面ABCD 为矩形四棱柱，且AB ＝3，侧面A 1ABB 1⊥底面ABCD ，A 1AA 1作A 1G ⊥AB 于G ，由三视图知AG ＝1，A 1D 1＝3，A 1G ＝A 1A 2－AG 2＝ 3.底面ABCD 面积S ＝3×3＝9，VABCDA 1B 1C 1D 1＝S ·h ＝9×3＝9 3.3．D 由主视图中间线为虚线可排除选项A ，B ，由俯视图可排除选项C ，应选D.4．D 设球半径为r ，正方体棱长为a ，那么3a 2＝4r 2，即a ＝233r ， ∴V 1＝43πr 3，V 2＝839r 3，V 1V 2＝3π2，应选D. 5．B 对于A 选项，在同一平面内满足条件是正确，而在空间中不一定正确．如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥AD ，AD ⊥AB .有A 1A ⊥AB ，而不是A 1A ∥AB ；对于C 选项，如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1C 1∥A 1B 1∥AB ，而三直线D 1C 1，A 1B 1，AB 不共面；对于D 选项，如正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1，B 1A 1，D 1A 1共点于A 1，而三直线AA 1，B 1A 1，D 1A 1不共面；对于B 选项，由两直线所成角定义可知正确．6． 2 由EF ∥平面AB 1C ，知EF ∥AC ，第 11 页 ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 7． 3 由题意，V P －ABC ＝13·S △ABC ·PA ＝13×34×22×3＝3，故三棱锥P －ABC 体积等于 3.8．证明：(1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 中点，所以EF ∥PD .又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD .又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学习目标 1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．知识点一 圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征 (1)定义⎭⎪⎬⎪⎫圆柱圆锥圆台分别看作以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形的一边直角三角形的一直角边直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫矩形直角三角形直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体→这类几何体叫旋转体． (2)相关概念①高：在轴上的这条边(或它的长度)． ②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． ③侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． ④母线：绕轴旋转的边． (3)图形表示知识点二 球1．定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球． 2．相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的线段． (2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段． (3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆． (4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆．(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离．3．球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．知识点三旋转体1．定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体．2．轴：这条直线叫做旋转体的轴．知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等．梳理由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体．1．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(√)2．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×)3．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．(×)类型一旋转体的结构特征例1下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．答案④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.类型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．反思与感悟(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成．(2)必要时作模型，培养动手能力．跟踪训练2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．类型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知，腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD 交于点S ， 设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪训练3 如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似， 得R －rR＝342－22，即1－r 2＝12，解得r ＝1.即圆柱的底面半径为1.命题角度2 球的截面的有关计算例4 在球内有相距9 cm 的两个平行截面面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径． 解 ①若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O 的大圆截面，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm ，截面圆的半径分别为r cm ，r 1 cm.由πr21＝49π，得r1＝7(r1＝－7舍去)，由πr2＝400π，得r＝20(r＝－20舍去)．在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.由题意可知OC1－OC＝9，即R2－49－R2－400＝9，解此方程，取正值得R＝25.②若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意可知OC1＋OC＝9，即R2－49＋R2－400＝9.整理，得R2－400＝－15，此方程无解，这说明第二种情况不存在．综上所述，此球的半径为25 cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6π和8π”，则两平行截面间的距离是________．答案1或7解析画出球的截面图，如图所示．两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：①两个平行截面在球心的两侧， ②两个平行截面在球心的同侧． 对于①，m ＝52－32＝4，n ＝52－42＝3，两平行截面间的距离是m ＋n ＝7； 对于②，两平行截面间的距离是m －n ＝1.反思与感悟 设球的截面圆上一点A ，球心为O ，截面圆心为O 1，则△AO 1O 是以O 1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解．跟踪训练4 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR .求A ，B 两地间的球面距离．解 如图所示，A ，B 是北纬45°圈上的两点，AO ′为它的半径，O 为地球的球心，∴OO ′⊥AO ′，OO ′⊥BO ′. ∵∠OAO ′＝∠OBO ′＝45°， ∴AO ′＝BO ′＝OA ·cos 45°＝22R . 设∠AO ′B 的度数为α， 则απ180°·AO ′＝απ180°·22R ＝24πR ，∴α＝90°. ∴AB ＝AO ′2＋BO ′2＝⎝⎛⎭⎫22R 2＋⎝⎛⎭⎫22R 2＝R . 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB ＝60°.∴A ，B 两地间的球面距离为60°πR 180°＝π3R .1．下列几何体是台体的是()考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案 D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行．C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确．2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是()答案 B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．棱柱答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案 2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.5．湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为________ cm.答案13解析设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心距d＝(R－8)cm，由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1．下列几何体中不是旋转体的是()答案 D2．下列说法正确的是( )A ．到定点的距离等于定长的点的集合是球B ．球面上不同的三点可能在同一条直线上C ．用一个平面截球，其截面是一个圆D ．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 考点 球的结构特征 题点 球的概念的应用 答案 D解析 对于A ，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A 错；对于B ，球面上不同的三点一定不共线，故B 错；对于C ，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C 错，故选D. 3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．15 答案 B4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( ) A ．10 3 cm B ．20 3 cm C ．20 cm D ．10 cm 答案 A解析 如图所示，在Rt △ABO 中，AB ＝20 cm ，∠A ＝30°，所以AO ＝AB ·cos 30°＝20·32＝103(cm)．5．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是( ) A ．24π B ．16π C ．8π D ．4π答案 B解析 截面圆的半径为7＋12＝4，面积为πr2＝16π.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )A ．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B ．该几何体有12条棱、6个顶点C ．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案 D解析 其中ABCD 不是面，该几何体有8个面．7．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )A ．2B ．2π C.2π或4πD.π2或π4答案 C解析 如图所示，设底面半径为r ，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr ＝4，所以r ＝2π，故选C.8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体答案 B解析 圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.二、填空题9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．答案 两个圆锥解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高h ＝42－r 2，∴由题意可知12·2r ·h ＝r 42－r 2＝8， ∴r 2＝8，∴h ＝2 2.11．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________． 考点 圆锥的结构特征题点 与圆锥有关的运算答案 3 解析 由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl 2，所以母线长为l ＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径为r ＝1，所以该圆锥的高为h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.三、解答题12．A ，B ，C 是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB ＝18 cm ，BC ＝24 cm ，AC ＝30 cm ，平面ABC 与球心的距离恰好为球半径R 的一半，求球的半径．解 如图所示，因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 是直角三角形．所以△ABC 的外接圆圆心O 1是AC 的中点．过A ，B ，C 三点的平面截球O 得圆O 1的半径为r ＝15 cm.在Rt △OO 1C 中，R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2.所以R 2＝R 24＋152，所以R 2＝300， 所以R ＝103(cm)．即球的半径为10 3 cm.13．圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．解 设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，圆台上底面面积为S 1，下底面面积为S 2，两底面面积之和为S .如图所示，∠ASO ＝30°，在Rt △SO ′A ′中，r SA ′＝sin 30°， ∴SA ′＝2r .在Rt △SOA 中，2r SA＝sin 30°，∴SA ＝4r . 又SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，∴r ＝a .∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.四、探究与拓展14．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )答案 B解析 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.15．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．考点 圆台的结构特征题点 与圆台有关的运算解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，则θ·l ＝2π×5，θ·(l ＋20)＝2π×10，解得θ＝π2，l ＝20 cm. ∴OA ＝40 cm ，OM ＝30 cm.∴AM ＝OA 2＋OM 2＝50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离．∵OA ·OM ＝AM ·OQ ，∴OQ ＝24 cm.故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。

§1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素学习目标 1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．知识点一构成几何体的基本元素思考1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答案平面图形；点与直线．思考2构成几何体的基本元素是什么？答案点、线、面．梳理几何体的定义(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．(2)构成空间几何体的基本元素：点、线、面．知识点二长方体思考长方体的基本元素有哪些？如何定义？答案6个面，12条棱，8个顶点，长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成的．梳理长方体的概念(1)基本元素：长方体有12条棱，8个顶点，6个面．(2)面：围成长方体的各个矩形．(3)棱：相邻两个面的公共边．(4)顶点：棱和棱的公共点．知识点三平面思考平的镜面是一个平面吗？答案不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的．梳理平面的概念(1)特征：平面是处处平直的面，是无限延展的．(2)画法：通常画一个平行四边形表示一个平面．(3)命名：用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．知识点四空间中直线、平面的位置关系思考空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？答案直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种．梳理特殊位置关系的几个定义比较1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( × ) 2．空间不同三点确定一个平面．( × ) 3．一条直线和一个点确定一个平面．( × )类型一 几何体的基本元素例1 试指出下图中各几何体的基本元素．解 (1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面． (2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面． (3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面．(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个平面和1个曲面)．反思与感悟 点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的有________．(填序号)①长方体的顶点一共有8个；②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①类型二空间中点、线、面的位置关系的判定例2如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解(1)有平面ADD′A′与平面ABCD.(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.(3)有平面ADD′A′.(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．反思与感悟(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．跟踪训练2下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是________．(填序号)①直线AA1与直线BB1平行；②直线AA1与平面C1D1DC相交；③直线AA1与平面ABCD垂直；④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等．答案①③④解析①正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1∥BB1；②不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点，所以AA1∥平面C1D1DC；③正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD；④正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．类型三几何体的表面展开图例3把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形．解画出的相应图形如图所示．反思与感悟多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．跟踪训练3一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图．由图可知AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形．所以∠ABC＝60°.1．有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.2．下列结论正确的个数有()①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A．3 B．4 C．5 D．2答案 B解析由空间中构成几何体的基本元素可判断①②③④均正确，而曲面上可以画出直线，所以⑤错误，故选B.3．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体答案 C解析一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，和棱A1B1不相交的棱有________条．答案7解析在长方体中一共有12条棱，除去与A1B1相交的与其本身，还剩7条．5．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为________．答案E，D，F解析第一个正方体已知A，C，D，第二个正方体已知B，C，E，第三个正方体已知A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知，A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．一、选择题1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不包括内部的点)答案 D解析空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素．2．下列说法正确的是()A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案 D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错．故选D.3．下列关于长方体的叙述中不正确的是()A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．两相对面之间的棱互相平行且等长答案 A解析A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.4．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是()答案 A解析根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B，C，D不正确，故选A.5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．6．两个平面可以将空间分成()A．3部分B．4部分C．2或4部分D．3或4部分答案 D解析当两平面平行时，将空间分成3部分；当两平面相交时，将空间分成4部分，故选D.二、填空题7．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的是________．(填序号)答案②③解析球只有一个曲面围成，故①错，②③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．8.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A 垂直的平面是________________．答案3平面ABCD，平面A′B′C′D′解析平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．与AA′垂直的是平面ABCD，平面A′B′C′D′.9．线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________ cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________ cm.(3)点A到平面BCC′B′的距离为________ cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如图，(1)该长方体的高为3 cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4 cm.(3)A到平面BCC′B′的距离为5 cm.10．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________．(填序号)答案③解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．11．如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，则封闭折线ABCDA的长为________．答案2＋25＋ 6解析如图，AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋ 5＝2＋25＋6，即折线ABCDA的长为2＋25＋ 6.AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋5＝2＋25＋ 6.三、解答题12．如图所示，指出几何体的点、线、面．解其中的点有A，B，C，D，M，N.其中的线有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13．如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中的位置关系是什么？解选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行．四、探究与拓展14．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤答案 A解析先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②，可得正方体，而可验证其余不合题意．故选A.15．如图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．解通过正方体的展开图(如图所示)，可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线段的长，为22＋12＝5(m)．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．。

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积学习目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念，了解它们的侧面展开图.2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式，并会求它们的表面积.3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积．知识点 直棱柱、正棱锥、正棱台和旋转体的表面积其中c ′，c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h ′表示斜高，R 表示球的半径．1．多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )2．斜三棱柱的侧面积也可以用cl 来求解，其中l 为侧棱长，c 为底面周长．( × ) 3．球的表面积等于它的大圆面积的2倍．( × )类型一 柱、锥、台的侧(表)面积 命题角度1 多面体的侧(表)面积例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．解 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9，∴a 2＋52＝152，b 2＋52＝92， ∴a 2＝200，b 2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋⎝⎛⎭⎫BD 22＝a 2＋b 24＝200＋564＝64， ∴AB ＝8.∴直四棱柱的侧面积为4×8×5＝160. 反思与感悟 多面体表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面周长．(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键．跟踪训练1 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是( ) A ．2 B.52 C ．3 D.72答案 A解析 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，连接OE 、O 1E 1，作E 1H ∥O 1O ，由题意，得(3＋6)EE 12×4＝9＋36，∴EE 1＝52，在Rt △EHE 1中，E 1H 2＝EE 21－EH 2＝254－94＝4， ∴E 1H ＝2，∴O 1O ＝2，故选A. 命题角度2 圆柱与圆锥的侧(表)面积例2 (1)若圆锥的母线长为2 cm ，底面圆的周长为2π cm ，则圆锥的表面积为________ cm 2. 答案 3π解析 因为底面圆的周长为2π cm ，所以底面圆的半径为1 cm ，所以圆锥的底面积为π cm 2，圆锥的侧面积为12×2×2π＝2π(cm 2)，所以圆锥的表面积为3π cm 2.(2)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱的侧面积为S ，则圆锥的侧面积为________． 答案4π2r 4＋S 22解析 设圆柱的高为h ，则2πrh ＝S ，∴h ＝S 2πr. 设圆锥的母线为l ，∴l ＝r 2＋h 2＝r 2＋S 24π2r2.∴圆锥的侧面积为πrl ＝πrr 2＋S 24π2r2＝4π2r 4＋S 22. 反思与感悟 由圆柱、圆锥的侧面积公式可知，要求其侧面积，必须已知(或能求出)它的底面圆的半径和它的母线长．跟踪训练2 轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍 D ．2倍 答案 D解析 设圆锥底面半径为r ， 由题意知母线长l ＝2r ， 则S 侧＝πr ×2r ＝2πr 2， ∴S 侧S 底＝2πr 2πr2＝2. 类型二 简单组合体的表面积例3 牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如图所示(单位：m)，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少篷布？(精确到0.01 m 2)解 上部分圆锥体的母线长为1.22＋2.52 m ，其侧面积为S 1＝π×52×1.22＋2.52(m 2)．下部分圆柱体的侧面积为S 2＝π×5×1.8(m 2)． ∴搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 S ＝S 1＋S 2＝π×52×1.22＋2.52＋π×5×1.8≈50.05(m 2)．反思与感悟 (1)组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的基本量，注意方程思想的应用．(2)在实际问题中，常通过计算物体的表面积来研究如何合理地用料，如何节省原材料等，在求解时应结合实际，明确实际物体究竟是哪种几何体，哪些面计算在内，哪些面实际没有． 跟踪训练3 有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a 的取值范围．解 两个相同的直棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有四种情况：四棱柱有一种，边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28.三棱柱有三种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，表面积为12a 2＋48. 最小的是一个四棱柱，即24a 2＋28<12a 2＋48， 即a 2<53，又a >0，∴0<a <153.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，153. 类型三 球的表面积例4 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 解 设正方体的棱长为a .(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.反思与感悟 (1)在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面图，然后通过已知条件求解．(2)球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构造熟悉的正方体，长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解．跟踪训练4 已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________． 答案 92π解析 如图，设球O 的半径为R ，则由AH ∶HB ＝1∶2，得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R 3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2， ∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324.∴S 球＝4πR 2＝4π·⎝⎛⎭⎫3242＝92π.1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π考点 柱体、锥体、台体的表面积 题点 柱体的表面积 答案 A解析 设圆柱底面半径、母线长分别为r ，l ，由题意知l ＝2πr ，S 侧＝l 2＝4π2r 2. S 表＝S 侧＋2πr 2＝4π2r 2＋2πr 2＝2πr 2(2π＋1)， S 表S 侧＝2πr 2(2π＋1)4π2r 2＝1＋2π2π. 2．若正三棱锥的斜高是高的233倍，则该正三棱锥的侧面积是底面积的________倍． 答案 2解析 ∵h ′h ＝233，OMh ′＝h ′2－h 2h ′＝1－h 2h ′2 1－34＝12.设底面边长为a ，正三棱锥的侧面积为3·12h ′a ，正三棱锥的底面积为3·12·OM ·a ，则正三棱锥的侧面积与底面积的比为h ′∶OM ＝2， 故该正三棱锥的侧面积是底面积的2倍．3．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，则该圆柱的表面积为________． 答案 6π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h . 由2πr ＝2π，得r ＝1，∴S 圆柱表＝2πr 2＋2πrh ＝2π＋4π＝6π.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 答案 2解析 设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r . 则12πl 2＋πr 2＝3π，πl ＝2πr ， ∴r ＝1，即圆锥的底面直径为2.1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加两个底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积．2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．一、选择题1．圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS答案 A解析 底面半径是Sπ，所以正方形的边长是2πSπ＝2πS ，故圆柱的侧面积是(2πS )2＝4πS .2．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2 B.32a 2 C.334a 2 D.332a 2答案 A 解析 侧棱长为⎝⎛⎭⎫66a 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝22a ， 斜高为⎝⎛⎭⎫22a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝a 2， ∴S 侧＝12×3×a ×a 2＝34a 2.3．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两球的半径之差为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6，∴R －r ＝2，故选C. 4．正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A ．1∶ 3 B ．1∶3 C ．1∶3 3 D ．1∶9 答案 C解析 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为12，外接球的直径为正方体的体对角线， ∴外接球的半径为32， ∴其体积比为43π×⎝⎛⎭⎫123∶43π×⎝⎛⎭⎫323＝1∶3 3. 5．正六棱台的上，下两底面的边长分别是1 cm,2 cm ，高是1 cm ，则它的侧面积为( ) A.972 cm 2B.872 cm 2C ．97 cm 2D ．87 cm 2答案 A解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm ，下底长为2 cm ，高为正六棱台的斜高．又边长为1 cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2 cm 的正六边形的中心到各边的距离是 3 cm ，则梯形的高为 12＋⎝⎛⎭⎫3－322＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2)．6．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( ) A ．15π B ．20π C ．12π D ．15π或20π答案 D解析 以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况： 根据圆锥的侧面积计算公式S 侧面积＝πr ×l 母线长．①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S ＝4π×5＝20π； ②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S ＝3π×5＝15π. 故选D.7．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( ) A ．160 B ．80 C ．40 D ．240 答案 A解析 设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，所以l 21＝152－52，l 22＝92－52. 又l 21＋l 22＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，所以a ＝8， 所以S 侧面积＝ch ＝4×8×5＝160.8．若一个圆台的轴截面如图所示，则其侧面积等于( )A ．35π B.5π C ．32π D.2π 答案 A解析 ∵圆台的母线长为(2－1)2＋22＝5，∴S 圆台侧＝π(1＋2)·5＝35π. 二、填空题9．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________． 答案 1∶2解析 设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得2πr ＝πl ，所以l ＝2r ， 所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是 πr 2∶12πl 2＝r 2∶12(2r )2＝1∶2.10．如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a ，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为________．答案 (2＋2)a 2解析 由已知可得正方体的边长为22a ，新几何体的表面积为S 表＝2×22a ×a ＋4×⎝⎛⎭⎫22a 2＝(2＋2)a 2.11.有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形几何体的表面积为________．答案 36解析 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1，∴S 表＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36.∴该几何体的表面积为36.12．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．答案 96＋6π解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S ＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.三、解答题13．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．解 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20，在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ， 由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫2a 22＝3a 22＝30.所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．四、探究与拓展14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．答案 7解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．(1)试用x 表示圆柱的高；(2)当x 为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x ，它的轴截面如图，BO ＝1，PO ＝3，圆柱的高为h ，由图，得x 1＝3－h 3，即h ＝3－3x (0＜x ＜1)． (2)∵S 圆柱侧＝2πhx ＝2π(3－3x )x ＝6π(x －x 2)，当x ＝12时，圆柱的侧面积取得最大值为32π. ∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.。

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1.2。

1 平面的基本性质与推论学习目标 1.理解平面的基本性质与推论，能运用平面的基本性质及推论去解决有关问题。

2.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的关系以及图形的性质.3.理解异面直线的概念．知识点一平面的基本性质与推论思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P。

直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在．思考2 观察图中的三脚架,你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面．思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B，C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理（1）平面的基本性质平面内容作用图形基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内（即直线在平面内或平面经判断直线是否在平面内的依据过直线)基本性质2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即不共线的三点确定一个平面)确定平面及两个平面重合的依据基本性质3如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线判断两平面相交，线共点，点共线的依据(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面．知识点二点、直线、平面之间的关系及表示思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及表示文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl,m相交于A l∩m＝A l，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三共面与异面直线思考如图，直线AB与平面α相交于点B，点A在α外,那么直线l与直线AB能不能在同一个平面内?为什么?直线l与直线AB的位置关系是怎样的?答案不可能在同一个平面内，因为如果在同一个平面内,点A就在α内，这与点A在α外矛盾．由图知，直线l与直线AB没有公共点,所以它们不相交,直线l与直线AB不可能平行,否则它们就会同在平面α内,所以直线l与直线AB既不相交也不平行．梳理共面与异面直线(1）共面①概念：空间中的几个点或几条直线，都在同一平面内．②特征：共面的直线相交或者平行．（2）异面直线①概念:既不平行又不相交的直线．②判断方法:与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．（×)2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．（√）类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解在（1)中，α∩β＝l,a∩α＝A,a∩β＝B。

第一章立体几何初步示范教案整体设计教学分析本节课是对第一章根本知识与方法总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生根本知识系统化与网络化，根本方法条理化．值得注意是对于本章知识构造，学生比拟陌生，教师要帮助学生完成，并加以引导．三维目标通过总结与归纳立体几何知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究与思考问题能力，激发学生学习数学兴趣，培养其分类讨论思想与提高其抽象思维能力．重点难点教学重点：①空间几何体构造特征．②由三视图复原为实物图．③面积与体积计算．④平行与垂直判定与性质．教学难点：形成知识网络．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.第一章是整个立体几何根底，为了系统地掌握本章知识与方法，本节对第一章进展复习．教师点出课题．设计2.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获季节，他们既快乐又紧张，因为收获比前面工作更重要，收获多少决定着一年收成．我们前面学习就像播种，今天小结就像收获，希望大家重视今天小结学习．教师点出课题．推进新课新知探究提出问题1请同学们自己梳理本章知识构造.2比照直线与平面、平面与平面平行关系与垂直关系.3比照面积、体积各自之间关系.讨论结果：(1)本章知识构造：(2)平行关系与垂直关系比照：平行垂直直线与平公共点0个1个判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么该直(3)①柱、锥、台侧面积关系：其中c′、c分别为上、下底面周长，h′为斜高或母线长，h为正棱柱或圆柱高．②柱、锥、台体积关系：其中S上、S下分别为台体上、下底面积，h为高，S为柱体或锥体底面积．③球外表积与体积：S球面＝4πR2，V球＝43πR3.应用例如思路1例1 以下几何体是台体是( )解析：A中“侧棱〞没有相交于一点，所以A不是台体；B中几何体没有两个平行面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是圆台．答案：D点评：此题主要考察台体构造特征．像这样概念辨析题，主要是依靠对简单几何体构造特征准确把握．变式训练1．将一个等腰梯形绕着它较长底边所在直线旋转一周，所得几何体包括( )A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥解析：因为梯形两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面．而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体．因此得到一个圆柱、两个圆锥．答案：D2．以下三视图表示几何体是( )A ．圆台B ．棱锥C ．圆锥D ．圆柱解析：由于俯视图是两个同心圆，那么这个几何体是旋转体．又侧视图与正视图均是 等腰梯形，所以该几何体是圆台．答案：A3．以下有关棱柱说法：①棱柱所有棱长都相等；②棱柱所有侧面都是长方形或正方形；③棱柱侧面个数与底面边数相等；④棱柱上、下底面形状、大小一样．正确有__________．解析：棱柱所有侧棱长都相等，但底面上棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱上、下底面是全等多边形，由此可知仅有③④正确．答案：③④2 正方体外接球体积是32π3，那么正方体棱长等于( ) A ．22 B.233 C.423D.433解析：过正方体相对侧棱作球截面，可得正方体对角线是球直径．设正方体棱长为a ，球半径为R ，那么有2R ＝3a ，所以R ＝3a 2.那么4π3(3a 2)3＝32π3，解得a ＝433. 答案：D点评：解决球与其他几何体简单组合体问题，通常借助于球截面来明确构成组合体几何体构造特征及其联系，此题利用正方体外接球直径是正方体对角线这一隐含条件使得问题顺利获解．空间几何体外表积与体积问题是高考考察热点之一．主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中最后一问，题目难度属于中、低档题，以考察根底知识为主，不会出现难题．其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何知识来求解．变式训练1．如以下图(1)所示，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是边长为1正方形，且△ADE、△BCF 均为正三角形，EF∥A B ，EF ＝2，那么该多面体体积为( )A.23B.33C.43D.32(1) (2)解析：如上图(2)所示，过B 作BG⊥EF 于G ，连结CG ，那么CG⊥EF，BF ＝1，△BCG 中，BG ＝32，BC 边上高为22，而S △BCG ＝12×1×22＝24， ∴V F —BCG ＝13×24×12＝224.同理过A 作AH⊥EF 于H ，那么有V E —AHD ＝224，显然BCG —ADH 为三棱柱，∴V BCG —ADH ＝24×1＝24.那么由图(2)可 知V ADE —BCF ＝V F —BCG ＋V E —AHD ＋V BCG —ADH ＝23. 答案：A点评：此题求几何体体积方法称为割补法，经常应用这种方法求多面体体积．割补法对空间想象能力要求很高且割补法目是化不规那么为规那么．2．某个容器底部为圆柱，顶部为圆锥，其主视图如以下图所示，那么这个容器容积为( ) A.7π3 m 3 B.8π3m 3 C ．3π m 3 D ．12π m 3解析：由该容器主视图可知圆柱底面半径为1 m ，高为2 m ，圆锥底面半径为1 m ，高为1 m ，那么圆柱体积为2π m 3，圆锥体积为π3 m 3，所以该容器容积为7π3m 3.答案：A点评：三视图是新课标高考新增内容，在高考中会重点考察，在该知识点出题可能性非常大，应予以重视．此类题目解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及根本量有关信息，这要依靠对三视图理解与把握．3．如以下图所示，一个简单空间几何体三视图其主视图与左视图是边长为2正三角形、俯视图轮廓为正方形，那么其体积是( ) A.423 B.433 C.36 D.83解析：根据三视图，可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为主视图等边三角形高3，所以体积为13×4×3＝433. 答案：B例3 如以下图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 中点．求证：(1)AC⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1.证明：(1)直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC⊥BC.∵C 1C⊥AC，∴AC⊥平面BCC 1B 1.又∵BC 1 平面BCC 1B 1，∴AC⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 交点为E ，连结DE ，∵D是AB中点，E是BC1中点，∴DE∥AC1.∵DE⊂平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.变式训练如以下图(1)，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB ＝60°，且边长为a菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)假设G为AD边中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)假设E为BC边中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你结论．(1) (2)证明：(1)如上图(1)，∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G 为AD中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如上图(2)，连结PG.∵△PAD为正三角形，G为AD中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，且PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(3)解：当F为PC中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：F为PC中点时，在△PBC中，FE∥PB，又在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD.∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：要证两平面垂直，最常用方法是用判定定理：证一个平面内一条直线垂直于另一平面，而线垂直面证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直直线．要善于运用题目给出信息，通过计算挖掘题目垂直与平行关系，这是一种非常重要思想方法，它可以使复杂问题简单化．思路2例4 一个几何体三视图及其尺寸如下(单位：cm)，那么该几何体外表积是__________，体积是__________．活动：学生回忆简单几何体构造特征与三视图．解析：由三视图知该几何体是圆锥，且母线长为5 cm，底面半径是3 cm，圆锥高是4 cm，所以其外表积是π×3×(3＋5)＝24π(cm2)，体积是π3×32×4＝12π (cm3)．答案：24π cm212π cm3点评：此题主要考察三视图与圆锥体积．解决此题关键是由三视图能够想象出圆锥．变式训练1．以下图所示是一个空间几何体三视图，试用斜二测画法画出它直观图(尺寸不限)．分析：先从三视图想象出实物形状，再根据实物形状画出它直观图．解：由三视图可知该几何体是一个正三棱台，画法：(1)如左以下图所示，作出两个同心正三角形在一个水平放置平面内直观图；(2)建立z′轴，把里面正三角形向上平移高大小；(3)连接两正三角形相应顶点，并擦去辅助线，遮住线段用虚线表示，如右上图所示，即得到要画正三棱台．2．水平放置正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面〞表示，左以下图所示是一个正方体外表展开图，假设图中“2”在正方体上面，那么这个正方体下面是( )A ．0B ．7C ．快D ．乐解析：如右上图所示，将左上图折成正方体，可得2下面是7. 答案：B例5 一个正方体顶点都在球面上，它棱长是4 cm ，那么这个球体积等于__________cm 3.解析：正方体对角线是球直径，所以球半径为432＝2 3 (cm)，其体积为4π3(23)3＝323π (cm 3)． 答案：323π点评：解决组合体问题关键是明确组合体构造特征．变式训练1．两一样正四棱锥组成如以下图(1)所示几何体，可以放在棱长为1正方体内，使正四棱锥底面ABCD 与正方体以下图(2)某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体面上，那么这样几何体体积可能值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 解析：方法一：此题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个．方法二：通过计算，显然两个正四棱锥高均为12，考察放入正方体后，面ABCD 所在截面，显然其面积是不固定，取值范围是[12，1)，所以该几何体体积取值范围是[16，13)． 答案：D2．两个半径为1铁球，熔化成一个大球，那么大球外表积为( )A ．6πB ．8πC ．434πD ．832π解析：两小球体积是2×4π3×13＝8π3，设大球半径为R ，那么有4π3R 3＝8π3，解得R ＝32.所以大球外表积为4π(32)2＝434π. 答案：C知能训练1．如以下图，直观图所示原平面图形是( )A ．任意四边形B ．直角梯形C ．任意梯形D ．等腰梯形解析：显然直观图中边A′D′与B′C′都平行于x′轴，所以它们所对应原图形中边AD 、BC 是互相平行；直观图中A′B′与y′轴平行，所以在原图形中对应边AB 垂直于BC ；但是直观图中C′D′与y′轴不平行，所以在原图形中对应边CD 不垂直于BC ，即AB 与CD 不平行．所以原图形应是直角梯形．答案：B2．正方体体积是64，那么其外表积是( )A ．64B ．16C ．96D ．不确定解析：由于正方体体积是64，那么其棱长为4，那么其外表积为6×42＝96.答案：C3．某四面体各个面都是边长为1等边三角形，那么此四面体外表积是( )A．4 B.3 4C．2 3 D.3解析：每个等边三角形面积都是34，所以此四面体外表积是4×34＝ 3.答案：D4．圆柱侧面展开图是边长为6π与4π矩形，那么圆柱全面积为__________．解析：圆柱侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，底＝4π.所以S全＝24π2＋8π.②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6π，即r＝3.所以S底＝9π.所以S全＝24π2＋18π.答案：24π2＋8π或24π2＋18π5．如以下图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥底面是正方形，侧面是全等等腰三角形，底面边长为2 m，高是7 m，制造这个塔顶需要多少铁板？分析：转化为求这个四棱锥侧面积．利用过四棱锥不相邻两侧棱作截面，依此来求侧面等腰三角形面积．解：如以下图所示，连结AC与BD交于O，连结SO，那么有SO⊥OA，所以在△SOA中，SO＝7 (m)，OA＝22×2＝2(m)，那么有SA＝7＋2＝3(m)，那么△SAB面积是12×2×22＝22(m2)．所以四棱锥侧面积是4×22＝8 2 (m2)．答：制造这个塔顶需要8 2 (m2)铁板．6．如以下图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.分析：(1)转化为证明B1D1∥BD；(2)转化为证明AC⊥面BB1D；(3)转化为证明DC1中点与M点连线垂直平面DCC1D1.(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，而BD⊂平面A1BD，B1D1平面A1BD，∴B1D1∥面A1BD.(2)证明：∵BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴BB1⊥AC，又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥面BB1D.而MD⊂面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解：当点M为棱BB1中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC中点N，D1C1中点N1，连结NN1交DC1于O，连结OM，如以下图所示．∵N是DC中点，BD＝BC，∴BN⊥DC；又∵DC是面ABCD与面DCC1D1交线，而面ABCD⊥面DCC1D1，∴BN⊥面DCC1D1.又可证得，O是NN1中点，∴BM∥ON，且BM＝ON，即四边形BMON是平行四边形，∴BN∥OM，∴OM⊥平面CC1D1D，∵OM⊂面DMC1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D.拓展提升问题：如以下图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC 、A 1D 1两个平行截面将长方体分成三局部，其体积分别记为V 1＝VAEA 1—DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1—FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B —C 1F 1C.假设V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，试求截面A 1EFD 1面积．探究：利用体积关系得到面积关系解决此类问题，且灵活应用“转化〞这一重要数学思想．截面A 1EFD 1为一个矩形，求其面积只要求出A 1E 长度．注意到被两平行平面分割而成三局部都是棱柱，其体积比也就是在侧面A 1B 被分割成三个图形面积比，于是容易得到各线段长度比进而得到线段AE 长度，再利用勾股定理容易得到A 1E 长度．解：因为V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，又棱柱AEA 1—DFD 1，EBE 1A 1—FCF 1D 1，B 1E 1B —C 1F 1C 高相等，所以S△A 1AE∶S A 1EBE 1∶S△BB 1E 1＝1∶4∶1.所以S△A 1AE ＝16×3×6＝3， 即12×3×AE＝3. 所以AE ＝2.在Rt△A 1AE 中，A 1E ＝9＋4＝13，所以截面A1EFD1面积为A1E×A1D1＝A1E×AD＝413.答：截面A1EFD1面积为413.课堂小结本节课复习了：1．第一章知识及其构造图；2．三视图与体积、面积有关问题；3．平行与垂直判定．作业复习参考题A 7,8,9题．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是表达学生主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考要求，对课本内容适当拓展，例如关于由三视图复原实物图，课本中没有专题学习，本节课对此进展了归纳与总结．备课资料领悟数学之妙几何学悖论悖论是逻辑学名词，指自相矛盾命题，如果成认这个命题，就可推出它否认，反之如果成认这个命题否认，却又可以推出这个命题．悖论在外表上看来是不可能或者是自相矛盾，然而你经过推理，却发现它们依然是真，悖论不同于狡辩，它只是不自觉地导致了彼此矛盾结果，在推导结果过程中，遵循着一系列无懈可击推理思想前进，结果却令人大吃一惊，突然发现自己已陷入矛盾之中，这就不能不引起人们对悖论兴趣，不仅一般人，而且包括大数学家们．下面举一些几何学方面悖论例子：(1)(2)1．不知去向立方体在上图(1)中画了堆在一起一些立方体，有人数有六个，有人那么数有七个，怎么会数出数相差一个呢？难道7＝6吗？我们可以用两种不同方法去看．一种方法是用面A，B，C来组成小立方体，这样，可以数出有6个小立方体．还可用面A′，B′，C′来组成小立方体，这样，可以数出7个小立方体．由于采用哪种方法去看都同样有理，因此，6个或7个小立方体都是正确．2．彭罗斯台阶如上图(2)是一个称为“彭罗斯台阶〞形体，它是由数学家罗杰尔·彭罗斯创造，人们可以沿着台阶不断向上攀登，而一次又一次地回到自己原来位置，这不就是说“向上等于向下〞吗？当然不可能！只是由于我们眼睛受图画迷惑而认为这种台阶是存在．。

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第2课时平面与平面垂直学习目标1。

理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形。

2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化。

3.掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用．知识点一平面与平面垂直的定义1．条件:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．2．结论:两个平面互相垂直．3．记法:平面α，β互相垂直，记作α⊥β。

知识点二平面与平面垂直的判定定理思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物,做成“铅锤"，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线,则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．梳理平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直图形语言符号语言a⊥α，a⊂β⇒α⊥β知识点三平面与平面垂直的性质定理思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．梳理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥β，α∩β＝CD,BA⊂α，BA⊥CD，B为垂足⇒BA⊥β1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．（√）2．若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β。

新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]（可编辑）新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线,平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义,判定和性质。

难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言,图形语言和符号语言的转化。

平行,垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。

以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。

数学必修2立体几何第一章全部教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。

（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。

（2）实物模型、投影仪四、教学过程：一、创设情景，揭示课题1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何世间万物，为何千姿百态2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形在空间范围上研究过哪些23. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算.二、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：①提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象②讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征③定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.④分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’⑤讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？⑥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. →讨论：棱锥如何分类及表示？⑦讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质有什么共同的性质棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：①讨论：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.→列举生活中的棱柱实例→结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. →表示方法③讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征→柱体、锥体.④观察书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.33.质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。

1．1．1 构成空间几何体的基本元素1．了解几何体的基本元素．2．理解平面的概念．3．掌握平面的画法及表示方法．1．几何体如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，围成长方体的各个矩形，叫做长方体的面；相邻两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．(2)长方体有6个面，12条棱，8个顶点．(3)点、线、面是构成几何体的基本元素．3．空间点、线、面的特征(1)线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是处处平直的面，而曲面就不是处处平直的．(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成无限延展的．平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．(4)一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．(5)直线平行移动，可以形成平面或曲面．固定射线的端点，让其绕着一个圆弧转动，可以形成锥面．4．几个定义的比较位置关系定义图形符号表示平行线面如果直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行AB∥平面α面面如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行平面α∥平面β垂直线面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直l⊥平面α面面如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β距离点面点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离两平面夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离1．关于平面下列说法正确的是( )A．平行四边形是一个平面B．平面是有大小的C．平面是无限延展的D．长方体的一个面是平面答案：C2．下列说法中错误的是( )A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可以写成平面ABCD．一条直线和一个平面可能没有公共点答案：C3．直线平行移动一定形成平面吗？解：不一定，还可能形成曲面．平面概念的理解判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．【解】(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．给出下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A．平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．应选择A．构成空间几何体的基本元素下列元素属于构成几何体的基本元素的有( )①点；②线；③曲面；④平行四边形(不含内部的点)；⑤长方体；⑥线段．A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】①②③⑥均为构成几何体的基本元素，只有④⑤不属于构成几何体的基本元素，故选B．【答案】 B点、线、面是构成几何体的基本元素，任何一个几何体都是由这些基本元素组成的，而其他图形有时也能构成另外复杂的几何体，但是不能称之为基本元素．以下结论中正确的是( )A．“点动成线”中的线一定是直线B．直线运动的轨迹一定是平面或曲面C．曲面上一定没有直线D．平面上一定有曲线答案：D长方体中基本元素间的位置关系如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线B1C1平行的平面有哪几个？(2)与直线B1C1垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC1平行的平面有哪几个？(4)与平面BC1垂直的平面有哪几个？【解】(1)与直线B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)与直线B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)与平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)与平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B1C1”改为“直线BC1”，再去解答前两个小题．解：(1)与直线BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所给6个平面中，与直线BC1垂直的平面不存在．以长方体为载体研究几何体中的点、线、面的关系，有助于形成空间观念，也可以利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．通常所说“点动成线，线动成面，面动成体”中的线可能是曲线或直线，面也可能是平面或曲面，到底是哪一种，取决于其运动的方向与方式．1．下列命题：①正方形是一个平面；②平面是有边界的；③20个平面重合在一起比一个平面厚20倍．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飞机飞行表演在空中留下漂亮的“彩带”，用数学知识解释为________．答案：点动成线3．一个平面将空间分成________部分；两个平面将空间分成________部分．答案：2 3或4,[学生用书P77(单独成册)])[A 基础达标]1．下列不属于构成几何体的基本元素的是( )A．点B．线段C．曲面D．多边形(不含内部的点)解析：选D．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．已知下列三个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面是矩形的形状；③一个平面的面积可以等于1 m2．其中正确结论的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．在立体几何中，平面是无限延展的，所以①③错误；通常我们画一个矩形来表示一个平面，但并不是说平面就是矩形，故②错．3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与对角线BD1既不相交又不平行的棱有( )A．3条B．4条C．6条D．8条解析：选C．在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上、下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条．4．下面给出的四个平面图形能制作成正方体的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．可制作成上述四个平面图形，然后折叠而得．5．下列命题正确的是( )A．直线的平移只能形成平面B．直线绕定直线旋转肯定形成柱面C．直线绕定点旋转可以形成锥面D．曲线的平移一定形成曲面解析：选C．直线的平移，可以形成平面或曲面，命题A不正确；只有当两直线平行时旋转形成柱面，命题B不正确；曲线平移的方向与曲线本身所在的平面平行时，不能形成曲面，D不正确，只有C正确．故选C．6．在以下几种几何体的图形中，正方体ABCD­A1B1C1D1不可以由四边形________(填序号)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方体ABCD­A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方体ABCD­A1B1C1D1．答案：④7．把如图的平面沿虚线折叠可以折叠成的几何体是________．解析：图中由六个长方形组成，可以动手折叠试验，得到长方体．答案：长方体8．下列关于长方体的说法中，正确的是________．①长方体中有3组对面互相平行；②长方体ABCD­A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；④长方体ABCD­A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD 和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各题说法对吗？(1)点运动的轨迹是线；(2)线运动的轨迹一定是面；(3)面运动的轨迹一定是体．答案：(1)正确；(2)错误；(3)错误10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为5、4、3，试分别求面ABCD与面A1B1C1D1，面ADD1A1与面BCC1B1，面ABB1A1与面DCC1D1间的距离．解：因为面ABCD∥面A1B1C1D1，AA1与该两平面垂直．且长方体的高为3．所以面ABCD与面A1B1C1D1之间的距离为3．同理：面ADD1A1与面BCC1B1之间的距离为5．面ABB1A1与面DCC1D1之间的距离为4．[B 能力提升]11．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )A．梯形B．菱形C．平行四边形D．四边形解析：选D．四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四边形．12．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同的距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．解析：①是错误的，面与矩形是不同的．答案：②③13．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断平面AB1D1和平面BC1D的位置关系．解：因为平面AB1D1和平面BC1D不论怎样延展都是没有交点的，所以它们互相平行．14．(选做题)要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你能从中得出什么规律来吗？解：需要剪断7条棱．因为正方体有6个面，12条棱，两个面有一条棱相连，展开后六个面就有5条棱相连，所以剪断7条棱．规律是正方体的平面展开图只能有5条棱相连，但是，有5条棱相连的6个正方形图形不一定是正方体的平面展开图．。

1.2.2 第3课时平面与平面平行学习目标 1.掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系.3.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．知识点一平面与平面平行的判定思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？梳理平面平行的判定定理及推论判定定理推论文字语言如果一个平面内有________________平行于另一个平面，那么这两个平面平行如果一个平面内有________________分别平行于另一个平面内的________________，则这两个平面平行符号语言l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，l∩m＝A⇒α∥βa∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β图形语言知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？思考2 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？梳理平面平行的性质定理及推论性质定理推论文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G⇒ABBC ＝EFFG图形语言类型一平面与平面平行的判定例1 如图所示，在正方体AC1中，M，N，P分别是棱C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.引申探究若本例条件不变，求证：平面CB1D1∥平面A1BD.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.类型二面面平行性质的应用命题角度1 与面面平行性质有关的计算例2 如图，平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS的长．引申探究若将本例改为：点S在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS的长．反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．命题角度2 利用面面平行证明线线平行例3 如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．反思与感悟本例充分利用了▱A′B′C′D′的平行关系及AA′，BB′，CC′，DD′间的平行关系，先得出线面平行，再得面面平行，最后由平面平行的性质定理得线线平行．跟踪训练3 如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形．类型三平行关系的综合应用例4 设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P 分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，使得平面D1BQ∥平面PAO?1．下列命题中正确的是( )A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定4．若平面α∥平面β，a⊂α，下列说法正确的是________．①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.1．常用的平面与平面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图答案精析问题导学知识点一思考1 不一定．思考2 平行．梳理两条相交直线两条相交直线两条直线知识点二思考1 是的．思考2 平行．梳理平行成比例a∥b题型探究例1 证明如图，连接B1C.由已知得A1D∥B1C，且MN∥B1C，∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.连接B1D1，同理可证PN∥平面A1BD.又∵MN⊂平面MNP，PN⊂平面MNP，且MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.引申探究证明因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以DD1綊BB1，所以BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，同理A1D∥平面CB1D1.又BD∩A1D＝D，所以平面CB1D1∥平面A1BD.跟踪训练1 证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.例2 证明设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC＋CD ＝SA SB，即SC SC ＋34＝89， 所以SC ＝272.引申探究解 设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD .因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点，所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CS DS. 设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16， 即CS ＝16.跟踪训练2 439解析 AA ′，BB ′相交于O ，所以AA ′，BB ′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB ，A ′B ′，有AB ∥A ′B ′，且OA OA ′＝AB A ′B ′＝32，同理可得OA OA ′＝AC A ′C ′＝32，OA OA ′＝BC B ′C ′＝32，所以△ABC ，△A ′B ′C ′面积的比为9∶4，又△ABC 的面积为3， 所以△A ′B ′C ′的面积为439. 例3 证明 ∵四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，∴A ′D ′∥B ′C ′.∵A ′D ′⊄平面BB ′C ′C ，B ′C ′⊂平面BB ′C ′C ，∴A ′D ′∥平面BB ′C ′C .同理AA ′∥平面BB ′C ′C .∵A ′D ′⊂平面AA ′D ′D ，AA ′⊂平面AA ′D ′D ，且A ′D ′∩AA ′＝A ′，∴平面AA ′D ′D ∥平面BB ′C ′C .又∵AD ，BC 分别是平面ABCD 与平面AA ′D ′D ，平面BB ′C ′C 的交线，∴AD ∥BC .同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．跟踪训练3 证明如图，连接AC，BD，交点为O，连接A1C1，B1D1，交点为O1，连接BD1，EF，OO1，设OO1的中点为M，由正方体的性质可得四边形ACC1A1为矩形．又因为E，F分别为AA1，CC1的中点，所以EF过OO1的中点M，同理四边形BDD1B1为矩形，BD1过OO1的中点M，所以EF与BD1相交于点M，所以E，B，F，D1四点共面．又因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面EBFD1∩平面ADD1A1＝ED1，平面EBFD1∩平面BCC1B1＝BF，所以ED1∥BF.同理，EB∥D1F.所以四边形BED1F是平行四边形．例4 证明如图，过点A作AE∥CD交平面β于点E，连接DE，BE.∵AE∥CD，∴AE，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.又α∥β，∴AC∥DE(平面平行的性质定理)，取AE的中点N，连接NP，MN，∵M，P分别为AB，CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β，∴NP∥β，MN∥β，∵NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP⊂平面MNP，MP⊄β，∴MP∥β.跟踪训练4 解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，连接PQ，如图，易证四边形PQBA是平行四边形，∴QB∥PA.又∵AP⊂平面APO，QB⊄平面APO，∴QB∥平面APO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.同理可得D1B∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.当堂训练1．B 2.A 3.A 4.②④5．证明如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.。