学案1：8.5.3 平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．(重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.【自主预习】1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．2．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线．思考：如果两个平面平行，那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗？【基础自测】1．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，则直线a，b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．垂直2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是() A．平行B．相交C．异面D．平行或异面3．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则()A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交4．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究](1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．【规律方法】平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【跟踪训练】1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？【例2】 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[母题探究]1. 将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝ .2．将本例改为：若点P 在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD 的长．3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证：ABBC＝EFFG.【规律方法】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：类型三平行关系的综合应用【例3】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面P AD.【规律方法】1．证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理．(4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．【跟踪训练】2．如图，三棱锥A­BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.【课堂小结】1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．【当堂达标】1．判断正误(1)α内有无数多条直线与β平行，则α∥β.()(2)直线a∥α，a∥β.则α∥β.()(3)直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，则α∥β.()(3)α内的任何直线都与β平行，则α∥β.()2．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线4．用一个平面去截三棱柱ABC­A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为．(填序号)①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD.求证：BC＝2EF.【参考答案】【自主预习】1．(1)相交(2)a∩b＝P2．(1)平行(2)β∩γ＝b(4)平行思考：[提示]不一定．它们可能异面．【基础自测】1．A[根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]2．A[因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.] 3．C[假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.]4．A[由面面平行的性质定理易得．]【合作探究】类型一平面与平面平行的判定【例1】[解](1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF，∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM ⊄平面BDFE ，DF ⊄平面BDFE ，∴AM ∥平面BDFE . 又∵AM ∩MN ＝M ，∴平面MAN ∥平面EFDB .【跟踪训练】1．[证明] ∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP . 又∵BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .∵四边形ABCD 为平行四边形．∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .又∵BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又∵MQ ∩NQ ＝Q ，∴平面MNQ ∥平面PBC . 类型二平面与平面平行的性质[探究问题]1．[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a ；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b .以上三个条件缺一不可．2．[提示] 联系如下：【例2】[解] 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ， 因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，所以BD ＝245. [母题探究]1. 15 [由题可知DE DF ＝AB AC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.] 2．[解] 与本例同理，可证AB ∥CD .所以P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，所以BD ＝24.3．[证明]连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝EF FG.类型三平行关系的综合应用【例3】[证明]如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO，而AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴P A∥平面BMD，又∵P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD，GH⊄平面P AD，∴GH∥平面P AD.【跟踪训练】2．[证明]由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.【当堂达标】1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．D[如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．D[由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．] 4．②⑤[当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH 为梯形．]5．[证明]因为平面EFG∥平面BCD，平面ABD∩平面EFG＝EG，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，又G为AD的中点，故E为AB的中点，同理可得，F为AC的中点，所以BC＝2EF.。

8.5.3平面与平面平行高一数学组备课组一、教材分析本节内容选自普通高中数学高一必修第二册（A版）第八章《立体几何初步》8.5.3节，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。

本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知操作确认(合情推理)，归纳出平面与平面平行的判定定理。

本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。

二、教学目标1．结合具体实物探究并理解平面与平面平行的判定定理，培养学生观察问题和分析问题的能力，发展直观想象素养；2．探究并证明平面与平面平行的性质定理，提升学生逻辑推理素养．三、教学重难点教学重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理．教学难点：判定定理的探究中将“任意直线”转化为“两条相交直线”，性质定理的探究中第三个平面的提出．四、教学过程一、情景引入两个平面平行可以通过定义来判断，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断．数学中的“定义”都是充要条件，类似于研究直线与平面平行的判定那样，能否简化平面与平面平行的判定方法呢？【设置意图】有利于学生今后对两个平面平行的理解，有利于基本几何元素位置关系的转化，有利于探究意识的形成．二、探究新知问题：平面内的直线有无数多条，我们难以对所有直线逐一检验，能否将“一个平面内的任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少，得到更简便的方法？【设置意图】在学生猜想的基础上，师生对话，举出反例．探究：根据基本事实的推论2，3，两条平行直线或两条相交直线，都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线与另一个平面平行”和“一个平面内两条相交直线与另一个平面平行”，能否判断这两个平面平行？在学生动手操作、合情猜想的基础上，设计如下“观察—探究”的活动：如图1(1)，a，b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行．请观察硬纸片和桌面平行吗？如图1(2)，c，d分别是三角尺的两条边所在直线，它们都和桌面平行，请观察这个三角尺与桌面平行吗？【设置意图】通过层层递进的问题，将“利用定义”判断，转化为“利用任意直线”来判断，再转化为“利用两条相交直线”来判断．体现了直观感知、操作确认这一立体几何的研究方法在发现图形位置关系中的作用．问题：为什么不能用一个平面内两条平行直线平行于另一个平面判断两个平面平行，而可以用两条相交直线平行另一个平面判断两个平面平行？联想平面向量基本定理，你能对面面平行判定定理做出进一步解释吗？如图8．5－12，在平面A ADD ''内画一条与A A '平行的直线EF ，显然A A '与EF 都平行于平面D DCC ''，但这两条平行直线所在的平面A ADD ''与平面D DCC ''相交．如图8.5-13的长方体模型中，平面ABCD 内两条相交直线AC ，BD 分别与平面A ′B ′C ′D ′内两条直线A ′C ′，B ′D ′平行 ．由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC ，BD 都与平面A ′B ′C ′D ′平行．此时，平面ABCD 平行于平面A ′B ′C ′D ′．定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ．它可以用符号表示为：//////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒，，，，问题：在实际生活中，你见过工人师傅怎样判断两个平面平行吗？你能说明这么做的道理吗？【设置意图】使学生了解判定定理在实际生活中的应用，培养学生的应用意识，进一步加强对判定定理的理解．三、例题精讲例已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面C1B D．追问：（1）看到要证明的结论，你能想到用什么方法？（学生活动预设：两个平面平行的判定定理．）（2）你能发现平面AB1D1和平面C1BD中哪个平面中的两条相交直线平行另一个平面吗？又怎样证明一条直线平行于一个平面呢？问题：下面我们研究平面与平面平行的性质．类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些结论？追问：从哪些角度考虑我们能得到的结论？追问：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候这两条直线平行呢？你能够将上面的探究结果抽象为一般结论，并证明你的结论吗？定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．例题求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB ＝C D ．追问：证明两条线段相等的方法很多，在本题条件下，要证明AB ＝CD ，你想到了什么？【设置意图】熟悉性质定理的应用，规范格式，了解平面与平面其他的一些性质．四、巩固练习1.判断下列命题是否正确．（1）已知平面βα，和直线n m ，，若ββαα////n m n m ，，，⊂⊂，则βα//．（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则βα//．（3）平行于同一条直线的两个平面平行．2.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，F E N M ，，，分别是棱11111111D C C B D A B A ，，，的中点．求证：平面//AMN 平面.DBEF五、课堂小结小结：直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法,你还有哪些疑惑？【设置意图】梳理本节课内容，提升学生的语言表达能力.六、课后作业1.如图，直线C C B B A A '''，，相交于点O ，O A AO '=，O B BO '=，O C CO '=.求证：平面//ABC 平面C B A '''.2.如图，在三棱锥ABC P -中，R F E D ，，，分别是棱AB PC PB PA ，，，上的点，且平面//DEF 平面ABC ，直线PR 交直线DE 于Q .求证：直线//CR 直线FQ .七、教后回顾反思：1.本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知操作确认(合情推理)，归纳出平面与平面平行的判定定理。

8.5.3 平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。

本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。

空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。

而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。

本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。

本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。

1.教学重点：空间平面与平面平行的判定定理；2.教学难点：应用平面与平面平行的判定定理解决问题。

多媒体一、复习回顾，温故知新1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? 【答案】（1）定义法；（2）直线与平面平行的判定定理2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 【答案】相交、平行3.怎样判断两平面平行？ 二、探索新知1.思考：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？ 【答案】平行，平行探究：如图8.5-11（1）,a 和b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图8.5-11（2),c 和d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】硬纸片与桌面可能相交，如图，三角尺与桌面平行，如图，平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a通过复习以前所学，引入本节新课。

- 1 - / 3第6课时平面与平面平行1．两个平面的位置关系： 2．两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (记忆口诀：线面平行，则面面平行) 3、两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行． (记忆口诀：面面平行，则线线平行) 4．两个平行平面距离和两个平行平面同时的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的，两个平行面的公垂线段的，叫做两个平行平面的距离．例1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1中点． (1) 求证：平面AMN ∥平面EFDB ； (2) 求异面直线AM 、BD 所成角的余弦值． 解：(1) 易证EF ∥B 1D 1 MN ∥B 1D 1∴EF ∥MN AN ∥BE 又MN∩AN ＝N EF∩BE ＝E ∴面AMN ∥面EFDB(2) 易证MN ∥BD ∴∠AMN 为AM 与BD 所成角 易求得 cos ∠AMN ＝1010变式训练1：如图，α∥β，AB 交α、β于A 、B ，CD 交α、β于C 、D ，AB ⋂CD ＝O ，O 在两平面之间， AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ． 解：依题意有AC ∥DBOD COOB AO =即OD685=∴OD ＝548∴CD ＝548＋6＝578例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且nm FDCF EBAE ==．求证：EF ∥α∥β．证明：1°若AB 与CD 共面，设AB 与CD 确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BDA 1 ABC B 1 C 1 EF M ND 1 DBDβ αACO- 2 - / 3∵α∥β ∴AC ∥BD 又∵FDCFEB AE =∴EF ∥AC ∥BD ∴EF ∥α∥β 2°若AB 与CD 异面，过A 作AA'∥CD 在AA'截点O ，使nmFD CF EB AE OA AO ===1' ∴EO ∥BA' OF ∥A'D∴平面EOF ∥α∥β ∴EF 与α、β无公共点 ∴EF ∥α∥β变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．证明：(1) 连BC 1易知AP 在BCC 1B 1内射影是BC 1 BC 1⊥MN ∴AP ⊥MN (2) ∵⇒⎭⎬⎫PM B A BD PN ////1面MNP ∥面A 1BD例3.已知a 和b 是两条异面直线．(1) 求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使α∥β； (2) 求证：a 、b 间的距离等于平面α与β的距离．(1) 在直线a 上任取一点P ，过P 作b'∥b ，在直线b 上取一点Q 过Q 作a'∥a 设a, b'确定一个平面α a', b 确定平面β a'∥aa ⊂α ∴a'∥α 同理b ∥α 又a'、b ⊂β ∴α∥β 因此，过a 和b 分别存在两个平面α、β(2) 设AB 是a 和b 的公垂线，则AB ⊥b ，AB ⊥a ∴AB ⊥a' a'和b 是β内的相交直线，∴AB ⊥β 同理AB ⊥α 因此，a, b 间的距离等于α与β间的距离．变式训练3：如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72，试求△DEF 的面积．解：平面α∥平面β，∴AB ∥DF ，AC ∥DE ， ∴∠CAB ＝∠EDF ．在△PDF 中，AB ∥DF ，DF ＝AD PA PA +AB ＝37AB ，同理DE ＝74AC ．QFD ECABαβP- 3 - / 3S △DEF ＝21DF·DE sin ∠EDF ＝34S △ABC ＝96．例4.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、β内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．解：∵α∥β AA 1∩BB 1＝O ∴AB ∥A 1B 1 同理AC ∥A 1C 1 BC ∥B 1C 1∴△ABC ∽△A 1B 1C 1 S △ABC ＝21AB·AC·sin60°＝2323111==OA OA B A AB ∴49111=∆∆C B A ABC S S ∴111C B A S ∆＝932 变式训练4：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值． （1）证：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， 所以AB ＝AD ＝AC ＝a ，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2a 2＝PB 2知PA ⊥AB ， 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ． 因为PB ＝PD ＋DC ＋CB ＝2ED ＋DC ＋DA ＝(ED ＋DA )＋(ED ＋DC )＝EA ＋EC ∴PB 、EA 、EC 共面．PB ⊄平面EAC ，所以PB ∥平面EAC ．（2） 解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ∥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG ＝21a ，AG ＝21a ，GH ＝AG sin 60°＝43a ，332． 1．判定两个平面平行的方法：(1)定义法；(2)判定定理． 2．正确运用两平面平行的性质．3．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．B 1A 1C 1 βα BCAO DEACBP。

8.5.3.2 平面与平面平行的性质【新知初探】要点两平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒图形语言[判断]1.若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.( )2.夹在两平行平面间的平行线段相等.( )[训练]1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线【题型通关】题型一利用面面平行的性质定理求线段长【例1】如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.跟踪训练1如图，已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________.题型二利用面面平行的性质定理证明线线平行【例2】如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.跟踪训练2如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.题型三平行关系的综合应用【例3】如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.跟踪训练3如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.【课堂达标】1.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一平面.其中正确的命题的个数为()A.1B.2C.3D.02.平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A.AB∥CDB.AD∥CBC.AB与CD相交D.A，B，C，D四点共面3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是()A.相似但不全等的三角形B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形D.以上结论都不对4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝22，点E为A1D1的中点，点F在C1D1上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.【札记】参考答案【新知初探】平行a∥b【基础自测】[判断]1.×直线l和m也可能是异面直线.2.√[训练]1.解析由面面平行的性质定理易得.答案 A2.解析由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.答案 D【题型通关】【例1】解设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，所以SCSC＋CD＝SASB，即SCSC＋34＝39，所以SC＝17.跟踪训练1解析由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，所以ABAC＝DEDF，所以AC＝DFDE·AB＝52×6＝15.答案15【例2】证明∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.同理可证AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.跟踪训练2证明因为D，E分别是P A，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 【例3】(1)证明如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)解由(1)易知PQ＝12D1C＝22a.(3)证明法一取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝12B1C1.又BE∥B1C1且BE＝12B1C1，所以BE ∥FO 1，BE ＝FO 1， 所以四边形BEFO 1为平行四边形， 所以EF ∥BO 1.又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .法二 取B 1C 1的中点E 1，连接EE 1，FE 1， 则有FE 1∥B 1D 1，EE 1∥BB 1，且FE 1∩EE 1＝E 1，FE 1，EE 1⊂平面EE 1F ，B 1D 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ， 所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D . 又EF ⊂平面EE 1F ， 所以EF ∥平面BB 1D 1D .跟踪训练3 解 能.如图，分别取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，平面A 1MCN ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1N ，平面ABCD ∩平面A 1MCN ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理A 1M ∥NC . ∴四边形A 1MCN 是平行四边形.∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ， ∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1.同理A 1M ∥BP .又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，A 1N ，A 1M ⊂平面A 1MCN ，C 1P ，PB ⊂平面PBC 1，∴平面A1MCN∥平面PBC1.故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN. 连接MN，作A1H⊥MN于点H.由题意，易得A1M＝A1N＝5，MN＝2 2.∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝2，∴A1H＝ 3.故S菱形A1MCN ＝2S△A1MN＝2×12×22×3＝2 6.【课堂达标】1.解析根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.答案 C2.解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立.答案 D3.解析由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.答案 B4.解析设平面AB1C∩平面A1C1＝m.∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面A1C1，∴EF∥m.又平面A1C1∥平面AC，平面AB1C∩平面A1C1＝m，平面AB1C∩平面AC＝AC，∴m∥AC，∴EF∥AC.又A1C1∥AC，∴EF∥A1C1.∵E为A1D1的中点，∴EF＝12A1C1＝2.答案 25.证明过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则B1EB1A＝B1GB1B.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B.∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.。

2.2.4学案--平面与平面平行的性质本节主要目标：1.掌握两平面平行的性质，利用性质解决简单问题（重点）；2.能准确对各性质进行严格的推理论证（难点）；3.认识事物的相互联系,通过类比的思想进行探究.加强知识迁移意识，提高探求问题的能力（数学思想）.一．回顾旧知：1.两平面的位置关系有种，分别是和2.直线和平面平行的判定和性质分别是什么？⇔3.咱们学过证明线线平行的方法有几种？①定义：在内无 .（最原始方法）②利用角的关系证明平行（初中常用方法）.③线面平行的性质定理（线面平行⇒线线平行）.还有其他方法吗？4.如何判断两个平面平行？（最基本的两种）①定义：关键看两个平面有无②判定定理：⇒二．新知探索平面与平面平行的判定定理解决了面面平行的条件问题，反之，在面面平行的条件下，可以得到什么结论呢？（提示：利用上节课探究线面平行性质的思路）1.通过直观感知判断下列命题是否正确，正确的画出相关的图形，并能进行简单的证明；错误的举出反例（观察生活中实物模型）（1） 若βα//，则α内的任意一条直线都与β平行.（2） 若βα//，l //α,则l 必与β平行.（3） 若βα//，直线l ,A =⋂α则l 必与β相交.（4） 若βα//，有一个平面γ与α相交，则γ与β必相交.（5） 若βα//，a α⊂,b ,则a//b.（6） 若βα//，=⋂βαa,=⋂γβb ,则a//b.（7） 夹在两平行平面间的平行线段相等.（8） 若βα//，γβ//，则γα//.问：能否用自己的语言和数学语言总结出面面平行的几个主要性质？三：简单应用1.已知βα// ，直线 α⊂a ，给出下列四个命题，其中真命题的为（1）a 与α内的所有直线平行（2）a 与α 内的无数条直线平行（3）a 与α内的任何一条直线都不垂直（4）a 与α无公共点2.若三个平面把空间分为6个部分，那么这三个平面的位置关系是（）A.三个平面共线B. 三个平面两相交C.有两个平面平行且与第三个平面相交D.三个平面共线，或有两个平面平行且与第三个平面相交四.课堂总结总结本节课的主要内容和主要的数学思想能力提升：在正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，点M 在CD ′上，试判断直线B ′M与平面A ′BD 的位置关系，并说明理由： A ′ B ′ C ′D ′ABC D M。

【新教材】8.5.3 平面与平面平行教学设计（人教A版）第2课时平面与平面平行的性质在平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面平行关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的平行关系有一个整体的认知，线线平行、线面平行、面面平行是可以相互转化的.课程目标1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面平行的性质定理.难点：平面和平面平行的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本141-142页，思考并完成以下问题1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?2、满足什么条件时两个平面平行？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?答案:平行.探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】证明见解析【解析】如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证：AB=CD.证明： 因为AB//CD，所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β，所以BD//AC.因此四边形ABCD是平行四边形.所以AB=CD解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.跟踪训练一1、如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.【答案】证明见解析【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理EF ∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF ∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF ∥MC.题型二 平行关系的综合应用例2 如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q 分别是BC,C 1D 1,AD 1,BD 的中点.(1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1;(2)求PQ 的长;(3)求证:EF ∥平面BB 1D 1D.【答案】（1）见解析（2 a. (3)见解析.【解析】(1)法一　如图,连接AC,CD 1.因为P,Q 分别是AD 1,AC 的中点,所以PQ ∥CD 1又PQ ⊄平面DCC 1D 1,CD 1⊂平面DCC 1D 1,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.法二　取AD 的中点G,连接PG,GQ,则有PG ∥DD 1,GQ ∥DC,且PG∩GQ=G,所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ=12D 1 a.(3)法一　取B 1D 1的中点O 1,连接FO 1,BO 1,则有FO 112B 1C 1.又BE 12B 1C 1,所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形,所以EF ∥BO 1,又EF ⊄平面BB 1D 1D,BO 1⊂平面BB 1D 1D,所以EF ∥平面BB 1D 1D.法二　取B 1C 1的中点E 1,连接EE 1,FE 1,则有FE 1∥B 1D 1,EE 1∥BB 1,且FE 1∩EE 1=E 1,所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D.又EF ⊂平面EE 1F,所以EF ∥平面BB 1D 1D.解题技巧 (空间平行关系的注意事项)直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.跟踪训练二1、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ 与平面PAO 平行?【答案】证明见解析【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,点M 在AA 1上,平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1=BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M.假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1=AP,可得AP ∥D 1M,所以BQ ∥D 1M ∥AP.因为P 为DD 1的中点,所以M 为AA 1的中点,Q 为CC 1的中点,故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本142页练习4题，143页习题8.5的剩余题.直线与直线平行，直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系捋顺.。

平面与平面平行的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解平面与平面平行的概念。

2. 让学生掌握平面与平面平行的判定方法。

3. 培养学生的空间想象能力和思维能力。

二、教学内容：1. 平面与平面平行的定义。

2. 平面与平面平行的判定方法。

3. 判定平面与平面平行的条件。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面与平面平行的判定方法。

2. 教学难点：判定平面与平面平行的条件。

四、教学方法：1. 采用讲解法，让学生理解平面与平面平行的概念和判定方法。

2. 采用案例分析法，分析判定平面与平面平行的条件。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作学习和思考问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考平面与平面之间的关系。

2. 讲解平面与平面平行的定义，让学生理解平面与平面平行的概念。

3. 讲解平面与平面平行的判定方法，让学生掌握判定平面与平面平行的方法。

4. 分析判定平面与平面平行的条件，通过案例让学生学会运用判定方法。

5. 课堂练习：让学生运用所学知识，判断给定的平面是否平行。

7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对平面与平面平行概念的理解程度。

2. 通过案例分析和小组讨论，评价学生对平面与平面平行判定方法的掌握情况。

3. 通过课后作业和练习题，评价学生对判定平面与平面平行条件的应用能力。

七、教学资源：1. 教学PPT：包含平面与平面平行的定义、判定方法及案例分析。

2. 实物模型：用于直观展示平面与平面之间的关系。

3. 练习题库：包括不同难度的题目，用于巩固所学知识。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍平面与平面平行的概念及判定方法。

2. 第二课时：分析判定平面与平面平行的条件，进行案例分析。

3. 第三课时：课堂练习，巩固所学知识。

九、教学反思：1. 课后收集学生作业，分析学生对知识的掌握情况。

2. 反思教学方法是否适合学生，如有需要，调整教学策略。

【新教材】8.5.3 平面与平面平行教学设计（人教A版）第2课时平面与平面平行的性质在平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面平行关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的平行关系有一个整体的认知，线线平行、线面平行、面面平行是可以相互转化的.课程目标1．理解平面和平面平行的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面平行的性质定理，线线平行、线面平行、面面平行之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面平行的性质定理.难点：平面和平面平行的性质定理的应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入如图,过长方体ABCD-A1B1C1D1的棱上三点E,F,G的平面与上底面A1B1C1D1和下底面ABCD的交线有什么关系?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本141-142页，思考并完成以下问题1、如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?2、满足什么条件时两个平面平行？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究探究1:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线和另一个平面有什么样的位置关系?答案:平行.探究2:平行于同一个平面的两个平面什么关系?答案:平行.四、典例分析、举一反三题型一平面与平面平行的性质定理的应用例1 夹在两个平行平面间的平行线段相等.【答案】证明见解析【解析】如图,α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.求证：AB=CD.证明： 因为AB//CD，所以过AB，CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α//β，所以BD//AC.因此四边形ABCD是平行四边形.所以AB=CD解题技巧（性质定理应用的注意事项）面面平行的性质定理是由面面平行得到线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,所以构造三个平面:即两个平行平面,一个经过两直线的平面,有时需要添加辅助面.跟踪训练一1、如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点,M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF.求证:NF∥CM.【答案】证明见解析【解析】因为D,E,F分别为PA,PB,PC的中点,所以DE∥AB,又DE ⊄平面ABC,AB ⊂平面ABC,所以DE ∥平面ABC,同理EF ∥平面ABC,又DE∩EF=E,所以平面DEF ∥平面ABC,又平面PMC∩平面ABC=MC,平面PMC∩平面DEF=NF,由面面平行的性质定理得,NF ∥MC.题型二 平行关系的综合应用例2如图,在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F,P,Q 分别是BC,C 1D 1,AD 1,BD 的中点.(1)求证:PQ ∥平面DCC 1D 1;(2)求PQ 的长;(3)求证:EF ∥平面BB 1D 1D.【答案】（1）见解析（2 a. (3)见解析. 【解析】(1)法一 如图,连接AC,CD 1.因为P,Q 分别是AD 1,AC 的中点, 所以PQ ∥CD 1又PQ ⊄平面DCC 1D 1, CD 1⊂平面DCC 1D 1, 所以PQ ∥平面DCC 1D 1. 法二 取AD 的中点G,连接PG,GQ,则有PG ∥DD 1,GQ ∥DC,且PG∩GQ=G, 所以平面PGQ ∥平面DCC 1D 1.又PQ ⊂平面PGQ,所以PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)由(1)易知PQ=12D 1 a. (3)法一 取B 1D 1的中点O 1,连接FO 1,BO 1,则有FO 112B 1C 1. 又BE 12B 1C 1,所以BE FO 1.所以四边形BEFO 1为平行四边形,所以EF ∥BO 1,又EF ⊄平面BB 1D 1D,BO 1⊂平面BB 1D 1D,所以EF ∥平面BB 1D 1D.法二 取B 1C 1的中点E 1,连接EE 1,FE 1,则有FE 1∥B 1D 1,EE 1∥BB 1,且FE 1∩EE 1=E 1,所以平面EE 1F ∥平面BB 1D 1D.又EF ⊂平面EE 1F,所以EF ∥平面BB 1D 1D.解题技巧 (空间平行关系的注意事项)直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系,具体转化过程如图所示.跟踪训练二1、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ 与平面PAO 平行?【答案】证明见解析【解析】如图,设平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,点M 在AA 1上,平面D 1BQ∩平面BCC 1B 1=BQ,平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1,由面面平行的性质定理可得BQ ∥D 1M.假设平面D 1BQ ∥平面PAO,由平面D 1BQ∩平面ADD 1A 1=D 1M,平面PAO∩平面ADD 1A 1=AP,可得AP ∥D 1M,所以BQ ∥D 1M ∥AP.因为P 为DD 1的中点, 所以M 为AA 1的中点,Q 为CC 1的中点, 故当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面PAO. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本142页练习4题，143页习题8.5的剩余题.直线与直线平行，直线与平面平行,平面与平面平行的判定定理、性质定理,揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系.故本节课课堂剩余5分钟，让学生将线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系捋顺.。

8.5.3 平面与平面平行『导学聚焦』『问题导学』预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？『新知初探』1．平面与平面平行的判定定理■名师点拨(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．2．平面与平面平行的性质定理■名师点拨(1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．(2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．『基础自测』判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．()(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.()(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．()若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对下列命题正确的是()A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥βB．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面αC．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面αD．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．『探究互动』探究点一平面与平面平行的判定『例1』如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .『互动探究』『变条件』把本例(2)的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?【规律方法】证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．『跟踪训练』已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.探究点二面面平行性质定理的应用『例2』如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.『互动探究』1．『变条件』在本例中将M ，N 分别为AB ，CD 的中点换为M ，N 分别在线段AB ，CD 上，且AM MB ＝CNND ，其他不变．证明：MN ∥平面α.2．『变条件、变问法』两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A ，B ，C 和D ，E ，F ，求证：AB BC ＝DE EF .『规律方法』应用平面与平面平行性质定理的基本步骤『提醒』 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．『跟踪训练』如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．探究点三平行关系的综合问题『例3』在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【规律方法】解决平行关系的综合问题的方法(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．『跟踪训练』如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM ＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.『达标反馈』1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是() A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．——★参*考*答*案★——『新知初探』1．两条相交直线a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α2．平行a∥b『基础自测』『答案』：(1)×(2)√(3)×『答案』：C『答案』：D『解析』：因为平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，所以EF∥HG，同理EH∥FG.所以四边形EFGH的形状是平行四边形．『答案』：平行四边形『探究互动』探究点一平面与平面平行的判定『例1』『证明』(1)因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C，同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF ∥AD ，又因为GF ＝AD ，所以四边形ADFG 是平行四边形， 所以AG ∥DF ，所以B 1E ∥DF ，所以DF ∥平面EB 1D 1. 又因为BD ∩DF ＝D ，所以平面EB 1D 1∥平面FBD . 『互动探究』解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明：在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1，连接AM ，FM ，则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM ，同理，FM ═∥CD ， 又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形，所以AM ∥BF ，即有D 1E ∥BF . 又BF ⊂平面FBD ，D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD .又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形，故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ，从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB 1D 1∥平面FBD . 『跟踪训练』证明：因为PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，所以MQ ∥AD ，NQ ∥BP ， 而BP ⊂平面PBC ，NQ ⊄平面PBC ，所以NQ ∥平面PBC ， 又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，所以MQ ∥BC . 而BC ⊂平面PBC ，MQ ⊄平面PBC ，所以MQ ∥平面PBC . 又MQ ∩NQ ＝Q ，所以平面MNQ ∥平面PBC . 探究点二面面平行性质定理的应用 『例2』『证明』 如图，过点A 作AE ∥CD 交α于点E ，取AE 的中点P ， 连接MP ，PN ，BE ，ED ，BD ，AC .因为AE ∥CD ，所以AE ，CD 确定平面AEDC .则平面AEDC ∩α＝DE ，平面AEDC ∩β＝AC ，因为α∥β，所以AC ∥DE ，又P ，N 分别为AE ，CD 的中点，所以PN ∥DE ，PN ⊄α，DE ⊂α，所以PN ∥α.又M ，P 分别为AB ，AE 的中点，所以MP ∥BE ，且MP ⊄α，BE ⊂α.所以MP ∥α，因为MP ∩PN ＝P ，所以平面MPN ∥α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.『互动探究』1．证明：作AE ∥CD 交α于点E ，连接AC ，BD ，如图．因为α∥β且平面AEDC 与平面α，β的交线分别为ED ，AC ，所以AC ∥ED ，所以四边形AEDC 为平行四边形，作NP ∥DE 交AE 于点P ，连接MP ，BE ，于是CN ND ＝AP PE. 又因为AM MB ＝CN ND ，所以AM MB ＝AP PE，所以MP ∥BE . 而BE ⊂α，MP ⊄α，所以MP ∥α.同理PN ∥α.又因为MP ∩NP ＝P ，所以平面MPN ∥平面α.又MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面α.2．证明：连接AF 交平面β于点M ，连接MB ，ME ，BE ，AD ，CF ，因为α∥β，所以ME ∥AD .所以DE EF ＝AM MF ，同理，BM ∥CF ， 所以AB BC ＝AM MF ，即AB BC ＝DE EF. 『跟踪训练』解：(1)证明：因为PB ∩PD ＝P ，所以直线PB 和PD 确定一个平面γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .又α∥β，所以AC ∥BD .(2)由(1)得AC ∥BD ，所以P A AB ＝PC CD ，所以45＝3CD， 所以CD ＝154(cm)，所以PD ＝PC ＋CD ＝274(cm)． 探究点三平行关系的综合问题『例3』『解』 (1)证明：因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ═∥B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 是平行四边形，所以AB 1∥C 1D .又因为C 1D ⊂平面C 1BD ，AB 1⊄平面C 1BD .所以AB 1∥平面C 1BD ，同理B 1D 1∥平面C 1BD .又因为AB 1∩B 1D 1＝B 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，B 1D 1⊂平面AB 1D 1，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD .(2)如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1，连接A 1C ，连接AO 1与A 1C 交于点E .又因为AO 1⊂平面AB 1D 1，所以点E 也在平面AB 1D 1内，所以点E 就是A 1C 与平面AB 1D 1的交点；连接AC 交BD 于O ，连接C 1O 与A 1C 交于点F ，则点F 就是A 1C 与平面C 1BD 的交点．证明A 1E ＝EF ＝FC 的过程如下：因为平面A 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝EO 1，平面A 1C 1C ∩平面C 1BD ＝C 1F ，平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，所以EO 1∥C 1F .在△A 1C 1F 中，O 1是A 1C 1的中点，所以E 是A 1F 的中点，即A 1E ＝EF ；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .『跟踪训练』证明：如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，因为MP ∥BB 1，所以CM MB 1＝CP PB. 因为BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，所以B 1M ＝BN ，所以CM MB 1＝DN NB， 所以CP PB ＝DN NB，所以NP ∥CD ∥AB . 因为NP ⊄平面AA 1B 1B ，AB ⊂平面AA 1B 1B ，所以NP ∥平面AA 1B 1B .因为MP ∥BB 1，MP ⊄平面AA 1B 1B ，BB 1⊂平面AA 1B 1B .所以MP ∥平面AA 1B 1B .又因为MP ⊂平面MNP ，NP ⊂平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，所以平面MNP ∥平面AA 1B 1B .因为MN ⊂平面MNP ，所以MN ∥平面AA 1B 1B .『达标反馈』1．『解 析』：选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2.『解 析』：选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫A ′B ′AB 2＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝425. 3．『解 析』：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5，所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝⎛⎭⎫222＝322. 所以截面面积为12(2＋22)×322＝92. 『答 案』：924.证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD ∩平面α＝FG ， 所以AB ∥FG ，所以EH ∥FG ，同理由CD ∥平面α可证EF ∥GH ，所以四边形EFGH 是平行四边形．。

8.5.3.1 平面与平面平行的判定【新知初探】要点平面与平面平行的判定定理注意定理条件中直线a和b相交文字语言如果一个平面内的与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言[判断]1.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.( )2.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.( )3.若α∥β，β∥γ，则α∥γ.( )4.若a⊂α，α∥β，则a∥β.( )[训练]在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【题型通关】题型一面面平行判定定理的理解【例1】α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是() A.α，β都平行于直线l，m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m是α内的两条直线且l∥β,m∥β D.l,m是异面直线且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β跟踪训练1如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是()A.这两个角相等B.这两个角互补C.这两个角所在的两个平面平行D.这两个角所在的两个平面平行或重合题型二平面与平面平行的证明【例2】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.跟踪训练2 在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝2a，E，F分别是AD，AB的中点.证明：平面EFB1D1∥平面BDC1.题型三线面平行与面面平行的综合应用角度1面面平行中点的位置的确定【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD的中点，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?角度2平行关系的探究【例4】已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG 为△SAB中边AB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG 与平面DEF的位置关系，并给予证明.跟踪训练3 如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△P AB的重心.(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比.【课堂达标】1.在正方体中，相互平行的面不会是()A.前后相对侧面B.上下相对底面C.左右相对侧面D.相邻的侧面2.下列命题中正确的是()A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.4.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面P AC？证明你的结论.【札记】参考答案【新知初探】两条相交直线【基础自测】[判断]1.×两平面也可能相交.2.√3.√4.√[训练]解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，∴平面E1FG1∥平面EGH1.答案 A【题型通关】【例1】解析对A，当α∩β＝a，l∥m∥a时，不能推出α∥β；对B，当α∩β＝a，且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；对C，当l∥m时，不能推出α∥β；对D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β.答案 D跟踪训练1答案 D【例2】证明在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.跟踪训练2 证明连接A1C1，AC，分别交B1D1，EF，BD于M，N，P，连接MN，C1P.由题意知，BD∥B1D1.∵BD ⊄平面EFB 1D 1， B 1D 1⊂平面EFB 1D 1， ∴BD ∥平面EFB 1D 1， 又∵A 1B 1＝a ，AB ＝2a ， ∴MC 1＝12A 1C 1＝22a .又∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴NP ＝14AC ＝22a . ∴MC 1＝NP . 又∵AC ∥A 1C 1， ∴MC 1∥NP .∴四边形MC 1PN 为平行四边形. ∴PC 1∥MN .∵PC 1⊄平面EFB 1D 1，MN ⊂平面EFB 1D 1， ∴PC 1∥平面EFB 1D 1，∵PC 1∩BD ＝P ，PC 1，BD ⊂平面BDC 1， ∴平面EFB 1D 1∥平面BDC 1.【例3】解 当Q 为C 1C 的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO . 证明如下：在△DBD 1中，P 是DD 1中点，O 为DB 中点， ∴PO ∥D 1B ，又∵PO ⊂平面P AO ，D 1B ⊄平面P AO ， ∴D 1B ∥平面P AO .在正方体中，BQ ∥AP ，BQ ⊄平面P AO ， P A ⊂平面P AO ， ∴BQ ∥平面P AO ，又∵D1B∩BQ＝B，D1B，BQ⊂平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面P AO，即当点Q为C1C的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.【例4】解分析可知SG∥平面DEF.证明如下：法一连接CG，交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点.∵F是SC的中点，∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理可得DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF，DF⊂平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG⊂平面SAB，∴SG∥平面DEF.跟踪训练3(1)证明分别连接P A′，PB′，PC′并延长交BC，AC，AB于点D，E，F，连接DE，EF，DF.∵点A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心，∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF ， ∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC . 又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′， ∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)解 由(1)知A ′C ′∥DF 且A ′C ′＝23DF ， 又DF ∥AC 且DF ＝12AC ， ∴A ′C ′∥AC 且A ′C ′＝13AC . 同理，A ′B ′∥AB 且A ′B ′＝13AB ， B ′C ′∥BC 且B ′C ′＝13BC ， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC ， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9. 【课堂达标】1.解析 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D. 答案 D2.解析 如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B. 答案 B3.解析 在△P AB 中，因为D ，E 分别是P A ，PB 的中点， 所以DE ∥AB .又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.答案平行4.解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.答案①②③④5.解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，又P为DD1的中点，则PO∥D1B.∵BD1⊄平面P AC，OP⊂平面P AC，故D1B∥平面P AC.又因为M为AA1的中点，故D1M∥P A，又D1M⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，从而D1M∥平面P AC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以平面α∥平面P AC.。

8.5.3 平面与平面平行【课程标准】1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明．【学习目标】1.能从教材实例中归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理．(数学抽象)2.能证明平面与平面平行的性质定理．(逻辑推理)3.能借助具体的几何体判定空间中平面与平面的平行关系．(直观想象)4.能利用平面与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，能利用平面与平面平行的性质定理解决相关的问题，了解空间中直线、平面平行关系的内在联系．(逻辑推理)【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1：平面与平面平行的判定定理中，如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？二、学生探索、尝试解决问题2：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？问题3：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？问题4：如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？三、运用规律，解决问题【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[跟进训练]1.(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是()A．AD1∥平面EFGH B．BD1∥GHC．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD1(2)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.【例2】如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[跟进训练]2．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．四、变练演练，深化提高【例3】如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．[跟进训练]3.如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD 内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面P AB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．五、信息交流，教学相长问题5：本节课你收获了哪些知识？你是怎样获得这些知识的？在获得知识的过程中你用了什么思想方法？你还有什么疑惑？当堂检测1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．以上都不对3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ∥APB ．MN ∥BD 1C ．MN ∥平面BB 1D 1DD ．MN ∥平面BDP4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．① ⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④ ⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑥ ⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒a ∥α，其中正确的命题是 .(填序号)5．如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，点M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ；(2)求S △MNG S △ACD .分层作业请完成《非常学案》——《课时分层作业（二十九）》。

8.5.3平面与平面平行基础过关练题组一平面与平面平行的判定1.(2020湖北襄阳高二上期末)平面α与平面β平行的充分条件可以是()A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G3.设α,β是两个不同的平面,m是直线,且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加的条件是()A.n是直线且n⊂α,n∥βB.n,m是异面直线且n∥βC.n,m是相交直线且n⊂α,n∥βD.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β4.如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,P分别是棱AB,A1B1的中点,求证:(1)AC1∥平面B1CD;(2)平面APC1∥平面B1CD.题组二平面与平面平行的性质6.如图所示是长方体被一平面截得的几何体,截面为四边形EFGH,则四边形EFGH的形状为.7.(2020重庆八中高二上月考)已知平面α,β,γ,α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,若m⊂α,m∥a,则m与b的位置关系是.8.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱CC1上,且C1D=2CD,过=. 点D的平面α与平面AB1C1平行,且BB1∩平面α=E,则BEB1E9.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AD∥BC,平面A1DCE与B1B交于点E,求证:EC∥A1D.能力提升练题组一平面与平面平行的判定1.(2020北京第八十中学高一下期中,)如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③AF与平面BDM平行;④平面CAN与平面BEM平行.以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②B.②③C.③④D.①④2.(2020湖南长沙第一中学高三下月考,)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=√3,E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,点P在平面ABCD内,若直线D1P∥平面EFG,则线段D1P长度的最小值是.3.(2020陕西西安高新一中高二下月考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1;(2)平面EFG∥平面BDD1B1.4.(2020湖南衡阳高三二模,)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PAB是等边三角形,BC⊥AB,BC=CD=2√3,AB=AD=2.若PB=3BE,则在线段BC 上是否存在一点F,使平面AEF∥平面PCD?若存在,求线段BF的长;若不存在,请说明理由.题组二平面与平面平行的性质5.(2020重庆第八中学高三下月考,)如图,四棱柱ABCD-A 1B1C1D1中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且DEEB =12,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则CGCC1=()A.12B.13C.23D.146.(2020山东青岛第二中学高一下期中,)在正方体ABCD-A 1B1C1D1中,点M为棱AA1的中点,问:在棱A1D1上是否存在点N,使得C1N∥平面B1MC?若存在,请说明点N的位置;若不存在,请说明理由.7.(2020广东深圳实验学校高一下月考,)如图,多面体ABCGDEF 中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1.(1)证明:四边形ABED是正方形;(2)判断点B,C,F,G是否共面,并说明理由.题组三空间直线、平面平行的综合问题8.(2019山西太原第五中学高二10月月考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足时,有MN∥平面B1BDD1.9.(2020辽宁鞍山第一中学高三月考,)如图,底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,E∈PD,F∈PC,且PE∶ED=5∶2,若BF∥平面AEC, =.则PFFC10.(2020北京第五十五中学高一下期中,)如图所示,已知点P是▱ABCD所在平面外一点,M,N,K分别为AB,PC,PA的中点,平面PBC∩平面APD=l.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)直线PB上是否存在点H,使得平面KNH∥平面ABCD,并加以证明;(3)求证:l∥BC.答案全解全析基础过关练1.Dα内有无穷多条直线都与β平行,并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行,这无穷多条直线可以是一组平行线,故A错误;直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内,若直线a平行于平面α与平面β的交线,则平面α与平面β不平行,故B错误;直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,当直线a∥b时,不能保证平面α与平面β平行,故C错误;α内的任何一条直线都与β平行,则α内至少有两条相交直线与平面β平行,故平面α与平面β平行,故D正确.故选D.2.A如图,易得EG∥E1G1,∵EG⊄平面E1FG1,E1G1⊂平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.易得G1F∥H1E,同理可证H1E∥平面E1FG1.∵H1E∩GE=E,H1E⊂平面EGH1,EG⊂平面EGH1,∴平面E1FG1∥平面EGH1.易证选项B、C、D不成立,故选A.3.C要使α∥β成立,需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,当m,n是相交直线,且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β时,由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.4.答案平行解析在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC,同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF=E,DE⊂平面DEF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF ∥平面ABC.5.证明 (1)如图,连接BC 1,与B 1C 交于点O,连接OD,∵四边形BCC 1B 1是平行四边形,∴O 为BC 1的中点,又D 是AB 的中点,∴OD 是三角形ABC 1的中位线,则OD ∥AC 1. 又∵AC 1⊄平面B 1CD,OD ⊂平面B 1CD, ∴AC 1∥平面B 1CD.(2)∵P 为A 1B 1的中点,D 是AB 的中点,A 1B 1 AB,∴AD ∥B 1P,且AD=B 1P,∴四边形ADB 1P 是平行四边形, ∴AP ∥DB 1,又AP ⊄平面B 1CD,DB 1⊂平面B 1CD, ∴AP ∥平面B 1CD,又由(1)知,AC 1∥平面B 1CD,AC 1∩AP=A, AC 1,AP ⊂平面APC 1,∴平面APC 1∥平面B 1CD. 6.答案 平行四边形解析 ∵平面ABFE ∥平面DCGH,平面EFGH ∩平面ABFE=EF,平面EFGH ∩平面DCGH=HG,∴EF ∥HG.同理,EH ∥FG,∴四边形EFGH 是平行四边形. 7.答案 平行(或m ∥b)解析 ∵α∩γ=a,β∩γ=b,α∥β,∴a ∥b, ∵m ∥a,∴m ∥b.故答案为平行(或m ∥b). 8.答案 12解析 ∵平面α∥平面AB 1C 1,平面α∩平面BC 1=DE,平面AB 1C 1∩平面BC 1=B 1C 1,∴由平面与平面平行的性质定理知,DE ∥B 1C 1, 又C 1D=2CD,∴BE B 1E =12.9.证明 易知BE ∥AA 1,又AA 1⊂平面AA 1D,BE ⊄平面AA 1D, ∴BE ∥平面AA 1D.∵BC ∥AD,AD ⊂平面AA 1D,BC ⊄平面AA 1D,∴BC ∥平面AA 1D. 又BE ∩BC=B,BC ⊂平面BCE,BE ⊂平面BCE, ∴平面BCE ∥平面AA 1D.又平面A 1DCE ∩平面BCE=EC,平面A 1DCE ∩平面AA 1D=A 1D, ∴EC ∥A 1D.能力提升练1.C由展开图得到正方体的直观图如图,BM与ED异面,故①错误;CN与BE平行,故②错误;易得四边形AFMD是平行四边形,所以AF∥MD,又AF⊄平面BDM,MD⊂平面BDM,所以AF∥平面BDM,故③正确;显然AC∥EM,又AC⊄平面BEM,EM⊂平面BEM,所以AC∥平面BEM,同理AN∥平面BEM,又AC∩AN=A,AC,AN⊂平面CAN,所以平面CAN∥平面BEM,故④正确.故选C.2.答案√72解析如图,连接D1A,AC,D1C,因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以EF∥AC,又EF⊄平面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以EF∥平面ACD1.易得EG∥AD1,所以同理可得EG∥平面ACD1,又EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG,所以点P在直线AC上,故当D1P⊥AC时,线段D1P的长度最小.在△ACD1中,AD1=√2,AC=2,CD1=2,所以S△AD1C =12×√2×√22-(√22)2=√72,所以D1P min=√7212×2=√72.故答案为√72.3.证明(1)如图,连接SB,∵E,G 分别是BC,SC 的中点,∴EG ∥SB,又∵SB ⊂平面BDD 1B 1,EG ⊄平面BDD 1B 1,∴直线EG ∥平面BDD 1B 1.(2)连接SD,∵F,G 分别是DC,SC 的中点,∴FG ∥SD,又∵SD ⊂平面BDD 1B 1,FG ⊄平面BDD 1B 1,∴FG ∥平面BDD 1B 1,又由(1)知EG ∥平面BDD 1B 1,EG ⊂平面EFG,FG ⊂平面EFG,EG ∩FG=G,∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.4.解析 在线段BC 上存在一点F,使平面AEF ∥平面PCD,此时BF=2√33.理由如下: 如图,作EF ∥PC,交BC 于F,连接AF,因为PB=3BE,所以E 是PB 上靠近点B 的三等分点,F 是BC 上靠近点B 的三等分点,可得BF=2√33. 因为AB=AD=2,BC=CD=2√3,AC=AC,所以△ABC ≌△ADC,因为BC ⊥AB,所以∠ABC=90°,tan ∠ACB=AB BC =2√3=√33,所以∠ACB=∠ACD=30°,所以∠BCD=60°, 因为tan ∠AFB=AB BF =2√33=√3,所以∠AFB=60°,所以AF ∥CD.因为AF ⊄平面PCD,CD ⊂平面PCD,所以AF ∥平面PCD,又EF ∥PC,EF ⊄平面PCD,PC ⊂平面PCD,所以EF ∥平面PCD,因为AF ∩EF=F,AF,EF ⊂平面AEF,所以平面AEF ∥平面PCD,所以在线段BC 上存在一点F,使平面AEF ∥平面PCD,此时BF=2√33.5.B∵平面AEF∥平面BD1G,且平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,∴EF∥BD1,∴DFFD1=DE EB=12.易得平面ADD1A1∥平面BCC1B1,又BG⊂平面BCC1B1,∴BG∥平面ADD1A1,又∵平面AEF∥平面BD1G,BG⊂平面BD1G,∴BG∥平面AEF,∵平面AEF∩平面ADD1A1=AF,∴BG∥AF,∴BG、AF可确定平面ABGF,又知平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,∴AB∥FG,∴CD∥FG.∴CGCC1=DF DD1=13.故选B.6.解析如图,取A1D1的中点N,DD1的中点E,连接NE,EC1,易得NE∥B1C,∵NE⊄平面B1MC,B1C⊂平面B1MC.∴NE∥平面B1MC,由题易得C1E∥MB1,∵C1E⊄平面B1MC,MB1⊂平面B1MC,∴C1E∥平面B1MC.∵NE∩C1E=E,NE⊂平面NEC1,C1E⊂平面NEC1,∴平面NEC1∥平面B1MC,∵C1N⊂平面NEC1,∴C1N∥平面B1MC,∴在棱A1D1上存在点N,使得C1N∥平面B1MC,N就是A1D1的中点.7.解析(1)证明:因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABED∩平面ABC=AB,平面ABED∩平面DEFG=DE,所以由面面平行的性质定理得AB∥DE,同理AD∥BE.所以四边形ABED为平行四边形.又AB⊥AD,AB=AD,所以平行四边形ABED是正方形.(2)如图,取DG的中点P,连接PA,PF.因为平面BEF∥平面ADGC,平面EFGD∩平面BEF=EF,平面EFGD∩平面ADGC=DG,所以由面面平行的性质定理,得EF ∥DG,同理AC ∥DG.因为P 为DG 的中点,EF=1,DG=2,所以EF ∥PD,EF=PD,则四边形EFPD 为平行四边形,所以DE ∥PF 且DE=PF. 又AB ∥DE,AB=DE,所以AB ∥PF 且AB=PF,所以四边形ABFP 为平行四边形, 所以AP ∥BF.因为P 为DG 的中点,所以PG=12DG=1=AC,又因为AC ∥PG,所以四边形ACGP 为平行四边形,所以AP ∥CG,所以BF ∥CG. 故B,C,F,G 四点共面.8.答案 M ∈FH解析 连接FH,HN,NF.易证HN ∥BD,FH ∥D 1D,又HN ∩FH=H,BD ∩D 1D=D,HN,FH ⊂平面FHN,BD,DD 1⊂平面BDD 1B 1,∴平面FHN ∥平面BDD 1B 1.又∵点M 在四边形EFGH 及其内部运动,FH ⊂平面EFGH,∴当M ∈FH 时,MN ∥平面B 1BDD 1.9.答案 32解析 如图,取棱PC 上的点F,使PF FC =32,取棱PD 上的点M,使PM ME =32,则E 为MD 中点. 连接BD,设BD ∩AC=O,连接BM,OE,MF.∵PF FC =32=PM ME ,O 为BD 的中点,E 为MD 的中点,∴MF ∥EC,BM ∥OE.∵MF ⊄平面AEC,CE ⊂平面AEC,BM ⊄平面AEC,OE ⊂平面AEC,∴MF ∥平面AEC,BM ∥平面AEC,又∵MF ∩BM=M,MF,BM ⊂平面BMF,∴平面BMF ∥平面AEC.又BF ⊂平面BMF,∴BF ∥平面AEC.故答案为32.10.解析 (1)证明:如图,取PD 的中点F,连接AF,FN,在△PCD 中,易得FN ∥DC,FN=12DC.在▱ABCD 中,易得AM ∥CD,AM=12CD,所以AM∥FN,AM=FN,所以四边形AFNM为平行四边形,所以AF∥MN,又AF⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)存在.当H为PB中点时,平面KNH∥平面ABCD.证明如下:取PB的中点H,连接KH,NH.在△PBC中,易得NH∥BC,又NH⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以NH∥平面ABCD,同理可证KH∥平面ABCD.又KH⊂平面KNH,NH⊂平面KNH,KH∩NH=H,所以平面KNH∥平面ABCD.(3)证明:∵BC∥AD,AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,∴BC∥平面PAD,又∵平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,∴BC∥l.。