2017-2018学年高中数学北师大版2学案：第一章立体几何初步1.5平行关系含答案

§1 简单几何体1.1 简单旋转体 1.2 简单多面体1.了解柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握简单几何体的分类.3.理解圆柱、圆锥、圆台及球的概念.(重点、难点)4.理解棱柱、棱锥、棱台等简单几何体的概念.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 两个平面平行及直线与平面垂直的概念 阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以上部分，完成下列问题. 1.两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的.2.直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直.长方体相对的两个侧面的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交D.无法确定【解析】 根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A. 【答案】 A教材整理2 简单的旋转体阅读教材P 3“1.1 简单旋转体”以下至P 4“1.2 简单多面体”以上部分，完成下列问题.1.定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.2.球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：下列说法正确的是( )A.直线绕定直线旋转形成柱面B.半圆绕定直线旋转形成球体C.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的【解析】直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.【答案】 D教材整理3 简单的多面体阅读教材P4“1.2简单多面体”以下至P5部分，完成下列问题.1.简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征下列几何体中，是棱锥的是( )【解析】 由棱锥的定义可知，选B. 【答案】 B[小组合作型]下列叙述中，正确的个数是( )(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥； (2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台； (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； (4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转形成的几何体是球. A.0个 B.1个 C.2个D.3个【精彩点拨】 解答时可根据旋转体的概念和性质进行具体分析.【自主解答】 (1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确.【答案】 B1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.[再练一题]1.下列说法正确的是________.①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.【解析】①错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.下列关于棱锥、棱台的说法：(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是________.【导学号：39292000】【精彩点拨】根据棱锥、棱台的结构特征判断.【自主解答】 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 【答案】(2)(3)(4)判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法：[再练一题]2.给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点. 其中，错误的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个【解析】 ①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的.【答案】 A[探究共研型]探究1图1­1­1【提示】 (1)可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，(4)可看作由两个四棱柱组合而成.探究2 试描述下列几何体的结构特征.图1­1­2【提示】 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.如图1­1­3所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长.图1­1­3【精彩点拨】 过圆锥的轴作截面，利用三角形的相似来解决.【自主解答】 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示.则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm ， ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ，∴33＋l ＝r 4r ＝14， 解得l ＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm.1.识别简单组合体的构成方法：组合体是由简单几何体通过拼接、截去或挖去一部分而形成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球体的几何结构特征，对原组合体进行分割.2.与圆锥有关的截面问题的解决策略：求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解.通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解.巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决.[再练一题]3.一个正方体内接于高为40 cm ，底面圆的半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长. 【解】 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面， 设正方体的棱长为x ， 则OC ＝22x ，∴22x 30＝40－x40，解得x ＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22)cm.1.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④【解析】 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误. 【答案】 D2.下列说法中正确的是( )【导学号：39292001】A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱的侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.【答案】 A3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】无论用怎样的平面去截球，是圆面.【答案】 C4.________.【解析】设正三角形的边长为a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的图1­1­4【解】截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′­CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面.截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′­DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面.。

简单几何体(1)两个平面平行及直线与平面垂直的概念是什么？(2)旋转体、多面体的定义是什么？它们有何区别？(3)常见的旋转体与多面体有哪些？它们各具有哪些特点？无公共点的两个平面平行．2．直线与平面垂直直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直．3．旋转体与多面体4.常见的旋转体及概念(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．5．常见的多面体及相关概念(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面互相平行；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．②相关概念：底面：两个互相平行的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：两个侧面的公共边．顶点：底面多边形与侧面的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱、…(ⅱ)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是多边形；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个公共顶点．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个多边形．侧面：除底面外的其余三角形面．侧棱：两个侧面的公共边．顶点：侧面的公共顶点．③记法：如三棱锥S-ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥、…(ⅱ)正棱锥：底面是正多边形，各侧面全等的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的截面．下底面：原棱锥的底面．侧棱：相邻的侧面的公共边．顶点：侧面与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC-A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有三棱台、四棱台、五棱台、…(ⅱ)正棱台：由正棱锥截得的棱台．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两个平面平行，则两个平面的公共点个数为0.()(2)多面体是一个“封闭”的几何体，但不包括它的内部部分．()(3)棱柱的侧面不一定都是平行四边形．()(4)棱柱的各侧棱长相等．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①⑤B．①C．③④D．①④答案：D3．圆柱的母线长为10，则其高等于()A．5 B．10C．20 D．不确定答案：B4．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台答案：C[典例]以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱[解析]根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．[答案] C1．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[活学活用]判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面.简单多面体的概念[典例](1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN) [解析](1)①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确；根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确；正确的个数为3.答案：3(2)解：①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：[活学活用]下列说法正确的是()A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面解析：选B A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确．B正确．C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确．D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确.[典例][解]图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．识别组合体的要求(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．[活学活用]如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解：旋转后的图形分别如图①②所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.3．下列命题：①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；②在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；③圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．③解析：选C②所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．①③符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．4．给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．其中正确说法的序号是________．解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．答案：①④5．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析：将展开图还原为正方体，当第六个正方形在①④⑤的位置时，满足题意．答案：①④⑤6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则在图中，可能是截面的是________．解析：在组合体内取截面时，要注意交点是否在截面上，如：当截面过对角面时，得(2)；当截面平行正方体的其中一个侧面时，得(3)；当截面不平行于任一侧面且不过对角面时，得(1)，只要是过球心就不可能截出截面(4)．答案：(1)(2)(3)7．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．解：如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm，延长AA1交OO1的延长线于S，在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以OO1＝2x.又S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，所以x＝7.所以圆台的高OO1＝14(cm)，母线长l＝2OO1＝142(cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修2全册同步学案目录第一章1简单几何体第一章2直观图第一章3三视图第一章4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理（一）第一章4.2 空间图形的公理（二）第一章5.1平行关系的判定第一章5.2平行关系的性质第一章6.1垂直关系的判定第一章6.2垂直关系的性质第一章7.1简单几何体的侧面积第一章7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积第一章7.3球的表面积和体积第一章疑难规律方法第一章章末复习课第二章1.1直线的倾斜角和斜率第二章1.2 第1课时直线方程的点斜式第二章1.2 第2课时直线方程的两点式和一般式第二章1.3两条直线的位置关系第二章1.4两条直线的交点第二章1.5 第1课时两点间的距离公式第二章1.5 第2课时点到直线的距离第二章2.1圆的标准方程第二章2.2圆的一般方程第二章2.3 第1课时直线与圆的位置关系第二章2.3 第2课时圆与圆的位置关系第二章3.1空间直角坐标系的建立 3.2空间直角坐标系中点的坐标第二章3.3空间两点间的距离公式第二章疑难规律方法第二章章末复习课（一）第二章章末复习课（二）学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1如何定义两平面平行？思考2如何判定直线与平面垂直？梳理(1)________________的两个平面平行．(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体知识点三常见的旋转体及概念思考1以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？思考2能否由圆锥得到圆台？梳理记作：球O 球面：以_______线为旋转轴，将半圆________面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球记作：圆柱OO′以直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的几何体叫作圆柱记作：圆锥OO′以直角三角形的__________直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的几何体叫作圆锥记作：圆台OO′以直角梯形_____________在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的所围成的几何体叫作圆台特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．梳理(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面________________；(ⅱ)其余各面都是________________；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．②相关概念：底面：两个________________的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻______________的公共边．顶点：底面多边形与________的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是________________；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个________________．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．侧面：除底面外的其余__________面．侧棱：相邻两个________的公共边．顶点：________的公共顶点．③记法：如三棱锥S－ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的________．下底面：原________的底面．侧棱：相邻的________的公共边．顶点：________与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．类型一旋转体的概念例1下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3类型二多面体及其简单应用例2(1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练2下列说法正确的是()A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个2．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台3．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是() A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．答案精析问题导学知识点一思考1两平面无公共点．思考2直线和平面内的任何一条直线都垂直．梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．跟踪训练2B[A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]当堂训练1．D[由棱柱的定义知，①③为棱柱．]2．D[由旋转体的结构特征知，D正确．]3．B[由棱台的结构特征知，B正确．]4．B[中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]5．2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故答案为2.学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．知识点斜二测画法思考1边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思考2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理(1)水平放置的平面图形直观图的画法斜二测画法规则：①在已知图形中建立平面直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝________，它们确定的平面表示________________．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______；平行于y轴的线段，长度为原来的________．(2)立体图形直观图的画法类型一水平放置的平面图形的直观图例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图．引申探究若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练1 用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．类型二 直观图的还原与有关计算 命题角度1 由直观图还原平面图形例2 如图所示，△A ′B ′C ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x ′轴的线段长度不变，平行y ′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x ′轴，y ′轴平行的顶点可通过作x ′轴，y ′轴的平行线变换确定其在xOy 中的位置．跟踪训练2 如图所示，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算例3 如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)若一个平面多边形的面积为S ，它的直观图面积为S ′，则S ′＝24S .跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A ′B ′O ′，若O ′B ′＝1，那么原三角形ABO 的面积是( ) A.12 B.22C. 2D ．2 2类型三 空间几何体的直观图例4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为z 轴建系．(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z 轴平行或在z 轴上的线段确定有关顶点． (4)连线成图．跟踪训练4 用斜二测画法画棱长为2 cm 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，图中正确的是()2．下列关于直观图的说法不正确的是()A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变C．在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45°D．在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24倍B．2倍 C.22倍 D.2倍4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．答案精析问题导学 知识点思考1 A ′B ′∥C ′D ′，A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′＝AB ，A ′D ′＝12AD .思考2 没有都画成正方形．梳理 (1)①45° 水平平面 ②平行 ③不变 12(2)z ′轴 平行性及长度相等 平面x ′O ′y ′ y ′O ′z ′ x ′O ′z ′ 题型探究 例1 解 画法：(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边OB 所在直线为x 轴，垂直于OB 的腰OD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．画出相应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(1)(2)所示；(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝OB ，在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作x ′轴的平行线l ，在l 上沿x ′轴正方向取点C ′使得D ′C ′＝DC .连接B ′C ′，如图(2)； (3)所得四边形O ′B ′C ′D ′就是直角梯形OBCD 的直观图，如图(3)．引申探究 解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画出对应的x ′轴和y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画出C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ；(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．跟踪训练1 解 画法：(1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy .(2)画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示． 例2 解 画法：(1)画出直角坐标系xOy ，在x 轴的正方向上取OA ＝O ′A ′，即CA ＝C ′A ′；(2)过点B ′作B ′D ′∥y ′轴，交x ′轴于点D ′，在OA 上取OD ＝O ′D ′，过点D 作DB ∥y 轴，且使DB ＝2D ′B ′； (3)连接AB ，BC ，得△ABC .则△ABC 即为△A ′B ′C ′对应的平面图形，如图所示．跟踪训练2 菱形解析 如图所示，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝4 2 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm ，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．例3 解 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2. 在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2. 连接BC ，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，所以面积为S ＝2＋32×2＝5.跟踪训练3 C 例4 解 画法：(1)画轴．画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，使∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP 使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．顺次连接P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图②. 跟踪训练4 解 画法：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°. (2)画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝2 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝1 cm.分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上沿Oz 轴方向分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到正方体的直观图(如图②)．当堂训练1．C 2.A 3.A 4.105．解画法：(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在Oz轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．学习目标 1.理解三视图的概念，能画出简单空间图形的三视图.2.了解简单组合体的组成方式，会画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．知识点一组合体1．定义：由__________________形成的几何体叫作组合体．2．基本形式：有两种，一种是将基本几何体________成组合体；另一种是从基本几何体中______或______部分构成组合体．知识点二空间几何体的三视图思考对于一般的物体，三视图分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)?梳理(1)三视图的概念三视图包括__________(又称__________)、__________，左视图(侧视图通常选择________，简称__________)．(2)三视图的画法规则①________视图反映物体的长度——“____________”．②________视图反映物体的高度——“____________”．③________视图反映物体的宽度——“____________”．(3)绘制三视图时的注意事项①在绘制三视图时，需要画出所有的轮廓线，其中，视线所见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．②同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．③三视图的摆放规则：左视图放在主视图的右面，俯视图放在主视图的正下方．类型一简单几何体的三视图例1(1)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()(2)画出如图所示的几何体的三视图．反思与感悟(1)观察立体图形时，要选择在某个方向上“平视”，用目光将立体图形“压缩”成平面图形，这样就得到了三视图．注意三视图的排列规则和虚、实线的确定．一般地，几何体的轮廓线中能看到的画成实线，不能看到的画成虚线．(2)画简单组合体的三视图，要注意从三个方向观察几何体的轮廓线，还要搞清楚各简单几何体之间的组接位置，其组接的交线往往又是简单组合体的轮廓线，被挡住的要画成虚线．跟踪训练1如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体，数据如图所示(单位：cm)．试画出它的三视图．类型二由三视图还原成实物图例2(1)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．反思与感悟(1)通过主视图和左视图确定是柱体、锥体还是台体．若主视图和左视图为矩形，则原几何体为柱体；若主视图和左视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若主视图和左视图为等腰梯形，则原几何体为台体．(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．跟踪训练2(1)已知如图所示的三视图，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？(尺寸的长度单位为m)(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．1．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则下列甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④2．一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为()3．某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()4．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1(底面为等边三角形)的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为()A．8 3 B．4 3C．2 3 D．165．有一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．1．三视图是指主视图、左视图和俯视图，画图时应遵循“长对正、高平齐、宽相等”或“主俯一样长，主左一样高，俯左一样宽”的原则，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，重叠的线只画一条，不可见轮廓线要用虚线画出．2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的主视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力．答案精析问题导学知识点一1．基本几何体2．拼接切掉挖掉知识点二思考主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映物体的高度和宽度．梳理(1)主视图正视图俯视图左侧视图左视图(2)①主、俯长对正②主、左高平齐③俯、左宽相等题型探究例1B[依题意，左视图中棱的方向是从右下角到左上角，故选B.](2)解题图①是一个圆柱和一个长方体的组合体，按照圆柱、长方体的三视图画法画出它们的组合体的三视图，如图(1)；题图②为球与圆台的组合体，其三视图如图(2)．跟踪训练1解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的，三视图如图所示．例2D[A、B选项中的主视图不符合要求，C选项中的俯视图显然不符合要求，故选D.] (2)解此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图如图．。

第1课时简单旋转体[核心必知]几种简单旋转体[问题思考]1．铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．2．圆台的母线一定交于一点吗？提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．讲一讲1．下列叙述正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 解析：选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．练一练1．下列命题正确的是( )A．过圆锥侧面上一点有无数条母线B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.讲一讲2．如图，请描述(1)，(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．[尝试解答] 解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．练一练2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？解：旋转而成的几何体如图所示．用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？[错解] 截面是圆．[错因] 本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．[正解] 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面．1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④解析：选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．解析：若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．答案：一个或无数个5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．答案：圆面6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥解析：选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4．以下几何体中符合球的结构特征的是( )A．足球 B．篮球C．乒乓球 D．铅球解析：选D 因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5)解析：选D 轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)． 二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成． 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥 7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________．解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是______． 解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．答案：63 cm 2三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE 绕AE 所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD ∥AE ，曲边DE 为四分之一圆周且圆心在AE 上．解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．第2课时简单多面体[核心必知]1．简单多面体的定义把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．2．几种常见的简单多面体续表[问题思考]1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．讲一讲1．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 选B 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．练一练1．下列命题中正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等解析：选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．讲一讲2.如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．[尝试解答] ∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC­EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1­EA1B1F，如图．认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．练一练2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定解析：选A 将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征．3.如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．下列说法正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．2．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点解析：选C 只有正棱台的侧棱都相等．3．下列几何体中棱柱的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析：选D 由棱柱的定义及特征知①③为棱柱．4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成____________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：45．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．解析：用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故填④.答案：④6．如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E ＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．解：截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′－DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥解析：选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选D 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是( )A．(1)是棱台 B．(2)是圆台C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱解析：选C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱解析：选D 如图，正三棱锥A­BEF和正四棱锥B­CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.。

简单几何体预习课本P3～5，思考并完成以下问题(1)两个平面平行及直线与平面垂直的概念是什么?(2）旋转体、多面体的定义是什么？它们有何区别？(3）常见的旋转体与多面体有哪些？它们各具有哪些特点？错误!1．两个平面平行无公共点的两个平面平行．2．直线与平面垂直直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直．3．旋转体与多面体概念定义旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体多面体把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体4.常见的旋转体及概念名称图形及表示定义相关概念球记作：球O 球面：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球心：半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段;球的直径：连接球面上两点并且球过球心的线段圆柱记作：圆柱OO′以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱高：在旋转轴上这条边的长度;底面:垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面;侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面；母线:不垂直于旋转轴的边，无论转到什么位置都圆锥记作：圆锥OO′以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥圆台以直角梯形垂直于底边的腰所在记作：圆台OO′的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫作圆台叫作侧面的母线[点睛] （1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行,圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．5．常见的多面体及相关概念(1)棱柱①定义要点：（ⅰ）两个面互相平行;(ⅱ）其余各面都是四边形；（ⅲ）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．②相关概念：底面:两个互相平行的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：两个侧面的公共边．顶点:底面多边形与侧面的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC。