电磁场与电磁波练习1、 一半径为a 的均匀带电圆环，电荷总量为q ，求圆环轴线上离环中心o 点为z 处的电场强度E 。
解：(1)如图所示，环上任一点电荷元dq 在P 点产生的场强为204RdqE d πε=由对称性可知，整个圆环在P 点产生的场强只有z 分量，即()232202044cos z a zdq Rz R dq E d E d z +===πεπεθ 积分得到()()()()2322023220232202322042444za qza za z dlza z dq za z E lz +=+=+=+=⎰⎰πεππελλπεπε2、 半径为a 的圆面上均匀带电，电荷面密度为δ，试求：(1)轴线上离圆心为z 处的场强，(2)在保持δ不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何？(3)在保持总电荷δπ2a q =不变的情况下，当0→a 和∞→a 时结果如何?解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r 的圆环，它所带的电荷量为δπdr dq 2=由习题2．1的结果可知该回环在轴线上P 点处的场强为()()23222322024zrrdrz zr zdq E d +=+=εδπε则整个均匀带电圆面在轴线上P 点出产生的场强为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=⎰220023220122z a zzr rdr z E a z εδεδ （2）若δ不变，当0→a 时，则0)11(20=-=εδz E ；当∞→a ，则002)01(2εδεδ=-=z E (3)若保持δπ2a q =不变，当0→a 时，此带电圆面可视为一点电荷。
则204z q E z πε=。
当∞→a 时，0→δ，则0=z E。
3、 有一同轴圆柱导体，其内导体半径为a ，外导体内表面的半径为b ，其间填充介电常数为ε的介质，现将同轴导体充电，使每米长带电荷λ。
试证明储存在每米长同轴导体间的静电能量为ab W ln 42πελ=。
证：在内外导体间介质中的电场为)(2b r a rE <<=πελ沿同轴线单位长度的储能为a b rdr r dVE dV D E W ln 4222221222πελππελεε=⎪⎭⎫⎝⎛==∙=⎰⎰⎰4、 在介电常数为ε的无限大约均匀介质中，有一半径为a 的带电q 的导体球，求储存在介质中的静电能量。
解：导体在空间各点产生的电场为)(4)0(02a r r q E a r E r w >=<<=πε故静电能量为a q dr r r q dV E dV E D W V V πεππεεε84421212122222=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∙=⎰⎰⎰∞5、 真空中一半径为R 的圆球空间内，分布有体密度为ρ的电荷，ρ为常量。
试求静电能量。
解：应用高斯通量定理，得出电场强度)(3)(32030R r r R E R r r E r r >=<=ερερ故52024205202202222154494922R dr r r R dr r r dV EW R RVe ρεππερπερεε=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰∞6、一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小。
7、已知两半径分别为a 和)(a b b >的同轴圆柱构成的电容器，其电位差为V 。
试证：将半径分别为a 和b ，介电常数为ε的介质管拉进电容器时，拉力为ab V F ln )(20εεπ-=证：内外导体间的电场为ab r V E r ln=插入介质管后的能量变化为ab zV dz dr r a b rB dV E W z b a v ln )(ln 2)(21)(21200222020εεππεεεε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰⎰式中z 为介质管拉进电容器内的长度。
故拉力为ab V zW F V ln )(20εεπ-=∂∂=不变8、今有一球形薄膜导体，半径为R ，其上带电荷q 。
求薄膜单位面积上所受膨胀力。
解：孤立导体球电容R Rq qqC 0044/πεπεϕ===采用球坐标，原点置于球心，选g 为R ，则20222222284222R qC q R C C q F g C C q F R g πεπε==∂∂=∂∂=R F 的方向与R 增大的方向相同，为膨胀力。
单位面积上的力为DE E R q R F F S S R R 21212)4(240222022====='ρερπεπ该膨胀力是由于电荷同号相斥面产生的。
9、一同轴线的内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I ，内、 外导体间的电压为U 。
求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场： )(2,1b r a e r IH e ab n r U E r <<==φπ z e ab nr UIH E S 122π=⨯=上式说明电磁能量沿z 轴方向流动，由电源向负载传输。
通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为⎰⎰=⋅=⋅=baS UI rdr ab nr UI dS S P ππ212'2'这一结果与电路理论中熟知的结果一致。
10、设同轴线的内导体半径为a , 外导体的内半径为b ，内、 外导体间填充电导率为σ的电媒质，求同轴线单位长度的漏电电导。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为r 的任一同心球面的漏电电流为I ，则媒质内任一点的电流密度和电场为rre r E e r J 224141πσπ==内、外导体间的电压为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰b a I Edr U ba114πσ 漏电电导为 ab ab U G -==πσ41 也可以通过计算媒质内的焦耳损耗功率，并由P =I 2R 求出漏电电阻R ：⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅=⎰⎰b a I P R b a I dr r r I EdV J P Vba11411144)4(22222πσπσππσ11、已知时变电磁场中矢量位 ，其中A m 、k 是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。
解：)cos()cos(kz t A ke H kz t kA e tA e AB m ym y xy --=--=∂∂=⨯∇=ωμωC A t==⋅-∇=∂∂ϕϕμε,0 如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C =0。
)cos(kz t A e tAE m x --=∂∂--∇=ωωϕ)sin(kz t A e A mx-=ω坡印廷矢量的瞬时值为)cos()cos()]cos([)()()(2kz t A k e kz t A ke kz t A e t H t E t S m z m y m x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯--=⨯=ωμωωμωω12、已知无源(ρ=0, J =0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k 、E 0为常数。
求：（1）磁场强度复矢量； （2）坡印廷矢量的瞬时值； （3）平均坡印廷矢量。
解： (1) 由H j E 0ωμ-=⨯∇ 得j k zxj k zy ze kE e e E e ze j z E j z H ---=⨯∂∂-=⨯∇-=0000)(1)(1)(ωμωμωμ(2) 电场、 磁场的瞬时值为)cos(])(Re[),(0kz t E e e z E t z E y t j -==ωω)cos(])(Re[),(0kz t kE e e z H t z H xt j --==ωωμω所以，坡印廷矢量的瞬时值为)(cos ),(),(),(2020kz t kE e t z H t z E t z S z-=⨯=ωωμ(3) 平均坡印廷矢量：2002000021Re 21*Re 21)](*)(Re[21ωμωμωμkE e kE e e kE e e E e z H z E S z z jkz x jkz y av =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⨯=-- 13、已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均匀平面电磁波的频率f =108Hz ， 电场强度)/(m V jkz y e E e z E -=0)( ()m V e e e e z E j jkz y jkz x /33)(3π+--+=试求：(1) 均匀平面电磁波的相速度v p 、波长λ、相移常数k 和波阻抗η； (2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；(3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
解： (1)Ω==========⨯===ππεηεμηπωμεωλεμμε4091120/21/1091031088r r ppr r p u mrad v k mfv s m cv(2))/()3(14m A ee ee E jH jjkz x jkzy πηωμ+---=⨯∇=)/(32102cos 3)2102cos(4]Re[)(88m V z t e z t e Ee t E y x t j ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+-⨯==πππππω ())/(2102cos 101)32102cos(403]Re[)(88m V zt e z t e He t H y x t j πππππππω-⨯++-⨯-==（3）复坡印廷矢量：233*/165101403342121m W e e e e e e e e e H E S z jkz y kz j xkz j y jkz x πππππ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛---坡印延矢量的时间平均值：2/165]Re[m W e S S zav π== 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率：W dS S P avSav π165=⋅=⎰14、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为)/(10)()(204m V e e j e z E z j y x π---=试求：(1) 工作频率f ;(2) 磁场强度矢量的复数表达式； (3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值； (4) 此电磁波是何种极化，旋向如何。
解：(1) 真空中传播的均匀平面电磁波的电场强度矢量的复数表达式为 )/(10)(204m V e je e E zj y x π---=所以有Hz f vf k v k 9800103,2,1031,20⨯====⨯===λυλλπεμπ其瞬时值为)]sin()cos([104kz t e kz t e E y x -+-=-ωω (2) 磁场强度复矢量为πεμηηηπ120,10)(1102040==+=⨯=--z j x y z e je e E e H磁场强度的瞬时值为)]sin()cos([10])(Re[),(04kz t e kz t e e z H t z H x y t j -+-==-ωωηω(3) 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值为)](sin )(cos [10),(),(),(2208kz t e kz t e t z H t z E t z S z z ---=⨯=-ωωηzz av e e z H z E S 080810)11(1021)(*)(21Re ηη--=+⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯=(4) 此均匀平面电磁波的电场强度矢量在x 方向和y 方向的分量振幅相等，且x 方向的分量比y 方向的分量相位超前π/2，故为右旋圆极化波。
