坐标系与参数方程一轮复习专题练习(三)带答案人教版新高考分类汇编

新数学《坐标系与参数方程》专题解析(1)一、131．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】将1t x =代入y =，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．在极坐标系中，设圆8:sin C ρθ=与直线 ():4l R πθρ=∈交于A B ，两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】首先把极坐标方程化为直角坐标方程，进一步求出圆心坐标和半径，再把直角坐标方程化为极坐标方程，即可得到答案． 【详解】由题意，圆8:sin C ρθ=化为直角坐标方程，可得22(4)16x y +-=，直线():4l R πθρ=∈化为直角坐标方程，可得y x =，由直线与圆交于,A B 两点，把直线y x =代入圆22(4)16x y +-=，解得00x y =⎧⎨=⎩或44x y =⎧⎨=⎩，所以以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为， 则圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=，即22440x y x y +--=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入可得24cos 4sin 0ρρθρθ--=，即4cos 4sin 4θπρθθ⎛⎫=+= ⎝+⎪⎭，故选A ． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程的求解，其中解答中把极坐标方程互为直角坐标方程，得到以线段AB 为直径的圆的标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设曲线C 的参数方程为35cos ()15sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩为参数，直线l 的方程310x y -+=，则曲线C 上到直线l 的距离为52的点的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】将圆C 化为普通方程，计算圆心到直线l 的距离，通过比较所求距离与52的关系即可得到满足条件的点的个数． 【详解】化曲线C 的参数方程为普通方程：()()223125x y -++=，圆心()3,1-到直线310x y -+=的距离3115522d ++==<， 所以直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求， 与l 平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意， 故选C 【点睛】解决这类问题首先把曲线C 的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．4．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】 由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

新高中数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由223412x y +=得出22143x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos x y θθ+=+14sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.2．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A．BC．D．2【答案】B 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=， ∴BC ==，故选B ． 【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．3．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )A ．34k <-B ．34k ≥-C ．k R ∈D ．k R ∈但0k ≠【答案】A 【解析】分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：22cos ρρθ=，化成直角坐标方程为：2220x y x +-=， 即22(1)1x y -+=．则圆心到直线的距离d =由题意得：1d <，即1d =<，解之得：34k <-． 故选A ．点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．4．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ=B ．4sin ρθ=C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=【答案】A 【解析】 【分析】求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆C 过极点，由此能求出圆C 的极坐标方程． 【详解】在sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以圆C 的半径2r ==，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．5．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

数学《坐标系与参数方程》复习知识点一、131．已知曲线C ：22{22x t y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．[]2,2-【答案】C 【解析】曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有:12a ≤,解得22a -≤≤,故选C.2．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【答案】D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．3．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

【详解】曲线表示半圆：，所以.取，结合图象可得.故选：D 。

【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，同时也考查了点与圆的位置关系，在处理点与圆的位置关系的问题时，充分利用数形结合的思想，能简化计算，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

4．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据参数方程与普通方程的互化，得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线C 普通方程为221164x y +=，再利用“平方差”法，即可求解．【详解】由直线1:1x tl y at=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），可得直线l 的普通方程为1=-+y ax a ，由曲线221613sin ρθ=+，可得曲线C 普通方程为221164x y +=，设直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，则22111164x y +=，2221164x y +=，两式相减，可得1212121214y y y y x x x x -+⋅=--+.所以1212114y y x x -⋅=--，即直线l 的斜率为14-，所以a =14-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） ABCD【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程12x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则12t t ==，结合弦长公式可知：12AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．若实数x ，y 满足()()22512196x y ++-=，则22x y +的最大值为( )A ．1B ．14C ．729D ．27【答案】C 【解析】 【分析】设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.【详解】由222(5)(12)19614x y ++-==，2251211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令5cos 14x t +=， 12sin 14y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，因此22xy +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++140cos 336sin 365t t =-++1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=,12cos 13α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q221729x y ∴≤+≤因此最大值为729，故选C. 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.7．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y=⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。

高中数学《坐标系与参数方程》复习知识点(1)一、131．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为43cos ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B 【解析】 【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为()222312x y -+=，则曲线2C 是以点()223,0C 为圆心，以223r =为半径的圆， 两圆圆心距为()()22023204d =-+-=，12223232r r -=-=-，12223r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其中¶AE ，¶EF ，·FG，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【答案】C 【解析】 【分析】分别计算»AE ，»EF，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】根据题意可知，»AE 的长度2π，»EF 的长度为π，»FG的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．已知圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3490cos sin ραρα--=，则直线与圆的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算圆和直线的普通方程，根据圆心到直线的距离判断位置关系. 【详解】圆的参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)224x y ⇒+= 直线的极坐标方程为34903490cos sin x y ραρα--=⇐--=圆心到直线的距离为：925d r=<=相交圆心坐标代入直线不满足，所以直线不过圆心.故答案选D【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆心的位置关系，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.5．参数方程（为参数）所表示的图象是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由，得，代入，经过化简变形后得到曲线方程，但需注意曲线方程中变量、的符号，从而确定曲线的形状。

新数学《坐标系与参数方程》高考复习知识点一、131．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【答案】A 【解析】 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】解：由sin y x =变成3sin 2y x ='' 设伸缩变换为(,0)x xy yλλμμ'=⎧>⎨'=⎩，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则312μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得123x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，故选A 。

【高中数学】高考数学《坐标系与参数方程》练习题一、131．参数方程22sin { 12x y cos θθ=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )A ．240x y -+=B ．240x y +-=C ．[]240,2,3x y x -+=∈D ．[]240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【解析】试题分析：2cos212sin θθ=-Q ,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-,代入22sin x θ=+可得22yx =-,整理可得240x y +-=.[]2sin0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.2．曲线C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为212x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则AB 等于（ ） A．7B．7C．13D．13【答案】C 【解析】分析：首先将取消C 的方程化为直角坐标方程，然后结合直线参数方程的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：曲线C 的参数方程2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）化为直角坐标方程即：2214y x +=，与直线l的参数方程212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立可得：21613t =，则12t t ==，结合弦长公式可知：1213AB t t =-=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查参数方程的应用，弦长公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知曲线T的参数方程1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），则其普通方程是（）A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠ C．00x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩D．y =0x ≠)【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1k x=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

选修4­4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系1. (1) 将点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，143π化成直角坐标；(2) 将点N 的直角坐标(4，－43)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1) ∵ x＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23，∴ 点M 的直角坐标是(－2，23)．(2) ∵ ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴ θ＝5π3，∴ 点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.2. 已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆心的极坐标．解：以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy.∵ 圆C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6.∴ 圆心的直角坐标为(1，－1)，则其极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4. 3. (2017·省扬中等七校联考)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．解：点P 的直角坐标为(3, 3), 直线l 的普通方程为x －y －4＝0, 从而点P 到直线l 的距离为|3－3－4|2＝2＋62. 4. 已知点P(－1＋2cos α，2sin α)(其中α∈[0，2π))，点P 的轨迹记为曲线C 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4上．(1) 求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2) 当ρ≥0，0≤θ<2π时，求曲线C 1与曲线C 2的公共点的极坐标．解：(1) 曲线C 1：(x ＋1)2＋y 2＝2，极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－1＝0，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x －1.(2) 曲线C 1与曲线C 2的公共点的坐标为(0，－1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π2.5. 在极坐标系中，求圆ρ2－4ρsin θ－5＝0截直线θ＝π3(ρ∈R )所得线段长．解：以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy.则圆ρ2－4ρsin θ－5＝0化为普通方程为x 2＋y 2－4y －5＝0，即x 2＋(y －2)2＝9.直线θ＝π3(ρ∈R )化为普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0.圆心(0，2)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，于是所求线段长为29－d 2＝4 2.6. (2017·金陵中学质检)在极坐标系中，已知圆C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋7＝0，直线l的极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ＋a ＝0.若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．解：圆C 和直线l 的直角坐标方程分别为(x －2)2＋(y －2)2＝1，3x －4y ＋a ＝0. 因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|6－8＋a|5＝1，解得a ＝－3或a ＝7.7. 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．解：由题意知，圆A 的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 设弦OM 中点为N(ρ，θ)，则M(2ρ，θ)，因为点M 在圆A 上，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ. 又点M 异于极点O ，所以ρ≠0，所以弦OM 中点的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0)．8. 在极坐标系中，设直线θ＝π3与曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0相交于A ，B 两点，求线段AB 中点的极坐标．解：(解法1)将直线θ＝π3化为普通方程，得y ＝3x ，将曲线ρ2－10ρcos θ＋4＝0化为普通方程，得x 2＋y 2－10x ＋4＝0，联立⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋y 2－10x ＋4＝0并消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝12，x 2＝2，所以AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝54，纵坐标为543，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3. (解法2)联立直线l 与曲线C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ2－10ρcos θ＋4＝0，消去θ，得ρ2－5ρ＋4＝0，解得ρ1＝1，ρ2＝4，所以线段AB 中点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1＋ρ22，π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3.(注：将线段AB 中点的极坐标写成⎝ ⎛⎭⎪⎫52，π3＋2k π(k∈Z )亦可) 9. 在极坐标系中，已知三点A(4，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1) 若A ，B ，C 三点共线，求ρ的值；(2) 求过O(坐标原点)，A ，B 三点的圆的极坐标方程．解：(1) 由题意知点A ，B 的直角坐标分别为A(4，0)，B(0，－4)，所以直线AB 的方程是x －y －4＝0.因为点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3ρ2，ρ2，所以3ρ2－ρ2－4＝0，所以ρ＝4(3＋1)． (2) 因为A(4，0)，B(0，－4)，O(0，0)，所以过O ，A ，B 三点的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，整理得x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋4ρsin θ＝0，整理得ρ＝4cos θ－4sin θ.10. 在极坐标系中，设圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，圆心是直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：因为圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32与极轴的交点，所以令θ＝0，得ρ＝1，即圆心是(1，0)．又圆C经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，所以圆的半径r ＝3＋1－23cos π6＝1，所以圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ.11. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)，且曲线C 上的点M(2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1) 将M(2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(a>b>0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝acos π3，3＝bsin π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2， 所以曲线C 的普通方程为x 216＋y24＝1.(2) 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A(ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2代入得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，所以1ρ21＋1ρ22＝516. 第2课时 参 数 方 程1. 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t －2，y ＝4t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，求PQ 的取值范围．解：直线l 的普通方程为4x －3y ＋8＝0；曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1， 曲线C 是圆心为(2，0)，半径为1的圆．圆心到直线的距离d ＝|4×2－0＋8|5＝165，所以PQ 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫115，＋∞. 2. 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：直线l 的普通方程为2x －y －2＝0；曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，它表示圆．由圆心到直线l 的距离d ＝45＝455＜2，得直线l 与曲线C 相交．3. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．解：由题意知，椭圆的长半轴长为a ＝5，短半轴长为b ＝3，从而c ＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程得x －2y ＋2＝0，故所求的直线的斜率为12，因此所求的直线方程为y ＝12(x －4)，即x－2y －4＝0.4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解：直线C 1：2x ＋y ＝9，椭圆C 2：y 29＋x2a2＝1(0＜a ＜3)，准线：y ＝±99－a2.由99－a2＝9，得a ＝2 2.5. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得曲线C 1的普通方程为y ＝33x (x≥0)； 由ρ＝2，得ρ2＝4，得曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t (t 为参数， a ＞0)，在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2∶ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 1的普通方程，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ，若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可解得1－a 2＝0，根据a ＞0，得到a ＝1，当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上，所以a ＝1.7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(3，3)，求PA ＋PB 的值．解：(1) 曲线C 的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋1ρ＝0，可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，可得x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，曲线C 的普通方程：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0.(2) 由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．把它代入圆的方程整理得 t 2＋2t －5＝0，∴ t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－5.又PA ＝|t 1|，PB ＝|t 2|，PA ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 6. ∴ PA ＋PB 的值为2 6.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝3sin t(t 为参数)． (1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程； (2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1) 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32 ，得ρ(32cos θ－12sin θ)＝32，即32x －12y ＝32，化简得y ＝3x －3，所以直线l 的直角坐标方程是y ＝3x － 3.由⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝cos 2t ＋sin 2t ＝1，得椭圆C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2) 联立直线方程与椭圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，x 24＋y 23＝1，消去y ，得x 24＋(x －1)2＝1，化简得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85，所以A(0，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35 3或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，35 3，B(0，－ 3)， 则AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－35 32＝165.9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋rcos θ，y ＝－22＋rsin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．解：圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋rcos θ，y ＝－22＋rsin θ(θ为参数，r ＞0)，消去参数θ得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝r 2(r ＞0)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，半径为r.直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1， 化为普通方程为x ＋y －2＝0. 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22－22－22＝2.∵ 圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即d ＋r ＝3，∴ r ＝3－d ＝3－2＝1.10. 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1) 求M 的轨迹的参数方程；(2) 将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1) 由题意有，P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)，M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)．(2) M 点到坐标原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)，当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．11. 若以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程是ρsin 2θ＝6cos θ.(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2) 若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：(1) 由ρsin 2θ＝6cos θ，得ρ2sin 2θ＝6ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝6x ，曲线是以原点为顶点，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为焦点的抛物线． (2) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t 2，y ＝32t ，y 2＝6x ，化简得t 2－4t －12＝0，则t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－12，所以AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝8.。

第十四章坐标系与参数方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.坐标系1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换2.了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化3.能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程Ⅱ2017课标全国Ⅱ,22;2017课标全国Ⅲ,22;2016课标全国Ⅰ,23;2015课标Ⅰ,23解答题★★★2.参数方程1.了解参数方程和参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3.理解直线参数方程中参数的几何意义,并能用参数方程解决相关的问题Ⅰ2017课标全国Ⅰ,22;2016课标全国Ⅱ,23;2016课标全国Ⅲ,23;2015课标Ⅱ,232014课标Ⅰ,23填空题、★★★分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.五年高考考点一坐标系1.(2015某某,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案x2+y2-2y=02.(2014某某,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线ρsin=1的距离是. 答案 13.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·=2≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013某某,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b 的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2014某某,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为.答案x-y-1=02.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分) 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)4.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)5.(2016某某,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.教师用书专用(7—11)7.(2013某某,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为.答案 48.(2015某某,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.10.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.11.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系1.(人教A选4—4,一,3,A5,变式)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=4cos θ(ρ≥0),则曲线C1与曲线C2交点的极坐标为.答案,(k∈Z)2.(2018某某中学、某某一中12月联考,22)已知直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;(2)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值.解析(1)ρ=2cos θ可化为ρ2=2ρcos θ,根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x2+y2=2x,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρcos=.(2)将θ=代入ρ=2cos θ,可求得|OA|=1,将θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+,根据题意可知O、A、B三点共线,且|AB|=|OA|+|OB|=2+,∴|AB|=2+.3.(2018某某某某12月调研,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2,在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos θ-ρsin θ-10=0.(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程;(2)已知点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.解析(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数),伸缩变换为所以曲线C2的参数方程为所以C2的普通方程为x'2+y'2=4.表示圆心在坐标原点的圆.所以C2的极坐标方程为ρ2=4,即ρ=2.(2)直线l的普通方程为x-y-10=0.由(1)知曲线C2表示圆心为原点,半径为2的圆,且圆心到直线l的距离d==5,因为5>2,所以圆C2与直线l相离.所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5+2,最小值为d-r=5-2.4.(2017某某某某模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析(1)由ρ=得ρsin2θ=8cos θ,∴ρ2sin2θ=8ρcos θ,∴y2=8x,∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=4,∴|AB|=·|x1-x2|=·=×=10.考点二参数方程5.(2018某某康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.解析(1)由2ρcos=得ρcos θ+ρsin θ=,即x+y-=0.由(φ为参数)得+=1.所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.(2)由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程可得t2+2t-8=0.设方程的两根为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8.6.(2018某某某某一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],∴曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).(2)设曲线C2上任意一点P(cos α,sin α),α∈[0,π],则点P到曲线C1的距离d==.∵α∈[0,π],∴cos∈,∴2cos∈[-2,],当m+<0时,m+=-4,即m=-4-;当m-2>0时,m-2=4,即m=6.∴m=-4-或m=6.7.(2017某某某某二模,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|·|PB|的取值X围.解析(1)由ρ=得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y2=1.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数),将代入+y2=1得(cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=,则|PA|·|PB|=|t1t2|==∈,∴|PA|·|PB|的取值X围为.8.(2017某某某某联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρc os2θ=4sin θ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.解析(1)由(t为参数)消去t得xcos θ-ysin θ+sin θ=0.所以直线l的普通方程为xcos θ-ysin θ+sin θ=0,由ρcos2θ=4sin θ得(ρcos θ)2=4ρsin θ,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|===,∵0<θ<π,∴当θ=时,|AB|取最小值4.9.(2016某某五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值X围.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),将t=x+3代入y=t,得直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ=0,将x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设点P(2+2cos θ,2sin θ),θ∈R,则d==,∵θ∈R,∴d的取值X围是.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018某某百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ=2sin.(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析(1)由(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.由ρ=2sin可得ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y得C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,为半径的圆,若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为,即=,解得k=0或k=.当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k=时,P的坐标为,易知点P在直线C1上,|PC2|==.所以|PQ|==.2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率.解析(1)由曲线C的参数方程得(θ为参数),所以曲线C的普通方程为+=1.(2)设直线l的倾斜角为θ1,则直线l的参数方程为(t为参数).代入曲线C的普通方程,得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以由题意可知t1=-2t2.所以12sin2θ1+16si n θ1cos θ1+3cos2θ1=0,即12tan2θ1+16tan θ1+3=0.解得tan θ1=.所以直线l的斜率为.3.(2017某某某某中学二调,22)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立得方程组解得或所以l与C1的交点为A(1,0),B,所以|AB|==1.(2)由题意知C2的参数方程为(θ为参数),所以点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,因此当sin=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).4.(2016某某某某三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-4=0.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y2=x,将代入上式整理得ρsin2θ=cos θ,即C1的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0.(2)将曲线C2的极坐标方程ρ2+2ρcos θ-4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x-4=0,将y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=±1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=.故C1与C2交点的极坐标为,.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018某某八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.解析(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入得曲线C的普通方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,设A(ρ1,α),由OA⊥OB知B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.2.(2017某某某某等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C2的极坐标方程;(2)设曲线C3的极坐标方程为ρsin=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.解析(1)由题意得曲线C2的参数方程为(α为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x'-1)2+y'2=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos α.(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C3的直角坐标方程为x-y-2=0,表示直线,所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d==,所以|PQ|=2=.3.(2017某某某某一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值X围.解析(1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2017某某某某十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',过点F(,0)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,求|FA|·|FB|.解析(1)直线l的普通方程为2x-y+2=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)∵∴C'的直角坐标方程为+y2=1.易知直线AB的参数方程为(t为参数).将直线AB的参数方程代入+y2=1,得t2+t-1=0,则t1·t2=-,∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=.方法3 与参数方程有关问题的求解方法5.(2018某某某某七中一诊,22)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右word焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程;(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值. 解析(1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即x+y-=0,∴极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=.(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以l的斜率为,∴l的倾斜角为30°,∴l的参数方程为(t为参数),将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t2-12t-36=0.∵M,N在点F1的两侧,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.。

2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，考试时间为120分钟，满分150分一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}212,1A xx B x x =<<=∣∣，则A B ⋃=（）A.[)1,2-B.(),2∞-C.[)1,3- D.[]1,2-2.命题2:,220p x R x x ∀∈+-<的否定p ⌝为（）A.2000,220x R x x ∃∈+->B.2,220x R x x ∀∈+-C.2,220x R x x ∀∈+->D.2000,220x R x x ∃∈+-3.3.已知复数2(1i)z =+（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A.2B.2- C.2iD.2i-4.若函数()222,0,log ,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.2- B.2 C.3- D.35.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.14-B.14C.12-D.126.函数()21x xe ef x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C. D.7.函数2sin cos21y x x=-+的最小值是（）A.3-B.1-C.32- D.12-8.已知数列{}n a的前n项和22nS n n m=-++，且对任意*1,0n nn N a a+∈-<，则实数m 的取值范为是（）A.()2,∞-+ B.(),2∞--C.()2,∞+ D.(),2∞-9.已知等比数列()*a满足4221,m nq a a a≠=，（其中,*m n N∈），则91m n+的最小值为（）A.6 B.16 C.32 D.210.已知函数()cos3f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若()f x在[]0,a上的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a的取值范为（）A.40,3π⎛⎤⎥⎝⎦B.24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2,3π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D.25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设4sin1,3sin2,2sin3a b c===，则（）A.a b c<< B.c b a<<C.c a b<< D.a c b<<12.已矨,,A B C均在球O的球面上运动，且满足3AOBπ∠=，若三棱锥O ABC-体积的最大值为6，则球O的体积为（）A.12πB.48πC.D.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()(1,,a k b==，若a b⊥，则k=__________.14.已知{}n a是各项不全为零的等差数列，前n项和是n S，且2024S S=，若()2626nS S m=≠，则正整数m=__________.15.设,m n为不重合的直线，,,αβγ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有（）（只填序号）.①,m a m β⊂∥②,,m n n m αβ⊂⊥⊥③,αγβγ⊥⊥④,m m αβ⊥⊥16.已知函数()14sin ,01,2,1,x x x f x x x π-<⎧=⎨+>⎩若关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（12分）已知数列{}n a 满足12122,log log 1n n a a a +==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求(){}32nn a -的前n 项和nS.18.（12分）已知ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,,,cos cos 2cos 4a b c C a A c C b B π=+=.（1）求tan A ；（2）若c =，求ABC 的面积.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平而PBC ⊥平面ABCD ；（2）求点A 到平面PCD 的距离.20.（12分）已知数列()n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列n b 的前n 项和T .21.（12分）已知函数()ln x af x ex x -=-+.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程，（2）当0a 时，证明，()2f x x >+.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系，xOy 中，直线l的参数方程为2,21,2x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与曲线C '有公共点，试求a 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()22(0)f x x x t t =++->，若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若,,a b c 均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷文科数学参考答案及评分意见1.A【解析】由21x ，即()()110x x -+，解得11x -，所以{}11B xx =-∣，所以{12}A B xx ⋃=-<∣.故选A .2.D 【解析】2,220x x x ∀∈+-<R 的否定为：2000,220x x x ∃∈+-R ，故选D.3.A 【解析】2(1i)2i z =+=，即复数z 的虚部为2，故选A .4.D【解析】()()()222(2)228,8log 83f f -=--⨯-===，故选D.5.C 【解析】因为1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2211cos 2cos 2cos 22sin 11366622ππππααπαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选C.6.A 【解析】()()2e e 1x xf x f x x ---==-+，所以函数()y f x =是奇函数，排除B 选项，又()22e e 215f --=>，排除C ，D 选项，故选A.7.D 【解析】由题意，函数22sin cos212sin 2sin y x x x x =-+=+，令[]sin 1,1t x =∈-，可得221122222y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，当12t =-，即1sin 2x =-时，函数取得最小值，最小值为12-.故选D.8.A【解析】因为10n n a a +-<，所以数列{}n a 为递减数列，当2n 时，()2212(1)2123n n n a S S n n m n n m n -⎡⎤=-=-++---+-+=-+⎣⎦，故可知当2n 时，{}n a 单调递减，故{}n a 为递减数列，只需满足21a a <，即112m m-+⇒-.故选A .9.D【解析】由等比数列的性质，可得()911911918,10102888m n m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当6,2m n ==时，等号成立，因此，91m n +的最小值为2.故选D.10.B 【解析】()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合图象，()f x 的值域是11,,0,2333x a x a πππ⎡⎤-++⎢⎣⎦，于是533a πππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.11.B 【解析】设()()2sin cos sin ,x x x xf x f x x x -=='，令()()cos sin ,sing x x x x g x x x =-'=-，当()0,x π∈时，()0g x '<，故()g x 在()0,π上递减，()()()00,0g x g f x <=∴<'，故()sin xf x x=在()0,π上递减，023π<<< .()()sin3sin232,,2sin33sin232f f ∴<<<，故c b <，()()()sin 2012,sin1,sin22sin1,3sin232sin14sin12ππππππ-<<-<<<-<-<-，故b a <，故c b a <<，故选B.12.C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时231133632212O ABC C AOB V V R R --==⨯⨯⨯==，故3R =O 的体积为343R V π==，故选C.13.3-【解析】0a b a b ⊥⇔⋅=，所以()(1,10,3k k ⋅=+==-.14.18【解析】设等差数列{}n a 的首项和公差分别为1,a d ，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由二次函数的对称性及202426,m S S S S ==，可得20242622m++=，解得18m =.15.④【解析】根据线面的位置关系易知，①②③中面α和面β可能相交也可能平行，④：若m α⊥且m β⊥，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故④正确.16.()3,1--【解析】作出函数()f x 的大致图象，如图所示，令()t f x =，则()()()2[]210f x m f x m --+-=可化为()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=，则11t =或21t m =-，则关于x 的方程()()()2[]210f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解等价于()t f x =的图象与直线12,t t t t ==的交点个数之和为5个，由图可得函数()t f x =的图象与直线1t t =的交点个数为2，所以()t f x =的图象与直线2t t =的交点个数为3个，即此时214m <-<，解得31m -<<-.17.【解析】（1）在数列{}n a 中，已知12122log log log 1n n n na a a a ++-==，所以12n na a +=，.即{}n a 是首项为12a =，公比为2的等比数列，所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N .（2）由()()32322nn n a n -=-⨯，故()()231124272352322n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，所以()()23412124272352322nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，则()23123222322n n n S n +⎡⎤-=+⨯+++--⨯⎣⎦，()()()11212433221053212n n n n n ++-=-+⨯--⨯=-+-⋅-，故()110352n n S n +=+-⋅.18.【解析】（1）解法一：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，sin2sin cos sin cos B A A C C =+，.3,,sin2sin 2sin 2cos2422C A B C B A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=++==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos2sin cos 2A A A -=+，221sin cos sin cos 2A A A A --=22tan 1tan 1tan 12A A A --=+，化简得2tan 2tan 30A A --=，解得tan 3A =或tan 1A =-（舍去）.解法二：由题，cos cos 2cos a A c C b B +=，由正弦定理得，2sin2sin2sin2B A C =+，即()()()()2sin2sin sin B A C A C A C A C ⎡⎤⎡⎤=++-++--⎣⎦⎣⎦，即()()sin2sin cos B A C A C =+-，又A B C π++=，故()sin sin A C B +=，所以()2sin cos sin cos B B B A C =-，又0B π<<，故sin 0B ≠，所以()2cos cos B A C =-，又A B C π++=，故()cos cos B A C =-+，化简得sin sin 3cos cos A C A C =，因此tan tan 3A C =且tan 1C =，所以tan 3A =.（2）由（1）知tan 3A =，因此()tan tan tan tan 21tan tan A CB AC A C+=-+=-=-，.所以sin 10A =，sin 5B =2sin 2C =，因为,6sin sin a c a A C==，.所以1125sin 612225ABC S ac B ==⨯⨯= .19.【解析】（1）因为,PB PC O =是BC 的中点，所以PO BC ⊥，在直角POC 中，1PC OC ==，所以PO =，在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，所以DO =，又因为2PD =，所以在POD 中，222PD PO OD =+，即PO OD ⊥.而,,BC OD O BC OD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .'（2）由（1）平面PBC ⊥平面ABCD ，且DC BC ⊥，所以DC ⊥平面PBC ，所以DC PC ⊥，即PCD 是直角三角形，因为1PC CD ==，所以13122PDC S =⨯=，又知11212ACD S =⨯⨯= ，PO ⊥平面ABCD ，设点A 到平面PCD 的距离为d ，则A PCD P ACD V V --=，即1133PCD ACD S d S PO ⨯⨯=⨯⨯ ，即1311323d ⨯⨯=⨯⨯所以263d =，所以点A 到平面PCD 的距离为3..20.【解析】（1）由题当1n =时，()111223262a +=-⋅+=，即11a =.()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ ①当2n 时，()211212222526n n n a a a n --+++=-⋅+ ②.①-②得()()()1223262526212nn n n n a n n n +=-⋅+--⋅-=-⋅，所以21n a n =-..（2）由（1）知，212221n an n n b a n -=+=+-，则()()()()3521212325221n n T n -=++++++++- ()()3521222213521n n -=+++++++++-⋅()()212214121232..1423nn n n n +⨯-+-+-=+=-21.【解析】（1）当1a =时，()()111e ln ,e 1x xf x x x f x x--=-+=-+'，所以()()12,11f f '==，.则切线方程为()211y x -=⨯-，.即10x y -+=曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x y -+=.（2）证明：要证()2f x x >+，即证e ln 2x a x -->，设()eln ,0x aF x x x -=->，即证()2F x >，当0a 时，()()1e 1e ln ,ex a x ax ax F x x F x x x----=-=-='在()0,∞+上为增函数，且()e1x ah x x -=-中，()()0100e 110,1e 1e 10a a h h --=⨯-=-=-->.故()0F x '=在()0,∞+上有唯一实数根0x ，且()00,1x ∈..当()00,x x ∈时，()0F x '<，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，从而当0x x =时，()F x 取得最小值.由()00F x '=，得001ex ax -=，故()()000001eln 2x aF x F x x x a a x -=-=+->.综上，当0a 时，()2F x >即()2f x x >+.22.【解析】（1）由题2,21,2x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t得直线:20l x a -=，.22413sin ρθ=+，即2224cos 4sin ρθθ=+，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）由,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2,,x x y y =⎧⎨=''⎩又2214x y +=，所以()()22214x y +'='，即'2'21x y +=，所以曲线C '的方程是221x y +=，.由1d =得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.23.【解析】（1）()222f x x x t x x t x t =++-=++-+-，()2222y x x tx x t t t =++-+--=+=+，当2x t -时等号成立，.⋅又知当x t =时，x t -取得最小值，所以当x t =时，()f x 有最小值，此时()min ()25f x f t t ==+=，所以3t =..（2）由（1）知，23a b c ++=，()22141114111162(121)232333a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=++= ⎪⎝⎭，当且仅当333,,824a b c ===时取等号，所以1412a b c ++的最小值为163.。

【高中数学】数学《坐标系与参数方程》复习资料一、131．已知点()30A -,，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）上运动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．92B．C．62+ D．62-【答案】D 【解析】 【分析】化简曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小值求解即可. 【详解】由曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.故直角坐标方程为：()2211x y -+=.又点()30A -,,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=. 故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为d ==故P 到直线AB 的距离最小值为1h =.故PAB △面积的最小值为()1116222S AB d =⋅=⨯=-. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.2．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）．A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．圆【答案】D 【解析】 【分析】先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程中的x ，y 分别换成得2x '，3y '，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程222123+4cos sin ρθθ=∴22223cos 4sin 12ρθρθ+=∴直角坐标方程为223412x y +=，即22143x y +=∴经过直角坐标系下的伸缩变换123x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后得到的曲线方程为22(2)(3)14x y ''+=，即22()()1x y ''+=. ∴得到的曲线是圆 故选D. 【点睛】本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用．3．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。

高中数学专题复习《坐标系与参数方程》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．椭圆⎩⎨⎧+-=+=ϕϕsin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是（ ） A ．（－3，5），（－3，－3）B ．（3，3），（3，－5）C ．（1，1），（－7，1）D ．（7，－1），（－1，－1）（汇编全国理，7）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．（理）已知圆的极坐标方程为：242cos 604πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，若点P(x ，y)在该圆上，则x ＋y 的最大值为____________．11、（文）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则=-m M ____________．3．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______. 评卷人得分 三、解答题4．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．5．在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线:cos 4l ρθ=相交于点M ，在OM 上取一点P ，使12OM OP ⋅=．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．6． 已知直线l 的参数方程：12x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=． （Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．7．直线33,2()12x ssy s⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数和曲线1,()1x tt ty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．8．过点P（－3，0）且倾斜角为30°直线和曲线1,()1x tt ty tt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A、B两点．求线段AB的长．9．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，π2 )．若直线l过点P，且倾斜角为π3，圆C以M为圆心、4为半径.(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(5分)(2)试判定直线l和圆C的位置关系.(5分)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、选择题1．AC解析：B解析：可得a ＝3，b ＝5，c ＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．3． 评卷人得分 三、解答题4．由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ 的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ (6)分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， …………………………8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分5．(1)θρc os 3=；(2) 1min =RP ．6． 解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y ………………2分22sin()4πρθ=+，即)c os (s in 2θθρ+=，两边同乘以ρ得 )cos sin (22θρθρρ+=，得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ………………………5分 （Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交…7分7．解：曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=． 将直线的参数方程代入上式，得263100s s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴12126310s s s s +==，． AB 2121212()4s s s s s s =-=+-＝217．8．解：直线的参数方程为33,2()12x s s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，…………………………3分 曲线1,()1x t t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=．……………………………5分 将直线的参数方程代入上式，得263100s s -+=．设A 、B 对应的参数分别为12s s ，，∴12126310s s s s +==，．……………8分 AB 2121212()4s s s s s s =-=+-＝217．…………………………………10分9．。

新数学《坐标系与参数方程》复习知识点(1)一、131．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1 B ．1- C ．21- D ．21--【答案】C 【解析】 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则2312sin 1214x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤- ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值2．极坐标cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【答案】D 【解析】由ρ＝cos θ得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x ，即12x ⎛⎫-⎪⎝⎭ 2＋y 2＝14. 它表示以1,02骣琪琪桫为圆心，以12为半径的圆． 由x ＝－1－t 得t ＝－1－x ，代入y ＝2＋t 中，得y ＝1－x 表示直线．3．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出的面积。

【详解】 依题意得：、，，所以，故选：A 。

【点睛】本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A 14B ．14C 2D ．22【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d 20422--=，直线l 被圆C 截得的弦长为222(2)22-= 【点睛】(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式22||2AB r d =-.5．若实数x ，y 满足()()22512196x y ++-=，则22x y +的最大值为( )A ．1B ．14C ．729D ．27【答案】C 【解析】 【分析】设14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，利用辅助角公式可得22x y +()364sin 365t α=-+，由三角函数的有界性可得结果.【详解】由222(5)(12)19614x y ++-==，2251211414x y +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令5cos 14x t +=， 12sin 14y t -=， 则14cos 5x t =-，14sin 12y t =+，因此22xy +22(14cos 5)(14sin 12)t t =-++140cos 336sin 365t t =-++1252813sin cos 3651313t t ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯+ ⎪⎝⎭()364sin 365t α=-+（其中5sin 13α=,12cos 13α=） 又1sin()1t α-≤-≤Q221729x y ∴≤+≤因此最大值为729，故选C. 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，考查了辅助角公式以及三角函数的有界性，属于综合题.6．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A 、C 、D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设BP mBC nBA =+u u u v u u u v u u u v（,m n ∈R ），则m n +的取值范围是（ ）A ．[221]B ．[422,42]-+C ．22[1]22-+ D ．22[144-+ 【答案】D【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,BA BC u u u r u u u r的坐标，进而可得BP u u u r的坐标．分类讨论，当动圆Q 的圆心在CD 上运动或在AD 上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点P 坐标，再利用三角函数求m n +的最值． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，(0,4),(4,0)BA BC ==u u u r u u u r ，可得(4,0)(0,4)(4,4)BP m n m n =+=u u u r，当点Q 在CD 上运动时，设(4,),[0,4]Q t t ∈，则点P 在圆Q ：22(4)()1x y t -+-=上及内部，故可设(4cos ,sin ),(,01)P r t r R r θθθ++∈≤≤，则(4cos ,sin )BP r t r θθ=++u u u r，44cos 4sin m r n t r θθ=+⎧∴⎨=+⎩， 444(sin cos )42sin 4m n t r t r πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,t r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4t r πθ===时，m n +取最小值为424-，即214-； 当4,1,4t r πθ===时，m n +取最大值为824+，即224+m n ∴+的取值范围是221244⎡-+⎢⎣⎦； 当点Q 在AD 上运动时，设(,4),[0,4]Q s s ∈，则点P 在圆Q ：22()(4)1x s y -+-=上及其内部，故可设(cos ,4sin ),(,01)P s r r R r θθθ++∈≤≤，则(cos ,4sin )BP s r r θθ=++u u u r，4cos 44sin m s r n r θθ=+⎧∴⎨=+⎩，444(sin cos )4sin 4m n s r s πθθθ⎛⎫∴+=+++=+++ ⎪⎝⎭，04,01,s r R θ≤≤≤≤∈Q ，当50,1,4s r πθ===时，m n +取最小值为44-，即14-；当4,1,4s r πθ===时，m n +，即24+，m n ∴+的取值范围是1244⎡-+⎢⎣⎦； 故选：D ． 【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．将点的直角坐标(-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由P 点的直角坐标(-，可得tan yxρθ==，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】解：∵点P 的直角坐标(-，∴4ρ===，tan y x θ=== 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23πθ=． ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3π⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.8．参数方程21,11x ty t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 【分析】消参化简整理得221x y +=，即得方程对应的曲线. 【详解】 将1t x =代入y =，化简整理得221x y +=，同时x 不为零，且x ，y 的符号一致， 故选:D. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2x =C ．2202x y x +==或D ．2y =【答案】C 【解析】由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．10．若点P的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan θ==.由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.11．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1【答案】C 【解析】 【分析】先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解. 【详解】由题得22(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或 故答案为C. 【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪⎨=⎪⎩,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉220x y +=.12．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由223412x y +=得出22143x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求2x y +的最大值.【详解】由题可得：22143x y +=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），有22cos x y θθ+=+142con θθ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭4sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为1sin 16πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则： 44sin 46πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.13．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ） A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B 【解析】 【分析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足1CD =u u u r, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]46，B．⎤⎦ C．⎡⎣D．⎤⎦【答案】D 【解析】试题分析：因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos {sin D D x y θθ=+=(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,则OA OB OD ++=u u u r u u u r uu u r=因为2cos θθ+的取值范围为⎡⎡=⎢⎣⎣1==1==,所以OA OB OD ++u u u r u u u r uu u r的取值范围为1⎤=⎦,故选D.考点：参数方程 圆 三角函数15．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ） A ．0k ≠B ．k R ∈C．k >D ．k …【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质，即可得出k 的取值范围. 【详解】当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解由4sin cos πθθθ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭k >时，方程无解.故选：C【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.16．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B【解析】【分析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程, 22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.17．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。

新高考数学《坐标系与参数方程》专题解析一、131．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2R πθρ=∈对称【答案】A 【解析】 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.2．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )A ．4B C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以.所以e ＝4. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.c c a b e a=-=3．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ） A ．25 B ．213C ．4D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=， ∴椭圆的焦距为29425-=，故选A ．【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题．4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。