高中数学《相互独立事件同时发生的概率(一)》优质课比赛教案设计

高三数学教学案 第十章 排列、组合与概率 第九课时 相互独立事件同时发生的概率1、理解相互独立事件的概念，能熟练运用公式P(A ·B)=P(A)·P(B)；2、理解独立重复试验的概念，能熟练运用P n (k)=C k n k k n p P --)1(; 3、能区分几种常见的概型，并能结合运用概率的知识解决实际应用的问题。

相互独立事件的概念，相互独立事件同时发生的概率公式，独立重复事件的概念，独立重复事件发生k 次的概率公式。

1、公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）成立的前提是A 、B 相互独立。

（A ·B 指事件A 、B 同时发生）2、在P n (k)=C k n kP k n p --)1(中，要掌握k n C 的含义，即在几次独立重复试验中，有k 次A 发生和(n －k)次A 不发生，它们的次数有k n C 种。

3、注意P n (k) =C k n kP k n p --)1(=k k n k n P p C --)1(是[（1－P ）+P]n 展开式中的第K+1项，独立重复试验与二项式定理有密切的关系。

0.8，乙打靶的命中率为0.7，若两人同时射击一个目标，则他们都未中靶的概率为 （ ）A 0.06B 0.44C 0.56D 0.942、已知A 与B 是相互独立事件，且P(A)=0.3，P （B ）=0.6，则P （B A ∙）=________3、有100件产品，其中5件次品，从中连取两次，每次取一件，（1）取后不放回；（2）取后放回，则两次都取得合格品的概率分别为______、_______。

4、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 、q ，则恰有一株存活的概率为（ ）A P+q －2pqB P+q —pqC p+qD pq5、一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手每次射击命中的概率为（ ） A 1 B 32 C 41 D 526只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品； （2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品例2：如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80，0.90,0.90，分别求两个系统N 1，N 2正常工作的概率P 1，P 2。

清泉州阳光实验学校课题：互相独立事件同时发生的概率教学目的：1.理解互相独立事件的意义，会用互相独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率2.会计算事件在n 年次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.〔一〕主要知识及主要方法：1.互相独立事件：事件A 〔或者者B 〕是否发生对事件B 〔或者者A 〕发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做互相独立事件.假设A 与B 是互相独立事件，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也互相独立. 2.互斥事件与互相独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件互相独立是指不同试验下，二者互不影响；两个互相独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生. 3.互相独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅事件12,,,n A A A 互相独立，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅. 4.独立重复试验的定义：在同样条件下进展的各次之间互相独立的一种试验.5.关于互相独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，互相独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件互相独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响〞来确定的. 6.独立重复试验的概率公式：假设在一次试验中某事件发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生k 次的概率k n k k n n P PC k P --=)1()(表示事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了k次的概率 7.关于独立重复试验要从三个方面理解：第一：每次实验都在同样条件下进展；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，它与实验的序号无关.〔二〕典例分析：问题1．〔06文〕甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是25，12，35．现3人各投篮1次，求：()13人都投进的概率；()23人中恰有2人投进的概率．问题2．(05文)甲、乙两人各进展3次射击，甲每次击中目的的概率为21，乙每次击中目的的概率32，()1甲恰好击中目的的2次的概率；()2乙至少击中目的2次的概率；()3求乙恰好比甲多击中目的2次的概率．问题3．〔07文〕设甲、乙两人每次射击命中目的的概率分别为34和45，且各次射击互相独立．()1假设甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目的的概率； ()2假设甲、乙各射击两次，求两人命中目的的次数相等的概率．〔三〕走向高考：1.〔07文〕甲、乙两人进展乒乓球比赛，比赛规那么为“3局2胜〞，即以先赢2局者为胜，根据经历，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，那么本次比赛甲获胜的概率是.A 0.216 .B 0.36 .C 0.432 .D 0.6482.〔04〕甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是3.〔07〕某篮运发动在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率〔用数值答题〕 4.〔06文〕接种某疫苗后，出现发热反响的概率为0.80，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反响的概率为〔准确到0.01〕5.〔07文〕某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以进步低岗人员的再就业才能，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或者者不参加培训，参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训工程的选择是互相独立的，且各人的选择互相之间没有影响．()1任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；()2任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．6.〔06文〕甲、乙、丙三人在同一办公室工作。

高二数学相互独立事件同时发生的概率教案一、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．会用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算一些事件的概率。

二、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。

三、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

例1．（步步高P127例1）说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：问题1中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果。

于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。

同时摸出白球的结果有32⨯种。

所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

教学设计（主备人：倪照德）教研组长审查签名: 高中课程标准 数学必修第二册（下B）教案执行时间：11.3相互独立事件同时发生的概率（一）一、内容及其解析1、内容：本节的教学内容是相互独立事件同时发生的概率。

它是概率论的初步知识，是对继“互斥事件发生的概率”之后又一种典型概率的研究和学习。

在以后的进一步学习以及生活，生产实际中都有较广泛的应用。

2、解析：本节课的重点是相互独立事件的概率乘法公式应用，难点是相互独立事件与互斥事件的区别。

结合学生的学情，本节课教学的关键是必须先结合题意准确判断出所给事件是相互独立事件，特别是要与前面刚学的互斥事件区别开，再将概率乘法公式应用在实际的问题中去。

二、教学目标及其解析1、目标：使学生理解相互独立事件的定义，并掌握相互独立事件的概率乘法公式。

通过学生对相互独立事件的概率乘法公式结果的思考和归纳，培养学生的探究能力；通过所给例题的比较，培养学生看问题善于看本质，善于挖掘，善于总结的习惯。

2、解析：使学生知道公式是由一个特例得出的结论归纳出来的，让他们知道这种“由特殊到一般”的认知规律，通过概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想，使学生体会到数学既是从现实原型中抽象出来的，与现实生活有着必然的联系，从而激发学生学习的兴趣。

三、教学问题诊断分析学生在学习和判断相互独立事件与互斥事件及其两者的区别上可能会出现障碍。

所以，本节课设计的导入是利用学生熟知的实例，创造问题情境，再通过老师的“启发诱导，层层推进”的引导，学生自主探索，充分利用已有的知识结构探索解决问题的思路，遵循学生认知事物的规律性，循顺渐进，逐步掌握和巩固知识。

四、教学支持条件分析本节课在教法上力求体现以学生为本，培养学生分析问题，解决问题的能力，使他们初步感受到概率的实际意义及其思考方法。

在具体的教学过程中采用了在老师的引导下，学生自主的分析问题，最后师生共同总结归纳的教学方法。

在学生学习的过程应是具体——抽象——具体，从感性认识到理性思维，从“具体”到“抽象”是归纳过程，从“抽象”到“具体”是演绎过程，学生应当遵循两个过程循环往复，循序渐进。

相互独立事件同时发生的概率（一）教学目标：（一）教学目的：1．掌握相互独立事件的定义及其性质；2．相互独立事件的概率乘法公式。

（二）能力训练要求：1．理解相互独立事件的意义，区分“互斥事件”和“相互独立事件”的区别。

2．熟练运用独立事件的概率乘法公式。

（三）德育目标：1．培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；2．提高学生的科学素质。

教学重点、难点、关键：重点：1．独立事件的定义及性质；2．区分“互斥事件”和“独立事件”；3．独立事件的概率乘法公式。

难点：判断“互斥事件”和“独立事件”。

关键：用数学符号表示事件。

课型：新授课教具：多媒体、投影仪、扑克牌教学方法：在游戏中发现问题，在老师的帮助下解决问题。

教学过程：1．做游戏：取12张扑克，（1、2、3）按花色分成4组。

每组取一张牌（1）一等奖：四张牌都是数字2；（2）二等奖：4张牌都不是3；（3）三等奖：其他2．讲授新课：1）给出独立事件的定义。

2）找学生举独立事件的事例3）判断是否是独立事件4）给出独立事件的性质5）探求相互独立事件的公式现在，请同学们来看这样一个问题：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，若从这两个坛子里分别摸出1个球，则它们都是白球的概率是多少？（引导学生分析）首先从两个坛子里分别取一球；可视为做一次试验，需分两步完成，且从一个坛子中取一球是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出一球是白球还是黑球没有任何影响.若记：“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”为事件A ，记：“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”为事件B ，则事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，也就是说事件A （或B ）的发生是独立的，不受事件B （或A ）的发生与否的限制.那么，我们不妨将象这样的事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响的两个事件叫做相互独立事件. 例如，在上述问题中，事件A 是指“从甲坛子中摸出1个球，得到黑球”，事件B 是指“从乙坛子中摸出1个球，得到黑球”，不难判断，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也都是相互独立的.一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都是相互独立的. 看来，若记：“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，那么它的发生，就是事件A 、B 同时发生，不妨记作A · B .于是想要研究事件A ·B 发生的概率P （A · B ），则需研究上述两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率.请同学们根据我们所掌握的知识，试着分析……（也可分组讨论）从甲坛子中摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子中摸出1个球，有4种等可能的结果.于是从两个坛子里各摸出1个球，根据分步计数原理，可知共有5×4种等可能的结果,表示如下（其中每个结果的左、右分别表示从甲、乙坛子里取出的球的颜色）：（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白）（白，白） （白，黑） （白，黑） （白，白） （白，白）（白，黑） （白，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑）（黑，黑） （黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）在上面的5×4种结果中，从甲坛子里摸出白球的结果有3种，从乙坛子里摸出白球的结果有2种，同时摸出白球的结果有3×2种.因此，从两坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率P （A ·B ）=4523⨯⨯. 而，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率P (A )=53，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率P （B ）=42. 不难发现，32534523⨯=⨯⨯. 即：P （A ·B ）=P (A )·P （B ）.也就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.进而可知：一般地，如果事件A 1，A 2，…,A n 相互独立，那么这几个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1·A 2·…·A n ）=P （A 1）·P （A 2）·…·P （A n ）例如，在上面的问题中，“从两个坛子里分别摸出1个球，都是黑球”这一事件的发生，就是事件A ，B 同时发生，可记作A ·B ，其概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）512152=⨯=. “从甲坛子里摸出1个球，得到黑球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”同时发生的概率P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=512152=⨯. “从甲坛子里摸出1个球，得到白球”与“从乙坛子里摸出1个球，得到黑球”同时发生的概率P （A ·B ）=P (A )·P （B ）=1032153=⨯ “从两个坛子里分别摸出1个球，得到1个白球和1个黑球”的概率为：P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得到两个白球或两个黑球”的概率为： P （A ·B ）+P （A ·B ）=2110351=+. “从两个坛子里分别摸出1个球，得不到两个白球”的概率为P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）1075110351=++= 或1－P （A ·B ）=1－107103=. 2． 课堂练习：书上的例13． 小结：4． 演示小故事（三个臭皮匠胜过诸葛亮）5． 课后作业：135页习题10.7 第4、5、7。

11.3 相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解： 第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A 与B 的积记作A ·B ，A ·B 表示这样一个事件，即A 与B 同时发生. 当A 和B 是相互独立事件时，事件A ·B 满足乘法公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），还要弄清A ·B ，B A ⋅的区别. A ·B 表示事件A 与B 同时发生，因此它们的对立事件A 与B 同时不发生，也等价于A 与B 至少有一个发生的对立事件即B A +，因此有A ·B ≠B A ⋅，但A ·B =B A +.●点击双基1.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p 1p 2B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）C.1－p 1p 2D.1－（1－p 1）（1－p 2） 解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k +1次正面的概率，那么k 的值为A.0B.1C.2D.3解析：由C k5（21）k （21）5－k =C 15+k （21）k +1·（21）5－k －1， 即C k 5=C 15+k ，k +（k +1）=5，k =2.答案：C3.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为31，视力合格的概率为61，其他几项标准合格的概率为51，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）A.94B.901 C.54 D.95 解析：P =31×61×451=901.答案：C4.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为31，丙生解出它的概率为41，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________. 解析：P =21×32×43+ 21×31×43+ 21×32×41=2411. 答案：2411 5.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P =（1－31）（1－31）×31=274. 答案：274●典例剖析【例1】 （2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B ；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件A ，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件B ，于是P （A ）=106= 53，P （A ）=52；P （B ）=104= 52，P （B ）=53. 由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A 与B是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件A ·B 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=53·52=256. 答：两人都抽到足球票的概率是256.（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件A ·B 发生）的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=52·53=256. ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P =1－P （A ·B ）=1－256=2519. 答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是2519. 【例2】 有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A ，3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A ：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B ：从第一个盒子中取得一个标有字母B 的球，则A 、B 互斥，且P （A ）=107，P （B ）=103；事件C ：从第二号盒子中取一个红球，事件D ：从第三号盒子中取一个红球，则C 、D 互斥，且P （C ）=21，P （D ）=108=54. 显然，事件A ·C 与事件B ·D 互斥，且事件A 与C 是相互独立的，B 与D 也是相互独立的.所以试验成功的概率为P =P （A ·C +B ·D ）=P （A ·C ）+P （B ·D ）=P （A ）·P （C ）+P （B ）·P （D ）=10059. ∴本次试验成功的概率为10059. 【例3】 （2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率. 解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶. 记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A ，则p =P （A ）=21. 题（1）即求7次独立重复试验中事件A 发生5次的概率为P 7（5）=C 57p 5（1－p ）2=C 27（21）7=12821. （2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P 6（5）+P 5（5）+P 4（4）=C 65p 5（1－p ）+C 55p 5+C 44p 4=163. 答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163. ●闯关训练 夯实基础1.若A 与B 相互独立，则下面不相互独立事件有 A.A 与AB.A 与BC. A 与BD. A 与B解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 解析：P =（1－0.3）（1－0.4）=0.42. 答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为53，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P =（53）5+C 45×（53）4×（1－53）=31251053. 答案：312510534.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P =1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72. 答案：0.72 培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中， （1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？ 解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C 23·0.82·0.2+C 33·0.83=0.896.∴至少有2天预报准确的概率为0.896.（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为2·0.82·0.2+0.83=0.768.∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0.768.6.（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p ，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率； （2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A ，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B .由题意知P （A ）=p 3，P （B ）=p 3，P （A ）=1－p 3，P （B ）=1－p 3.（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P （A ·B + A ·B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ） =p 3（1－p 3）+（1－p 3）p 3=2p 3－2p 6.（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=p 6.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P （A ·B + A ·B ）+P （A ·B ）=2p 3－2p 6+p 6=2p 3－p 6.方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）=（1－p 3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P （A ·B ）=1－P （A ）·P （B ）=1－（1－p 3）2=2p 3－p 6. 答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p 3－2p 6，能进行通讯的概率为2p 3－p 6.7.已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为2723C C ×291415C C C =635； 从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为271413C C C ×2925C C =6310. 所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为635+6310=6315=215. 探究创新8.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92. （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率. 解：（1）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅,92)(,121)(,41)(C A P C B P B A P即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=-⋅=-⋅.92)()(,121)](1[)(,41)](1[)(C P A P C P B P B P A P 由①③得P （B ）=1－89P （C ）， 代入②得27［P （C ）］2－51P （C ）+22=0. 解得P （C ）=32或911（舍去）. 将P （C ）=32分别代入③②可得P （A ）=31，P （B ）=41， 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是31，41，32.（2）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P （D ）=1－P （D ）=1－［1－P （A ）］［1－P （B ）］［1－P （C ）］=1－32·43·31=65. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为65. ●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A 与B 来说，才能运用公式P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.3.善于将具体问题化为某事件在n 次独立重复试验中发生k 次的概率. ●教师下载中心 教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A 和事件B 互相独立时，才有P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）.2.A 、B 中至少有一个发生：A +B .（1）若A 、B 互斥：P （A +B ）=P （A ）+P （B ），否则不成立. （2）若A 、B 相互独立（不互斥）.法一：P （A +B ）=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ）； 法二：P （A +B ）=1－P （A ·B ）； 法三：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）.① ② ③3.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例1.4.n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率P n （k ）=C k n p k（1－p ）n －k正好是二项式［（1－p ）+p ］n的展开式的第k +1项.拓展题例【例1】 把n 个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m 的m 个盒子内，求1号盒恰有r 个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m 个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P =m1.这样n 个球放入m 个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率公式知，1号盒恰有r 个球的概率P n （r ）=C r np r （1－p ）n －r=C r n·（m 1）r ·（1－m 1）n －r =nrn r n mm --⋅)1(C . 解法二：用古典概型.把n 个不同的球任意放入m 个不同的盒子内共有m n个等可能的结果.其中1号盒内恰有r 个球的结果数为C r n（m －1）n －r，故所求概率P （A ）=nrn r n mm --)1(C .答：1号盒恰有r 个球的概率为nrn r n m m --)1(C .【例2】 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P ，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P 而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k 次（k ≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k 次（k ≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C 24P 2（1－P ）2+C 34P 3（1－P ）+C 44P 4=6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4.2引擎飞机成功飞行的概率为C 12P （1－P ）+C 22P 2=2P （1－P ）+P 2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P 2（1－P ）2+4P 3（1－P ）+P 4≥2P （1－P ）+P 2.化简，分解因式得（P －1）2（3P －2）≥0. 所以3P －2≥0， 即得P ≥32. 答：当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.。

相互独立事件同时发生的概率教案----相互独立事件及其同时发生的概率山西省平遥中学 常毓喜【教学目的】1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必定性之中的辨证唯物主义思想；【教学重点】用相互独立事件的概率乘法公式运算一些事件的概率；【教学难点】互斥事件与相互独立事件的区不；【教学用具】投影仪、多媒体电脑等。

【教学过程】一、提出咨询题有两门高射炮，每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为0.7，假设这两门高射炮射击时相互之间没有阻碍。

假如这两门高射炮同时各发射一发炮弹，那么它们都击中美军侦察机的概率是多少？〔板书课题〕二、探究研究明显，依照课题，本节课要紧研究两个咨询题：一是相互独立事件的概念，二是相互独立事件同时发生的概率。

〔一〕相互独立事件1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个数字组成的，买彩票时能够在这31个数字中任意选择其中的7个，假如与运算机随机摇出的7个数字都一样〔不考虑顺序〕，那么获一等奖。

假设有甲、乙两名同学前去抽奖，那么他们均获一等奖的概率是多少？〔1〕假如在甲中一等奖后乙去买彩票，那么也中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 〔2〕假如在甲没有中一等奖后乙去买彩票，那么乙中一等奖的概率为多少？〔P=1311C 〕 2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。

设第1次取出的球是白球叫做事件A ，第2次取出的球是白球叫做事件B 。

〔1〕假设第1次取出的球不放回去，求事件B 发生的概率；〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=74；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=75〕 〔2〕假设第1次取出的球仍放回去，求事件B 发生的概率。

〔假如事件A 发生，那么P 〔B 〕=85；假如事件B 不发生，那么P 〔B 〕=85〕 相互独立事件：假如事件A 〔或B 〕是否发生对事件B 〔或A 〕发生的概率没有阻碍，如此的两个事件叫做相互独立事件。

相互独立事件同时发生的概率（1）一、课题：相互独立事件同时发生的概率（1）二、教学目标：1.了解相互独立事件的意义；2.注意弄清事件“互斥”与“相互独立”是不同的两个概念；3．理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式。

三、教学重、难点：相互独立事件的意义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式；事件的相互独立性的判定。

四、教学过程：（一）复习引入：1．复习互斥事件的意义及其概率加法公式：互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．()()()P A B P A P B +=+对立事件：必然有一个发生的互斥事件叫做对立事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-2．问题1：甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上。

问题2：甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球。

提问1：问题1、2中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）提问2：问题1、2中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）（二）新课讲解：1．相互独立事件的定义：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互 独立事件。

说明：若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

2．相互独立事件同时发生的概率：问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就 是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的 结果。

于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果。

同时摸出白球的 结果有32⨯种。

相互事件同时发生的概率第一课时2012-4-6一、教学目标1.1 教材分析《相互独立事件同时发生的概率（一）》是高中数学第二册（下）第十一章第三节的第一课时。

这节课是在学生学习了排列、组合、等可能性事件概率、互斥事件概率的基础上进行的。

通过本节学习不仅要让学生掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用，为后面学习独立重复试验等概率知识以及今后升入高一级院校学习相关知识奠定良好基础，更重要的是培养学生关爱人文、虚心求教的精神与从正反两个方面考虑问题的辩证思想。

1.2 学情分析由于在我执教的高二班级中，农村学生较多，他们的特点是勤学好问，基础知识相对扎实，但是知识面较窄。

为了拓展学生知识面，锻炼学生的探究能力，我在课堂上一般采取以探究为主导策略的教学模式。

经过一个多学期的锻炼，学生基本上能适应这种教学模式，并对探究性课题的学习有较大的兴趣。

1.3教学目标根据本节所处的地位与作用,结合学生的具体学情,确定本节课的教学目标如下：认知目标：理解相互独立事件的意义，掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式，并能应用该公式计算一些独立事件同时发生的概率，进一步理解偶然性与必然性之间的辩证关系。

能力目标：培养学生的动手能力、探究性学习能力、创新意识和实践能力，发展学生“用数学”的意识和能力。

情感目标：培养学生关注人文、虚心求教的情感，帮助学生体验数学学习活动中的发现与快乐，激发他们的学习兴趣。

二、重点、难点2.1教学重点：相互独立事件的定义和相互独立事件同时发生的概率公式.理论依据：本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把相互独立事件的概念的教学作为本节课的教学重点2.2教学难点：对相互独立事件的判定，以及能正确地将复杂的概率问题分解转化为几类基本的概率模型.理论依据：为了防止互斥事件对相互独立事件的负迁移作用，避免学生盲目地套用公式，本节课准备突破以上教学难点三、教学方法与教学手段3.1教学方法：探究法、讲授法、启发式教学。

第周年月日星期姓名相互独立事件同时发生的概率㈠1、判断下列事件A与B是否是独立事件。

⑴运动员甲射击一次，A：射中9环；B：射中8环”。

⑵甲乙两名射手分别同时向一个目标射击，A：甲击中目标；B：乙没有击中目标”。

⑶A：学生甲期中考试数学成绩是100分B：学生乙期中考试数学成绩是100分⑷A：学生甲期中考试数学成绩是100分B：学生甲期末考试数学成绩是100分⑸袋子中装有3个黑球，2个白球，从中摸出2只，A：第一次摸出的是黑球；B：第二次摸出是白球⑹袋子中装有3个黑球，2个白球，从中先摸出一个球，放回后再摸出一个球，A：第一次摸出的是黑球；B：第二次摸出是白球2、如果事件A与B相互独立，则下列事件相互独立的是____________。

⑴A与A⑵A与B⑶A与B⑷A与B3、若相互独立事件A、B发生的概率分别为0.3、0.6，则P(A B)⋅=____。

4、在甲盒中装有200个螺钉，其中160个为A型的，在乙盒子中装有240个螺母，其中180个是A型的，若从甲盒子中取1个螺钉，从乙盒子中取1个螺母，则能配成A型螺栓的概率是（）A、120B、1516C、35D、19205、有一道竞赛题，A生解出的概率为12，B生解出的概率为13，C生解出的概率为14，则A、B、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率是（）A、124B、1124C、1724D、16、甲袋中装有8个白球，4个红球；乙袋中装有6个白球，6个红球，从每个袋中任意摸取一个球，则取得的两球是同色球的概率是____________。

5、甲乙二人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：⑴2人都击中目标的概率；⑵其中恰有1人击中目标的概率；⑶至少有1人击中目标的概率。

8、在某段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：⑴甲、乙两地都下雨的概率；⑵甲、乙两地都不下雨的概率；⑶其中至少一个地方下雨的概率。