2020届江西省百所名校高三下学期第四次联考数学(理)试卷及解析

江西省南昌市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax +，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．2．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x+my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA|=2|PB|，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C D【答案】D 【解析】 【分析】设点()1,P my y -，由2PA PB =，得关于y 的方程.由题意，该方程有解，则0∆≥，求出正实数m 的取值范围，即求正实数m 的最小值.【详解】由题意，设点()1,P my y -.222,4PA PB PA PB =∴=Q ，即()()222211414my y my y ⎡⎤--+=--+⎣⎦，整理得()2218120m y my +++=， 则()()22841120m m ∆=-+⨯≥，解得3m ≥或3m ≤-.min 0,3,3m m m >∴≥∴=Q .故选：D . 【点睛】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题. 6．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】 由11a ，31a ，41a 构成等差数列可得 31431111a a a a -=- 即13341413341422a a a a d da a a a a a a a ----=⇒=⇒=又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222n n n nS a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 7．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-r r ，且a b ⊥r r，则λ等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】因为(1,2),(2,2)a b λ==-r r ，且a b ⊥r r ，·22(2)0a b λ=+-=rr ，则1λ=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 8．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率21k ±==±-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．9．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r，则n 等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r，利用向量数量积等于0，从而求得n .【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r，因为()a c b -⊥r r r，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.10．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（ ）． A ．50,3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I B ．10,3A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦I C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞U【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A ，进而求出集合A B U 和A B I ，分析选项即可得到答案. 【详解】根据题意，{}215|log (31)2|33B x x x x ⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭则15(0,),,33A B A B ⎛⎫⋃=+∞⋂= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】此题考查集合的交并集运算，属于简单题目, 11．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准方程为22112y x -=，其渐近线方程为2212y x -=，化简整理即得渐近线方程. 【详解】双曲线22:21C x y -=得22112y x -=，则其渐近线方程为22012y x -=，整理得0x =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.12．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种 B ．15种C ．16种D ．18种【答案】D 【解析】 【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江西名校高三11月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合2{|40}A x x x =->，2{|40}B x x =-≤，则A B =I （ ） A ．[2,0]- B ．(,0)-∞ C ．[2,0)- D ．[4,4]-【答案】C【解析】对集合A 和集合B 进行化简，然后根据集合的交集运算，得到答案. 【详解】由题得2{|40}{|0A x x x x x =->=<或4}x >，2{|40}{|22}B x x x x =-≤=-≤≤， 则{|20}A B x x =-≤<I ， 故选：C ． 【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2．已知角α终边上一点M 的坐标为，则sin 2α=（ ）A ．12-B ．12C ．D 【答案】D【解析】根据题意，结合α所在象限，得到sin α和cos α的值，再根据公式，求得答案. 【详解】由角α终边上一点M 的坐标为(，得sin 2α=，1cos 2α=，故sin 22sin cos ααα== 故选D. 【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cos αα-=（ ）A ．5B ．52-C ．62D ．62-【答案】D【解析】由诱导公式得到1sin 22α=-，再根据二倍角公式展开，结合同角三角函数关系，得到()2sin cos αα-的值，结合α的范围得到答案. 【详解】因为1sin(2)2απ-=-，所以1sin 22α=-，即12sin cos 2αα=-，所以2(sin cos )1αα-=-132sin cos 122αα=+=， 又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以sin cos αα<，所以得到sin cos αα-=6-. 故选D ． 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数关系，属于简单题. 4．函数2()(1)sin 21x f x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案. 【详解】因为()()21sin 21xfx x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B 时，直线的截距最小，从而得到答案. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示， 易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---， 2z x y =+，则1122y x z =-+， 当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时，z 取到最小值， 所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-， 故选：B ．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.6．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由()f x 为增函数，得到其在每段上都为增函数，得到1x <时，二次函数对称轴大于等于1，且当1x =时，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值，才能保证()f x 单调递增，从而得到答案.【详解】若函数()f x 在R 上为增函数， 则在两段上都应为单调递增函数， 当1x <时，()221f x x ax a =-+-+，对称轴为2a x =，所以12a≥， 且在1x =处，二次函数对应的值应小于等于对数函数的值， 即20a a ≤-所以得到2120a a a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得201a a a ≥⎧⎨≤≥⎩或所以2a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的性质，根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.7．已知非零向量a r 与b r 的夹角为θ，tan θ=(2)()a b a b -⊥+r r r r ，则||||b a =rr （ ）A ．13B ．3CD【答案】D【解析】计算cos θ=，根据(2)()a b a b -⊥+r r r r得到2120b a ⎛⎫⎪-= ⎪⎝⎭rr，解得答案.tan θ=[]0,θπ∈，故cos θ=. (2)()a b a b -⊥+r r r r，故2222(2)()220a b a b a a b b a b b -⋅+=-⋅-=⋅-=r r r r r r r r r r r ，即2120b a ⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭r r，解得||||b a =r r||||b a =r r （舍去）. 故选：D . 【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式sin()63y x ωωππ=++，再将函数cos()3y x πω=+化为5sin()6y x ωπ=+，从而得到52636k ωπππ+=+π，得到ω的表达式，根据ω的范围，得到答案. 【详解】将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象， 又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π 整理得123()k k ω=+∈Z ， 又0>ω，所以ω的最小值为3 ， 故选：C ． 【点睛】本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题.9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解析】先判断出()g x 的单调性和奇偶性，再判断出2log 4.1，0.22，π的大小，利用()g x 的奇偶性和单调性判断出a ，b ，c 的大小关系，得到答案. 【详解】因为奇函数()f x 在R 上是增函数， 所以当0x >时，()0f x >. 对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <， 有120()()f x f x <<，故12()()<g x g x ，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数， 因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数. 又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈， 所以0.2212log 4.1<<<π， 而0.20.2(2)(2)b g g =-=， 所以b a c <<， 故选:C ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题. 10．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ）A ．78B ．85C ．1D ．95【答案】D【解析】根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得到q 的值，再表示出2S ，3S ，4S ，再由2mS ，3S ，4S 成等比数列，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠， 根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=， 即(1)(21)0q q -+=. 因为1q ≠，所以12q =-， 则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q -==-115161a q ⋅-. 因为2mS ，3S ，4S 成等比数列， 所以2324S mS S =⋅，即211193158141161a a am q q q ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪---⎝⎭，211193151118416111222a a a m ⎛⎫⎪ ⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得95m =. 故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题. 11．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是（ ） A ．3 B．32+ C．D．12+【答案】B【解析】对所求的22211x y x y +++进行化简，得到22211111x y x y x y ++=+++，根据212x y ++=，由基本不等式1的妙用，得到最小值，并研究等号成立条件，得到答案.【详解】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++， 因为212x y ++=，所以111(21)()21x y x y ++++1121(3)(3212y x x y +=++≥++， 当且仅当12=1y xx y ++，21x y +=时取等号，即23x y ==时取得最小值32+. 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，1的妙用求最值，属于中档题.12．已知函数321,()3,x x x mf x x m x m⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，使得函数()()g x f x a =-恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(2,)+∞ C ．(0,3) D ．(3,)+∞【答案】B【解析】问题等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数，利用导数得到3213y x x =-+的单调性、极值、最值，从而根据不同的m 的范围，画出()f x 的图像，再根据图像，得到直线y a =与函数()f x 图象有4个交点时，对应的m 的范围，得到答案. 【详解】()()g x f x a =-的零点个数等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数.令3213y x x =-+，22y'x x =-+，当0x <或2x >时，'0y <， 当02x <<时，'0y >， 当2x >时，'0y <，所以函数3213y x x =-+在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，画出函数()f x 的大致图象如图所示，由图可知当2m >时，存在直线y a =与函数()f x 图象的交点为4个； 当02m <≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为3个； 当0m ≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2,)+∞. 故选B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，画函数图像，函数与方程，根据零点个数求参数的范围，属于中档题.二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【答案】12【解析】根据题意可知4x >时，函数()f x 有周期性，判断25log 6+的范围，然后利用周期性，得到()()225log 61log 6f f +=+，代入4x ≤时的解析式，得到答案. 【详解】由题意4x >时，函数()()1f x f x =-， 所以()f x 在()4,+∞时，周期为1，因为22log 63<<，所以()25log 67,10+∈，()21log 63,4+∈， 所以()()225log 61log 6f f +=+ 21log 622612+==⨯=.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________． 【答案】72【解析】根据39S S =，得到670a a +=，结合25240a a +=>，得到数列{}n a 的前6项为正，从而得到6n =时，n S 的最大值，得到答案. 【详解】由39S S =，得4567890,a a a a a a +++++= 根据等差数列下标公式可得670,a a += 又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正， 所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故答案为：72. 【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n 项和的最值，属于简单题.15．已知ABC V 中，2,3,60,2,2AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u v u u u v________．【答案】43【解析】根据条件中的几何关系，将AD u u u r 和BE u u u r 用BC uuu r 和BA u u u r 来表示，然后将AD BE ⋅u u u r u u u r利用数量积的运算律进行计算，得到结果. 【详解】因为2BD DC =，2AE EC =，所以23AD BD BA BC BA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，2133BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r所以221333AD BE BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22414939BC BA BC BA =--⋅u u ur u u u r u u u r u u u r 4149432cos60939=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒ 4444333=--=.故答案为：43.【点睛】本题考查向量的平面基本定理，向量数量积的运算律，属于中档题. 16．函数1()sin sin 22f x x x =+的最大值为________． 33【解析】对()f x 求导，利用导数，判断出()f x 的单调性，从而求出()f x 的最大值 【详解】因为1()sin sin 22f x x x =+求导得2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+- (2cos 1)(cos 1)x x =-+，因为cos 10x +≥， 所以当1cos 2x >时，()0f x '>，当11cos 2x -<<时，()0f x '<，即当22,33ππππ-≤≤+∈k x k k Z 时，()f x 单调递增，当52+2,33k x k k πππ<<π+∈Z 时，()f x 单调递减， 故()f x 在23x k k π=π+∈Z ，处取得极大值即最大值，所以max 131333()sin sin(2)3232f x ππ=+⨯=. 33. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最大值，属于简单题.三、解答题17．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2πα∈，求sin2α．【答案】（1）2a =，π；（2【解析】（1）由π()13f =得到a 的值，再对()f x 进行整理化简，得到()π2sin(2)16f x x =--，从而得到()f x 的最小正周期；（2）由1()3f α=-得到π1sin(2)63α-=，判断出26πα-的范围，得到πcos(2)6α-=sin 2α转化为ππsin 266α⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用公式展开，从而得到答案. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π12sin(2)163α--=-，π1sin(2)63α-=，因为(0,)2πα∈，所以π52(,)666αππ-∈-， 又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)6α-=则ππsin 2=sin[(2)]66αα-+ππππsin(2)cos cos(2)sin 6666αα=-+-1132==【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简求正弦型函数解析式，求正弦型函数的周期性，三角函数给值求值题型，利用两角和的正弦公式求值，属于简单题. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121n n n b b ba =++++++L ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）2()n a n n *=∈N ，122()n n b n +*=+∈N ；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+【解析】（1）根据2n ≥时，1n n n a S S -=-，验证1n =，从而得到n a 的通项，然后由122212121n n n b b b a =++++++L ，得到1122122212121n n b b bn --+++=-+++L ，通过作差得到nb 的通项公式；（2）根据（1）得到nc 的通项，利用错位相减法得到n c 的前n 项的和n T . 【详解】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=， 又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N . 又1222212121n n n b b ba n +++==+++L ， 所以1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N L ， 两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ， 当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N . （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅ 所以231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅L ，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅L ，即11222n n n T n ++-=--⋅，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.【点睛】本题考查根据n S 求n a 的通项，错位相减法求数列的前n 项的和，属于中档题. 19．如图，在ABC V 中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，3AD =.（1）若2DC BD =，求c ； （2）求ABC V 面积的最小值. 【答案】（1）32c =；（23【解析】（1）根据已知条件，结合12ABD ADC S BD S DC ==△△，利用三角形面积公式，表示出面积，从而得到2AC AB =，在ABD △、ACD V 中，利用余弦定理表示出cos BAD ∠和cos CAD ∠，然后代入已知条件，解得c 的值；（2）设BD x =，所以b DC x c=，在,ABD ACD △△中，22223()32323bx b c cb+-=得到关于,,x b c 的方程，消去x 得到关于,b c 的方程，得到()()0b c bc b c ---=，分类讨论，分别研究ABC V 面积，从而得到其最小值.【详解】（1）因为2DC BD =，BAD CAD ∠=∠， 所以12ABD ADC S BD S DC ==△△， 所以1sin 1212sin 2AB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅∠ 所以2AC AB =. 在ABD △、ACD V 中，由余弦定理，得2223cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅2223cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅即223cos3023c ︒==，223cos3043c︒= 解得32c =. （2）设BD x =，则由（1）可知BD AB DC AC=，所以bDC x c =，在,ABD ACD △△22223()bx b +-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-， 化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC V为等边三角形，此时2,ABC b c S ===△ 当bc b c =+时，由基本不等式可得bc b c =+≥2≥，即4bc ≥当2b c ==时取等号，此时1sin 602ABC S bc =︒=≥△综上可得，ABC V【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理解三角形，利用基本不等式求和的最小值，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20．已知函数()(0,x f x a b a =+>且1)a ≠，满足(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，其中n *∈N .（1）求函数()f x 的解析式； （2）求证：11114(1)(2)(3)()9f f f f n ++++<L . 【答案】（1）()=41x f x -；（2）见解析【解析】（1）由(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，得到()215f =，代入函数，得到关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，从而得到()f x 解析式；（2）由1()4134n n f n -=-≥⨯得到111()34n f n -≤⨯，从而得到1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++L 211111(1)3444n -≤⨯++++L ，再利用等比数列求和公式，得到前n 项的和，从而得到证明. 【详解】（1）由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得 (2)4(1)315f f =+=，即2315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩(舍去)， 所以()=41x f x -.（2）由（1）得()41().n f n n *=-∈N由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯， 即1()4134n n f n -=-≥⨯，111()34n f n -≤⨯， 所以1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++L 211111(1)3444n -≤⨯++++L 111()1()11441333144n n --=⨯=⨯- 414(1)949n =⨯-<． 【点睛】本题考查求函数的解析式，等比数列求和，放缩法证明不等式，属于中档题. 21．已知函数ln +()x af x x x=+()a R ∈． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）210x y --=；（2）(2,)+∞【解析】（1）代入0a =，对()f x 求导，代入1x =得到斜率，再由点斜式写出直线方程；（2）对()f x 求导，令2()ln 1F x x x a =--+，然后再求导得到()F x '，可得(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，再根据(1)2F a =-，按2a ≤和2a >进行分类讨论，得到函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，从而得到若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x -'=+， 则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=.（2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=， 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增， 又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->， 所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立， 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值． 综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数求函数在一点的切线，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，涉及分类讨论的思想，属于中档题. 22．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+-> （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-. 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】（1）对()f x 求导，得到()f x '，然后判断()0f x '=的根的情况，得到()f x '的正负，然后得到()f x 的单调性；（2）由（1）可得1m >，且(0,1)t m =-=，由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，所以只需证32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈，令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >，利用导数研究出()h x 的单调性和最值，结合(1)0h =，得到(0,1)x ∈时，()0h x >，从而得以证明.【详解】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-， ①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增.②当1m >时，令()0f 'x =，则1x m =-，2x m =+当0x m <<()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当m x m -<<+()0f 'x <，函数()f x 单调递减，当x m >+()0f 'x >，函数()f x 单调递增. 综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m >时，()f x 在(0,m -，()m ++∞上单调递增，在(m m +上单调递减.（2）由（1）可知当1m >时，在x m =-处时，函数()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为x m =(0,1)t m =．由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=， 要证2ln 1t t mt >-， 只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>， 即32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈， 令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >， 则2()2ln 31h'x x x =-+， 令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x 'x x x xϕ-=-=，当03x <<时，'()0x ϕ>，)'(h x 单调递增；当3x >时，'()0x ϕ<，)'(h x 单调递减，max ()0h'x h'==<， 所以'()0h x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =， 故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>， 又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>， 从而可证明2ln 1t t mt >-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数证明不等式，涉及分类讨论的思想，属于难题.。

2020年江西省南昌市高考第四次模拟测试理科数学试题本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N =∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2π C ．23π D ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A ．3B ．5C ．6D ．7 7．函数ln ()xx xf x e=的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆222520x y y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．25B ．23C ．3D ．229．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．6-B ．3C ．2-D ．6 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线3y x =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 56 C ．1022+．52212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ） A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,3,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面PAC 垂直的平面α，平面α与截面PAC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ②22； ③3； ④23．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届五省优创名校高三（全国Ⅰ卷）第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-， B ．[-C ．(-D ．⎡⎣【答案】C【解析】计算A ⎡=⎣，(]1,2B =-，再计算交集得到答案.【详解】{|A x y ⎡==⎣=，(]2{|},1012x x B x -=-+=≤，故(A B -=. 故选：C . 【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2．若202031i i z i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．1【答案】D【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi +的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()202022131313123211111i i i i i i i z i i i i i i +-+++-=====++++--， 所以z 的虚部是1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题. 3．cos350sin 70sin170sin 20-=（ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【解析】化简得到原式cos10cos 20sin10sin 20=-，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos 20sin10sin 20cos302-=-==． 故选：B 【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.4．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2- B ．3 C ．3- D ．2【答案】D【解析】判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知4cos sin b B C =，则B =（ ）A ．6π或56πB ．4π C ．3π D ．6π或3π 【答案】D【解析】根据正弦定理得到4sin cos sin B B C C =，化简得到答案. 【详解】由4cos sin b B C =，得4sin cos sin B B C C =，∴sin 2B =23B π=或23π，∴6B π=或3π．故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.6．函数()()2cosln1xf xx x=+-的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断函数为奇函数排除B，C，计算特殊值排除D，得到答案.【详解】∵()()()()()()222cosln1ln1ln1xf x f xx x x xx x--====-⎡⎤+++--+--⎢⎥⎣⎦，∴()f x为奇函数，排除B，C；又322f fππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22ln1ln1fπππππ==>+-++，排除D；故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数单调性是解题的关键.7．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 8．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A【解析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.10．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 【答案】D【解析】确定点O 为ABC ∆外心，代入化简得到56λ=，43μ=，再根据BC AC AB =-计算得到答案. 【详解】由OA OB OC ==可知，点O 为ABC ∆外心， 则2122AB AO AB ⋅==，21122AC AO AC ⋅==，又AO AB AC λμ=+， 所以2242,1,2AO AB AB AC AB AC AB AO AC AB AC AC AB AC λμλμλμλμ⎧⋅=+⋅=+⋅=⎪⎨⋅=⋅+=⋅+=⎪⎩①因为42λμ-=，② 联立方程①②可得56λ=，43μ=，1AB AC ⋅=-，因为BC AC AB =-， 所以22227BC AC AB AC AB =+-⋅=，即7BC =故选：D 【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.11．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（）2.236≈≈≈） A ．22个 B ．24个C ．26个D ．28个【答案】C【解析】计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为，得到最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n+-cm ，得到不等式)101100n +-≤，计算得到答案. 【详解】由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正面体，易求正四面体相对棱的距离为，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为)()101n +-cm ，若想要盖上盖子，则需要满足)101100n +-≤，解得113.726n ≤+≈， 所以最多可以装13层球，即最多可以装26个球． 故选：C 【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论. 【详解】由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞上恰有三个不相等的实根，即24ln 22ln ax x ax x x-=-，①.因为0x >，①式两边同除以x ，得ln 422ln x axa x x-=-. 所以方程ln 4220ln x axa x x--+=有三个不等的正实根. 记()ln xt x x=，()()0,11,x ∈+∞，则上述方程转化为()()4220at x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =.因为()21ln xt x x-'=，当()()0,11,x e ∈时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.当(),x e ∈+∞时，()0t x '<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →.所以当x e =时，()t x 取最大值1e，当()2t x =-，有一根. 所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e<<.故选：B. 【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.二、填空题 13．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 【答案】()0,3【解析】变换得到212x y =，计算焦点得到答案. 【详解】 抛物线2112y x =的标准方程为212x y =，6p ，所以焦点坐标为()0,3．故答案为：()0,3 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.14．()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】25-【解析】先求得61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中含21x 的项与常数项，进而可得()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项.【详解】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项为44262115C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3336120C x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()6212x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为154025-=-.故答案为：25-.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求法，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用，属于基础题.15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M CN N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NCMC C =，则DE ⊥平面1A MCN ，所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形， 其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______. 【答案】1140【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可. 【详解】首先，第一行队伍的排法有33A 种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，第一行的每个位置的人员安排有111333C C C 种；第二行的每个位置的人员安排有111222C C C 种；第三行的每个位置的人员安排有111⨯⨯种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率311111133332229921140A C C C C C C P A ⋅⋅⋅==. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<．【答案】（1）352n n a +=（2）证明见解析 【解析】（1）123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②两式相减即得数列{}n a 的通项公式；（2）先求出()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，再利用裂项相消法求和证明. 【详解】（1）解：123123252525253n n na a a a ++++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++=----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥， 因为14a =符合上式，所以352n n a +=．（2）证明：()()114411353833538n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭12231111n n n T a a a a a a +=+++… 4111111381111143538n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 4113838n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭因为1103811n <≤+，所以11226n T ≤<． 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．如图，在三棱柱ADEBCF 中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF是矩形，1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）78【解析】（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可. 【详解】（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时. 则其外接球的半径为5. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .则ED ABCD ⊥平面，5EC =.则EC 为四面体EDPC 外接球的直径. 所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥. 由题意，CB ED ⊥，EPED E =，所以CB DP ⊥.因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点. 记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .则MB DP ，MHDE ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变. 当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大. 所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)3,1,0B，311,222H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2,0C .所以()3,1,0DB =，311,,22DH ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,2,1EC =-，()3,1,1EB =-.设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =.则1111130,3110,222DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令11x =，得()1,3,23=--m .设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =.则2222220,30,EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令23y =，得()3,3,6n =.设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8ϕ⋅==m n m n. 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为78. 【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．19．某芯片公司对今年新开发的一批5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为[)[)[)[)[]9101011111212131314，，，，，，，，五个小组（所调查的芯片得分均在[]914，内），得到如图所示的频率分布直方图，其中018a b -=．．（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）． （2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

2020届江西省名校联盟高三第四次模拟考试理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每题只有一个选项，每题5分，共12题）1.已知集合{}ln 0A x x =>，集合{}(1)(5)0B x N x x =∈--≤，则A ∩B= ( ) A. {}0,1,2,3,4,5 B. {}1,2,3,4,5 C. {}1,2,3,4D. {}2,3,4,52.在区间)0,(-∞上为增函数的是 （ ）A. xy ⎪⎭⎫⎝⎛=32 B. x y 31log = C. 2)1(+-=x y D. )(log 32x y -=3.已知函数，且满足 ，则 的取值范围为（ ）A. 或B.C.D. 4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[01]x ∈，时，2()log (1)f x x =+，则(31)f =（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 25. 命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 4a ≤6.命题“n n f N n f N n ≤∈∈∀**)()(,且”的否定形式是( ) A.n n f N n f N n >∉∈∀**)()(,且 B.n n f N n f N n >∉∈∀**)()(,或 C .0000)()(,n n f N n f N n >∉∈∃**且 D.0000)()(,n n f N n f N n >∉∈∃**或7.设函数()y f x =对任意的x ∈R 满足(4)()f x f x +=-，当(2]x ∈-∞，时，有()25x f x -=-.若函数()f x 在区间(1)k k +，（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（ ） A. 3-或7 B. 4-或7 C. 3-或6 D. 4-或6 8.函数f(x)=sinx ∙ln|x|的图象大致是A. B.C. D.9.若cos 2cos sin sin θθθθ+=-，则2sin θ的值是（ ） A ．35-B ．35C ．45-D ．4510下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上是减函数”的是( )A ．y ＝sin )1252(π+xB ．y ＝sin )32(π-xC ．y ＝cos )322(π+xD ．y ＝sin )62(π+x11.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，51=BCAC -. 根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.14- B. 38+-14- D. 48+-12.己知关于x 的不等式22ln 2(1)2x m x mx +-+≤在(0，＋∞)上恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4二.填空题（每题5分，共4题） 13. 已知312sin(),sin ,513αββ-==-且(,),(,0)22ππαπβ∈∈-则sin α= 14.已知曲线y ＝x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y ＝ax 2+（a+2）x+1相切，则a=15.设函数()sin()5f x x πω=+ (0ω>)，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，对于下述4个结论： ①()f x 在(0,2)π有且仅有3个最大值点； ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个最小值点；③()f x 在(0,)2π单调递增； ④的取值范围是1229[,)510:其中所有正确结论的编号为___ _16.若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是三、解答题17.已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤；q :函数221y x mx =-+有两个零点． (1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．18.已知函数f (x )＝4tan x sin )2(x -πcos )3(π-x － 3.（1）求f (x )的定义域与最小正周期；（2）讨论f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的单调性．19.已知函数f （x ）=x 2﹣4x+a+3，a ∈R ；（1）若函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=bx+5﹣2b ，b ∈R ，当a=3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2），求b 的取值范围．20.在中，内角所对的边分别为．且，（1）求的值； （2）求的值．21. 已知函数()22f x x x alnx =--(),g x ax =.()1求函数()()()F x f x g x =+的极值; ()2若不等式()sin 2cos g xxx +≤，对0x ≥恒成立，求a 的取值范围.22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第一题记分，作答时请写题号． (22)已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θθ==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛⎫⎪⎝⎭，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值.(23)已知函数()f x =. （1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.参考答案一选择题DDBCA DCABD CB 二.填空题（每题5分，共4题） 13.566514.8 15.16.(0,1)(1,)+∞三、解答题17.已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤；q :函数221y x mx =-+有两个零点． (1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．17.若p 为真，令()22ln f x x e x =-，问题转化为求函数()f x 的最小值，()22222e x ef x x x x-'=-=，令()0f x '=，解得x =函数()22ln f x x e x =-在上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min 0f x f ==，故0m ≥．若q 为真，则2440m =->，1m >或 1m <-．(1)若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为[)1,0-． (2)若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假．若p 真q 假，则实数m 满足011m m ≥⎧⎨-≤≤⎩，即01m ≤≤；若p 假q 真，则实数m 满足011m m m <⎧⎨><-⎩或，即1m <-．综上所述，实数m 的取值范围为()[],10,1-∞-⋃．18.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．18(1)f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∴定义域⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)－π4≤x ≤π4，－5π6≤2x －π3≤π6，设t ＝2x －π3， 因为y ＝sin t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2时单调递减，在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6时单调递增． 由－5π6≤2x －π3≤－π2，解得－π4≤x ≤－π12，由－π2≤2x －π3≤π6，解得－π12≤x ≤π4，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，－π12上单调递减．19.已知函数f （x ）=x 2﹣4x+a+3，a ∈R ；（1）若函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=bx+5﹣2b ，b ∈R ，当a=3时，若对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2），求b 的取值范围．19解：（1）∵f （x ）=x 2﹣4x+a+3的函数图象开口向上，对称轴为x=2， ∴f （x ）在[﹣1，1]上是减函数， ∵函数y=f （x ）在[﹣1，1]上存在零点，∴f （﹣1）f （1）≤0，即a （8+a ）≤0，解得：﹣8≤a ≤0． （2）a=3时，f （x ）=x 2﹣4x+6，∴f （x ）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，∴f （x ）在[2，4]上的最小值为f （2）=2，最大值为f （4）=6． 即f （x ）在[2，4]上的值域为[2，6]． 设g （x ）在[1，4]上的值域为M ，∵对任意的x 1∈[1，4]，总存在x 2∈[1，4]，使得g （x 1）=f （x 2）， ∴M ⊆[2，6]．当b=0时，g （x ）=5，即M={5}，符合题意， 当b ＞0时，g （x ）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是增函数， ∴M=[5﹣b ，5+2b]，∴，解得0＜b ≤．当b ＜0时，g （x ）=bx+5﹣2b 在[1，4]上是减函数， ∴M=[5+2b ，5﹣b]，∴，解得﹣1≤b ＜0．综上，b 的取值范围是．20.在中，内角所对的边分别为．且ABC △,,A B C ,,a b c 2b c a +=， （1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）. 20【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得． （2）由（1）可得，从而，，故．21. 已知函数()22f x x x alnx =--(),g x ax =.()1求函数()()()F x f x g x =+的极值; ()2若不等式()sin 2cos g xxx +≤，对0x ≥恒成立，求a 的取值范围. 21. ()1()22ln F x x x a x ax =--+，()()()()22221x a x a x a x F x x x+--+-'==()F x 的定义域为()0,+∞， ① 当02a-≤,即0a ≥时,()F x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增, ()=1F x a -极小，()F x 无极大值.3sin 4sin c B a C =cos B sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭14-716-ABC △sin sin b cB C=sin sin b C c B =3sin 4sin c B a C =3sin 4sin b C a C =34b a =2b c a +=43b a =23c a =222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅sin B ==sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭② 当012a <-<，即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极大，()()11F x a F ==-极小③ 12a-=，即2a =-时, ()F x 在(0,)+∞上递增, ()F x 没有极值. ④ 当12a ->即2a <-时, ()F x 在()0,1和(),2a -+∞上递增，在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减()()=11F F a x ∴=-极大， ()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极小综上可知：0a ≥时,()1F x a =-极小，()F x 无极大值;20a -<<时，()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极大，()()11F x a F ==-极小，()F x 没有极值；2a <-时，()()11F x a F ==-极大，()2=ln 242a a a a a F F x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭极小.()2设()()sin 02cos x h x ax x x =-≥+，()()21cos 2cos xh x a x +'=-+， 设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()2122tt t φ+=+，()()()()()()4322121022t t t t t t φ-+---'==≥++，()t φ∴在[]1,1-上递增，()t φ∴的值域为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，① 当13a ≥时,()()'0,h x h x ≥为[0, )+∞上的增函数，② ()()00h x h ∴≥=,符合条件.③ 当0a ≤时，10222h a ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴不符合条件.④ 103a <<，对于()sin 0,23xx h x ax π<<<-，令()sin 3x T x ax =-，()cos 3x T x a '=-，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时，()0T x '<，()T x ∴在()00,x 上单调递减，()()00T x T x ∴<< 即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不符合条件.综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.请考生在第（22）（23）两题中任选一题作答，如果两题都做，则按所做的第一题记分，作答时请写题号． (22).已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θθ==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛⎫⎪⎝⎭，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求2211||||OA OB +的值. 【答案】（1）线1C 的普通方程为2214x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；（2）22115||||4OA OB +=. 22【解析】试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为2214x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= 曲线2C 的直角坐标方程为()2211x y +-=（2）在直角坐标系下，()101M ，，()220M ，，12:220M M x y +-=恰好过()2211x y +-=的圆心，∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2214x y +=上的两点， 极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14ρθρθ+=中， 有222211cos sin 14ρθρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++= ⎪⎝⎭ ∴22211cos sin 4θθρ=+，22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即22115||||4OA OB +=(23).已知函数()f x =.（1）求()(4)f x f ≥的解集；（2）设函数()(3)g x k x =-，k ∈R ，若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）{|54}x x x -或≤≥；（2）12k -<≤.23【解析】（1）()34f x x x ===-++∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ，≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩，②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩，③ 解得不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥所以()()4f x f ≥的解集为{|54}x x x ≤-≥或（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-图象的上方，可以作出()21434743213x x f x x x x x x ，，，，，--≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-图象为恒过定点()30P ，，且斜率k 的变化的一条直线，作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，()47A -，，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围应该为12k -<≤.。

江西省 联 合 考 试 高三数学试卷（理）（.4）命题人：吉安一中 曾志松 赣州一中 彭小明 审核 胡泊一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,0|),(，{}R y R x y x y x N ∈∈=+=,,0|),(22，则有（ ）A.M N M =B.N N M =C.M N M =D.φ=N M 2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于（ ） A.3 B.1- C.21-D.2 3.做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A 、B 、C 、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B 单位抽取20份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是（ ）A.30份B.35份C. 40份D.65份 4.如图，已知四边形ABCD 在映射)2,1(),(:y x y x f +→作用下的象集为四边形1111D C B A ，若四边形1111D C B A 的面积是12，则四边形ABCD 的面积是（ ） A. 9 B.6 C. 36 D.125. “⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=)1(2)1(11)(2x a x x x x f 是定义在),0(+∞上的连续函数”是“直线0)(2=+-y x a a 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6. 设)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，0,0>>b a ,O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87.若三个数c a ,1,成等差数列，且22,1,c a 又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→等于（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在8.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是（ ）抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中A. 12B.28C.36D.489.设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1和3,二面角l αβ--的平面角为 150, 则球O 的表面积为（ ）A.π4B.π16C.π28D.π11210.已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2(,0)0(==πf f .给出下列结论：①21)4(=πf ②)(x f 为奇函数 ③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减其中正确的结论序号是（ ）A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④11.如图，已知椭圆的左、右准线分别为、，且分别交轴于、两点，从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点，若，且，则椭圆的离心率等于（ ） A.B. C. D.12．函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数②存在D b a ⊆],[使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称)(x f y =为“成功函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f x a 是“成功函数”，则t 的取值范围为（ ） A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0二、填空题（每小题4分，共16分）13.在n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n 的值为14.空间一条直线1l 与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线2l 与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则=+βα22sin sin15.设实数b a 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-104230123a b a b a ,则2249b a +的最大值是22221(0)x y a b a b+=>>1l 2l x C D 1l A F x 2l B AF BF ⊥75ABD ∠=︒62-31-62-31-16.设函数)1lg()(2--+=a ax x x f ，给出下列四个命题：A.)(x f 有最小值；B.当0=a 时，)(x f 的值域是R ；C.当0>a 时，)(x f 在区间[)+∞,2上有反函数；D.若)(x f 在区间[)+∞,2上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a . 其中正确的命题是三、解答题（共74分） 17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin2cos 24x x f x =+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的分别是a b c 、、，若2cos a c b C （－）cosB ＝，求()f A 的取值范围.18．（本小题满分12分）某次国际象棋友谊赛在中国队和乌克兰队之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往战况，每局中国队赢的概率为21，乌克兰队赢的概率为31，且每局比赛输赢互不影响.若中国队第n 局的得分记为n a ，令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+.（1）求43=S 的概率；（2）若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛不再继续，否则，继续进行.设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且 90=∠BCA ，601=∠BC B ，21==BB BC ，若二面角C B B A --1为 30， （1）证明⊥AC 平面C C BB 11； （2）求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值；（3）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求点P 到平面C BB 1距离. 20．（本小题满分12分）已知0>a ，)1ln(12)(2+++-=x x ax x f ，l 是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线． （１）求切线l 的方程； （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值．ABC111A C B21.（本小题满分12分）如图,过抛物线y x 42=的对称轴上任一点P ),0(m )0(>m 作直线与抛物线交于B A ,两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1)设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明)(QB QA QP λ-⊥； (2)设直线AB 的方程是0122=+-y x ,过B A ,两点的圆C 与 抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程. 22．（本小题满分14分） 设数列}{n a ，}{n b 满足211=a ，n n a n na )1(21+=+且221)1ln(n n n a a b ++=，*N n ∈． （１）求数列}{n a 的通项公式； （２）对一切*N n ∈，证明nn n b a a <+22成立；（３）记数列}{2n a ,}{n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，证明：42<-n n A B ．高三数学答案（理科）及评分标准一、选择题：（每题5分，共60分）13． 6 14． 1 15． 25 16． B 、C三、解答题（本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17题．（ 12分）解析：(1) ()2sin(122cos1)4x f x x =++-sin cos 122x x =++sin(1)24x π=++()4f x T π∴=的最小正周期为 . （5分）(2) ()2cos cos a c B b C -=由得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=()2sin cos sin sin A B B C A ∴=+= （8分） sin 0A ≠ 1cos 2B ∴=＝>3B π=， 23A C π∴+=()1)24f A A π=++又，203A π∴<<，742412A πππ∴<+<， （10分）又∵7sinsin 412ππ<，sin(12)24A π<≤+，()21f A ∴<≤. （12分） 18题．（ 12分）解：（1）43=S ，即前3局中国队1胜2平或2胜1负。

2020届全国大联考高三第四次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|340A x x x =--<，{}|23xB y y ==+，则A B =（ ）A ．[3,4)B ．(1,)-+∞C ．(3,4)D ．(3,)+∞【答案】B【解析】分别求解集合,A B 再求并集即可. 【详解】因为{}2|340{|14}A x x x x x =--<=-<<,{}|23xB y y ==+{|3}y y =>,所以(1,)A B =-+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.2．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为则m =（ ）A ．1B ．2C D ．3【答案】A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【详解】圆222230x x y y ++--=的标准方程22(1)(1)5x y ++-=,圆心坐标为(1,1)-,半径因为直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为所以直线20x y m ++=过圆心,得2(1)10m ⨯-++=,即1m =. 故选：A 【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 3．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．43【答案】C【解析】根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【详解】因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-. 故选：C 【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】 因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5coscos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.5．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.6．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D【解析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.7．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减【答案】C【解析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C 【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.8．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C【解析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立；因为BD EF l ////,BD ⊥平面11ACC A ,所以l ⊥平面11ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF ,1A C ⊥平面MPQ ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.9．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则OMN 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】A【解析】根据||1OF =可知24y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意可知抛物线方程为24y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.由24y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以211||2OMNSOF y y =⋅-=故选：A 【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =-,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-,∴bc =6(2-,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.11．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．0,2⎛ ⎝⎦B．,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．0,3⎛ ⎝⎦D．,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021b y b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A． B．C．D．【答案】D【解析】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =，此外接球的体积为2463π，三棱锥O EFG -体积为23，得到答案. 【详解】如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD .依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD 中，OD R =，343HD BC ==，133R OH OA ==， 由勾股定理：222433R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则1262333R KO OA KA OA AH R R =-=-=-==， 所以三棱锥O EFG -体积为2113624343⨯⨯⨯⨯=， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题13．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线斜率分别为1k ，2k ，若123k k =-，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2【解析】由题得21223b k k a=-=-,再根据2221b e a =-求解即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的两条渐近线为b y x a =±,可令1k b a =-,2k b a =,则21223b k k a =-=-,所以22213b e a=-=,解得2e =.故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.14．已知在等差数列{}n a 中，717a =，13515a a a ++=，前n 项和为n S ，则6S =________.【答案】39【解析】设等差数列公差为d ,首项为1a ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得6S 即可.【详解】设等差数列公差为d ,首项为1a ,根据题意可得711116172415a a d a a d a d =+=⎧⎨++++=⎩,解得113a d =-⎧⎨=⎩,所以6116653392S =-⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：39 【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前n 项和的公式,属于基础题.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点和椭圆22143x y +=的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F 与抛物线交于P 、Q 两点和椭圆交于A 、B 两点，M 为抛物线准线上一动点，满足8PF MF +=，3MFP π∠=，当MFP 面积最大时，直线AB 的方程为______.【答案】()31y x =-【解析】根据均值不等式得到16PF MF ⋅≤，43MFP S ≤△，根据等号成立条件得到直线AB 的倾斜角为3π，计算得到直线方程. 【详解】由椭圆22143x y +=，可知1c =，12p =，2p =，24y x ∴=，13sin 234MFP S PF MF PF MF π=⋅=⋅△， 82PF MF PF MF =+≥⋅，16PF MF ⋅≤，33164344MFP S PF MF =⋅≤⨯=△（当且仅当4PF MF ==，等号成立）， 4MF =，12F F =，16FMF π∴∠=，13MFF π∠=，∴直线AB 的倾斜角为3π，∴直线AB 的方程为()31y x =-. 故答案为：()31y x =-.【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16．已知三棱锥P ABC -，PA PB PC ==，ABC 是边长为4的正三角形，D ，E 分别是PA 、AB 的中点，F 为棱BC 上一动点（点C 除外），2CDE π∠=，若异面直线AC 与DF 所成的角为θ，且7cos 10θ=，则CF =______.【答案】52【解析】取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，计算2222MF a a =-+，22410DF a a =-+，根据余弦定理计算得到答案。