新北师大版九年级数学(上)第二章一元二次方程 分节练习

北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程习题练习二（附答案）一、选择题1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A ．B．C．且D．且2.一元二次方程x2−2x=0的解为（）A．x1=x2=2B．x1=0，x2=2C．x1=0，x2=−2D．x1=x2=03.独山县开展关于精准扶贫、精准扶贫的决策部署以来，某贫困户2014年人均纯收入为2620元，经过帮扶到2016年人均纯收入为3850元，设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( )A． 2620(1﹣x)2＝3850B． 2620(1+x)＝3850C． 2620(1+2x)＝3850D． 2620(1+x)2＝38504.关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0 的常数项是0，则m的值（）A． 1 B． 1或2 C． 2 D．5.用配方法解方程，配方后可得A．B．C．D．6.方程的解是（）A． x=0 B． x=-1 C． x1=0，x2=-1 D． x1=0，x2=17.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A． 4 B．﹣4 C． 3 D．﹣38.小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A． x=4 B． x=3 C． x=2 D． x=0二、填空题9.一元二次方程x2﹣x＋a＝0的一个根是2，则a的值是_____．10.方程（x﹣3）（x+2）=0的根是_____．11.已知是方程的根，则式子_________.12.已知x1，x2是方程3x2-2x+1=0两根，则 x1·x2=________．=13.已知3是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是______.14.某种商品，每盒原价为10元，在两个月内作了两次提价，两次提价后的每盒价格为12.1元，则这两个月平均每月提价的百分数为_____．15.若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为______．三、解答题16.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．17.解方程：．18.已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1＝0．（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；（2）当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值及方程的根．19.解方程：2(x-3)=3x(x-3)．20.解方程：x2﹣8x+1=0．答案解析1.【答案】C【解析】根据一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．解：∵kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1-4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．2.【答案】B【解析】利用因式分解法解方程．x（x-2）=0，x=0或x-2=0，所以x1=0，x2=2．故选B．3.【答案】D【解析】如果设该贫困户每年纯收入的平均增长率为x，那么根据题意得：列出方程为：故选D.4.【答案】C【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．解：由题意，得m2-3m+2=0且m-1≠0，解得m=2，故选：C．5.【答案】A【解析】,,.6.【答案】C【解析】此题考查了学生用降次的方法解一元二次方程的思想，此题可以化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得．解：∵x（x+1）=0∴x=0，x+1=0∴x1=0，x2=-1．故选：C．7.【答案】A【解析】根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.8.【答案】D【解析】x2-x=0，因式分解得：x（x-1）=0，可化为x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，则被漏掉的一个根为0．故选D.9.【答案】－2【解析】把x=2代入方程可以求出字母系数a的值．解：把x=2代入方程有：22-2+a=0解得：a=-2．故答案为：-2．10.【答案】x=3或x=﹣2．【解析】由乘法法则知，（x﹣3）（x+2）=0，则x-3=0或x+2=0，解这两个一元一次方程可求出x 的值.∵（x﹣3）（x+2）=0，∴x-3=0或x+2=0，∴x=3或x=﹣2．故答案为：x=3或x=﹣2．11.【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m-1=0，即m2+m=1，则原式可化为m2+m+m+n-mn，然后根据根与系数的关系进行计算即可．12.【答案】【解析】是方程两根，故答案为：13.【答案】2【解析】设方程另一根为x ，根据根与系数的关系即可得出结论．方程另一根为x ，由根与系数的关系得：x +3=5，解得：x =2．故答案为：2．14.【答案】10%．【解析】设平均每月提升的百分数为x ，根据题意列方程，解出x 即可.设平均每月提升的百分数为x ，10（1+x ）2=12.1，解得x =10%（负值舍去），故答案为10%.15.【答案】 【解析】由一元二次方程的解的定义，把x =2n 代入方程得到x2﹣2mx +2n =0，然后把等式两边除以n 即可．∵2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx +2n =0的根，∴4n 2﹣4mn +2n =0，∴4n ﹣4m +2=0，∴m ﹣n =．故答案是：．16.【答案】（1）m ＜12；（2）﹣1．【解析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出x 1+x 2=−2，x 1x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．试题解析：（1）∵一元二次方程x 2+2x +2m =0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜12，∴m 的取值范围为m ＜12．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=−2，x1x2=2m，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m的值为﹣1．考点：根与系数的关系；根的判别式．17.【答案】x1＝﹣4，x2＝﹣3．【解析】先观察式子，发现都有（x+4），所以先移项，再提公因式（x+4）进行因式分解，即可求出解．解：，，x+4＝0或x+3＝0，所以x1＝﹣4，x2＝﹣3．18.【答案】（1）a=，方程的另一根为；（2）答案见解析.【解析】（1）把x=2代入方程，求出a的值，再把a代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b2－4ac＝0求出a的值，再代入解方程即可．19.【答案】.【解析】先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.，移项得：，整理得：，或，解得：或．20.【答案】x1=4+，x2=4﹣．【解析】试题分析：用配方法解.x2﹣8x=1，x2﹣8x+42=﹣1+16（x﹣4）2=15，x﹣4=±，所以x1=4+，x2=4﹣．。

第二章《一元二次方程》章末练习题-6一、选择题1.在《代数学》中记载了求方程x2+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+ 16=49，则该方程的正数解为7−4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时，构造出如图②所示正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为( )A．2√3B．2C．3D．4√52.下列多项式在实数范围内能分解因式的是( )A．x2+5B．2x2−4x−1C．x2−2xy+3y2D．x2−xy+y23.如图，在等边三角形ABC中，点D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边三角形EDC．若BC，CD的长为方程x2−15x+7m=0的两根，当m取符合题意的最大整数时，不同位置的点D共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x队参加比赛，根据题意，可列方程为( )A．12x(x−1)=15B．12x(x+1)=15C．x(x+1)=15D．x(x−1)=155.已知m，n是方程x2−2x−1=0的两根，则(m2−2m+1)(n2−2n−3)的值等于( )A．0B．−4C．4D．26.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm7.已知一元二次方程的两个根分别是x1=2和x2=−3，则这个一元二次方程可以是( )A．x2−6x+8=0B．x2+2x−3=0C．x2−x−6=0D．x2+x−6=08.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0，配方后得到的方程是( )A．(x−1)2=2B．(x+1)2=2C．(x+2)2=2D．(x−2)2=29.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2．设道路宽为x m，则以下方程正确的是( )A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40C．64x−4x2=40D．64x−8x2=4010.下列方程中，有实数根的是( )A．√x−1=−x B．(x+2)2−1=0C．x2+1=0D．√x−4+√x−3=0二、填空题11.百货大厦某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售岀2件．商场要平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？若设每件童装应降价x元，则可列方程（方程不需化简）．12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”．以下“关于2的等距方程”的说法，正确的为．（填空序号）①方程x2−4x=0是关于2的等距方程；②当5m=−n时，关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，则必有b=−4a(a≠0)；=0是关于2的等距方程．④当两根满足x1=3x2时，关于x的方程px2−x+3413.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a(a+b)，如：3∗2=3×(3+2)=15．若x∗4=12，则x的值是．14.定义新运算“⋇”如下：当a≥b时，a⋇b=ab+b；当a<b时，a⋇b=ab−a．若(2x−1)⋇(x+2)=0，则x=．15.某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程．16.不解方程，判断方程x2+2√2x+2=0的根的情况．17.某工程队在靠墙处，用100米的铁栅栏围一个占地面积为1200平方米的仓库，铁栅栏只围三边，则仓库的长和宽分别是．三、解答题18.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1) 当t为何值，DF=DA？(2) 当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．(3) 是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．(4) 请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的19，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．20.请阅读下列材料：已知方程x2+x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−3=0，化简，得y2+2y−12=0．故所求方程为y2+2y−12=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的3倍．21.“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．(1) 求该市这两年投入资金的年平均增长率．(2) 2020年该市计划保持相同的年平均増长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？22.选择适当的方法解下列方程．(1) (2x−1)2−4=0．(2) 32x2−x−2=0．23.解方程：x2−x=3−x2．24.关于x的一元二次方程m4x2−(m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1) 求m的取值范围；(2) 若m为正整数，求此方程的根．25.在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人．(1) 若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份该校使用非智能手机的同学将有多少人？(2) 某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计陈旧，难以满足市场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润．答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】题图②中大正方的面积为 39+(52)2×4=39+25=64， ∴ 该方程的正数解为 √64−52×2=3．【知识点】几何问题2. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】C【知识点】一元二次方程根的判别式4. 【答案】A【知识点】循环赛5. 【答案】B【解析】 ∵m ，n 是方程 x 2−2x −1=0 的两根， ∴m 2−2m −1=0，n 2−2n −1=0， ∴m 2−2m =1，n 2−2n =1，∴原式=(1+1)×(1−3)=2×(−2)=−4． 【知识点】一元二次方程的根6. 【答案】D【解析】设原铁皮的边长为 x cm ， 则盒子的底面边长为 (x −6)cm ， 由题意得 3(x −6)2=300， 解得 x =16（负值舍去）． 【知识点】几何问题7. 【答案】D【知识点】因式分解法8. 【答案】B【知识点】配方法9. 【答案】B【知识点】几何问题10. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式二、填空题11. 【答案】(40−x)(20+2x)=1200【解析】设每件童装应降价x元，依题意可列方程为(40−x)(20+2x)=1200．【知识点】销售问题12. 【答案】①④【解析】① ∵x2−4x=0，∴x(x−4)=0，∴x1=0，x2=4，则∣x2−2∣∣=∣x1−2∣∣，①正确．②当m≠0，n≠0时，(x+1)(mx+n)=0，则x1=−1，x2=−nm，∵5m=−n，∴x2=5，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，此时，(x+1)(mx+n)=0是关于2的等距方程；当m=n=0时，原方程不是一元二次方程，故②错误．③由题意知方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2=−ba，∵方程是关于2的等距方程，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，则x1−2=x2−2或x1−2=2−x2，∴x1=x2或x1+x2=4．当x1=x2时，x1=x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2=4时，即−ba=4，∴b=−4a．故ax2+bx+c=0(a≠0)是关于2的等距方程时，b不一定等于−4a，故③错误．④当方程px2−x+34=0的两根满足x1=3x2时，∵x1x2=34p ，x1+x2=1p，∴x1x2=34×1p=34(x1+x2)，∴3x22=34(3x2+x2)=3x2，∴x 22−x 2=0，∴x 2=1 或 x 2=0（舍去）， ∴x 1=3x 2=3， ∴∣x 1−2∣∣=∣x 2−2∣∣， 即 px 2−x +34=0 是关于 2 的等距方程，故④正确．故正确的为①④．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、因式分解法13. 【答案】 −6 或 2【解析】根据题意，得 x (x +4)=12，即 x 2+4x −12=0， ∴(x +6)⋅(x −2)=0， ∴x +6=0 或 x −2=0， 解得 x =−6 或 x =2． 【知识点】因式分解法14. 【答案】 −1 或 12【解析】①当 2x −1≥x +2，即 x ≥3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)+(x +2)， 由题意得 (2x −1)(x +2)+(x +2)=0， 解得 x =0 或 x =−2， ∵x ≥3，∴x =0 或 x =−2 均舍去；②当 2x −1<x +2，即 x <3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)−(2x −1)， 由题意得 (2x −1)(x +2)−(2x −1)=0， 解得 x =−1 或 x =12，均符合题意．【知识点】因式分解法15. 【答案】 180(1+x%)2=300【知识点】平均增长率16. 【答案】有两个相等实根【解析】判断根的情况需看 Δ 的正负性． Δ>0，有两个不相等实根； Δ=0 时，有两个相等实根； Δ<0 时，无实根．此题 Δ=(2√2)2−4×2=0， ∴ 有两个相等实根．【知识点】一元二次方程根的判别式17. 【答案】60米和20米或40米和30米【知识点】几何问题三、解答题18. 【答案】设有x家公司出席了这次交易会，x(x−1)=78,解得：x1=13,x2=−12(舍去).答：有13家公司出席了这次交易会．根据题意，得12【知识点】循环赛19. 【答案】(1) ∵∠A=60∘，∠B=90∘，∴∠C=30∘，在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=4t，∴DF=2t∵AC=60，∴AD=60−4t，∵DF=DA，∴2t=60−4t，t=10，∴当t为10秒时，DF=DA．(2) 当△ADE为直角三角形时，有两种情况：①当∠AED=90∘时，则DE∥BC，∴∠ADE=∠C=30∘，∴AD=2AE，∴60−4t=2×2t，t=7.5；②当∠ADE=90∘时，∠AED=30∘，∴AE=2AD，∴2t=2(60−4t)，t=12．综上，当t=7.5秒或12秒时，△ADE为直角三角形．(3) 如图1，连接AF，∵FG是AC的中垂线，∴AF=CF，∴∠C=∠FAC=30∘，∴∠BAF=30∘，∴AF=2BF=2CF，∴BC=3BF，Rt△ABC中，AC=60，∴AB=30，BC=30√3，∴CF=20√3，Rt△CDF中，∠C=30∘，∴DF=20，CD=40，∴4t=40，t=10．(4) 如图2，由（3）知：BC=30√3，Rt△CDF中，CD=4t，∠C=30∘，∴DF=2t，CF=2√3t，由题意，S△DEF=12DF⋅BF=12⋅2t⋅(30√3−2√3t)=−2√3t2+30√3t，当S△DEF=19S△ABC时，−2√3t2+30√3t=12×30×30√3×19，解得t=15±5√52，∵0<t≤15，∴△DEF的面积是△ABC面积的19时，t为15±5√52秒．【知识点】直角三角形的判定、30度所对的直角边等于斜边的一半、几何问题、垂直平分线的性质20. 【答案】设所求方程的根为y，则y=3x，所以x=y3．把x=y3代入已知方程，得(y 3)2+y3−1=0，化简，得y2+3y−9=0，故所求方程为y2+3y−9=0．【知识点】一元二次方程的根21. 【答案】(1) 设年平均增长率为x，5(1+x)2=7.2.解得x1=−2.2(舍去),x2=0.2.∴x=0.2=20%．答：年平均增长率为20%．(2) 7.2×(1+20%)=8.64（亿元）=86400（万元），86400÷3=28800（户）．答：2020年能帮助28800户建设保障性住房．【知识点】平均增长率22. 【答案】(1) (2x−1)2−4=0. (2x−1)2=4.2x−1=±2.x1=32,x2=−12.(2) 32x 2−x −2=0.a =32,b =−1,c =−2.b 2−4ac =(−1)2−4×32×(−2)=13.x =1±√132×32.x 1=1+√133,x 2=1−√133.【知识点】公式法、直接开平方法23. 【答案】方法一：整理，得2x 2−x −3=0,∵a =2,b =−1,c =−3,∴Δ=(−1)2−4×2×(−3)=25>0,x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√254=1±54,解得x 1=32,x 2=−1.【解析】方法二：原方程化为 2x 2−x −3=0，∴(2x −3)(x +1)=0，∴x 1=32 或 x 2=−1．【知识点】公式法、因式分解法24. 【答案】(1) ∵Δ=[−(m −3)]2−4×m 4(m −1)=−5m +9，依题意，得 {m ≠0,Δ=−5m +9≥0,解得 m ≤95 且 m ≠0．(2) ∵m 为正整数，∴m =1．∴ 原方程为 14x 2+2x =0，解得 x 1=0，x 2=−8．【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式25. 【答案】(1) 设从 9 月到 11 月使用非智能手机的同学平均增长率为 x ，依题意得：128(1+x )2=200.解得，x 1=0.25=25%,x 2=−2.25(舍去).∴ 按此增长率增长，到 12 月份该校使用非智能手机的同学 =200(1+25%)=250（人）．答：到 12 月份该校使用非智能手机的同学有 250 人．(2) 设生产 A 型手机 x 只，则 B 型手机 y 只，依题意得：400x +600y =12000，∴y=200−23x，∵x，y均为整数，∴x为3的倍数，又∵B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，即：2x≤y≤2.3x，∴2x≤200−23x≤2.3x，解得：75≥x≥673789，∴x=75,72,69．设总利润为W．W=(600−400)x+(930−600)y=200x+330y∴W=200x+330(200−23x)=−20x+66000．∵W随x增大而减小，∴当x=69时，最大利润W=64620．答：生产这批手机A型69台，B型152台，全部售卖后可获得的最大利润为64620元．【知识点】分段计费(D)、平均增长率。

第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则　　．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为　　．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是　　．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。

第二章《一元二次方程》章末练习题-9一、选择题1.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，则x满足的方程是( )A．5000(1−x)−(1−x)2=3000B．5000(1−x2)=3000C．5000(1−x)2=3000D．5000(1−x)2=20002.已知关于x的一元二次方程ax2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是( )A．a>1B．a>−2C．a>1且a≠0D．a>−1且a≠03.下列各方程中，有两个不相等实数根的是( )A．x2=3x−8B．7x2+7=14xC．x2+10=5x+2D．x2+5x=7x+34.若一个两位数等于它个位上的数字的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为( )A．25或36B．25C．36D．−25或−365.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A．60m2B．63m2C．64m2D．66m26.某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A．1280(1+x)=1600B．1280(1+2x)=1600C．1280(1+x)2=2880D．1280(1+x)+1280(1+x)2=28807.某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得( )A．(8−x)(10−x)=8×10−40B．(8−x)(10−x)=8×10+40C．(8+x)(10+x)=8×10−40D．(8+x)(10+x)=8×10+408.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为( )A．0B．±1C．1D．−19.若关于x的方程kx2−(k+1)x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.若x1x2=2，1x1+1x2=32，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A．x2+3x−2=0B．x2−3x+2=0C．x2+3x+2=0D．x2−3x−2=0二、填空题11.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若(m+2)◎(m−3)=24，则m=．12.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0的解是．13.关于x的一元二次方程x2+4x−2k=0有实数根，则k的取值范围是．14.若方程ax2+c=0（a≠0）没有实数根，则a与c的符号关系为．15.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程．16.已知关于x的方程(m2−1)x2+mx+2=0，当m时，方程为一元二次方程．17.已知x为实数，若(x2+3x)2+2(x2+3x)−3=0，则x2+3x=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8厘米，BC=10厘米，点D在BC上，且CD=6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC 交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒(t>0)．(1) EP=（用t的代数式表示）；(2) 如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；(3) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形．19.解方程：(1) x2−2x−1=0（用配方法解）；(2) (x−1)2=4x(x−1)；(3) 2x2−1=1−11−x．20.小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x+4)=6，解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6，(x+2)2−22=6，(x+2)2=6+22，(x+2)2=10．直接开平方并整理，得x1=−2+√10，x2=−2−√10．我们称这种解法为“平均数法”．(1) 下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时的解题过程．解：原方程可变形，得[(x+a)−b][(x+a)+b]=5，(x+a)2−b2=5，(x+a)2=5+ b2．直接开平方并整理，得x1=c，x2=d(c>d)．上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别为，，，；(2) 请用“平均数法”解方程：(x−5)(x+3)=6．21.已知n为正整数，关于x的一元二次方程x2+(2n+1)x+n2=0的两根分别为αn，βn，求1(α3+1)(β3+1)+1(α4+1)(β4+1)+⋯+1(α20+1)(β20+1)的值．22.已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0．(1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．23.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．(1) 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．(2) 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．24.已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．(1) k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；(2) k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．25.已知关于x的方程x2−(3k+3)x+2k2+4k+2=0(1) 求证：无论k为何值时，原方程都有实数根；(2) 若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线的长，且x1x2+2x1+2x2=36,求k的值及该菱形的面积．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】去年的成本为5000(1−x)，则现在的成本表示为5000(1−x)(1−x)，即5000(1−x)2=3000．【知识点】平均增长率2. 【答案】D【解析】∵一元二次方程ax2−2x−1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2)2−4×a×(−1)>0，且a≠0，解得：a>−1且a≠0．【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】D【知识点】一元二次方程根的判别式4. 【答案】A【知识点】数字问题5. 【答案】C【知识点】几何问题6. 【答案】C【解析】根据题意，得1280⋅(1+x)2=1280+1600，∴1280⋅(1+x)2=2880．【知识点】平均增长率7. 【答案】D【知识点】和差倍分8. 【答案】D【解析】∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，∴a2−1=0，且a−1≠0，解得a=−1．【知识点】一元二次方程的根9. 【答案】C【知识点】一元二次方程的特殊根10. 【答案】B【解析】∵1x1+1x2=32，∴x1+x2=32x1x2，∵x1x2=2，∴x1+x2=3，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2−3x+2=0．故选：B．【知识点】一元二次方程根与系数的关系二、填空题11. 【答案】−3或4【解析】根据题意得[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，即(2m−1)2−49=0，所以(2m−1+7)(2m−1−7)=0，所以2m−1+7=0或2m−1−7=0，所以m1=−3，m2=4．【知识点】因式分解法12. 【答案】x3=0，x4=−3【解析】∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=−1，解得x=0或x=−3．【知识点】一元二次方程的根13. 【答案】k≥−2【解析】根据题意得Δ=42+8k≥0，解得k≥−2．故答案为：k≥−2．【知识点】一元二次方程根的判别式14. 【答案】a与c同号【知识点】直接开平方法15. 【答案】x[120−0.5(x−60)]=8800【解析】设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120−0.5(x−60)]=8800．【知识点】销售问题16. 【答案】≠±1【知识点】一元二次方程的概念17. 【答案】1【解析】设y=x2+3x，则y2+2y−3=0，整理，得(y+3)(y−1)=0．所以y+3=0或y−1=0．解得y=−3或y=1．当y=−3时，x2+3x=−3，此时该方程无解，故舍去．综上所述，x2+3x=1．【知识点】因式分解法三、解答题18. 【答案】(1) 32t(2) ∵四边形EQDP是平行四边形，∴PE=DQ，∴32t=4−2.5t，∴t=1．答：当t=1时，使四边形EQDP是平行四边形．(3) 如图2，当∠EQD=90∘时，∵∠C=∠EQD=90∘，∴EQ∥CP，又∵EP∥CQ，∴四边形EPCQ是平行四边形，∴EP=CQ=32t，∴52t+32t=10，∴t=52；当∠DEQ=90∘时，∵AC=8cm，CD=6cm，∴AD=√AC2+CD2=√64+36=10cm，∵S△ACD=S△ACQ+S△ADQ，∴12×6×8=12×8×(10−2.5t)+12×10×QE，∴QE=2t−165，∵AE=√AP2+PE2=√4t2+94t2=52t，∴DE=10−52t，∵DQ2=DE2+EQ2，∴(52t−4)2=(10−52t)2+(2t−165)2，∴t1=3.1，t2=385（不合题意舍去）．综上所述：t=52或3.1时，△EDQ为直角三角形．【解析】(1) 如图1，连接CE．∵PE∥CD，∴S△PCD=S△CDE，∵AP=2t cm，∴CP=AC−AP=(8−2t)cm，∵S△ACD=S△AEC+S△CDE，∴6×82=8×PE2+6×(8−2t)2，∴PE=32t．【知识点】平行四边形及其性质、几何问题、勾股定理19. 【答案】(1) x2−2x−1=0.x2−2x=1.x2−2x+1=1+1.(x−1)2=2.x−1=±√2.x1=1+√2,x2=1−√2.(2) (x−1)2=4x(x−1). (x−1)2−4x(x−1)=0. (x−1)(x−1−4x)=0. x−1=0,x−1−4x=0. x1=1,x2=−13.(3) 方程两边都乘以(x+1)(x−1)得：2=(x+1)(x−1)+x+1.解得：x=−2或1.检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，此时方程无解；当x=−2时，(x+1)(x−1)≠0．∴x=−2是原方程的解，即原方程的解为x=−2．【知识点】配方法、因式分解法、分式方程的解法20. 【答案】(1) 5；2；−2；−8(2) 原方程可变形，得[(x−1)−4][(x−1)+4]=6,(x−1)2−42=6,(x−1)2=6+42,(x−1)2=22.直接开平方并整理，得x1=1+√22,x2=1−√22.【知识点】直接开平方法21. 【答案】由根与系数的关系，有αn+βn=−(2n+1)，αnβn=n2．于是，对正整数n≥3，有1(αn+1)(βn+1)=1αnβn+αn+βn+1 =1n2−(2n+1)+1 =1n(n−2)=12(1n−2−1n)∴原式=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(118−120)=12(1+12−19−120)=531760．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、用代数式表示规律22. 【答案】(1) 依题意，得Δ=(k+1)2−4k=(k−1)2．∵(k−1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2) 由求根公式，得x1=−1，x2=−k．∵方程有一个根是正数，∴−k>0，∴k <0．【知识点】一元二次方程根的判别式、因式分解法23. 【答案】(1) 把 x =1 代入原方程得：1+a +a −2=0，解得：a =12,∴ 原方程为x 2+12x −32=0,整理得(x −1)(x +32)=0,∴ 方程另一根为x =−32. (2) 原方程Δ=a 2−4(a −2)=a 2−4a +8=(a −2)2+4>0,故原方程中，不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式24. 【答案】(1) ∵△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC =5， ∴AB 2+AC 2=25．∵AB ，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2−(2k +3)x +k 2+3k +2=0 的两个实数根， ∴AB +AC =2k +3，AB ⋅AC =k 2+3k +2， ∴AB 2+AC 2=(AB +AC )2−2AB ⋅AC ，即 (2k +3)2−2(k 2+3k +2)=25，解得 k =2 或 −5（舍去负数）． ∴k =2．(2) △ABC 是等腰三角形． ① AB =AC 时，Δ=b 2−4ac =0， (2k +3)2−4(k 2+3k +2)=0，方程无解， ∴k 不存在；② AB =BC 时，可知 AB =BC =5，根据韦达定理：AC +5=2k +3，5AC =k 2+3k +2，解得：k =3 或 4． 当 k =3 时，AC =4，此时 △ABC 的周长为 5+5+4=14； 当 k =4 时，AC =6，此时 △ABC 的周长为 5+5+6=16． ∴ 当 k =3 或 4，△ABC 的周长为 14 或 16．【知识点】等腰三角形的判定、直角三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系25. 【答案】(1)b2−4ac=[−(3k+3)]2−4×1×(2k2+4k+2) =9k2+18k+9−8k2−16k−8=k2+2k+1=(k+1)2,∵无论k为何值时，(k+1)2≥0，∴无论k为何值时，原方程都有实数根．(2) 由根与系数的关系可得x1+x2=3k+3，x1x2=2k2+4k+2，由x1+x2>0，x1x2>0，得k>−1，∵x1x2+2x1+2x2=36，∴2k2+4k+2+2(3k+3)=36，∴2k2+10k−28=0，∴k1=2，k2=−7（不合题意，舍去）．当k=2时，菱形的面积为12x1x2=12×(2k2+4k+2)=9．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、菱形的面积11。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。

九上专题训练《一元二次方程》含答案一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣25．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣二．填空题（共5小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝时为一元二次方程．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+ ＝（x﹣）2；（2）x2+ +＝（x+ ）2；（3）x2﹣2x+ ＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣）2﹣．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．专题训练：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A，2x2﹣+1＝0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2＝0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1＝0是一元二次方程；D，ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；故选：C．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1．故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2018＝a（a2+a）+a2+2018＝a+a2+2018，＝1+2018＝2019，故选：B．6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得a2+b2﹣3＝±5，所以a2+b2＝3±5，解得a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．故选：C．7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，4x＝6，x＝，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．故选：B．二．填空题（共8小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝41 ，x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：41，，．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝﹣1 时为一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，为一元二次方程，∴，解得：m＝﹣1．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+ p +＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣ 3 ）2﹣13 ．【解答】解：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+p+＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x2﹣x+）＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x2﹣6x+9﹣9）+5＝2（x﹣3）2﹣13．故答案为：（1），；（2）p，；（3），；（4）3，13．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．【解答】解：解方程x2+3x﹣3＝0的根是x＝，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，因而方程x2+3x﹣3＝0的一个根的相反数是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是﹣即．故本题答案为x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝2或﹣1 ．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．【解答】解：（1）x1＝+，x2＝﹣．（2）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5，由原方程，得x2﹣4x+2＝0，则a＝1，b＝﹣4，c＝2，所以x＝＝2±，故x1＝2﹣，x2＝2+．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，解得，m1＝，m2＝﹣1．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝14 ，＝194 ；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x 的值为1﹣。

北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。

北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程同步练习题1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2－1＝yB ．6x 2＝5C ．x 2＝1xD ．3x 3－4x 2－1＝0 2．若关于x 的方程(k ＋1)x 2＋2kx －3＝0是一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．任意实数B ．k ≠－1C ．k ＞－1D ．k ＞03. 将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )A ．4x 2－4x ＋5＝0B ．3x 2－8x －10＝0C ．4x 2＋4x －5＝0D ．3x 2＋8x ＋10＝04. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x(5＋x)＝6B ．x(5－x)＝6C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝65. 下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．x －1x ＝0 C ．2x ＋3＝2x(x －1) D ．x 2＋2x ＝x 2－1 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝817．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为( )A ．x(x ＋1)＝253B ．x(x －1)＝253C ．2x(x －1)＝253D ．x(x －1)＝253×28. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．9. 若一元二次方程2x2＋mx＝3x＋2中不含x的一次项，则m＝________．10. 方程x2＋1＝－2(1－3x)化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．11. 两个连续奇数的平方和为2890.设这两个奇数中较小的一个数为x，则可列方程为．12. 若ax2－5x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6＞0的解集是______________．13．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为零，则m的值为________．14．现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意可列出方程为．15. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－1；(2)(x＋2)(x－1)＝6；(3)4－7x2＝0.16. 关于x的方程(m2－9)x2＋(m－3)x＋2m＝0.(1)当m为何值时，它是一元一次方程？并求出一元一次方程的解；(2)当m为何值时，它是一元二次方程？17. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，请列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．18. 某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为加快资金周转，超市采取降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(列方程，并化为一般形式，不解答)19. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．(1) 如果一个直角三角形的两条直角边边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长；(2) 有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数；(3) 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽．答案：1—7 BBBBC BD8. 29. 310. 1 －6 311. x 2＋(x ＋2)2＝289012. a>－2且a≠013. －114. (80－2x)(60－2x)＝150015. (1)化成一般形式为3x 2－5x ＋1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1(2)化成一般形式为x 2＋x －8＝0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为－8(3)化成一般形式为－7x 2＋4＝0，二次项系数为－7，一次项系数为0，常数项为416. (1)当m ＝－3时，原方程是一元一次方程，方程的解为x ＝－1；(2)当m≠±3时，原方程是一元二次方程．17. 解：根据题意，可以列出方程(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为： x 2－39x ＋74＝0.18. 解：设每件童装应降价x 元，则每天销售童装的件数为(30＋3x)件，每件利润为(40－x)元．则有(30＋3x)(40－x)＝1 000，化成一般形式为3x 2－90x －200＝0.19. (1)设其中一条直角边的长为x cm ，另一条直角边的长为(14－x) cm ，则12x(14－x)＝24，化成一般形式为x2－14x＋48＝0；(2)设十位数字为x，个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，则9[x2＋(x＋3)2＋(x ＋2)2]＝100(x＋2)＋10x＋(x＋3)－20，化成一般形式为9x2－7x－22＝0；(3)设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，则(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化成一般形式为x2＋65x－350＝0.。

2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。

2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。

3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。

4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。

5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。

6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。

7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。

8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。

9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。

10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。

11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。

三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。

4 用因式分解法求解一元二次方程知识点 1 由ab＝0直接求解1．已知a，b是两个实数，如果ab＝0，那么下列说法正确的是( )A．a一定是零 B．b一定是零C．a＝0且b＝0 D．a＝0或b＝02．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－33．解方程：(4x－1)(5x＋7)＝0.知识点 2 用因式分解法解一元二次方程4．2017·贵阳期末方程x 2－x ＝0的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝－15．2017·六盘水期末方程3(x －3)2－2(x －3)＝0的根是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝113C ．x 1＝3，x 2＝23D ．x 1＝3，x 2＝1136．方程3(x －5)2＝2(5－x )的解是( ) A ．x ＝133 B ．x 1＝5，x 2＝133C ．x 1＝5，x 2＝173D ．x 1＝4，x 2＝－1337．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋2x ＝－1; (2)x 2＋3＝3(x ＋1)；(3)7x (5x ＋2)＝6(5x ＋2)；(4)(3y －4)2－(4y －3)2＝0.知识点 3 灵活运用四种方法解一元二次方程8．我们学习了一元二次方程的解法有：①直接开平方法；②配方法；③因式分解法；④求根公式法．请认真观察下列几个方程，指出较为合适的方法．(填序号)(1)x 2＋16x ＝5，选用方法________较合适；(2)2(x ＋2)(x －1)＝(x ＋2)(x ＋4)，选用方法________较合适； (3)2x 2－3x －3＝0，选用方法________较合适．9．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为合适的方法解这个方程． ①(x ＋1)2＝4x ；②3x 2－6x ＝0；③x 2＋x －1＝0；④14x 2＋x ＋1＝0；⑤2x 2－6x ＋8＝0.10．一个三角形两边的长为3和6，第三边的长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13图2－4－111．教材习题2.7第3题变式题如图2－4－1，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m12．解方程：(1)x2－6x＋9＝(5－2x)2；(2)2(x－3)＝x2－9.13．解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请写出上述方程的正确解法．14．已知(x ＋y )(x ＋y －1)＝0，求x ＋y 的值．15．已知x 是一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根，求代数式x －33x2－6x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2的值．16．我们知道(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab，所以x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，因此方程x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0.请利用上面的方法解下列方程：(1)x2－3x－4＝0; (2)x2－7x＋6＝0；(3)x2＋4x－5＝0.1．D 2．D3．解：∵(4x －1)(5x ＋7)＝0， ∴4x －1＝0或5x ＋7＝0， ∴x 1＝14，x 2＝－75. 4．C 5．D 6．B7．解：(1)原方程可变形为x 2＋2x ＋1＝0， 即(x ＋1)2＝0，∴x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝－1.(2)原方程可变形为x 2－3x ＝0， ∴x (x －3)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝3.(3)原方程可变形为7x (5x ＋2)－6(5x ＋2)＝0， ∴(5x ＋2)(7x －6)＝0， ∴5x ＋2＝0或7x －6＝0， ∴x 1＝－25，x 2＝67.(4)原方程可化为[(3y －4)＋(4y －3)][(3y －4)－(4y －3)]＝0， 即(7y －7)(－y －1)＝0， ∴7y －7＝0或－y －1＝0， ∴y 1＝1，y 2＝－1. 8．(1)② (2)③ (3)④9．解：选择②3x 2－6x ＝0.用因式分解法． 方程左边因式分解，得3x (x －2)＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2.(其他选择略) 10．B 11．A12．解：(1)原方程可化为(x －3)2＝(5－2x )2， 移项，得(x －3)2－(5－2x )2＝0，因式分解，得(x －3＋5－2x )(x －3－5＋2x )＝0， 即(2－x )(3x －8)＝0， ∴2－x ＝0或3x －8＝0， ∴x 1＝2，x 2＝83.(2)原方程可化为2(x －3)＝(x －3)(x ＋3)， 移项，得(x －3)(x ＋3)－2(x －3)＝0， 因式分解，得(x －3)(x ＋3－2)＝0， ∴x －3＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝－1.13．解：(1)不正确．理由如下：因为x ＋5可能等于0，所以方程两边不能同除以(x ＋5)，否则就漏掉了一个根． (2)原方程可化为x ()x ＋5－3()x ＋5＝0，()x ＋5()x －3＝0，所以x 1＝3，x 2＝－5. 14．解：由题意，得x ＋y ＝0或x ＋y －1＝0，即x ＋y ＝0或x ＋y ＝1. 15．解：∵x 2－2x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝1. ∴原式＝x －33x （x －2）÷x2－9x －2＝x －33x （x －2）·x －2（x ＋3）（x －3）＝13x （x ＋3）.当x ＝1时，原式＝13×1×（1＋3）＝112.16．解：(1)∵x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)， ∴(x －4)(x ＋1)＝0， ∴x －4＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝4，x 2＝－1.(2)∵x 2－7x ＋6＝(x －6)(x －1)， ∴(x －6)(x －1)＝0， ∴x －6＝0或x －1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝1.(3)∵x 2＋4x －5＝(x ＋5)(x －1)， ∴(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x ＋5＝0或x －1＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.。