专题四 指数函数与对数函数及函数的应用一、单选题1．（2020·湖北黄冈�高一月考）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22()f x x x x x x ⎧<⎪⎨-+>=⎪⎩，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围是（ ）. A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,4)D ．103,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，求得函数的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象六个零点，和函数的对称性，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02()147,22x x f x x x x ⎧<⎪=⎨-+>⎪⎩，所以当0x <时，22log (),20()147,22x x f x x x x ⎧---<⎪=⎨---<-⎪⎩，因为函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，所以函数()y f x =与函数y a =的图象有六个交点，画出两函数的图象如下图， 不妨设123456x x x x x x <<<<<，由图知12,x x 关于直线4x =-对称，56,x x 关于直线4x =对称， 所以12560x x x x +++=，而2324log ,log x a x a =-=， 所以2324234log log log 0x x x x +==，所以341x x =，所以343422x x x x +=，取等号的条件为34x x =，因为等号取不到，所以342x x +>， 又当1a =时，341,22x x ==，所以3415222x x +<+=， 所以12345652,2x x x x x x ⎛⎫+++++∈ ⎪⎝⎭. 故选A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()y f x a =-有六个零点，转化为函数的图象的交点，结合函数的图象及对称性求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．2．（2020·河南濮阳�高一期末（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-,()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.3．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】 【分析】分别验证区间端点值符号，结合零点存在定理可得到结果. 【详解】()12125f -=++=，()01023f =-+=，()1311222f =-+=，()1122244f =-+=，()1733288f =-+=-，()()230f f ∴⋅<， 由零点存在定理可知：()f x 零点所在区间为()2,3. 故选：D . 【点睛】本题考查利用零点存在定理确定零点所在区间的问题，属于基础题.4．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ） A ．2y x =- B ．y x = C ．1y x -=- D ．2log y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义，函数的单调性即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A ，2y x =-在(0,)+∞上单调递减，故A 错误；对于B ，y x =为偶函数，且0x >时，y x x ==为增函数，故B 正确； 对于C ，反比例函数1y x -=-为奇函数，故C 错误； 对于D ，2log y x =既不是奇函数，也不是偶函数，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5．（2020·山东高三其他）已知()()41,1,11,12x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩则()4log 3f =（ ）A ．4B ．72C ．6D ．132【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数解析式，结合对数运算，求得()4log 3f 的值. 【详解】因为4log 31<，所以()()()44411log 3log 31log 1222f f f =+=，而4log 121>，故()4log 124log 124113f =+=，故()413log 32f =．故选：D 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.6．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式∆0>列不等式求出k 的取值范围. 【详解】解：方程222(1)3110x k x k +-+-=中， 令∆0>，得224(1)4(311)0k k --->， 化简得260k k +-<， 解得32k -<<，所以(3,2)k ∈-时，方程有两个不相等的实数根； 故选：B. 【点睛】本题考查了利用判别式求一元二次方程与一元二次不等式解集的问题，是基础题．7．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2] C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】当0x >时，()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增，则值域为(1,)+∞； 当0x ≤时，()3xf x a =-在(,0)-∞上单调递减，则值域为[1,)a a -；因为函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以函数()f x 有最小值时，需满足11a -≤，即2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.8．（2020·湖南高新技术产业园区�衡阳市一中高三月考）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 根据1232ab -=⋅，得到21log 31-+=>a b ，进而a b >，由()212log 23c b x x -=++，得到()()2222log 23log 121⎡⎤-=++=++>⎣⎦b c x x x ，进而得到b c >即可.【详解】因为1232a b -=⋅， 所以123-+=a b ，所以21log 31-+=>a b ， 所以0a b ->，即a b >，因为()212log 23c b x x -=++， 所以()()22122log 23log 23-=++=-++c b x x x x ， 所以()()2222log 23log 121⎡⎤-=++=++>⎣⎦b c x x x ，即b c >， 所以a b c >> 故选：A 【点睛】本题主要考查指数形式和对数形式的转化以及对数函数的性质，属于中档题.9．（2019·福建高三学业考试）函数2lg ,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨-≤⎩的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用方程令在0x >有lg 0x =，0x ≤有220x x -=即可得到零点值，进而确定零点个数 【详解】当0x >时，lg 0x =得：1x =当0x ≤时，220x x -=得：2x =(舍去)，0x = ∴()f x 的零点有1x =、0x = 故选：B 【点睛】本题考查了函数与方程，利用方程的思想求函数的零点，进而确定零点的个数10．（2019·福建高三学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（ ）A ．2100元B ．2400元C ．2700元D ．3000元【答案】C 【解析】 【分析】利用公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，设出函数解析式，代入图象中的坐标，求出函数并将月销售量为3百件代入，可得此时的月收入． 【详解】设一次函数为：()0y kx b k =+≠，将()0,1800和()2,2400代入得：180024002bk b=⎧⎨=+⎩，解得300,1800k b ==，故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为3001800y x =+， 令3x =，可得300318002700y =⨯+=元， 故选：C 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，考查学生数形结合能力和计算能力，属于基础题．11．（2020·山西迎泽�太原五中高三二模（文））已知集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|2}x x ≥-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进行运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 故选:D 【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.12．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x kx ≥，则k 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．1]-∞（， C ．[]21-， D ．[]20-，【答案】D 【解析】【分析】先求出当0x <时,2k ≥-；当0x =时，k ∈R ；当0x >时，利用数形结合求出0k ≤即得解. 【详解】当0x <时,因为220x x -+<， 所以22x x kx -≥，即22k x k ≥-∴≥-; 当0x =时00≥，即k ∈R ;当0x >时，ln(1)x kx +≥，由图可知0k ≤;综上k 的取值范围是[]20-，， 故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 13．（2020·陕西新城�西安中学高三月考（文））玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件C ．100件D ．120件【答案】B 【解析】 【分析】确定生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值． 【详解】解：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是2180080088x xx +=+ 这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为218008008()8x x f x x x +==+ （x 为正整数）由基本不等式，得80080022088x xx x += 当且仅当8008xx =，即80x =时，()f x 取得最小值， 80x ∴=时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B 【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．14．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1） B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）【答案】B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 15．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）方程0lnx x +=的实数解的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】A 【解析】 【分析】将方程0lnx x +=的实数解的个数，转化为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象求解.【详解】方程0lnx x +=的实数解的个数，即为方程lnx x =-的实数解的个数， 即为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程0lnx x +=的实数解的个数为1 故选：A 【点睛】本题主要考查方程的根与函数的零点，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.16．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））已知函数()()1222,1{log 1,1x x f x x x --≤=-+> ，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-【答案】A 【解析】试题分析：()13223x f a -=-∴-=-或()2log 137a a -+=-∴=()()2761224f a f -∴-=-=-=-考点：函数求值17．（2020·黑龙江绥化�高二期末（理））已知函数f(x)的定义域为R ，且21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(,)-∞+∞【答案】A 【解析】作图，由图知1a < ，a 的取值范围为(),1-∞，选A.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年 D ．2023年【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，设第n 年开始超过200万元， 则()2018130112%200n -⨯+>，化为：()2018lg1.12lg2lg1.3n ->-， 解可得：lg2lg1.32018 3.8lg1.12n -->≈；则2022n ≥. 故选：C ．【点睛】本题考查函数的应用，涉及对数的计算，属于基础题．19．（2020·江西高二期末（文））已知集合(){}22log 2A x y x x ==--，B =N ，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0-【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】∵集合{}22()|log 2A x y x x ==--22{|20}{|20}x x x x x x =-->=+-< {|21}x x =-<<,{0}B N A B =∴=．故选：A ．20．（2020·全国高三其他（理））已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫+=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.21．（2020·武威第八中学高二期末（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确； 故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.22．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系． 【详解】解：由对数函数和指数函数的性质可知，0.10 1.302log 0.30,221,00.20.21,a b c a c b =<=>=<=<=∴<<故选：D ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．23．（2021·河西�天津实验中学高三月考）函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：x xx xe e y e e--+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时，函数无意义，可排除,C D ，又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，故选A .考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.24．（2021·河西�天津实验中学高三月考）已知函数()[]()()1120220x x f x f x x ⎧-+∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，，，，，若方程()f x x a =+在区间[]2-，4内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}20a a -<<B ．{20a a -<<或}1a = C ．{20a a -<<或}12a << D ．{}20a a -<≤【答案】B 【解析】 【分析】转化为函数()y f x =与函数y x a =+的图象在[]2-，4内有三个交点，求出2(]0,x ∈和(2,4]x ∈的解析式，再利用图象可得结果. 【详解】方程()f x x a =+在区间[]2-，4内有3个不相等的实根，等价于函数()y f x =与函数y x a =+的图象在[]2-，4内有三个交点，当[2,0]x ∈-时，()1|1|f x x =-+，当2(]0,x ∈时，2(2,0]x -∈-，()()()2(2)21|21|21|1|f x f x x x =-=--+=--， 当(2,4]x ∈时，2(0,2]x -∈，()()2(2)41|3|f x f x x =-=--， 作出函数()y f x =在[]2-，4内的图象，如图：由图可知：20a -<<或1a =， 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图象的应用，考查了转化与化归思想、数形结合思想，考查了由方程根的个数求参数的取值范围，属于中档题.25．（2020·浙江高三月考）如图为函数()()20,,ln a x by x a b x +=≠∈Z 的部分图象，则下列判断可能正确的是（ ）A ．1a =，1b =-B ．1a =，1b =C ．2a =，1b =-D ．2a =，1b =【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数图象的特征及选项中a 、b 的值，逐项排除即可得解. 【详解】由题意该图象中虚线为1x =±，当1x <-时，由21x >可得()2ln 0x >，再由()20ln a x b y x +=>可得0a x b +>， 所以1a ≠，故排除A 、B ；当11x -<<、2a =时，由201x <<可得()2ln 0x<，再由()20ln a x by x +=<可得20x b +>，所以1b ≠-，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查了由函数图象确定参数的取值，考查了逻辑推理能力，属于基础题.26．（2020·浙江高三月考）要将函数()2log f x x =变成()()2log 2g x x =，下列方法中可行的有（ ） ①将函数()f x 图象上点的横坐标压缩一半 ②将函数()f x 图象上点的横坐标伸长一倍 ③将函数()f x 的图象向下平移一个单位 ④将函数()f x 的图象向上平移一个单位（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由于()g x 的解析式有()2log 2x 和21log x +两种形式，可知()f x 如何变换得到以上两种形式，即可确定选项 【详解】由()()2log 2g x x =，其函数还可写成：()21log g x x =+∴(1)()2log f x x =变成()()2log 2g x x =：将函数()f x 图象上点的横坐标压缩一半 (2) ()2log f x x =变成()21log g x x =+：将函数()f x 的图象向上平移一个单位 故选：B 【点睛】本题考查了通过函数解析式判断函数平移伸缩变换的方式，注意： 自变量前有系数：a 、大于1：横向压缩；b 、小于1：横向伸长；系数为1的自变量后加上一个正数：向左平移；减去一个正数：向右平移； 函数式前有系数：a 、大于1：纵向伸长；b 、小于1：纵向压缩； 函数式后加上一个正数：向上平移；减去一个正数：向下平移27．（2020·广西七星�桂林十八中高三月考（理））若323log a = ，1ln2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞a B ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】因为31323330log log log 1a =<=<=，1lnln102b =<=， 0.200.60.61c -=>=，所以c ＞a ＞b ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题.28．（2020·安徽师范大学附属中学高一期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇.这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合等比数列的前n 项和列不等式，然后构造函数2()21292x xf x =--，(1)x ．结合函数零点的判定得答案． 【详解】解：设需要n 天时间才能打穿，则11()21213012112nn--+--， 化为：2212902nn--， 令2()21292nn f n =--，则()7727212902f =--<． ()8828212902f =-->． 令2()21292xxf x =--，(1)x ．()f x ∴在(7,8)内存在一个零点．又函数()f x 在1x 时单调递增，因此()f x 在(7,8)内存在唯一一个零点．∴需要8天时间才能打穿．故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的求和公式、函数零点存在判定定理、不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29．（2020·四川高一期末）下列函数在定义域上是增函数的是（ ） A ．y ＝1xB ．y ＝log13x C ．y ＝（12）xD ．y ＝x 3【答案】D 【解析】 【分析】根据常见指对幂函数的单调性，即可容易判断选择. 【详解】1y x=在()(),0,0,-∞+∞单调递减，故舍去； 13log y x =在定义域()0,+∞单调递减，故舍去；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域R 上单调递减，故舍去；3y x =在定义域R 上单调递增.故选：D . 【点睛】本题考查指对幂函数的单调性，属简单题.30．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知集合{}22A xx =-≤≤∣，{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ）A ．{}2xx ≥-∣ B ．{}12xx <<∣ C ．{}12xx <≤∣ D ．{}2xx ≥∣ 【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B xy x ==-∣，再利用交集的运算求解即可. 【详解】 由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}22A xx =-≤≤∣， 所以{}12AB x x =<≤∣，故选：C. 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.31．（2021·广西钦州一中高三月考（理））已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判断a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【详解】因为123(0,1)-=∈a ，331log log 102b =<=，112211log log 132=>=c ，所以c a b >>， 故选：B. 【点睛】本题主要考查比较指数与对数的大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.32．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()log xa f x a t =+ ()0,1a a >≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是( )A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为22log log m a n a a t ma t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，等价转化为20x x a a t --=有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“梦想函数”，所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a na a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，即22m m n na t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩∴20xx a a t --=有2个不等的正实数根，令2xw a = 即20w w t --=有两个不等正根， ∴140t ∆=+>且两根之积等于0t ->， 解得104t -<<. 故选：A. 【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.33．（2020·小店�山西大附中高二月考（文））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()1e ex xf x =-.若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(,-∞ B ．()C ．()(),02,-∞+∞D ．((),2,-∞+∞【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 是R 上的奇函数，并结合当0x ≥时，()1e e xxf x =-，可得()f x 的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为2420mt t m ++<对任意t ∈R 恒成立，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】由题意知，0x <时，0x ->，则()1ee xxf x ---=-， 因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()11e e e e x xx x f x f x --⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭， 所以当x ∈R 时，()1e exx f x =-. 因为函数1x y e =为R 上的减函数，所以1e xy =-为R 上的增函数，故()1e e xx f x =-为R 上的增函数， 由()()242f t f m mt->+，可得242t m mt->+，即2420mt t m ++<对任意t ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为40t <，显然不符合题意，所以0m ≠，可得21680m m <⎧⎨∆=-<⎩，解得m <故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.34．（2020·开封市立洋外国语学校高三月考）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】 【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.35．（2020·福建高三其他（理））已知1142213,(),log 33a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性，对数函数性质并借助中间值1比较大小． 【详解】因为143a -=，123b -=，31>，从而3x y =在R 单调递增，因为11024-<-<，所以11024333--<<，即1b a <<；又2log 31>，所以1c >，故b a c <<， 故选：B . 【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，掌握指数函数与对数函数的单调性是解题关键． 36．（2021·山西应县一中高三开学考试（文））设3612m n ==，则nn m+=（ ） A ．1 B ．4C ．6D ．2【答案】D【分析】将指数式化为对数式得3log 12m =，6log 12n =，再根据对数的运算性质可得解. 【详解】因为3612m n ==，所以3log 12m =，6log 12n =，所以6311(1)log 12(1)log 12n n n m m +=+=⨯+612log 12(log 31)=⨯+612log 12log 36=⨯ 612log 122log 62=⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了对数的运算性质，属于基础题.37．（2020·全国高三其他（理））若函数33()|3|x xf x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．－2C ．2D ．－1【答案】B 【解析】 【分析】依题意()(3)||x xg x f x x e em -=+=+++，化简得到函数()g x =(3)f x +为偶函数，及函数()f x 的图像关于直线3x =对称，故(3)0f =，即2m =-，检验得到答案. 【详解】设()(3)||xxg x f x x e e m -=+=+++，∴()||||()xx x x g x x ee m x e e m g x ---=-+++=+++=故函数()g x 为偶函数，则函数(3)f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线3x =对称， ∵()f x 有唯一零点 ∴(3)0f =，即2m =-， 经检验，33()|3|2x x f x x ee --=-++-仅有1个零点3x =.【点睛】本题考查函数的性质、函数的零点，着重考查利用函数的图像或性质研究函数的零点个数，均为中等难度或中等偏上难度的题目.38．（2020·昆明市官渡区第一中学高二开学考试（文））已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21xg x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()5,+∞B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7【答案】D 【解析】 【分析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.39．（2020·黑山县黑山中学高三其他（理））已知函数()4224xxxx f x k k --=+⋅+⋅+，若对于任意的1x 、2x 、[]31,1x ∈-，以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形，则k 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 设5222,2xxt -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，可得()22f x t kt =+-，设()22h t t kt =+-，由()0h t >对任意的52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得1k >-，进而可求得函数()y h t =在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，由题意可得出关于k 的不等式，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】令12222x x xxt -=+=+，[]1,1x ∈-，则1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 令12,22xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，由双勾函数的单调性可知，函数()1g m m m =+在区间1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间(]1,2上单调递增，所以，当1,22m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()152,2g m m m ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2222442x x x x t --=+=++，则2442x x t -+=-，()22f x t kt ∴=+-，构造函数()22h t t kt =+-，其中52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由()220h t t kt =+->，可得2k t t>-， 由于函数2y t t =-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则max 1y =-，可得1k >-.二次函数()22h t t kt =+-的对称轴为直线122k t =-<， 则函数()22h t t kt =+-在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()522h h t h ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()5172224k h t k +≤≤+. 由于以()1f x 、()2f x 、()3f x 为长度的线段都可以围成三角形， 所以，()51722224k k +>+，解得16k >.因此，实数k 的取值范围是1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.40．（2019·四川仁寿一中高三其他（文））(0xy a a -=>且1a ≠）是增函数，那么函数1()log 1af x x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数(0xy a a -=>且1a ≠）的单调性判断底数a 的范围，得到函数()log a f x x =的图象，再利用图象平移得到函数1()log 1a f x x =+的图象． 【详解】解；∵xy a-=可变形为1()xy a=，若它是增函数，则11a>， 01a ∴<<，∴()log a f x x =为过点（1，0）的减函数，∴()log a f x x =-为过点（1，0）的增函数，∵1()log 1a f x x =+图象为()log a f x x =-图象向左平移1个单位长度， ∴1()log 1a f x x =+图象为过（0，0）点的增函数，故选D ．【点睛】本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察．41．（2020·宁夏兴庆�银川九中高三月考（理））函数213()log 4f x x =-的单调减区间是（ ）A ．(]()2,02,-+∞B ．(]2,0-和(2,)+∞ C ．(),20,2[)-∞-D ．(,2)-∞-和[0,2)【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的定义域，然后根据定义域以及复合函数的单调性判断方法确定出()f x 的单调递减区间. 【详解】因为240x ->，所以定义域为()()(),22,22,-∞--+∞，令()24u x x =-，13log y u =在()0,∞+上单调递减， 当(),2x ∈-∞-时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当(]2,0x ∈-时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 当()0,2x ∈时，()u x 单调递减，所以()f x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()u x 单调递增，所以()f x 单调递减； 综上可知：()f x 的单调递减区间为(]2,0-和()2,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调区间的求解，难度一般.分析复合函数的单调性，注意利用判断的口诀“同增异减”，当内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，当内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.二、多选题42．（2020·湖南天心�长郡中学高三月考）已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义城中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ）A ．()1f x x B ．4()f x x = C ．1()2f x x =+ D ．()ln(21)f x x =-【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称，逐项判断即可得解. 【详解】由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称， 对于A ，函数()1f x x 的值域为R ，关于原点对称，符合题意；对于B ，函数4y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞， 关于原点对称，符合题意； 对于D ，函数()()ln 21f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意； 故选：ACD . 【点睛】本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.43．（2020·山东临沂�高二期末）已知函数()()2log 1,11,12x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，下列结论正确的是（ ）A ．若()1f a =，则3a =。
