【赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.6

【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学（理）配套练习：第10章第6讲( ) A. 127 B. 116 C. 38 D. 827答案：D解析：依题意得，模型飞机“安全飞行”的概率为(6－26)3＝827，选D.3. 如图，是一个算法程序框图，在集合A ＝{x |－10≤x ≤10，x ∈R}中随机抽取一个数值做为x 输入，则输出的y 值落在区间(－5,3)内的概率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.8 答案：D解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3(x <0)，x －5(x >0)，0(x ＝0)，当－5<x ＋3<3⇒－8<x <0，－5<x －5<3⇒0<x <8，所以有解的概率为P ＝8＋810－(－10)＝0.8.4. 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A. 12 B. 16 C. 14 D. 13答案：D解析：依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于⎠⎜⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x3)⎪⎪⎪1＝13.因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.5. [2019·郑州模拟]分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()A. 4－π2 B.π－22C. 4－π4 D.π－24答案：B解析：设AB＝2，则S阴影＝2π－4.∴2π－44＝π－22，故选B项．6. [2019·四川资阳高三模拟]已知实数x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( ) A. 316 B. 38 C. 34 D. 12答案：B解析：如图所示，(x ，y )在矩形ABCD 内取值，不等式组所表示的区域为△AEF ，由几何概型的概率公式，得所求概率为38，故选B .二、填空题7.[2019·大理模拟]如图，曲线OB 的方程为y 2＝x (0≤y ≤1)，为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方式产生x ∈(0,1)，y ∈(0,1)的200个点(x ，y )，经统计，落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是________．答案：0.67解析：由落入阴影部分的点的个数与落入正方形区域的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为134200，又正方形的面积为1，所以阴影部分的面积为0.67.8. [2019·邵阳模拟]在[－6,9]内任取一个实数m ，设f(x )＝－x 2＋mx ＋m －54，则函数f(x )的图象与x 轴有公共点的概率等于________．答案：35解析：若函数f (x )＝－x 2＋mx ＋m －54的图象与x 轴有公共点，则Δ＝m 2＋4(m －54)≥0，又m ∈[－6,9]，得m ∈[－6，－5]或m ∈[1,9]，故所求的概率为P ＝[(－5)－(－6)]＋(9－1)9－(－6)＝35.9. [2019·商丘模拟]已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任意一点x 0，使f(x 0)≥0的概率为________．答案：23解析：由f (x 0)≥0，得log 2x 0≥0. ∴x 0≥1，即使f (x 0)≥0的区域为[1,2]， 故所求概率为P ＝2－12－12＝23.三、解答题10. [2019·伊春模拟]已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，求x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．分析：由题意画出图象可求面积之比． 解：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部(含边界)，满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.11. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4<b<4，(a－2)2＋b2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝436＝19. (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，其面积为S (Ω)＝16.设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π， 故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4. 12. [2019·锦州模拟]已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A . ∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型，该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)， ∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.。

【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学（理）配套练习：第8章第2讲()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：C解析：当λ＝3时，两直线平行．若直线λx ＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行，则λ(λ－1)＝6，且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得λ＝3.因此选C.3. [2019·台州质检]已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A. 12 B. －12C. 2D. －2 答案：A解析：∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称， ∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3. 即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12.4. [2019·厦门模拟]已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A. 1B. 2C. 12 D. 4答案：B解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5. [2019·金华模拟]已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为()A. 0或－12 B.12或－6C. －12或12 D. 0或12答案：B解析：依题意得|3m＋2＋3|m2＋1＝|－m＋4＋3|m2＋1，∴|3m＋5|＝|m－7|.∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m.∴m＝－6或m＝12.故应选B.6. [2019·成都模拟]在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A. 210B. 6C. 33D. 2 5答案：A解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|NP|＝|DM|＋|MN|＋|NC|.由对称性，D、M、N、C共线，∴|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|＝40＝210.二、填空题7. 已知直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a－1)x ＋ay＋a＝0互相垂直，则实数a的值是________．答案：0或1解析：因为直线l1：ax－y＋2a＝0，l2：(2a －1)x＋ay＋a＝0互相垂直，故有a(2a－1)＋a(－1)＝0，可知a的值为0或1.8. [2019·金版原创]若直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________．答案：0或16解析：因为直线l 1：x ＋2my －1＝0与l 2：(3m －1)x －my －1＝0平行，则斜率相等，或者斜率不存在，m ＝0，或者－12m ＝3m －1m ，∴m ＝16.9. [2019·舟山模拟]若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．答案：±1解析：由题意得36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.由两平行线间的距离，得21313＝|c 2＋1|13，解得c ＝2或－6，∴c ＋2a ＝±1. 三、解答题10. 已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)．(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值． 解：(1)因为l 1∥l 2， 所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2 ＝－(a 2＋12)2＋14.因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0.显然a≠0，所以ab＝a＋1a，|ab|＝|a＋1a|≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.11. [2019·莱芜模拟]已知线段PQ两端点的坐标分别为(－1,1)、(2,2)，若直线l：x＋my＋m ＝0与线段PQ有交点，求m的范围．解：法一：直线x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)，k AP ＝－1－10＋1＝－2，k AQ ＝－1－20－2＝32， 则－1m ≥32或－1m ≤－2. ∴－23≤m ≤12且m ≠0. 又m ＝0时，直线x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，∴所求m 的范围是[－23，12]． 法二：过P 、Q 两点的直线方程为y －1＝2－12＋1(x ＋1)， 即y ＝13x ＋43，代入x ＋my ＋m ＝0，整理 得x ＝－7m m ＋3，由已知－1≤－7m m ＋3≤2， 解得－23≤m ≤12. 即m 的范围是[－23，12]． 12. [2019·武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，(1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0. ∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.。

第3讲导数的应用(二)最值及导数的综合应用基础巩固1.当x≠0时,有不等式()A.ex<1+xB.当x>0时,ex<1+x,当x<0时,ex>1+xC.ex>1+xD.当x<0时,ex<1+x,当x>0时,ex>1+x【答案】C【解析】设y=ex-1-x,则y'=ex-1,于是当x>0时,函数y=ex-1-x是递增的;当x<0时,函数y=ex-1-x是递减的.故当x=0时,y有最小值y=0.因此应选C.2.右图中三条曲线给出了三个函数的图象,一条表示汽车位移函数s(t),一条表示汽车速度函数v(t),一条是汽车加速度函数a(t),则()A.曲线a是s(t)的图象,b是v(t)的图象,c是a(t)的图象B.曲线b是s(t)的图象,a是v(t)的图象,c是a(t)的图象C.曲线a是s(t)的图象,c是v(t)的图象,b是a(t)的图象D.曲线c是s(t)的图象,b是v(t)的图象,a是a(t)的图象【答案】D【解析】由于v(t)=s'(t),a(t)=v'(t),注意到所给的三条曲线中,只有曲线a上有部分点的纵坐标小于零,因此只有曲线a才能作为加速度函数a(t)的图象,曲线b有升有降,因此其导函数图象有正有负,这与所给曲线a的形状吻合,因此b为速度函数v(t)的图象.3.(2013届·江苏无锡月考)已知a≤+ln x,x∈恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】设f(x)=+ln x,则f'(x)=+=,当x∈时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间上单调递减,当x∈(1,2]时,f'(x)>0,故函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,因此f(x)mi n=f(1)=0.故a≤0,即a的最大值为0.4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,则使行驶每千米的费用总和最小时,此轮船航行速度为()A.20 km/hB.25 km/hC.19 km/hD.18 km/h【答案】A【解析】设轮船速度为x(x>0)时,燃料费用为Q元,则Q=kx3,由6=k×103可得k=,于是Q=x3,总费用y=·=x2+,y'=x-,令y'=0得x=20,当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减,当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增,因此当x=20时,y取得最小值.故此轮船以20km/h 的速度行驶每千米的费用总和最小.5.已知f(x)=x2-cos x,x∈[-1,1],则导函数f'(x)是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值,又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值,又有最小值的奇函数【答案】D【解析】f'(x)=x+sin x,显然f'(x)是奇函数,令h(x)=f'(x),则h(x)=x+sin x,求导得h'(x)=1+cos x.当x∈[-1,1]时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.故f'(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.6.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为()A. B. C. D.【答案】C【解析】如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.设造价为y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb·=2πaR2+,则y'=4πaR-.令y'=0,得=.结合题意知,应选C.7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13B.-15C.10D.15【答案】A【解析】求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,从而可得a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数f(x)在区间(-1,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,因此当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.8.函数f(x)=x2-ln x的最小值为.【答案】【解析】由得x>1.由得0<x<1.故函数f(x)在x=1时,取得最小值f(1)=-ln1=.9.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24200-x2,且生产x t的成本为R=50000+200x(元),则该厂每月生产t产品才能使利润达到最大.(利润=收入-成本)【答案】200【解析】每月生产x t时的利润为f(x)=x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0).由f'(x)=-x2+24000=0得x1=200,x2=-200,舍去负值.故函数f(x)在[0,+∞)内有唯一的极大值点,也是最大值点.10.已知函数f(x)的自变量取值区间为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.若g(x)=x+m-ln x的保值区间是[2,+∞),则m的值为.【答案】ln2【解析】 g'(x)=1-=,当x≥2时,函数g(x)为增函数,因此函数g(x)的值域为[2+m-ln2,+∞),于是2+m-ln2=2,故m=ln2.11.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值.【解】(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b,当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①当x=时,y=f(x)有极值,则f'=0,可得4a+3b+4=0.②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,则f(1)=4,因此1+a+b+c=4,即c=5.故a=2,b=-4,c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,于是f'(x)=3x2+4x-4,令f'(x)=0,得x1=-2,x2=.当x变化时,y,y'的取值及变化如下表:x -3(-3,-2)-21y'+ 0 - 0 +y 8 ↗13↘↗ 4故y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13,最小值为.12.某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?【解】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*,且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19).(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)·(x+9),∵x>0,∴P'(x)=0时,x=12,于是当0<x<12时,P'(x)>0,当x>12时,P'(x)<0.故x=12时,P(x)有最大值,即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.13.已知函数f(x)=x2+ln x.(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=x3+x2的下方.【解】(1)∵f(x)=x2+ln x,∴f'(x)=2x+.∵x>1时,f'(x)>0,故f(x)在区间[1,e]上是增函数,∴f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e2.(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x,则F'(x)=x-2x2+===,∵x>1,∴F'(x)<0.从而可知F(x)在(1,+∞)上是减函数,于是F(x)<F(1)=-=-<0.即f(x)<g(x).故当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)=x3+x2的图象的下方.拓展延伸14.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,a>1.(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1恒成立,求a的取值范围.【解】(1)证明:f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a,由于a>1,故当x∈(0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0,从而可知f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)由(1)可知,当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减.因此,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增.于是f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)},f(-1)=+1+ln a,f(1)=a+1-ln a,f(1)-f(-1)=a--2ln a,记g(x)=x--2ln x,因为g'(x)=1+-=≥0,所以g(x)=x--2ln x递增.于是可知f(1)-f(-1)=a--2ln a>0, 即f(1)>f(-1).因此f(x)max=f(1)=a+1-ln a.故对∀x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-ln a,结合题意可知a-ln a≤e-1,从而可得1<a≤e.。

【金榜教程】2014高三总复习人教A版数学（理）配套练习：选修4-1 第2讲C. 3D. 2 2答案：B解析：∵CF∶DF＝1∶4，∴DF＝4CF.∵AB＝10，AF＝2，∴BF＝8.∵CF·DF＝AF·BF，∴CF·4CF＝2×8，∴CF ＝2.3. [2019·广州调研]如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝()A. 35°B. 90°C. 125°D. 150°答案：C解析：连接BD，则∠MAB＝∠ADB＝35°，由BC是直径，知∠BDC＝90°，所以∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.4. [2019·海淀区期末]如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为()A.55 B.255C. 355 D.32答案：C解析：延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又∠AOB＝90°，所以AD＝5，由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即3×1＝5×DE，解得DE＝355.5. [2019·北京模拟]如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③答案：A解析：AB＋BC＋CA＝AB＋(BF＋CF)＋CA ＝AB＋(BD＋CE)＋CA＝AD＋AE，故①正确；∵AE2＝AF·AG，AD2＝AF·AG，∴AE2·AD2＝(AF·AG)2.∴AE·AD＝AF·AG，故②正确；连接FD，∠AFB＋∠BFG＝∠FDG＋∠BFG ＝180°，∴∠AFB＝∠FDG≠∠ADG.∴△AFB与△ADG不相似，故③不正确．6. [2019·南通模拟]如图，已知EB是半圆O 的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O 于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝()A. 1B. 3C. 4D. 6答案：B解析：设圆的半径为r，AD＝x，连接OD，得OD⊥AC.故AD AC ＝ODBC，即x8＝r6，故x＝43r.又由切割线定理AD2＝AE·AB，即169r2＝(10－2r)×10，故r＝154.由三角形相似，知ADAB ＝DFBC，则DF＝3.二、填空题7. [2019·银川模拟]如图，直线PC 与⊙O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CE ＝________. 答案：125 解析：由切割线定理知PA ·PB ＝PC 2，所以PA ＝2，则圆的直径为6，半径为3，所以PO ＝5，连结OC 在△OCP 中，由三角形的面积相等知CE ·OP ＝OC ·PC ，所以CE ＝OC ·PC OP ＝3×45＝125. 8. 如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．答案：72解析：因为AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1，所以可设AF ＝4x ，FB ＝2x ，BE ＝x .由割线定理，得AF ·FB ＝DF ·FC ，即4x ×2x ＝2×2，解得x ＝12.所以AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12.由切线长定理，得EC 2＝BE ·EA ，即EC 2＝12×(12＋3)，解得EC ＝72. 9. [2019·梅州质检]如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC ＝2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则AD BD 的值为________．答案： 2解析：连接OD ，则OD ⊥CD .设圆O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝OD ＝r ，BC ＝2r .所以OC ＝3r ，CD ＝OC 2－OD 2＝22r .由弦切角定理，得∠CDB ＝∠CAD ，又∠DCB ＝∠ACD ，所以△CDB∽△CAD.所以ADBD ＝ACCD＝4r22r＝ 2.三、解答题10. [2019·惠州模拟]如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD和CGE都是⊙O 的割线，AC＝AB.(1)证明：AC2＝AD·AE；(2)证明：FG∥AC.证明：(1)∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2＝AD·AE.又∵AC＝AB，∴AC2＝AD·AE.(2)∵AC2＝AD·AE，∴ACAD＝AEAC，又∵∠DAC＝∠CAE，∴△CAD∽△EAC，∴∠ACD＝∠AEC.又∵四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG＝∠AEC，∴∠ACD＝∠CFG.∴FG∥AC.11. [2019·济宁模拟]如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q，交圆B于点M，N.(1)求证：QM＝QN；(2)设圆O的半径为2，圆B的半径为1，当AM＝103时，求MN的长．解：(1)连接BM，BN，BQ，BP，∵B为小圆的圆心，∴BM＝BN.又∵AB为大圆的直径，∴BQ⊥MN.∴QM＝QN.(2)∵AB为大圆的直径，∴∠APB＝90°.∴AP为圆B的切线．∴AP2＝AM·AN.由已知AB＝4，PB＝1，AP2＝AB2－PB2＝15，又AM ＝103，∴15＝103×(103＋MN )． ∴MN ＝76. 12. [2019·沈阳检测]如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)求证：AM ·MB ＝DF ·DA .解：(1)连接OC ，则有∠OAC ＝∠OCA ， 又∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC ＝∠FAC .∴∠FAC ＝∠ACO .∴OC ∥AD .∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线．(2)连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2＝AM·MB.又∵DC是⊙O的切线，∴DC2＝DF·DA. 易知△AMC≌△ADC，∴DC＝CM.∴AM·MB＝DF·DA.。

课时作业(二十)一、选择题1．(2011年新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得A (4,2)．则S ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x答案：C2．(2012年福建莆田高三质检)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B3．(2012年山西大同市高三学情调研)由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( )A ．2 3B ．9－2 3 C.353D.323答案：D4．设集合P ＝{x |⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8解析：依题意得⎠⎛0x (3t 2－10t ＋6)d t ＝(t 3－5t 2＋6t )⎪⎪⎪x0＝x 3－5x 2＋6x ＝0，由此解得x ＝0或x ＝2或x ＝3.又x >0，因此集合P ＝{2,3}，集合P 的非空子集的个数是22－1＝3，选B.答案：B5．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：A6．(2012年东北三校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x <0，2cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．4D.12答案：C 二、填空题7．(2012年河南郑州高三模拟)曲线y ＝cos x (0≤x ≤3π2)与坐标轴所围成的图形面积是________．答案：38．(2012年吉林实验中学高三模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx |1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴x 20＝13，x 0＝±33.又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：339．(2012年山东临沂一模)函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于______．解析：函数的导数为f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，所以f ′(1)＝3－2＋1＝2，即切线方程为y －2＝2(x －1)，整理得y ＝2x .由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解得交点坐标为(0,0)，(2,2)，所以切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积为⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝(x 2－13x 3)|20＝4－83＝43.答案：43三、解答题10．求下列定积分： (1)⎠⎛0a (3x 2－x ＋1)d x ； (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x .解：(1)⎠⎛0a(3x 2－x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－12x 2＋x ⎪⎪⎪a＝a 3－12a 2＋a .(2)∵(ln x )′＝1x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 2x ′＝e 2x ，∴⎠⎛12(e 2x ＋1x )d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121x d x ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln2－ln1 ＝12e 4－12e 2＋ln2.11．已知 f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2.(1)求 f (x )的解析式；(2)求 f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎨⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a b ＝0. ∴ f (x )＝ax 2＋(2－a )． 又⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，∴c ＝－4.从而 f (x )＝6x 2－4. (2)∵ f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时， f (x )min ＝－4；当x ＝±1时， f (x )max ＝2.12．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为 ⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43 m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 10＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13t 3－2t 2＋3t |31＋(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪43＝43＋43＋43＝4(m)即质点在4 s 内运动的路程为4 m. [热点预测]13．(1)(2012年河北正定中学高三第2次月考)如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A.15 B.14 C.13D.12(2)(2012年北京石景山一模)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是________．解析：(1)S阴影＝2⎠⎛2x2dx＝2×13x3⎪⎪⎪2＝2×83＝163，P＝16316＝13.(2)阴影部分的面积为2⎠⎛πsin x d x＝2(－cos x)|π0＝4，圆的面积为π3，所以点A落在区域M内的概率是4π3.答案：(1)C(2)4π3。