2019年高考数学一轮总复习专题34数列的综合应用检测文

专题7.5数列的综合应用练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（）A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A ．112000a =B ．1 1.21000n n a a +=-C ．2020年小王的年利润为40000元D ．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ，……构成等比数列{}n a ，且11k =，22k =，35k =，则n k =___________.5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值；（2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .6.（2021·江苏高考真题）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且375,49a S ＝＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n b a +＝数列{}n b 的前n 项和为,n T 且1000,n T ≥求n 的取值范围.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列{}{},n n a b 中，11111,331,331n n n n n n a b a a b n b b a n ++===---=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b .（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}+nnna b c 的前n 项和nS.9．（2021·重庆高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21*n n a S n N -=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()()11211n n n n a b a a +++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：213n T ≤<．10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列{}n a 中，()111,01nn n a a a c ca +==>+，且125,,a a a 成等比数列．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2141n n n b n a a +=+，其前n 项和为n S ，证明：1n S n <+．练提升1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若241n n b a =-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列{}2n a -是公比为12的等比数列，②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，③21n n S a =-，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*n ∈N ，都有___________.已知数列{}n b 满足32nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，21n n S a =-，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①22n n S a =-；②32442a a a =+-；③321,2,S S S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a n }是各项均为正数的等比数列，前n 项和为S n ，a 1＝2，且___.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n n b =*n N ∈），求数列{b n }的前n 项和T n .6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足1122,1,1,n n n a n n a a a n n ++⎧==⎨---⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,n n b a n N *=∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ；（2）求{}n nb 的前n 项和n T 及{}n a 的前n 项和为n S ．7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a n }中，公比0q >，其前n 项和为S n ，且S 2=6，___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设log 2n n a b =，且数列{c n }满足c 1=1，c n +1﹣c n =b n +1b n ，求数列{c n }的通项公式.从①.S 4=30，②.S 6﹣S 4=96，③.a 3是S 3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8．（2021·全国高三其他模拟）从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212nn b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{n b }满足13b =，27b =且n b =n n a c +，n ∈*N （n a 是等比数列，n c 是等差数列），记数列{n a }的前n 项和为n S ，{n c }的前n 项和为n T ，若公比数q 等于公差数d ，且2234a c =．（1）求数列{nb }的通项公式；（2）记n R 为数列{n b }的前n 项和，求22nR n -（n ≥2，且n ∈*N ）的最小值．10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，()14,2(1)n n a n a n S n N *=⋅=+⋅∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足68n b n =-，其前n 项和为n T ，若(1)nn n S T λ≥-⋅⋅对任意n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.练真题1.（2020·北京高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a 4=a 2+a 6B．2b 4=b 2+b 6C．2428a a a =D．2428b b b =3.（2019年浙江卷）设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈,则（）A.当101,102b a => B.当101,104b a =>C.当102,10b a =-> D.当104,10b a =->4．（2020·江苏省高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．5.（2019年浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N 6.（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈。

第2节等差数列【选题明细表】知识点、方法题号等差数列的判定与证明13,14等差数列的基本运算1,4,10等差数列的性质2,3,7,9等差数列的单调性及最值5,8,12等差数列的综合应用6,11,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016某某一中月考)设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于( D )(A)-(B)-(C)(D)解析:由得解得a1=.故选D.2.(2015某某某某二模)已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4,则a2+a12的值为( B )(A)(B)(C)2 (D)4解析:因为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=.所以a2+a12=2a7=2×=.3.(2015某某第二次检测)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1∶a2=1∶2,则S1∶S3等于( D )(A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6解析:因为S3==3a2,又因为a1∶a2=1∶2,所以S1∶S3=a1∶3a2=1∶6.4.(2015某某第二次检测)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( D )(A)(B)(C)4 (D)5解析:因为=,所以=,解得a1=-.所以====5.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-9,a3+a7=-6,则当S n取得最小值时,n等于( D )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:因为a3+a7=2a5=-6,所以a5=-3,所以d=2,所以a6=-1,a7=1,所以S6最小.故选D.6.(2014高考某某卷)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则( D )(A)d>0 (B)d<0(C)a1d>0 (D)a1d<0解析:由{}为递减数列,知{a1a n}为递减数列,a1a n=a1[a1+(n-1)d]=a1dn+a1(a1-d),所以a1d<0.故选D.7.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列{a n}中,满足a4+a6+a2 010+a2 012=8,则S2 015等于.解析:因为a4+a6+a2 010+a2 012=8,所以2(a6+a2 010)=8,所以a6+a2 010=4,所以S2 015===4 030.答案:4 0308.(2014高考卷)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{a n}的前n项和最大. 解析:根据题意知a7+a8+a9=3a8>0,即a8>0.又a8+a9=a7+a10<0,所以a9<0,所以当n=8时,{a n}的前n项和最大.答案:89.由正数组成的等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=.解析:由S5==5a3,T5==5b3,得===.答案:10.在等差数列{a n}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前k项和S k=-35,求k的值.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而a n=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n=3-2n,所以S n==2n-n2.由S k=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.11.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1<0,S2 015=0.(1)求S n的最小值及此时n的值;(2)求n的取值集合,使其满足a n≥S n.解:(1)设公差为d,则由S2 015=0⇒2 015a1+d=0⇒a1+1 007d=0,d=-a1,a1+a n=a1,所以S n=(a1+a n)=·a1=(2 015n-n2).因为a1<0,n∈N*,所以当n=1 007或1 008时,S n取最小值504a1.(2)a n=a1,S n≤a n⇔(2 015n-n2)≤a1.因为a1<0,所以n2-2 017n+2 016≤0,即(n-1)(n-2 016)≤0,解得1≤n≤2 016.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2 016,n∈N*}.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015某某二诊)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足S17>0,S18<0,则,,…,中最大的项为( C )(A)(B)(C)(D)解析:因为S17==17a9>0,所以a9>0,又S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)<0,所以a10<0,所以等差数列{a n}为递减数列,a1,a2,…,a9为正,a10,a11,…为负;S1,S2,…,S17为正,S18,S19,…为负,则>0,>0,…,>0,<0,…,<0,而S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9,所以,,…,中最大的项为.13.正项数列{a n}满足:a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=.解析:因为2=+(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d=-=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=,n≥1.所以a7==. 答案:14.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为S n,且S k=110.(1)求a及k的值;(2)设数列{b n}的通项公式b n=,证明数列{b n}是等差数列,并求其前n项和T n.解:(1)设该等差数列为{a n},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以S k=ka1+·d=2k+×2=k2+k.由S k=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得S n==n(n+1),则b n==n+1,故b n+1-b n=(n+2)-(n+1)=1,即数列{b n}是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n==.15.(2015某某模拟)已知数列{a n}满足a1=1,a n=(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n=(n∈N*).(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为b n=,且a n=,所以b n+1===.所以b n+1-b n=-=2.又b1==1,所以数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+(n-1)×2=2n-1,又b n=,所以a n==.所以数列{a n}的通项公式为a n=.精彩5分钟1.(2015某某校级二模)已知函数f(x)=x2-2x+4,数列{a n}是公差为d的等差数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),则{a n}的通项公式为( B )(A)2n-2 (B)2n+1 (C)2n+3 (D)n+2解题关键:解决本题的关键是构建方程求出d.解:因为f(x)=x2-2x+4,所以a1=f(d-1)=(d-1)2-2(d-1)+4=d2-4d+7,a3=f(d+1)=(d+1)2-2(d+1)+4=d2+3,所以a3-a1=4d-4,即2d=4d-4,解得d=2,所以a1=3,所以a n=3+2(n-1)=2n+1.2.等差数列{a n}满足a3=3,a6=-3,则数列{a n}的前n项和S n的最大值为.解题关键:解出a1和d,采用S n=An2+Bn利用函数求最值,也可利用通项公式求最值. 解析:法一由a3=3,a6=-3得,解得所以S n=na1+d=-n2+8n=-(n-4)2+16.所以当n=4时S n取最大值16.法二由a3=3,a6=-3得解得所以a n=9-2n.则n≤4时,a n>0,当n≥5时,a n<0,故前4项和最大且S4=4×7+×(-2)=16. 答案:16。

专题层级快练(三十九)(第一次作业)1．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C. D ．－1212答案　D解析　S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)．∴4a 12－4a 1＋1＝4a 12－6a 1⇒a 1＝－.122．(2017·山西四校联考)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，a 3，2a 2成等差数列，12则＝( )a 9＋a 10a7＋a 8A ．1＋ B ．1－22C ．3＋2 D ．3－222答案　C解析　因为a 1，a 3，2a 2成等差数列，所以a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以1212q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋或q ＝1－(舍)，所以＝＝q 2＝(1＋)22a9＋a10a7＋a8a1q8（1＋q ）a1q6（1＋q ）22＝3＋2.23．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P(3，a 2)，Q(4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14C ．－4D ．－14答案　C解析　S 5＝5a 1＋d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝＝2d ＝－4.5×42a4－a24－34．(2016·四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )A ．2018年 B ．2019年C ．2020年 D ．2021年答案　B解析　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>，又lg2－lg1.3lg1.12≈＝3.8，则n>4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金lg2－lg1.3lg1.120.30－0.110.05开始超过200万元，故选B.5．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2 B ．4C ．8 D ．16答案　D解析　因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 72＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 72＝a 72＝16.6．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )A ．3n ＋4 B ．6n ＋2C ．6n ＋4 D ．2n ＋2答案　C解析　设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则d 1＝＝＝2，d 2＝＝＝3.a6－a26－284b6－b26－2124∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，数列{b n }为1，4，7，10，13，16，19，22，….∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列．∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.7．(2017·重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎儿五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A ．200 B ．300C. D ．4005003答案　B解析　由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.8．(2017·河南洛阳期末)已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则＝( )a 1＋a 5＋a 9a2＋a 3A ．2 B ．3C ．5 D ．6答案　B解析　∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 42＝a 2a 8，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋7d)，∴a 1＝d ，∴＝＝3.故选B.a1＋a5＋a9a2＋a33a1＋12d2a1＋3d 9．(2017·衡水中学调研卷)在1到104之间所有形如2n 与形如3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg2≈0.301 0)( )A ．1 631 B ．6 542C ．15 340 D ．17 424答案　B解析　由2n <104，得n<≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和4lg2S 1＝＝16382；同理，数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和2×（1－213）1－2S 2＝＝9 840，∴|S 1－S 2|＝6 542.3×（1－38）1－310．(2018·温州十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论正确的是( )A ．a 2>b 2 B ．a 3<b 3C ．a 5>b 5D ．a 6>b 6答案　A解析　设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题意得解得{4＋3d ＝1，4q3＝1，)则a 2－b 2＝3－>3－＝0；故选A.{d ＝－1，q ＝314，)31632711．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________．答案　或112解析　设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 32＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，整理得(a 1＋4d)d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d.当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4分别为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为.1212．(2017·广东潮州期末)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.答案　4解析　设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a 1＝，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ，则12a n ＋1＝a n ·，∴a n ＝a 1q n －1＝()n ，∴()n <，解得n ≥4.12121211013．(2015·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．12131n (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .答案　(1)a n ＝2n ，b n ＝n (2)T n ＝(n －1)2n ＋1＋2解析　(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.n ≥2时，b 1＋b 2＋…＋b n －1＝b n －1和原递推式作差得b n ＝b n ＋1－b n ，整理得121n －11n ＝，所以b n ＝n(n ∈N *)．bn ＋1n ＋1bnn(2)由①知a n b n ＝n·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．14．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q>0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 12＋e 22＋…＋e n 2.y 2an2答案　(1)a n ＝2n －1(n ∈N *)　(2)n ＋(3n －1)12解析　(1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－＝1的离心率e n ＝＝.y2an21＋an21＋q2（n －1）由e 2＝＝2解得q ＝.1＋q23所以e 12＋e 22＋…＋e n 2＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋[1＋q 2(n －1)]＝n ＋[1＋q 2＋…＋q 2(n －1)]＝n ＋＝n ＋(3n －1)．q2n －1q2－11215．(2018·衡水中学调研卷)若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)．答案　(1)　(2)不需要{0.5n ＋45，1≤n ≤1050×0.99n －10，11≤n ≤20)解析　(1)由题意知，当n ≤10时，数列{a n }是以45.5为首项，0.5为公差的等差数列，所以a n ＝45.5＋(n －1)×0.5＝0.5n ＋45.当11≤n ≤20时，数列{a n }是公比为0.99的等比数列，而a 11＝50×0.99，所以a n ＝50×0.99n －10.所以新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝{0.5n ＋45，1≤n ≤10，50×0.99n －10，11≤n ≤20.)(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5(万)，所以新政策实施到2035年人口均值为≈48.63<49.S2020所以到2035年后不需要调整政策．16．(2018·云、贵、川三省联考)设数列{a n }是公差大于0的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝9，且2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足＝2n －1(n ∈N *)，设T n 是数列{b n }的前n 项和，证明：T n <6.a nbn 答案　(1)2n －1　(2)略解析　(1)设数列{a n }的公差为d ，则d>0.因为S 3＝9，所以a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝9，即a 2＝3.因为2a 1，a 3－1，a 4＋1构成等比数列，所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，所以d ＝2.所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)证明：因为＝2n －1(n ∈N *)，anbn 所以b n ＝＝(2n －1)()n －1，2n －12n －112所以T n ＝1×()0＋3×()1＋…＋(2n －1)×()n －1，①121212所以T n ＝1×()1＋3×()2＋…＋(2n －3)×()n －1＋(2n －1)×()n ，②1212121212由①②两式相减得T n ＝1＋2×()1＋2×()2＋…＋2×()n －1－(2n －1)×()n ＝1＋－＝3－12121212121－（12）n －11－122n －12n－，整理化简得12n －22n －12n T n ＝6－.2n ＋32n －1又因为n ∈N *，所以T n ＝6－<6.2n ＋32n －1(第二次作业)1．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 的值为( ) A. B.1412C ．2 D ．4答案　A解析　设等比数列的公比为q ，由根与系数的关系，得1＋q ＋q 2＋q 3＝15，即(q －2)(q 2＋3q ＋7)＝0，因此q ＝2，此时m ＝q 2，n ＝q 4，故m ∶n ＝1∶4，故选A.2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( )A. B.S 32S 34C. D.S 36S 38答案　C解析　[(1＋)S －x](1＋)－x ＝(1＋)S ，x ＝.141412S363．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )12121abcA.1 B ．2C ．3 D ．4答案　A解析　由题意知，a ＝，b ＝，c ＝.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.125163164．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来，……，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47 B ．212－57C ．213－68 D ．214－80答案　B解析　由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n 个30分钟内进入公园的人数为a n ，第n 个30分钟内出来的人数为b n ，则a n ＝4×2n －1，b n ＝n ，故上午11时30分公园内的人数为S ＝2＋－4（1－210）1－2＝212－57.10×（1＋10）25．(2017·河北唐山一中调研)定义：F(x ，y)＝y x (x>0，y>0)，已知数列{a n }满足：a n ＝(n ∈N *)，若对任意正整数n ，都有a n ≥a k (k ∈N *)成立，则a k 的值为( )F （n ，2）F （2，n ）A. B ．212C. D.8998答案　C解析　由题意得a n ＝＝且a k ＝(a n )min ，由指数函数y ＝2x 与二次函数y ＝x 2图像的F （n ，2）F （2，n ）2nn2对比可得当x>0时，先减后增，故有最小值．因此a 1＝2，a 2＝1，a 3＝，a 4＝1，所以2xx22xx289a 2>a 3且a 3<a 4，所以(a n )min ＝a 3＝，则a k ＝，故选C.89896．(2017·保定模拟)如图所示，矩形A n B n C n D n 的一个边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f(x)＝x ＋(x>0)的图像上．若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形1x A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10等于( )A ．208B ．216C ．212D ．220答案　B解析　由B n (n ，0)，得C n (n ，n ＋)，令x ＋＝n ＋，即x 2－(n ＋)x ＋1＝0，得x ＝n 或1n 1x 1n 1n x ＝，所以D n (，n ＋)，所以矩形A n B n C n D n 的周长a n ＝2(n －)＋2(n ＋)＝4n.所以1n 1n 1n 1n 1n a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.故选B.7．(2018·江西九江一中月考)在等比数列{a n }中，a 7是a 8，a 9的等差中项，公比q 满足如下条件：△OAB(O 为原点)中，＝(1，1)，＝(2，q)，∠A 为锐角，则公比OA → OB→ q ＝________．答案　－2解析　由a 7是a 8，a 9的等差中项，知2a 7＝a 8＋a 9＝a 7q ＋a 7q 2，得q ＝1或q ＝－2.又因为∠A 为锐角，所以·＝·(－)＝(－1，－1)·(1，q －1)＝－q>0，可知q<0，AO → AB → AO → OB→ OA → 故q ＝－2.8．(2017·河北教学质量监测)已知函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1(k ∈N *)，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________．答案　21解析　由题意，得函数y ＝x 2(x>0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线方程是y －a k 2＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝a k ，即a k ＋1＝a k ，因此数列{a k }是以16为首项，为121212公比的等比数列，所以a k ＝16·()k －1＝25－k ，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.129．(2017·合肥质检)一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__________分钟，该病毒占据64MB 内存(1MB ＝210KB)．答案　45解析　依题意可知a 0＝2，a 1＝22，a 2＝23，…，a n ＝2n ＋1.64MB ＝64×210＝216KB ，令2n ＋1＝216得n ＝15.∴开机后45分钟该病毒占据64MB 内存．10．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________．答案　2n －1，10解析　由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝＝2n －1.1－2n 1－2当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1，4，第3次生成的数为1，2；－4，7，第4次生成的数为－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T 4＝10.11．(2018·湖北武汉武昌实验中学模拟)已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝a ，{b n }是比公为的等23比数列，记b n ＝(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范a n －2a n －1围是________．答案　(2，＋∞)解析　因为b n ＝(n ∈N *)，所以a n ＝，所以an －2an －1bn －2bn －1a n ＋1－a n ＝－＝－＝＝<bn ＋1－2bn ＋1－1bn －2bn －11bn －11bn ＋1－1bn ＋1－bn（1－bn ＋1）（1－bn ）－13bn （1－23bn ）（1－bn ）0，即>0，解得b n >或0<b n <1.若b n >，则b 1()n －1>对一切正整数n 成立，bn（23bn －1）（bn －1）32322332显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1()n －1<1对一切正整数n 成立，只要0<b 1<1即可，即0<23<1，解得a 1＝a>2.a1－2a1－112．(2018·上海虹口区模拟)某市2017年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减排和控制总量，从2017年开始，每年电动型汽车牌照的发放量按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动型汽车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．(1)记2017年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n }，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{b n }，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；a 1＝10a 2＝9.5a 3＝____a 4＝____…b 1＝2b 2＝3b 3＝____b 4＝____…(2)从2017年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．答案　(1)a 3＝9，a 4＝8.5，b 3＝4.5，b 4＝6.75a n ＝b n ＝{－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *){2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *)(2)229.25万张解析　(1)a 1＝10a 2＝9.5a 3＝9a 4＝8.5…b 1＝2b 2＝3b 3＝4.5b 4＝6.75…当1≤n ≤20且n ∈N *，a n ＝10＋(n －1)×(－0.5)＝－＋；当n ≥21且n ∈N *，a n ＝0，n 2212∴a n ＝{－n 2＋212，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *.)∵a 4＋b 4＝15.25>15，∴b n ＝{2×（32）n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *.)(2)a 1＋a 2＋…＋a 20＝10×20＋×(－)＝105，20×19212b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋…＋b 20＝＋6.75×16＝124.25.2×[1－（32）4]1－32∴从2017年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．13．(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)设函数f(x)＝＋sinx 的所有正的极小值点从小x2到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)令b n ＝，设数列{}的前n 项和为S n ，求证S n <.x n2π1b n·bn ＋132答案　(1)x n ＝2n π－(n ∈N *)　(2)略2π3解析　(1)f(x)＝＋sinx ，令f ′(x)＝＋cosx ＝0，得x ＝2k π±(k ∈Z )．x2122π3由f ′(x)>0⇒2k π－<x<2k π＋(k ∈Z )，2π32π3由f ′(x)<0⇒2k π＋<x<2k π＋(k ∈Z )，2π34π3当x ＝2k π－(k ∈Z )时，f(x)取得极小值，2π3所以x n ＝2n π－(n ∈N *)．2π3(2)因为b n ＝＝n －＝，xn 2π133n －13所以＝·＝3(－)，1bn·bn ＋133n －133n ＋213n －113n ＋2所以S n ＝3(－＋－＋…＋－)＝3(－)＝－，所以S n <.1215151813n －113n ＋21213n ＋23233n ＋23214．(2017·山东，理)是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .答案　(1)2n －1　(2)（2n －1）×2n ＋12解析　(1)设数列{x n }的公比为q ，则q>0.由题意得所以3q 2－5q －2＝0.因为q>0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }{x1＋x1q ＝3，x1q2－x1q ＝2，)的通项公比为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，（n ＋n ＋1）2所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，①又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝＋－(2n ＋1)322（1－2n －1）1－2×2n －1.所以T n ＝.（2n －1）×2n ＋1215．(2018·浙江镇海中学模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，其中a 1＝1，且a 2，a 4，a 6＋2成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＋b n ＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)如果c n ＝a n b n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，是否存在正整数n ，使得T n >S n 成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，说明理由．答案　(1)a n ＝1　b n ＝　(2)存在　213n 解析　(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依条件有a 42＝a 2(a 6＋2)，即(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋5d ＋2)，解得d ＝－(因数列各项均为正数，故舍去)或d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)12d ＝1＋(n －1)＝n.由2S n ＋b n ＝1，得S n ＝(1－b n )．12当n ＝1时，2S 1＋b 1＝1，解得b 1＝；13当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(1－b n )－(1－b n －1)＝－b n ＋b n －1，12121212所以b n ＝b n －1，所以数列{b n }是首项为，公比为的等比数列，故b n ＝.13131313n (2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝，n3n 所以T n ＝1×＋2×＋3×＋…＋n ×①1313213313n 在①式两边同乘，得T n ＝1×＋2×＋3×＋…＋n ×②131********3413n ＋1由①②两式相减得T n ＝＋＋＋…＋－n ×，整理化简得T n ＝－×－×231313213313n 13n ＋1343413n n2＝－×.又因为S n ＝＝－，13n 342n ＋3413n 13（1－13n ）1－131212×3n 所以T n －S n ＝－×.142n ＋1413n 当n ＝1时，T 1＝S 1，当n ≥2时，－×＝[3n －(2n ＋1)]>0，142n ＋1413n 14×3n 所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2.1．设某商品一次性付款的金额为a 元，若以分期付款的形式等额地分成n 次付清，且每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A.(1＋r)n 元 B.元an ar （1＋r ）n （1＋r ）n －1C.(1＋r)n －1元 D.元an ar （1＋r ）n －1（1＋r ）n －1答案　B解析　设每期期末所付款是x 元，则各次付款的本利和为x(1＋r)n －1＋x(1＋r)n －2＋x(1＋r)n －3＋…＋x(1＋r)＋x ＝a(1＋r)n ，即x·＝a(1＋r)n ，整理得x ＝.故选B.（1＋r ）n －1rar （1＋r ）n（1＋r ）n －12．在平面直角坐标系上，有一点列：P 1，P 2，…P n ，…(n ∈N *)，设点P n 的坐标为(n ，a n )，其中a n ＝(n ∈N *)，过点P n ，P n ＋1的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为b n ，设S n 表2n 示数列{b n }的前n 项和，则S 5＝________．答案　1256解析　由题意得，过点P n ，P n ＋1的直线为＝，即2x ＋n(n ＋1)y －2(2n ＋1)y －2nx －n 2n ＋1－2n（n ＋1）－n ＝0.令y ＝0，得x ＝2n ＋1，令x ＝0，得y ＝，所以b n ＝×(2n ＋1)2（2n ＋1）n （n ＋1）12×＝4＋＝4＋－，所以S 5＝4×5＋1－＋－＋…＋－＝.2（2n ＋1）n （n ＋1）1n （n ＋1）1n 1n ＋1121213151612563．设函数f(x)＝＋sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }，{x n }的前n 项和x2为S n ，则sinS n 不可能取的值是( )A ．0B.12C ．－ D.3232答案　B解析　由f(x)＝＋sinx ，得f ′(x)＝＋cosx ，令f ′(x)＝0，得x ＝2k π±(k ∈Z )，当x2122π3f ′(x)>0时，2k π－<x<2k π＋(k ∈Z )，当f ′(x)<0时，2π32π32k π－<x<2k π－(k ∈Z )．f(x)取极小值，即x n ＝2n π－，所以4π32π32π3S n ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2π(1＋2＋3＋…＋n)－＝n(n ＋1)π－，当n ＝3k(k ∈N *)时，2n π32n π3sinS n ＝sin(－2k π)＝0；当n ＝3k －1(k ∈N *)时，sinS n ＝sin ＝；当n ＝3k －2(k ∈N *)时，2π332sinS n ＝sin ＝－.4π3324．一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b 件．当对产品做电视广告后，记每日播n 次时的日销售量为a n (n ∈N *)件，调查发现：每日播1次则日销售量a 1件在b 件的基础上增加件，每日播2次则日销售量a 2件在每日播1次时日销售量a 1件b2的基础上增加件，…，每日播n 次，该产品的日销售量a n 件在每日播n －1次时的日销售b4量a n －1件的基础上增加件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b 元．b2n (1)试求出a n 与n 的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次？答案　(1)a n ＝b(2－)　(2)每日电视广告需播5次，日利润最大12n 解析　(1)由题意，电视广告每日播k 次时，该产品的日销售量a k 满足a k ＝a k －1＋(k ∈N *，a 0＝b)，b2k ∴a n ＝b ＋＋＋…＋＝＝b(2－)(n ∈N *)．b2b22b2n b[1－（12）n ＋1]1－1212n即该产品每日销售量a n (件)与电视广告播放量n(次/日)的关系式为a n ＝b(2－)(n ∈N *)．12n (2)该企业每日播放电视广告n 次时的获利为c n ＝100b(2－)－2bn ＝100b(2－0.02n －)(n ∈N *)．12n 12n ∵c n －c n －1＝100b(－0.02)≥0，12n 即2n ≤50，n ∈N *，∴n ≤5(n ∈N *)．∵c n ＋1－c n ＝100b(－0.02)≤0，12n ＋1∴2n ≥25，∴n ≥5.∴n ＝5.∴要使该产品每日获得的利润最大，则每日电视广告需播5次．5．已知函数f(x)＝log k x(k 为常数，k>0且k ≠1)，且数列{f(a n )}是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n ·f(a n )，当k ＝时，求数列{b n }的前n 项和S n ；2(3)若c n ＝a n lga n ，问是否存在实数k ，使得{c n }中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．答案　(1)略　(2)S n ＝n·2n ＋3　(3)(0，)∪(1，＋∞)63解析　(1)由题意知f(a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log k a n ＝2n ＋2，∴a n ＝k 2n ＋2，∴＝＝k 2.an ＋1an k2（n ＋1）＋2k2n ＋2∵常数k>0且k ≠1，∴k 2为非零常数．∴数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝a n f(a n )＝k 2n ＋2·(2n ＋2)，当k ＝时，b n ＝(2n ＋2)·2n ＋1＝(n ＋1)·2n ＋2.2∴S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3.②②－①，得S n ＝－2·23－24－25－…－2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3＝－23－(23＋24＋25＋…＋2n ＋2)＋(n ＋1)·2n ＋3，∴S n ＝－23－＋(n ＋1)·2n ＋3＝n·2n ＋3.23（1－2n ）1－2(3)存在．由(1)知，c n ＝a n lga n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lgk ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)lgk<(n ＋2)k 2lgk 对一切n ∈N *成立．①当k>1时，lgk>0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；②当0<k<1时，lgk<0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<()min ，n ＋1n ＋2∵＝1－单调递增，n ＋1n ＋21n ＋2∴当n ＝1时，()min ＝.n ＋1n ＋223∴k 2<，且0<k<1，因此0<k<.2363综上所述，存在实数k ∈(0，)∪(1，＋∞)满足条件．636．(2017·衡水中学调研卷)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有＋＋…＋<.1a 1（a 1＋1）1a 2（a 2＋1）1a n （a n ＋1）13答案　(1)a 1＝2　(2)a n ＝2n (3)略解析　(1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S n 2－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明：k ∈N *，4k 2＋2k －(3k 2 ＋3k)＝k 2－k ＝k(k －1)≥0，∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k.∴＝＝≤1ak （ak ＋1）12k （2k ＋1）14k2＋2k 13k2＋3k ＝(－)．131k 1k ＋1∴＋＋…＋1a1（a1＋1）1a2（a2＋1）1an （an ＋1）≤(－＋－＋…＋－)13111212131n 1n ＋1＝(1－)<.131n ＋113∴不等式成立．。

第五节 数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分基础必做一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案 B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －1d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案 C3．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 26＋2a 10＝0，首项为18的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 6＝a 6，则S 6＝( )A ．16 B.318 C.638D.6316解析 由2a 2－a 26＋2a 10＝0，∴4a 6＝a 26. ∵a 6≠0，∴a 6＝4.∴b 6＝4.又∵{b n }的首项b 1＝18，∴q 5＝b 6b 1＝32.∴q ＝2. ∴S 6＝18－4×21－2＝638.答案 C4．(2014·某某八校二联)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }1n n ＋1的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 013＋x 2 014的值为( )A ．7 549B ．7 545C ．7 539D ．7 535解析 由已知表格列出点(x n ，x n ＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x 1＝1，x 2＝3，x 3＝5，x 4＝6，x 5＝1，…，数列{x n }是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.答案 A5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2， ∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 D6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…，所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10. 答案 －108．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析 当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案 2 0009．(2014·某某六校二模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{}中，c 5≤对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值X围是________．解析 数列是取a n 和b n 中的最大值，据题意c 5是数列{}的最小项，由于函数y ＝25－n是减函数，函数y ＝n ＋k 是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.答案 [－5，－3] 三、解答题10．(2014·某某高考模拟考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：＋1<≤13. 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6. (2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴＋1－＝1－2n3n ＋1<0，∴＋1<<…<c 1＝13，即＋1<≤13.11．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n .令＝(－1)n S n (n ∈N *)，{}的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值X 围． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330， 即10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n ＝2(a －2)3n －1＋2n －[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2.由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2取得最小值54.所以a ≤54.培优演练1．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？ 解 (1)因为f (1)＝a ＝13，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝f (2)－f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－13＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝f (3)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－227.又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，所以a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．因为S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)， 又b n >0，S n >0，所以S n －S n －1＝1.所以数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，所以满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112. 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)若S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n －1)·(a n ＋1－1)，是否存在a ，b ∈Z ，使得a ≤S n ≤b 恒成立？若存在，求出a 的最大值与b 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知当n ≥2时，b n －1＝1a n －1－1，b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1， 所以b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ∈N *，n ≥2)．所以{b n }是首项为b 1＝1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列． (2)由(1)，知b n ＝n －72.依题意，有S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n－1)·(a n ＋1－1)＝1b 1·1b 2＋1b 2·1b 3＋…＋1b n ·1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝－25－1n ＋1－72.设函数y ＝1x －72，当x >72时，y >0，y ′<0，则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数，故当n ＝3时，S n ＝－25－1n ＋1－72取最小值－125. 而函数y ＝1x －72在x <72时，y <0，y ′＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72上也为减函数， 故当n ＝2时，S n 取得最大值85.故a 的最大值为－3，b 的最小值为2.。

第2讲数列求和及其综合应用错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：c n ＝a n b n ，其中{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则qc n ＝qa n b n ＝a n b n ＋1，此时c n ＋1－qc n ＝(a n ＋1－a n )·b n ＋1＝db n ＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．(2016·高考山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n.求数列{c n }的前n 项和T n .【解】(1)由题意知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式．所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3. 所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，所以T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋ (2)＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.应用错位相减法求和需注意的问题(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1，2进行验证． [跟踪训练](2016·兰州模拟)等差数列{a n }中，已知a n ＞0，a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13构成等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得： a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，即a 2＝5. 又(5－d ＋2)(5＋d ＋13)＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，所以a 1＝a 2－d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝2n ＋1. 又b 1＝a 1＋2＝5，b 2＝a 2＋5＝10，所以公比q ＝2， 所以b n ＝5×2n －1.(2)因为T n ＝5[3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1]， 2T n ＝5[3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ]，两式相减得－T n ＝5[3＋2×2＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ]＝5[(1－2n )2n －1]， 则T n ＝5[(2n －1)2n ＋1]．裂项相消法求和[学生用书P35]共研典例类题通法 1．常见的裂项类型 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1； (2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(5)n ＋1n （n －1）·2n ＝2n －（n －1）n （n －1）·2n ＝1（n －1）2n －1－1n ·2n. 2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2016·海口调研测试)在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝7，且a 2，a 5，a 10成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ； (2)若b n ＝5a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)因为a 2，a 5，a 10成等比数列， 所以(7＋d )(7＋9d )＝(7＋4d )2， 又因为d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n ＋5，S n ＝（7＋2n ＋5）n 2＝n 2＋6n .(2)由(1)可得b n ＝5（2n ＋5）（2n ＋7）＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋5－12n ＋7， 所以T n ＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋19－111＋…＋12n ＋5－12n ＋7＝5n14n ＋49.裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．[跟踪训练](2016·石家庄模拟)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.分组转化求和[学生用书P35]共研典例类题通法 分组转化求和的三种类型分组转化求和是把数列之和分为几组，每组中的各项是可以利用公式(或其他方法)求和的，求出各组之和即得整体之和，这类试题一般有如下三种类型：(1)数列是周期数列，先求出每个周期内的各项之和，然后把整体之和按照周期进行划分，再得出整体之和；(2)奇偶项分别有相同的特征的数列(如奇数项组成等差数列、偶数项组成等比数列)，按照奇数项和偶数项分组求和；(3)通项中含有(－1)n 的数列，按照奇数项、偶数项分组，或者按照n 为奇数、偶数分类求和．(2016·呼和浩特模拟)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝2a n －1＋(n －2)(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解】(1)因为a n ＋n ＝2[a n －1＋(n －1)]，a n ＋n ≠0， 所以{a n ＋n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以a n ＋n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 所以a n ＝2n ＋1－n .(2)S n ＝(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2n ＋2－n 2＋n ＋82.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组. (2)根据正号、负号分组.(3)根据数列的周期性分组.[题组通关]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝( )A ．1009B ．1010C ．－1009D ．－1010B [解析] 因为a n ＝(－1)n －1(n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2017＝(2－3)＋(4－5)＋…＋(2016－2017)＋2018＝1008×(－1)＋2018＝1010.2．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，数列{a 2n －1}是首项为1的等差数列，数列{a 2n }是首项为2的等比数列，且满足S 3＝a 4，a 3＋a 5＝a 4＋2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求S 2n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1＋d ，a 4＝2q ，a 5＝1＋2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋d ＝2q ，（1＋d ）＋（1＋2d ）＝2＋2q ，解得d ＝2，q ＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，(k ∈N *)．(2)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2×30＋2×31＋…＋2×3n －1) ＝（1＋2n －1）n 2＋2（1－3n ）1－3＝n 2－1＋3n .等差、等比数列的综合问题[学生用书P36]共研典例类题通法解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋1a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34.【解】(1)由已知a n ＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，n ∈N *，得（a n ＋1－1）＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，即1＋1a n ＋1－1－1a n －1＝0，亦即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1(常数)．所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1＝－2为首项， －1为公差的等差数列．可得1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)证明：因为b n ＝a n ＋1a n －1＝（n ＋1）2n （n ＋2）－1＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜12×⎝⎛⎭⎫1＋12＝34.解决数列综合问题的方法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解. [跟踪训练](2016·武汉模拟)已知S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1（2n ＋1）a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，即(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，化简得d 2＝2a 1d .因为d ≠0，所以d ＝2a 1.① 因为a 3＝－52，所以a 1＋2d ＝－52.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12d ＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12.(2)因为b n ＝1（2n ＋1）a n ＝1（2n ＋1）⎝⎛⎭⎫－n ＋12＝－2（2n ＋1）（2n －1）＝12n ＋1－12n －1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫13－1＋⎝⎛⎭⎫15－13＋⎝⎛⎭⎫17－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n －1＝－1＋12n ＋1＝－2n 2n ＋1. 课时作业[学生用书P120(独立成册)]1．设各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4a 8＝32，则S 11的最小值为( ) A ．22 2B ．442C ．22D ．44B [解析] 因为数列{a n }为各项均为正数的等差数列，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝82，S 11＝（a 1＋a 11）×112＝112(a 4＋a 8)≥112×82＝442，故S 11的最小值为442，当且仅当a 4＝a 8＝42时取等号．2．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1080D ．3105B [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋3，所以a n ＋1－a n ＝3. 所以{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． 所以a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63. 令a n ≤0，得n ≤21. 所以前20项都为负值． 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30 ＝－2S 20＋S 30.因为S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( )A ．20B ．40C ．60D ．80C [解析] 由a n ＋1＝a na n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为263，又40＝6×6＋4，所以S 40＝6×263＋1＋3＋3＋1＝60.4．(2016·郑州模拟)设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＝12，a 24＝4a 2a 8，若1b n＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，则数列{b n }的前10项和为( )A ．－2011B.2011C ．－95D.95A [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝4a 2a 8，所以(a 1q 3)2＝4a 1q ·a 1q 7，即4q 2＝1，所以q ＝12或q ＝－12(舍)，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＝2－n ，所以log 2a n ＝log 22－n ＝－n ，所以1b n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n （1＋n ）2，所以b n ＝－2n （1＋n ）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前10项和为－2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13⎦⎤＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝－2·⎝⎛⎭⎫1－111＝－2011. 5．设b n ＝a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A.3133B.3233C.3166D.1633C [解析] 由题意得，b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n ＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166.6．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＞f (x )g ′(x )，且f (x )＝a x g (x )(a＞0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．9C [解析] 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）＞0，知f （x ）g （x ）在R 上是增函数，即f （x ）g （x ）＝a x 为增函数，所以a ＞1.又因为a ＋1a ＝52，所以a ＝2或a ＝12(舍)．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝21＋22＋…＋2n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2＞62.即2n ＞32，所以n ＞5.7．(2016·海口调研测试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1，2，3，…)，则S 2n ＋3＝________．[解析] 依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2. [答案]43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋28．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为________．[解析] 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2，3，4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝2. [答案]29．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2017＝________．[解析] 因为a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，所以a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2，所以S 2017＝1009a 1＋1008a 2＝1009×⎝⎛⎭⎫12－2＋1008×2＝10052. [答案]1005210．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________．[解析]因为⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，所以a 3＝a 2＋2＝4，所以S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9（2＋18）2＝91. [答案]9111．(2016·东北四市联考)已知数列{a n }满足a 1＝511，a 6＝－12，且数列{a n }的每一项加上1后成为等比数列．(1)求a n ；(2)令b n ＝|log 2(a n ＋1)|，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意数列{a n ＋1}是等比数列，设公比为q ，a 1＋1＝512，a 6＋1＝12＝512×q 5， 解得q ＝14. 则数列{a n ＋1}是以512为首项，14为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝211－2n ，a n ＝211－2n －1.(2)由(1)知b n ＝|11－2n |，当n ≤5时，T n ＝10n －n 2，当n ≥6时，T n ＝n 2－10n ＋50，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2，n ≤5n 2－10n ＋50，n ≥6. 12．(2016·哈尔滨模拟)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0.因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2－(2n －1)2n ＋1 ＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.13．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞n n ＋1. [解] (1)证明：因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2. 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．(选做题)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，－2，⎝⎛⎭⎫7π12，2，且在区间⎝⎛⎭⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝⎛⎭⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30. [解] (1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， 因为|φ|＜π，所以φ＝－2π3. (2)因为a n ＝2n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，所以a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3)＝－3(n ∈N *)， 所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－10 3.。

2009届高考一轮复习3.5数列的综合应用基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分，考试时间45分钟。

第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下表中，每格填上一个数后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则z y x ++的值为（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）42.（2008·安庆模拟）某人为了观看2008年的奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（不计利息税）（ ）（A ）7)p 1(a + （B ）8)p 1(a +（C ）)]p 1()p 1[(pa7+-+（D ）)]p 1()p 1[(pa8+-+3.{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（ ） （A ）10493b b a a +>+ （B ）10493b b a a +≥+ （C ）10493b b a a +<+（D ）10493b b a a +≤+4. 在ABC ∆中，A tan 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，B tan 是以31为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（ ）（A ）钝角三角形（B ）锐角三角形（C ）等腰直角三角形 （D ）非等腰的直角三角形5. 设数列{}n a 是首项为m ，公比为)1q (q ≠的等比数列，n S 是它的前n 项和，对任意的*N n ∈，点)S S,a (nn 2n （ ）（A ）在直线0q qy mx =-+上 （B ）在直线0m my qx =+-上 （C ）在直线0q my qx =-+上 （D ）不一定在一条直线上6. 在数列{}n a 中，*)N n (2a )1n (na ,2a n 1n 1∈++==+，则10a 为（ ） （A ）34 （B ）36（C ）38（D ）40第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。