安徽省蚌埠市高二数学第一学期期末学业水平监测试题 文(扫描版)

蚌埠市2023—2024学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是（）A.28y x =B.28x y =C.28y x =-D.28x y=-【答案】B 【解析】【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是(0,2)F ，则抛物线的标准方程是28x y =.故选：B2.数列11111,,,,,371531---⋅⋅⋅的一个通项公式为（）A.()11121n n a n +=-- B.()11112n n n a --=-C.()1121n n a n =-+ D.()1121nn na =--【答案】D 【解析】【分析】令1n =，代入各选项直接得出答案.【详解】由题意得，令1n =，A 选项：11a =，不合题意；B 选项：11a =，不合题意；C 选项：113a =-，不合题意；D 选项：11a =-，符合题意故选：D.3.直线l 的方向向量是()1,2e =-，则下列选项中的直线与直线l 垂直的是（）A.230x y -+=B.230x y +-=C.230x y -+=D.230x y +-=【答案】A 【解析】【分析】由直线l 的方向向量可得其斜率为2-，进而得到与直线l 垂直的直线的斜率为212k =，分别计算各选项的斜率即可判断.【详解】因为直线l 的方向向量是()1,2e =-，所以直线l 斜率1221k ==--，所以与直线l 垂直的直线的斜率为212k =.对于选项A:由230x y -+=，可得斜率为12，故选项A 正确；对于选项B:由230x y +-=，可得斜率为12-，故选项B 错误；对于选项C:由230x y -+=，可得斜率为2，故选项C 错误；对于选项D:由230x y +-=，可得斜率为2-，故选项D 错误.故选：A.4.若圆1C ：221x y +=与圆2C ：22860x y x y m +--+=内切，则m =（）A.29 B.9C.11- D.19【答案】C 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由圆1C ：221x y +=，可得圆心()10,0C ，半径11r =；圆2C ：22860x y x y m +--+=可化为()()2243250x y m -+-=->，可得圆心()24,3C ，半径20r =>，所以125C C ==，由圆1C 圆2C 内切，所以1212C C r r =-，即51=，解得：11m =-.故选：C.5.设函数()21ln 2f x ax x =+在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.[)1-+∞，B.()1∞-+，C.[)0+∞，D.()0+∞，【答案】C 【解析】【分析】函数()f x 在()1,+∞上单调递增等价于()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，参变分离，进一步讨论最值即可.【详解】由题意()10f x ax x '=+≥在()1,+∞上恒成立，即21a x≥-，又21y x =-在()1,+∞单增，210x ∴-<，则0a ≥．故选：C ．6.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）A.1.8cmB.2.5cmC.3.2cmD.3.9cm【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB 的方程，利用点到直线距离公式进行求解【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，则1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，3,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4211322AB k -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用点斜式方程可得到直线AB ：322y x -=+，整理为2270x y -+=，所以原点O 到直线AB 距离为()2.5cm 4d ==≈，故选:B7.设数列()()24{}2121n n n -+的前n 项和为n S ，则（）A.100100101S <<B.100101104S <<C.100104108S <<D.100108110S <<【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到()()241111212122121n n n n n ⎛⎫=+= ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项相消法求数列的前n 项和公式，得出前100项的和，结合选项，即可求解.【详解】由()()()()2222441111111121214141212122121n n n n n n n n n n ⎛⎫==+=+=+- ⎪-+---+-+⎝⎭，所以1111111112335572121n S n n n ⎛⎫=+-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ ()2111122121n n n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭，所以1002100101100.521001S ⨯⨯=≈⨯+，故选：A.8.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D ，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）A.B.173C.102D.【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2||BF 表示11||,||,||BF AF AB ，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CA DB 都过点1F ，如图，有1AB BF ⊥，13cos 5BAF ∠=，设2||BF m =，则1||2BF a m =+，显然有14tan 3BAF ∠=，133||||(2)44AB BF a m ==+，231||24AF a m =-，因此，1271||2||24AF a AF a m =+=-，在1Rt ABF ，22211||||||AB BF AF +=，即222971(2)(2)()1624a m a m a m +++=-，解得23m a =，即1282||,||33BF a BF a ==，令双曲线半焦距为c ，在12Rt BF F 中，2222112||||||BF BF F F +=，即22228()()(2)33a a c +=，解得3c a =，所以E 的离心率为3.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得,a c 的值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法，由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.曲线221y x m+=的焦距为4，则实数m 的值可以是（）A.15B.5C.3D.3-【答案】BD 【解析】【分析】根据曲线的类型分类讨论，利用椭圆和双曲线中,.a b c 之间的关系即可求解.【详解】由题意22c =.当曲线为椭圆时：则14m -=，则5m =；当曲线为双曲线时：()14m +-=，则 3.m =-故选：BD.10.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）.A.10a =0B.10S 最小C.712S S = D.190S =【答案】ACD 【解析】【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M ，N 分别是棱11AD ，CD 的中点，点P 在四边形ABCD内，若PM =，则下列结论正确的有（）A.MN BD ⊥B.MN //1A BC.点P 的轨迹长度为π D.PN 1-【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，运用空间位置关系的向量证明，解决A,B ，用解析法求出轨迹方程处理C ，结合参数方程处理D 即可.【详解】以D 为原点建立空间直角坐标系，故(0,0,0)D ，(0,1,0)N ，(1,0,2)M ，(2,2,0)B ，故(2,2,0)DB =，(1,1,2)NM =- ，则212(1)00⨯+⨯-+=，0NM DB ⋅=，则MN BD ⊥，故A 正确，而1(2,0,2)A ，1(0,2,2)A B =- ，显然NM 与1A B uuur 无倍数关系，则MN //1A B 不成立，故B 错误，设(,,0)P x y ，由两点间距离公式得=，化简得22(1)1x y -+=，又0,0x y ≥≥，故轨迹长度为11ππ2⨯2⨯⨯=，故C 正确，易知点P 的轨迹是圆，故该轨迹的参数方程为1cos x θ=+，sin y θ=，(θ是参数)，故(1cos ,sin ,0)P +θθ，由两点间距离公式得PN ==易知当πcos(14+=-θ时，PN 取得最小值，此时1PN ==，故D 正确.故选：ACD12.的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1A ，2A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（）A.2112212A F A F F F ⋅= B.11290FB A ∠=︒C.1PF x ⊥轴，且21//PO A BD.四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD【解析】【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，结合椭圆的离心率为12确定正确答案.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，可得12(,0),(,0)A a A a -，12(0,),(0,)B b B b -，12(,0),(,0),F c F c -对于A ，2112212A F F A F F ⋅=，即22()(2)a c c -=，化简得2a c c -=，即13c e a ==，不符合题意，故A 错误；对于B ，11290F B A ︒∠=，则222211112||||||A F B F B A =+，即2222()()a c a a b +=++，化简得220c ac a +-=，即有210e e +-=，解得512e =（512e -=舍去），符合题意，故B 正确；对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，由()22221Pc y a b-+=，解得2P b y a =±，不妨设2,b Pc a⎛⎫- ⎪⎝⎭，由21PO A B k k =，可得2b b a a c=--，解得b c =，又222a b c =+，所以2c e a ===，不符合题意，故C 错误；对于D ，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点1F ，2F ，即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，则ab =222b a c =-，即42310e e -+=，解得232e +=（舍去）或23,2e =即12e -=，符合题意，故D 正确；故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得,a c 的关系式，然后转化为ca.也即是找到,a c 的一个等量关系式（齐次式），通过转为e 后解方程来求得离心率.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =___________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q-++==-，又()43251111a a a q a q a q q-=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.14.已知空间中两点()2,2,0A =，()3,,1B y =，向量()3,1,3a =- ，//a AB r uu u r，则a = ________，y =________．【答案】①.②.53【解析】【分析】由向量模的坐标表示计算模，由空间向量共线求得y ．【详解】由题意(1,2,1)AB y =- ，因为//a AB，所以121313y -==-，解得53y =，a ==．53．15.写出与圆221x y +=和()()223416x y -+-=都相切的一条直线的一般式方程______.【答案】3450x y +-=或724250x y --=或10x +=（答对其中一条即可）【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.【详解】圆221x y +=的圆心是(0,0)，半径是1，圆()()223416x y -+-=的圆心是(3,4)，半径是4，5=，满足514=+，所以两圆相外切.如图：当切线斜率不存在时，结合图象可得直线10x +=满足题意，其中直线10x +=到圆221x y +=圆心(0,0)的距离为1，等于该圆的半径，同时直线10x +=到圆()()223416x y -+-=圆心(3,4)的距离为4，等于该圆的半径；当切线斜率存在时，设切线的方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，满足14==，可得：|34|4||k b b -+=，若344k b b -+=，将43k b =+代入方程221k b +=，可得：2524b =-，724k =，切线方程为7252424y x =-，即724250x y --=；若344k b b -+=-，将5433k b =-+代入方程221k b +=，可得：54b =，34k =-，切线方程为3544y x =-+，即3450x y +-=；综上，切线方程为：3450x y +-=，724250x y --=和10x +=.故答案是：3450x y +-=或724250x y --=或10x +=（答对其中一条即可）.16.已知函数()2ln ,0e 12,e e e x x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩.若a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则ln ln b a c a b ⋅的取值范围是______.【答案】()2e,e --【解析】【分析】利用导数画出()f x 的大致图象，在根据图象以及解析式得到,a b 的关系及c 的范围即可求解.【详解】当01x <≤时，()ln x f x x =-，()2ln 10x f x x '-=≤，所以()f x 在(]0,1上单调递减，且()()min 10f x f ==，当1e x <≤时，()ln x f x x =，()21ln 0x f x x '-=>，所以()f x 在(]1,e 上单调递增，且()()max 1e e f x f ==，所以()f x 的图象大致如图所示：由a b <，()()f a f b =得ln ln a b a b -=，即ln ln b a a b =-，令2120e ex -+=得2e x =，结合图象可知()e,2e c ∈，所以()ln 2e,e ln b a c c a b ⋅=-∈--.故答案为：()2e,e --四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求过两条直线23y x =+与320x y -+=的交点，且分别满足下列条件的直线方程.（1）过点()2,3P ；（2）平行于直线310x y +-=.【答案】（1）270x y +-=（2）380x y +-=【解析】【分析】（1）求出两条直线23y x =+与320x y -+=的交点，利用两点式方程整理计算即可;（2）求出平行于310x y +-=的直线斜率，利用点斜式方程整理计算即可.【小问1详解】由230,320x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得15x y =⎧⎨=⎩,即两直线的交点坐标为()1,5.直线经过点()1,5和()2,3，由两点式方程得，325312y x --=--，化简得所求直线方程为270x y +-=.【小问2详解】由310x y +-=可得直线的斜率为3-，故平行于直线310x y +-=的直线的斜率为3-，结合（1）问可得：两条直线23y x =+与320x y -+=的交点为()1,5，由点斜式方程得，()531y x -=--，化简得所求直线方程为380x y +-=.18.已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．【答案】（1）4a b ==；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值．试题解析：（1）()()24x x e ax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=．故4b =，8a b +=．从而4a =，4b =．（2）由（1）知，()()2414x f x e x x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln 2x =-或2x =-．从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞ 时，()0f x ¢>；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减．当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e --=-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．19.已知圆C 经过点()2,3A -和()0,1B ，且圆心C 在直线10x y ++=上.（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,3P -的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，若MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22214x y ++-=（2）34150x y -+=或10x +=【解析】【分析】（1）求出线段AB 的中垂线方程，与直线10x y ++=联立，可得圆心坐标，然后与B 点求出半径，可得答案；（2）设圆心C 到直线l 的距离为d ，利用MN =求出d ，当直线l 的斜率不存在时直接得答案；当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k 求出直线l 的方程，利用点到直线的距离公式求出k 可得答案.【小问1详解】直线AB 的斜率为31120-=---，线段AB 的中点为()1,2-，线段AB 的中垂线方程为()21y x -=--，即30x y -+=，联立1030x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，所以圆心()2,1C -，半径2r BC ===，故圆C 的方程为()()22214x y ++-=；【小问2详解】设圆心C 到直线l 的距离为d ，由MN ==1d =，当直线l 的斜率不存在时，其方程为=1x -，满足条件；当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，直线l 的方程为()31y k x -=+，即30kx y k -++=，由1d ==，解得34k =，故直线l 的方程为34150x y -+=.综上，直线l 的方程为34150x y -+=或10x +=.20.已知数列{}n a 中，11a =，满足()1221n n a a n n N *+=+-∈.（1）证明数列{}21n a n ++是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；1221n n a n +=--；（2）()2,-+∞【解析】【分析】（1）利用递推关系式得()()1211221n n a n a n ++++=++，由此可证得{}21n a n ++是等比数列；由等比数列通项公式推导可得n a ；（2）采用分组求和法可求得n S ，分离变量可得2242n nn n b λ++>=，利用11322n n n n b b ++--=可知()2max 2n b b ==，由此可求得λ的范围.由1221n n a a n +=+-得：()()1211221n n a n a n ++++=++，又134a +=，∴数列{}21n a n ++是以4为首项，2为公比的等比数列；1121422n n n a n -+∴++=⋅=，1221n n a n +∴=--.【小问2详解】由（1）得：()()22221212224122n n nn n S n n n +-+=-⨯-=----，()2244220n n n S n n λλ⋅++=+⋅-->∴，2242n n n λ+∴+>；令222n n n n b +=，()()22111121232222n n n n n n n n n n b b +++++++-∴-=-=，则当2n ≥时，10n n b b +-<；当1n =时，210b b ->；()2max 2n b b ∴==，42λ∴+>，解得：2λ>-，即实数λ的取值范围为()2,-+∞.21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AD BC AD AB ⊥∥，侧面PAB ⊥底面1,22ABCD PA PB AD BC ====，且,E F 分别为,PC CD的中点．（1）证明：//DE 平面PAB ；（2）若直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）取PB 中点M ，连接,AM EM ，通过证明四边形ADEM 为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF 与平面PAB 所成的角为60︒，可得,,,,GF PG AG BG AB ，建立以G 为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.证明：取PB 中点M ，连接,AM EM ，E 为PC 的中点，1,2ME BC ME BC ∴=∥，又1,2AD BC AD BC = ∥，,ME AD ME AD ∴=∥，∴四边形ADEM 为平行四边形：DE AM ∴∥，DE ⊄ 平面,PAB AM ⊂平面PAB ，DE ∴ 平面PAB ；【小问2详解】平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB BC =⊂平面ABCD ，,BC AB BC ⊥∴⊥平面PAB ，取AB 中点G ，连接FG ，则,FG BC FG ∴⊥∥平面PAB ，()160,32GPF GF AD BC ∴∠=︒=+=，3tan60,PG PG∴︒=∴=2,1,2PA PB AG GB AB ==∴===，如图以G 为坐标原点，GB 为x 轴，GF 为y 轴，GP 为z轴建立空间直角坐标系，(()(),1,4,0,1,2,0P C D ∴-，(()1,4,2,2,0PC CD ∴=-=-- ，设平面PCD 的一个法向量，()1,,n x y z = ，则1140220n PC x y n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取1y =，则(1n =- ，平面PAB 的一个法向量可取()20,1,0n =u u r ，设平面PAB 与平面PCD 所成的夹角为θ，1212cos 5n n n n θ⋅∴=== ,平面PAB 与平面PCD所成的夹角的余弦为522.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(),2M m -为抛物线上一点，2MF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）已知点()2,0A -，点()2,1B ，过点A 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，连接PB 交抛物线于另一点T ，证明：直线QT 过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析，定点()2,8【解析】【分析】（1）利用焦半径的定义可得p 的值，进而即可得到答案；（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,T x y ，则根据直线方程及题意可得到128y y =①，同理可得到31138y y y y +=+②，同理也可得到QT 的直线方程为()32428y x y y =-++，进而即可证明直线QT 过定点，并得出定点坐标．【小问1详解】因为(),2M m -为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，所以422m p p ==，又因为2MF =，所以22p m =+，即222p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =．【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,T x y ，则PQ 的直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，化简得1221122211y y x y x y y x x x x x --=+--，又P ，Q 在抛物线上，得2114y x =，2224y x =，代入PQ 直线得2221122122222121444444y y y y y y y x y y y y --=+--，化简得1221214y y y x y y y y =+++，代入点()2,0A -，得128y y =，则128y y =①，同理的PT 的直线方程为1331314y y y x y y y y =+++，代入点()2,1B ，得31138y y y y +=+②，由①②得3322888y y y y +=+⋅，即()232388y y y y +=+③，同理可得QT 的直线方程为2332324y y y x y y y y =+++，代入③得()233232884y y y x y y y y +-=+++，即()32428y x y y =-++，。

2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值X围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 36．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值X围是（） A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4C． D． 6二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，某某数a的取值X围．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值X围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．解答：解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．点评：本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题．2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，得到结论．解答：解：∵两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，∴命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，∴甲是乙的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件的关系，若把互斥事件和对立事件都看做一个集合时，后者对应的集合是前者对应集合的子集．3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值X围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：当a=0时，直线的倾斜角为；当a≠0时，求出直线的斜率，由斜率的X围可得直线的倾斜角的X围．解答：解：当a2=0，即a=0时，直线方程为x=﹣1，直线的倾斜角为；当a2≠0，即a≠0时，直线的斜率为k=＜0，则直线的倾斜角为钝角，即α＜π．∴直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值X围是（）．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 3考点：条件语句；循环语句．专题：算法和程序框图．分析：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．解答：解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B点评：涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．6．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组，由于共有2个小组，则有2种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，确定试验发生包含的事件数和满足条件的事件数是关键．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A正确；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．9．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值X围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：直线ax+y+1=0与线段AB有交点，说明两点的坐标代入ax+y+1所得的值异号，或直线经过其中一点，由此得不等式求得a的取值X围．解答：解：∵A（﹣2，2）、B（1，1），由直线ax+y+1=0与线段AB有交点，∴A，B在直线ax+y+1=0的两侧或直线经过A，B中的一点．可得（﹣2a+2+1）（a+1+1）≤0．即（2a﹣3）（a+2）≥0，解得：a≤﹣2或a．∴a的取值X围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：C．点评：本题考查了二元一次方程组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，是基础题．10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4C． D． 6考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=3，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O，A，B的平面与SC 垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．解答：解：如图，由题意△ASC，△BSC均为等腰直角三角形，且SA=AC=SB=BC=3，所以∠SOA=∠SOB=90°，所以SC⊥平面ABO．又AB=3，△ABO为正三角形，则S△ABO=×32=，进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB=××6=．故选C．点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC⊥平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法．二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是x∉A且x∉B ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据命题的否定的定义写出即可．解答：解：若命题p：x∈（A∪B），则￢p是：x∉A且x∉B，故答案为：x∉A且x∉B．点评：本题考查了命题的否定，是一道基础题．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为4．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，画出图形，结合图形解答问题即可．解答：解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4；∴该梯形的面积为4．故答案为：4．点评：本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，是基础题目．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于 5 ．考点：简单线性规划；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用A∩B≠∅，建立直线和平面区域的关系求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A∩B≠∅说明直线与平面区域有公共点，由3x+2y﹣m=0得m=3x+2y．由图象可知在点A（1，1）处，函数m=3x+2y取得最小值，此时m=3+2=5．故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用m的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先根据集合的定义求出在所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，再找到满足对∀∈A，则∈A”的集合的种数，利用古典概型的概率公式求出概率即可解答：解：M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，其中满足条件“对∀∈A，则∈A”的有{，3}，{，2}，{1}，{1，，3}，{1，，2}，{，，2，3}，{，，1，2，3}共7种，故恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是故答案为：点评：本题考查了根据古典概型的概率公式计算随机事件的概率，属于基础题15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，某某数a的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的x的X围，根据p，q的关系，从而确定a的X围．解答：解：p：1≤x＜3，q：x2﹣ax≤x﹣a⇔（x﹣1）（x﹣a）≤0，∵￢p⇒￢q，∴q⇒p，∴a≥1，∴q：1≤x≤a，∴实数a的X围是：[1，3）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由已知中圆的方程，我们先确定出圆的圆心的坐标，然后根据与已知直线垂直的直线的直线系方程，我们设出与直线2x+y=0垂直的直线方程（含参数λ），将圆心坐标代入可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），由=4，解出k值，可得直线方程．解答：解：（1）由已知，圆的标准方程为x2+（y+l）2=1，圆心坐标为（0，﹣1）设与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y+λ=0则2+λ=0，所以λ=﹣2故经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y﹣2=0；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0，由条件得=4，∴k=﹣，故直线方程为3x+4y﹣20=0．综上，直线l的方程为x=﹣4或3x+4y﹣20=0．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，考查点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．考点：直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，由此能证明四边形BCHG是平行四边形．（2）由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GA，BR=GA，从而得到四边形BEFG是平行四边形，由此能推导出C，D，F，E四点共面．解答：（1）证明：由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形．（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GF，BE=GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．点评：本题考查了立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由古典概型公式可得关于n的方程，解之即可；（2）由条件列举出所有可能的基本事件，找出符合的有几个，即可的答案．解答：解：（1）由题意可知：=，解得n=4．（2）不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：（0，1），（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（1，0），（1，21），（1，22），（1，23），（1，24），（21，0），（21，1），（21，22），（21，23），（21，24），（22，0），（22，1），（22，21），（21，23），（21，24），（23，0），（23，1），（23，21），（23，22），（23，24），（24，0），（24，1），（24，21），（24，22），（24，23），共30个，事件A包含的基本事件为：（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（21，0），（22，0），（23，0），（24，0），共8个．故事件A的概率P（A）==点评：本题为古典概型的求解，数准基本事件数是解决问题的关键，属基础题．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）由AC1⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A1B⊥平面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，再由线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1．（III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC1A1．即BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案．解答：证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，∴侧面ABB1A是一正方形．∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．∴在△AB1C中，ED是中位线．∴B1C∥ED．又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．…（4分）（II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD，∴AC1⊥A1B，又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥平面AB1C1．又∵B1C1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1．∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．∴BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．又∵AB=BC=1∴BD=∴AC=A1C1=∴三棱锥B﹣A1C1D的体积V=•BD•=•A1C1•AA1=K=…（12分）点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面平行，线面垂直的判定定理是解答的关键．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值X围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：（1）直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得即可得出；（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．由于直线不经过第二象限，可得，解得k．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．（3）由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．S==•|﹣2﹣k|==，利用基本不等式的性质即可得出．解答：（1）证明：直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得x=1，y=﹣2，∴直线l过定点P（1，﹣2）．（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．∵直线不经过第二象限，∴，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．综上可得：k的取值X围是[0，+∞）；（3）解：由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．∴S==•|﹣2﹣k|===4．当且仅当k=2时取等号．∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣4=0．点评：本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

P2017-2018 学 年 安 徽 省 蚌 埠 市 高 二 （ 上 ） 期 末 试 卷（文科数学）一 、本 大 题 共 12 小 题 ，每 小 题 5 分 ，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是符合题目要求的 . 1 ． 直 线 y= x+1 的 倾 斜 角 为 （ ） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°2 ． 对 于 任 意 的 直 线 l 与 平 面 α ， 在 平 面 α 内 必 有 直 线 m ， 使 m 与 l （ ） A ． 平 行 B ． 相 交 C ． 垂 直 D ． 互 为 异 面 直 线3 ． 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ）A ．命 题 “ 若 x 2 ﹣ 3x ﹣ 4=0 ，则 x=4” 的 逆 否 命 题 是 “ 若 x≠ 4，则 x 2 ﹣ 3x ﹣ 4≠ 0”B ． 命 题 “ 若 m ＞ 0 ， 则 方 程 x 2 +x ﹣ m=0 有 实 根 ” 的 逆 命 题 为 真 命 题C ． “ x=4” 是 “ x 2 ﹣ 3x ﹣ 4=0” 的 充 分 条 件D ． 命 题 “ 若 m 2 +n 2 =0 ， 则 m=0 且 n=0” 的 否 命 题 是 “ 若 m 2 +n 2 ≠ 0， 则 m≠ 0 或 n≠ 0”4 ． 已 知 水 平 放 置 的 △ ABC 按 “ 斜 二 测 画 法 ” 得 到 如 图 所 示 的 直 观 图 ， 其 中B′ O′ =C′ O′ =1， A′ O′ =， 那 么 △ ABC 是 一 个 （ ）A ． 等 边 三 角 形B ． 直 角 三 角 形C ． 等 腰 三 角 形D ． 钝 角 三 角 形5 ． 在 正 方 体 ABCD ﹣ A B C D 中 ， 若 E 为 A C 中 点 ， 则 直 线 CE 垂 直 于 （）1 1 1 11 1A ． ACB ． BDC ． AD D ． A A1 16 ． 给 定 下 列 四 个 命 题 ， 其 中 为 真 命 题 的 是 （ ）A ．若 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 与 另 一 个 平 面 都 平 行 ，那 么 这 两 个 平 面 相 互 平 行B ． 若 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 ， 那 么 这 两 个 平 面 相 互 垂 直C ． 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行D ．若 两 个 平 面 垂 直 ，那 么 ，一 个 平 面 内 与 它 们 的 交 线 不 垂 直 的 直 线 一 定 垂 直 于另一个平面7 ． 圆 （ x+2 ） 2 +y 2 =4 与 圆 （ x ﹣ 2 ） 2 + （ y ﹣ 1 ） 2 =9 的 位 置 关 系 为 （ ） A ． 内 切 B ． 相 交 C ． 外 切 D ． 相 离8 ． 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 （ ）A ． y= x+1B ． y= ﹣ 2x+1C ． y=2x ﹣ 1D ． y=2x+19 ．给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，x 轴 上 到 点 （ 4 ，1 ，2 ）的 距 离 为 A ． 2 个 B ． 1 个 C ． 0 个 D ． 无 数 个的 点 有（ ）10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．1B．C．2D．311．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“p：x∈R，x2+2x+a≤0”的否定形式为．14．已知l：2x+my=0与l：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．1215．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积是．16．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．18．设函数f（x）=lnx﹣x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．20．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，q：a曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同两点．（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．21．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面P B C⊥平面PBD；（Ⅱ）在△PBD中，∠PBD=30°，点E在PB上且BE=3PE，求三棱锥P﹣CDE的体积．22．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y=x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系，结合倾斜角的取值范围即可求出答案．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，则tanα=，其中α∈[0°，180°）；∴α=60°．故选：B．2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；若l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l．故选C．3．下列结论错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题是“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对四个命题进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以命题：“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为：“若x≠4，则x2﹣3x+﹣4≠0”，故正确；B、命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”由△=1+4m≥0，解得：m≥﹣，是假命题，故错误；C、x=4时：x2﹣3x﹣4=0，是充分条件，可知正确；D、命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0，故正确．故选：B．4．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．【解答】解：由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC为等边三角形，故选：A5．在正方体ABCD﹣A B C D中，若E为A C中点，则直线CE垂直于（）111111A．AC B．BD C．A D D．A A11【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量的坐标，以及、、的坐标，可以发现•=0，因此，⊥，即CE⊥BD．【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA所在直线分别为x，y，z轴建空间直1角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），E（1∴=（﹣，﹣，1），，，1），=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），显然•=﹣+0=0，∴⊥，即CE⊥BD．故选：B．6．给定下列四个命题，其中为真命题的是（）A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么，一个平面内与它们的交线不垂直的直线一定垂直于另一个平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，这两个平面平行或相交；在B中，由线面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直；在C中，两条直线相交、平行或异面；在D中，与它们的交线不垂直的直线一定不垂直于另一个平面．【解答】解：在A中，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故A错误；在B中，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由线面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故B正确；在C中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中，若两个平面垂直，那么，一个平面内与它们的交线不垂直的直线一定不垂直于另一个平面，故D错误．故选：B．7．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2．1圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C（2，1），半径R=3，2两圆的圆心距d=R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，=，P故 选 B ．8 ． 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 （）A ． y= x+1B ． y= ﹣ 2x+1C ． y=2x ﹣ 1D ． y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程． 【 解 答 】 解 ： 由 于 y=e 2 x ， 可 得 y′ =2e 2 x ， 令 x=0 ， 可 得 y′ =2，∴ 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ 1=2x ， 即 y=2x+1 ． 故 选 ： D ．9 ．给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，x 轴 上 到 点 （ 4 ，1 ，2 ）的 距 离 为 的 点 有（ ）A ． 2 个B ． 1 个C ． 0 个D ． 无 数 个【考点】空间向量的基本定理及其意义．【 分 析 】 设 点 A 的 坐 标 是 （ x ， 0 ， 0 ）， 由 题 意 |PA|=由此能求出结果．【 解 答 】 解 ： 设 点 A 的 坐 标 是 （ x ， 0 ， 0 ），由 题 意 |PA|== ，∴ （ x ﹣ 4 ） 2 =25 ． 解 得 x=9 或 x= ﹣ 1 ．∴ 点 A 坐 标 为 （ 9 ， 0 ， 0 ） 或 （ ﹣ 1 ， 0 ， 0 ）．∴ 给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， x 轴 上 到 点 P （ 4 ， 1 ， 2 ） 的 距 离 为 个．故 选 ： A ．= ，的点有 210 ． 如 果 实 数 x 、 y 满 足 条 件， 则 2x+y 的 最 大 值 为 （ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最 优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立，解得B（1，1），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．故选：D．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．12．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm【考点】棱锥的结构特征．【分析】根据棱锥的性质，用平行于正棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得截去大棱锥的高，进而得到棱台的高．【解答】解：∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为L，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则32：L2=1：4，∴L=6，故棱台的高是6﹣3=3故棱台的高为：3cm，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“p：∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定形式为∀x∈R，x2+2x+a＞0．【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“p”的否定形式为：∀x∈R，x2+2x+a＞0．故答案为：∀x∈R，x2+2x+a＞0．14．已知l：2x+my=0与l：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．12【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当斜率相等但截距不相等建立等式关系，解之即可求出m使两直线平行．【解答】解：直线l：y=3x﹣1的斜率为3．2=3即m=﹣．∴直线l：2x+my=0的斜率1故答案为：．15．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是边长为2的等边三角形，∴r=1，h=，∴V==．故答案为：．16．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，∴圆心为C（1，0），半径r=4．∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：d==．根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．18．设函数f（x）=lnx﹣x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值，f（x）=f（1）=﹣1．极大值19．已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．【考点】圆的切线方程．【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径即可求出圆的方程；（2）根据条件构造以OP为直径的圆，则AB为公共弦，即可求直线AB的方程．【解答】解：（1）∵圆与直线x+y+4=0相切，∴圆心到直线的距离d=，即圆的半径R=4，则圆的方程为x2+y2=16．设过P点的圆的切线方程为y+1=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k﹣1=0．（2）在Rt△PAO中，∵|PO|=，∴O，P的中点坐标为M（4，3），则M为圆心，|PO|为直径的圆MM的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即x2+y2﹣8x﹣6y=0AB为圆O与圆M的公共弦，由x2+y2﹣8x﹣6y=0x2+y2﹣8x﹣6y=0与x2+y2=16相减得：8x+6y﹣16=0，即4x+3y﹣8=0．∴直线AB的方程为4x+3y﹣8=020．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，q：a曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同两点．（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）根据函数的性质分别求出命题的等价条件即可．（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，则p，q有且只有一个为真命题，进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，a∴命题p为真时⇔0＜a＜1…当命题q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足△=（2a﹣3）2﹣4＞0⇒或…（Ⅱ）由“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，知p，q有且只有一个为真命题．…①当p真q假⇒…（②当 p 假 q 真， ⇒ …综上所述， a 取值范围是…21 ．如 图 所 示 ，四 棱 锥 P ﹣ ABCD 中 ，底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，AB=2AD=2 ，BD= ， PD⊥ 平 面 ABCD ．（ Ⅰ ） 证 明 ： 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ；（ Ⅱ ） 在 △ PBD 中 ， ∠ PBD=30°， 点 E 在 PB 上 且 BE=3PE ， 求 三 棱 锥 P ﹣ CDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【 分 析 】 I ）根 据 PD⊥ 底 面 ABCD 得 PD⊥ BC ，由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 BC⊥ BD ， 故 BC⊥ 平 面 PBD ， 于 是 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ；（ II ） 在 Rt△ PBD 中 ， 求 出 DP ， 由 E 为 PB 的 四 等 分 点 得 出 S△ PDE = ，于是 VP ﹣ CDE =V C ﹣ PDE = ． 【 解 答 】（ Ⅰ ） 证 明 ： ∵ BC=1， CD=2 ， BD= ，∴ CD 2 =BC 2 +BD 2 ， ∴ BC⊥ BD ，∵ PD⊥ 平 面 ABCD ， BC ⊂ 平 面 ABCD ，∴ PD⊥ BC ， 又 PD ⊂ 平 面 PBD ， BD ⊂ 平 面 PBD ， BD∩ PD=D ，∴ BC⊥ 平 面 PBD ， ∵ BC ⊂ 平 面 PBC ，∴ 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ．（ Ⅱ ） 解 ： 在 Rt△ PBD 中 ， ∵ ∠ PBD=30°， BD= ， ∴ PD=1，∵ BE=3PE ， ∴ S△ PDE = == ． ∴VP ﹣ CDE =V C ﹣ PDE == = ．22 ． 已 知 函 数 f （ x ） =ax 2 +1 （ a ＞ 0 ）， g （ x ） =x 3 +bx ．（ 1 ） 若 曲 线 y=f （ x ） 与 曲 线 y=g （ x ） 在 它 们 的 交 点 （ 1 ， c ） 处 有 公 共 切 线 ， 求 a ， b 的 值 ；（ 2 ） 当 a=3 ， b= ﹣ 9 时 ， 函 数 f （ x ） +g （ x ） 在 区 间 [k ， 2] 上 的 最 大 值 为 28 ， 求 k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方 程．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k=2a，1g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k=3+b，2由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x=﹣3，x=1；12∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！1蚌埠市2022—2023学年度第一学期期末学业水平监测高二数学本试卷共150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，则实数（ ）:60l x ay ++=60=aA. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】由题意可得直线的斜率为. :60l x ay ++=1tan 60k a=︒=-=【详解】已知直线的倾斜角为， :60l x ay ++=60则直线的斜率为 :60l x ay ++=1tan 60k a=︒=-=则. a =故选：B .2. 在等差数列中，，则的值是（ ） {}n a 31124a a +=678a a a ++A. 36 B. 48C. 72D. 24【答案】A 【解析】【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 712a =67873a a a a ++=【详解】由题设，，则， 1137224a a a +==712a =所以. 6787336a a a a =++=故选：A3. 已知动直线恒过定点为圆上一动点，为坐标原:220l kx y k --+=,A B 22:(1)(3)8C x y -+-=O 点，则面积的最大值为（ ） AOB A.B. 4C. 6D. 2485【答案】C 【解析】【分析】首先求点的坐标，再利用数形结合，求圆上点到直线距离的最大值，即可求解面积的最大A OA 值.【详解】由，整理为，220kx y k --+=()()220k x y -+-+=令，解得，所以直线恒过定点， 2020x y -=⎧⎨-+=⎩22x y =⎧⎨=⎩l ()2,2A 圆的圆心，半径22:(1)(3)8C x y -+-=()1,3Cr =如图，的方程为，则圆心到直线的距离OA =OA y x =C OAd ==则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离，B OA COAd r +=+=所以面积的最大值为. AOB 621⨯=故选：C4. 若数列满足，且，则（ ）{}n a 22a =*,N ,m n m n m n a a a +∀∈=2462022a a a a ++++= A. B. 101222-202221-C. D.101122-101121-【答案】A 【解析】【分析】令可得，再令可得数列是首项和公比为的等比数列，再由等1m n ==2212a a ==1m ={}n a 1a 比数列的前项和求解即可.n 【详解】令，，1m n ==2212a a ==令，则，所以， 1m =11n n a a a +=11n na a a +=所以数列是首项和公比为的等比数列，{}n a 1a 所以24202024620222222a a a a a a q a q a q++++=+⋅+⋅++⋅ . ()20222022101124202010121222111121+222221112a q a q q qq a ---=+++=⋅=⋅=⋅=---- 故选：A .5. 在三棱锥中，为的中点，则O ABC -60,22,AOB AOC BOC OB OC OA E ∠∠∠====== OC 等于（ ）AE BC ⋅A. -1B. 0C. 1D. 3【答案】C 【解析】【分析】由题意可得，再由数量积的运算律代入求解即可.1,2AE OC OA BC OC OB =-=-【详解】因为，60,22AOB AOC BOC OB OC OA ∠=∠=∠==== 所以，1cos 602222OC OB OC OB ⋅=⋅︒=⨯⨯= ，1cos 601212OA OB OA OB ⋅=⋅︒=⨯⨯= ，1cos 601212OA OC OA OC ⋅=⋅︒=⨯⨯= 因为，1,2AE OC OA BC OC OB =-=-()2111222AE BC OC OA OC OB OC OC OB OA OC OA OB ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 11=42112111122⨯-⨯-+=--+=故选：C .6. 已知双曲线 ）22221(0,0)x y a b a b -=>>A.B. y =y x =C. D. y =y x =【答案】C 【解析】 【分析】求得，由此求得双曲线的渐近线方程. ba【详解】离心率，则.==c e a b a ==y =故选：C7. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在22221(0)x y a b a b+=>>3512,F F 1F 第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（ ） P 12PF F △1PFA.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先根据离心率求出的关系，根据等腰三角形和椭圆的定义求出答案. ,a c 【详解】设椭圆的焦距为，因为离心率为，所以，； 2c 3535c a =53a c =因为为等腰三角形，且在第一象限，所以， 12PF F △P 1122PF F F c ==由椭圆的定义可得. 21423c PF a PF =-=设直线的倾斜角为，则，，； 1PF α213sin 223cc α==cos 2α=tan 2α==所以.22tan2tan 1tan 2ααα==-故选：B.8. 如图，在长方体中，点分别是棱上的动点，ABCD A B C D -'''',P Q ,BC CD ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是4,3,BC CD CC '===CC ''PQC 030PQC ∆'A.B.C.D.810【答案】B 【解析】【详解】以C 为原点，以CD ，CB ，CC ′为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则C （0，0，0）， 设P （0，a ，0），Q （b ，0，0），于是0＜a≤4，0＜b≤3．((0,0,,0,,,C PC a ''=-(((,0,,0,,,0,0,QC b PC a CC ∴=-=-='''设平面PQC ′的一个法向量为 则 令z=1，得 (),,n x y z =0000ay n PC n QC bx ⎧⎧-+=⋅=⎪∴⎨⎨⋅=-+⎪⎩⎩'' ＝n n CC CC ⎫=∴⋅==⎪⎪''⎭a 2b 2≥2ab ，解得ab≥8． 2222112121cos ,324n CC a b a b ∴==∴+=∴+='∴当ab=8时，S △PQC =4，棱锥C′-PQC 的体积最小，∵直线CC ′与平面PQC′所成的角为30°，∴C 到平面PQC ′的距离12=∵V C′-PQC =V C-PQC′， 114833PQC PQC S S '∆'∆∴⨯⨯=⨯=故选B点睛：本题考查了线面角的计算，空间向量的应用，基本不等式，对于三棱锥的体积往往进行等积转化,可以求对应的三角形的面积.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是xOy ()222:420C x y x ay a a +--+=∈R （ ）A. 若，则点在圆外 0a ≠OC B. 圆与轴相切C x C. 若圆截轴所得弦长为C x 1a =D. 点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为 O C 2a 【答案】AD 【解析】【分析】利用点与圆的位置关系可判断A 选项；求出圆心到轴的距离，可判断B 选项；利用弦长的一半、x 弦心距以及圆的半径三者满足勾股定理求出的值，可判断C 选项；对原点在圆上、圆外进行分类讨a C C 论，求出点到圆上一点的最大距离和最小距离，可判断D 选项.O C 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，C ()()2224x y a -+-=()2,C a 2对于A 选项，若，则有，即点在圆外，A 对； 0a ≠()()22202044a a -+-=+>O C 对于B 选项，因为圆心到轴的距离为，而与的大小关系不确定， C x a a 2所以，圆与轴不一定相切，B 错；C x 对于C 选项，若圆截轴所得弦长为，解得，C 错；C x 2222a +=1a =±对于D 选项，当时，点在圆上，0a =O C点到圆上一点的最大距离为，点到圆上一点的最小距离为，则； O C 4O C 02400⨯=当时，则点在圆外，且2a ≠O C OC ==所以，点到圆， O C 2+2则点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为.O C )222244a a =+-=综上所述，点到圆上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D 对. O C 2a 故选：AD.10. 如图，在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是1111ABCD A B C D -,,E F G 111111,,C D C B A B （ ）A.1A E CG ⊥B. 平面平面 GFC ⋂ABCD AC =C. 平面DE //GFCD. 异面直线与 1A D FC 【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得出，可判断A ；因为四点共面，所以平面平面11CC GC ⊥,,,G F A C GFC ⋂可判断B ；由线面平行的判定定理可判断C ；由异面直线所成角可判断D .ABCD AC =【详解】对于A ，连接，易证，因为平面， 1GC 11//A E GC 1CC ⊥1111D C B A 而平面，所以，1GC ⊂1111D C B A 11CC GC ⊥所以在中，与不垂直，所以不垂直，故A 不正确；1GC C △1GC GC 1A E CG ，对于B ，连接，因为分别为的中点， 11,AC A C ,F G 1111,C B A B 所以，所以四点共面， 11////A C AC GF ,,,G F A C 所以平面平面，故B 正确；GFC ⋂ABCD AC =对于C ，连接，易证，所以四边形是平行四边形， GE //,GE AD GE AD =ADEG 所以，所以平面，平面， //ED GA ED ⊄GFAC AG ⊂GFAC 所以平面，故C 正确；DE //GFC对于D ，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角， 1B C 11//A D B C 1A D FC 1B C FC 即，设正方体的边长为， 1FCB ∠2所以，111FC B C B F =====所以， 22211cos 2FC CB FB FCB FC CB +-∠====⋅所以异面直线与，故D 正确. 1A D FC故选：BCD .11. 设等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的是（ ） {}n a n n S 20220S >20230S <A. 最大 B. 1011S 10111012a a >C. D.10120a >202220230S S +<【答案】AB 【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式推导出，，即可判断A 、B 、C ，利用特101110120a a +>10120a <殊值判断D.【详解】因为，， 20220S >20230S <所以，()()1202210111012202220222022022a a a a S ++==>()12023100122230202320232S a a a +==<所以，，故C 错误； 101110120a a +>10120a <所以，且，故B 正确；10110a >10111012a a >所以，则单调递减，且， 101210110d a a =-<{}n a 12101110120a a a a >>>>>> 所以最大，故A 正确，1011S 令，，则，，则，故D 错误. 10115a =10121a =-20224044S =20232023S =-202220230S S +>故选：AB12. 已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点2:,E y x O =x 1l 41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭E 反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，延长交的准线()11,A x y E ()22,B x y 2l Q AO E 于点，则下列结论正确的是（ ）CA. B. 1214x x =54AB =C. D.ABP QBP ∠=∠CB CQ ∥【答案】CD 【解析】【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线经过抛物线的焦点，直线平行于轴，由此可求出点AB 2l x 的坐标，判断各选项的真假．,A B 【详解】如图所示：因为过点且轴，故， 141,1,16P l ⎛⎫⎪⎝⎭P 1//l x (1,1)A 故直线，化简得， 101:1414AF y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-4133y x =-由消去并化简得，24133y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩x 231044y y --=所以，，故A 错误； 1214y y =-()21212116x x y y ==又, 故，B ， 11y =214y =-11,164⎛⎫- ⎪⎝⎭故，故B 错误； 121125116216AB x x p =++=++=因为，故为等腰三角形，所以， 412511616AP AB =-==APB △ABP APB ∠=∠而，故，即，故C 正确；12l l //PBQ APB ∠=∠ABP QBP ∠=∠直线，由 得，，:AO y x =14y xx =⎧⎪⎨=-⎪⎩11,44C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故，所以 三点共线，故D 正确． C B y y =,,C B Q 故选：CD ．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，若与垂直，则___________.(1,1,2),(0,2,3)a b =-= ka b + 2a b -k =【答案】## 34-0.75-【解析】【分析】由向量垂直可得，即可求出.()()20a b ka b +⋅=-【详解】因为，(1,1,2),(0,2,3)a b =-=所以，，(),2,23ka b k k k +=-++ ()22,0,1a b -=-因为与垂直，ka b + 2a b -所以，解得.()()()()()22202310ka b a b k k k +⋅-=-⨯-++⨯++⨯= 34k =-故答案为：.34-14. 若 圆被直线平分，则圆的半径为__________. 22:40C x y mx y ++-=220x y ++=C【答案】 【解析】【分析】首先根据条件确定圆心在直线上，代入求后，即可求圆的半径. m 【详解】若圆被直线平分，则直线过圆心， C 220x y ++=圆的圆心为，即， 22:40C x y mx y ++-=,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭22202m ⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭解得：，4m =则圆，则圆的半径为. ()()22:228C x y ++-=C故答案为：15. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱ABCDEF ,M N的中点，则__________.,AD AC FM BN ⋅=【答案】## 522.5【解析】【分析】根据题意得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求12BN AC AB =- 12FM AB AD =--解.【详解】由题意，可得，，12BN AN AB AC AB =-=- 12FM FD DM BA DM AB AD =+=+=--又由正八面体的棱长都是，且各个面都是等边三角形，ABCDEF 2在中，由，可得，所以，ABD△2,AB AD BD ===222AB AD BD +=AB AD ⊥所以21()()411112222AD AB AC AB AD AC FM B AD AB AB AC AB N ---⋅=⋅=⋅-⋅+-+⋅.211111522022214422222=-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯+=--+=故答案为：.5216. 已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，{}n a n S {}n a n 112n n nS a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭11n n n n a b S S ++=是数列的前项和，则_______.n T {}n b n 99T =【答案】910【解析】【分析】利用将变为，整理发现数1n n n a S S -=-112nn n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项2n S 2n S n a n a n S n b n b 和．【详解】 112nn n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11112)2n n n n n S S S n S S --⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝--⎭（1112n n n n n S S S S S --+-∴-=222211111(1)1)21(1n n n n n n n n S S S S S S S S S n n n n ---+=--==+∴∴∴-=+-==≥∴）当时，符合，1n =11S==nS n S ∴=1-=-=n n n a S S(2)n≥当时，符合，1n =11a==n a n a ∴=11n n n n a b S S++===9912399119111010T b b b b =+++=+=-= 【点睛】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整1n n n a S S -=-1n n S S --n a n a 1n n S S --理带来方便．先求，再求，再求，一切都顺其自然．n S n a n b 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.17. 已知直线和直线. 1:0l x ay a +-=()2:2320l ax a y a --+-=（1）若，求实数的值；12l l ⊥a（2）若，求实数的值. 12l l ∥a 【答案】（1）0或2 （2）3-【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； 12120A A B B +=（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 1221A B A B =a 【小问1详解】 若，则12l l ⊥，解得或2；()1230a a a ⎡⎤⨯+⨯--=⎣⎦0a =【小问2详解】 若，则12l l ∥，解得或1.223a a ∴=-+3a =-时，，满足， 3a =-12:330,:3950l x y l x y -+=-+=12l l ∥时，，此时与重合，1a =12:10,:10l x y l x y +-=+-=1l 2l 所以.3a =-18. 已知等差数列的首项为1，其前项和为，且是2与的等比中项. {}n a n nS 511S -（1）求数列的通项公式； {}n a （2）若是数列的前项和，求证：. n T 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 12nT <【答案】（1）()*21N n a n n =-∈（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，在由等差{}n ad (()25211S =⨯-数列的通项公式和前项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式； n 2d ={}n a （2）由裂项相消法求和即可； 【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意，{}n ad (()25211S =⨯-即，解得，()()413251011d d +=+-2d =，()11221n a n n ∴=+-⋅=-即数列的通项公式为.{}n a ()*21N n a n n =-∈【小问2详解】，()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+ 12233411111n n n T a a a a a a a a +∴=++++ 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭. 1111112212422n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭19. 在三棱锥中，平面，平面平面.-P ABC BC⊥PAB PAC ⊥ABC（1）证明：平面；PA ⊥ABC （2）若为中点，求向量与夹角的余弦值. ,PA D ==PC AP BD【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的性质定理和判定定理证明即可；（2）由，求出，，由空间向量夹角的公式代入求解即可. ()12BD BA AP BC =++ BD AP BD ⋅【小问1详解】证明：过点作于点，B BO AC ⊥O平面平面，平面平面平面，PAC⊥ABC PAC ,ABC AC BO =⊂ABC 平面，又平面. BO ∴⊥PAC PA ⊂,PAC BO PA ∴⊥平面平面.BC ⊥ ,PAB PA ⊂,PAB BC PA ∴⊥平面平面.,,BC BO B BC BO ∴⋂=⊂,ABC PA ∴⊥ABC 【小问2详解】由（1）知，设， ,,BC PA BC AB PA AB ⊥⊥⊥1AB =则.1PA BC ==为中点，， D PC ()()1122BD BP BC BA AP BC ∴=+=++()12BD BA AP BC =++==()2142AP BD AP BA AP AP BC ∴⋅=⋅++⋅=cos AP BD AP BD AP BD⋅⋅==⋅与. AP ∴u u u r BD 20. 已知是各项均为正数的等比数列，. {}n a 1322,216a a a ==-+（1）求的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和. 2log n n n b a a ={}n b n n T 【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，解方程求出，{}n a q 22416q q =-+2q =即可求出的通项公式；{}n a （2）求出，再由错位相减法求和即可. 2nn b n =⋅【小问1详解】设等比数列的公比为，由，得， {}n a q 1322,216a a a ==-+22416q q =-+即，解得（舍）或.2280q q +-=4q =-2q =.111222n n n n a a q --∴==⨯=【小问2详解】，2log 2n n n n b a a n ==⋅1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯L 相减得：，()12311212121212122212n n n n nT n n ++--=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯=-⨯- ，()111222122n n n n n +++=--⨯=-⨯-所以()1122n n T n +=-⨯+21. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，P ABCD -，二面角的大小为，90,224ADC BCD AD BC CD ∠∠======= P AD B --120 是中点.E PA（1）求证：平面； BE PCD （2）求二面角的余弦值. E BD A --【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先利用线线平行证明线面平行，再证面面平行，最后由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【小问1详解】取中点，连接，因为直角梯形中，AD O ,BO EO ABCD ，且，所以四边形是平行四边形， 122BC AD OD ===BC AD ∥OBCD 平面平面， ,BO DC DC ∴⊂∥,PDC BO ⊄PDC 平面.BO ∴ PDC 又是中点平面平面，E PA ,EO PD PD ∴⊂∥,PDC EO ⊄PDC 平面，EO ∴ PDC 又平面，平面平面，,EO BO O EO BO ⋂=⊂,EOB ∴EOB PDC 平面平面.BE ⊂ ,EOB BE ∴ PCD 【小问2详解】连接，由知：， PO ,PA PD OA OD ==PO AD ⊥由（1）知：且，BO DC ∥90ADC BO AD ∠=∴⊥ ，在平面内过点作交于点，120POB ∠∴= POB O ⊥OF OB PB F 则两两互相垂直，,,OA OB OF 以为坐标原点，以方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，O ,,OA OB OF,,x y z则， ()()()(()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,,2,0,0,1,2O A B P D E ⎛--- ⎝从而， ()12,2,0,3,2DB DE ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，BED (),,,0,0n x y z n DB n DE =∴⋅=⋅=即，令，得，2201302x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1x=1,1,n ⎛=- ⎝ 易知平面的一个法向量为， ABD ()0,0,1m =cos ,m n m n m n⋅∴===⋅由题意知，二面角为锐二面角， E BD A --所以二面角E BD A --22. 已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中,M N 221:14x C y -=222:14x C y -=MN 点在双曲线的渐近线上.1C （1）设的斜率分别为，求证：为定值；,OM ON 12,k k 12k k （2）判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. MON △【答案】（1）证明见解析（2）定值，1 【解析】【分析】（1）设，借鉴点差法原理构造求解.()()1122,,,M x y N x y （2）设，联立双曲线，可找到，同理可找出，由1:OM y k x =221:14x C y -=2121414x k =-2222441x k =-面积公式表示出化简即可.MON S 【小问1详解】设，则()()1122,,,M x y N x y 22111,4x y -=222214x y -=-加油！有志者事竟成20由的中点在双曲线的渐近线上，则，MN 1C 2122122042x x y y +⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪⎝⎭即 22221212121220442x x x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212202x x y y ∴-=为定值. 12121214y y k k x x ∴==【小问2详解】（1）1:OM y k x =（2）221:14x C y -=联立（1）（2）得：2121414x k =-同理，2222441x k =-设到直线的距离为，则N OM d d 由（1）知：1122MON S OM d ∴=⋅⋅=1214kk =MON S∴===1===。

蚌埠市—第一学期期末学业水平监测高二数学(人文科学方向）本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间1。

第1卷(阅读题50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上．(不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填)1．下列所述能够构成随机事件的是………………………………………………………【】A．水利工程 B．保障房建设C．摸彩票中头奖 D．红灯停，绿灯行2．a表示“处理框”，b表示“输入、输出框”，c表示“起、止框”，d表示“判断框”，以下四个图形依次为…………………………………………………………………………………………【】A.abcdB.dcabC.cbadD.bacd3．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是……………………………………………………………【】A．对立事件 B．互斥但不对立事件c．均为不可能事件 D．均为必然事件4．阅读下列程序：甲：乙：对甲乙两程序及输出结果判断正确的是………………………………………………【】A．程序不同，结果不同 B．程序不同，结果相同c．程序相同，结果不同 D．程序相同，结果相同5．ι1,ι2，ι3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是………………………………【】6．右图是全等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是…………………【】A．3 B．2 C．1 D．07．下列命题中错误的是……………………………………………………………………【】A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面卢，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αnβ=ι，那么ι⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下机数：907 966 19l 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为………………………………【】A. 0.35 B．0.25 C．0. D．0.159．若曲线C：x2+γ2+2αx-4αy+5α2-4=0上所有的点均在第二象限内，则α的取值范围为………………………………【】A．(-∞，-2) B．(-∞，-1)C．(1，+∞) D．(2，+∞)10.右图中，x1，x2，x3，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8．5时，x3等于……………………………………………………………【】A．11 B．10C．8 D．7蚌埠市—第一学期期末学业水平监测高二数学(人文科学方向）本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间1。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：安徽省蚌埠市20XX-20XX 学年高二上学期期末学业水平检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若命题p ：∃x 0∈R ，2x 02+1≤2，则该命题的否定是()A. ∃x 0∈R ，2x 02+1>2B. ∃x 0∈R ，2x 02+1≥2C. ∀x ∈R ，2x 2+1≤2D. ∀x ∈R ，2x 2+1>2 【答案】D【解析】解：由特称命题的否定可知：命题p 的否定是“∀x ∈R ，2x 2+1>2，故选：D ．由特称命题的否定方法可得．本题考查特称命题的否定，属基础题． 2. 已知直线x +my −3=0的倾斜角为30∘，则实数m 的值为()A. −√3B. −√33C. √33D. √32【答案】A【解析】解：直线x +my −3=0的倾斜角为30∘，∴tan30∘=−1m ，则实数m =−√3．故选：A ．直线x +my −3=0的倾斜角为30∘，可得tan30∘=−1m ，即可得出．本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 抛物线x 2=4y 的准线方程是()A. y =−1B. y =−2C. x =−1D. x =−2【答案】A【解析】解：由x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−p2，则抛物线x 2=4y 的准线方程是y =−1，故选：A ．由x 2=2py(p >0)的准线方程为y =−p 2，则抛物线x 2=4y 的准线方程即可得到．本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题． 4. 空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC =∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是()A. 平行B. 异面C. 相交或平行D. 平行或异面或相交均有可能【答案】D【解析】解：如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选：D．根据条件作出示意图，容易得到三种情况．此题考查了直线的位置关系，难度不大．5.已知直线l过点P(−1,√3)，圆C：x2+y2=4，则直线l与圆C的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相切或相交D. 相离【答案】C【解析】解：因为P(−1,√3)在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交．故选：C．因为P(−1,√3)在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交．本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m//β，β⊥α，则m⊥αC. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αD. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α【答案】D【解析】解：对于A，由n//α可知存在直线a⊂α，使得a//n，故当m为α内与a垂直的直线时，显然m⊥n，m⊂α，故A错误；对于B，设α∩β=a，则当m为α内与a平行的直线时，m//β，m⊂α，故B错误；对于C，设α∩β=a，则当m为β内与与a平行的直线时，m//α，故C错误；对于D，由m⊥β，n⊥β可得m//n，又n⊥α，故m⊥α，故D正确．故选：D．根据空间线面位置关系的性质与判定判断．本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．7.已知a⃗=(1,−2,3)，b⃗ =(−1,1，−4)，c=(1,−3,m)，则“m=1”是“a⃗，b⃗ ，c构成空间的一个基底”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：①当“m=1”时，c=(1,−3,1)，易得：a⃗，b⃗ ，c不共面，即a⃗，b⃗ ，c能构成空间的一个基底，即“m=1”是“a⃗，b⃗ ，c构成空间的一个基底”的充分条件，②当a⃗，b⃗ ，c 能构成空间的一个基底，则a ⃗ ，b ⃗ ，c 不共面，设a ⃗ ，b ⃗ ，c 共面，即c =x a ⃗ +y b ⃗ ，解得：{x −y =1y −2x =−33x −4y =m ，即{x =2y =1m =2，即a ⃗ ，b ⃗ ，c 能构成空间的一个基底时，m 的取值范围为：m ≠2，即当a ⃗ ，b ⃗ ，c能构成空间的一个基底，不能推出m =1，即“m =1”是“a ⃗ ，b ⃗ ，c 构成空间的一个基底”的不必要条件综合①②得：“m =1”是“a⃗ ，b ⃗ ，c 构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选：A ．由共面向量定理可得：：①当“m =1”时，c =(1,−3,1)，易得：a ⃗ ，b ⃗ ，c 不共面，即a ⃗ ，b ⃗ ，c 能构成空间的一个基底，②当a ⃗ ，b ⃗ ，c 能构成空间的一个基底，则a ⃗ ，b ⃗ ，c 不共面，解得：m ≠2，综合①②得解本题考查了向量共面的判断及充分必要条件，属中档题．8. 直线l ：y =k(x −2)与双曲线x 2−y 23=1仅有一个公共点，则实数k 的值为()A. √3B. −√3C. ±√3D. ±√33【答案】C 【解析】解：由x 2−y 23=0得y =±√3x ，即双曲线的渐近线为y =±√3x ，当直线l ：y =k(x −2)与渐近线y =±√3x ，平行时，直线l ：y =k(x −2)与双曲线x 2−y 23=1仅有一个公共点，此时k =±√3时，当k ≠±√3时，∵直线l ：y =k(x −2)恒过定点(2,0)，且(2,0)在双曲线的内部，则直线l 不可能与双曲线相切，∴满足条件的k 的值为±√3，故选：C ．根据直线和双曲线有一个公共点，得到直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切，然后进行求解即可．本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，结合直线和双曲线只有一个公共点，转化为直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切是解决本题的关键． 9. 圆x 2+y 2=8与圆x 2+y 2+4x −16=0的公共弦长为()A. 8B. 4C. 2D. 1【答案】B【解析】解：两圆方程作差得x =2，当x =2时，由x 2+y 2=8得y 2=8−4=4，即y =±2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2,−2)，则|AB|=2−(−2)=4，故选：B ．两圆作差得到公共弦方程.联立方程组求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行计算即可．本题主要考查两圆公共弦弦长的计算，利用作差法求出公共弦方程以及求出交点坐标是解决本题的关键.比较基础．10. 如图，在正三棱锥P −ABC 中，AB =√2PA ，M 为PC 中点，则直线BM 与AC 所成角的余弦值为()A. √1010B. √32C. √36D. 12【答案】A【解析】解：取PA 中点N ，连结BN ，MN ，设AB =√2PA =2，则∠BPA =∠BPC =∠APC =90∘，∴BN =BM =√BP 2+PN 2=√2+12=√102，MN =1，且MN//AC ，∴∠BMN 是直线BM 与AC 所成角(或所成角的补角)，cos∠BMN =BM 2+MN 2−BN 22⋅BM⋅MN=120XX+1−120XX2×√102×1=√1010．∴直线BM 与AC 所成角的余弦值为√1010．故选：A ．取PA 中点N ，连结BN ，MN ，设AB =√2PA =2，则∠BPA =∠BPC =∠APC =90∘，推导出BN =BM =√BP 2+PN 2=√102，MN =1，且MN//AC ，∠BMN 是直线BM 与AC 所成角(或所成角的补角)，由此能求出直线BM 与AC 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 11. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线√3x +y =0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为()A. √2−1B. √3−1C. √5−2D. √6−2【答案】B【解析】解：设F(−c,0)关于直线√3x +y =0的对称点A(m,n)，则{nm+c ⋅(−√3)=−1√3⋅m−c 2+n2=0，∴m =c2，n =√32c ，代入椭圆方程可得c24a 2+34c 2b 2=1，a 2=b 2+c 2，化简可得e 4−8e 2+4=0，∴e =√3−1，故选：B ．求出F(−c,0)关于直线 √3x +y =0的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率．本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．12. 某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为()A. 5πB.220XXπC. 8πD.283π【答案】D【解析】解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，由三视图可知定点A 在底面的射影为CD 的中点F ，底面BCD 为到腰直角三角形，BD ⊥CD ，设外接球的球心O ，E ，M 分别是△BCD ，△ACD 的外心，OE ⊥平面BCD ，OM ⊥平面ACD ，则E 为BC 中点，EC =√2，OE =FM =AF 3=√33.OC =R ，在△OEC 中，由勾股定理得：R 2=(√2)2+(√33)2，解得R 2=73，故S 球表=28π3故选：D ．作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径．本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 半径为6的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为______． 【答案】9√3π【解析】解：如图所示，半径为6的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为6，设圆锥的底面半径为r ，则2πr =6π，即r =3，∴圆锥的高h =√62−32=3√3，∴圆锥的体积为V =13⋅π⋅32⋅3√3=9√3π.故答案为：9√3π.根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面半径和高，即可求得圆锥的体积．本题考查了圆锥的侧面展开图与侧面面积和锥体体积的计算问题，是基础题．14. 已知直线经过点A(1,−1)，且直线l 的一个法向量n ⃗ =(2,1)，则直线l 的方程为______． 【答案】2x +y −1=0【解析】解：直线l 的一个法向量n⃗ =(2,1)，则直线l 的斜率k =−112=−2．∴直线l 的方程为：y +1=−2(x −1)，化为：2x +y −1=0．故答案为：2x +y −1=0．直线l 的一个法向量n⃗ =(2,1)，可得直线l 的斜率，利用点斜式即可得出．本题考查了直线的法向量、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1x 2−y 1y 2=______． 【答案】20【解析】解：抛物线的焦点坐标为F(2,0)，当过F 的直线的斜率k 不存在时，x 1=x 2=2，此时y 2=8×2=16，即y =±4，即y 1y 2=−4×4=−16，则x 1x 2−y 1y 2=2×2−(−16)=4+16=20，当过F 的直线的斜率k 存在时，过F 的直线方程为y =k(x −2)，联立方程y 2=8x 得ky 2−8y −16k =0，则y 1y 2=−16k k=−16，又x 1x 2=y 128×y 228=16×168×8=4，则x 1x 2−y 1y 2=4+16=20，故答案为：20．求出抛物线的焦点坐标，和直线方程，联立方程组利用根与系数之间关系进行求解是即可．本题主要考查直线和抛物线位置关系的应用，联立直线方程组，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．16. 过点P(0,3)作直线l ：(m +n)x +(2n −4m)y −6n =0的垂线，垂足为点Q ，则点Q 到直线x −2y −8=0的距离的最小值为______． 【答案】√5【解析】解：直线l ：(m +n)x +(2n −4m)y −6n =0，化为m(x −4y)+n(x +2y −6)=0，联立{x +2y −6=0x−4y=0，解得x =4，y =1．∴直线l 经过定点M(4,1)．线段PM 的中点G(2,2)．∵PQ ⊥l ．∴点Q 在以点G 为圆心，以|PG|=√5为半径点圆上．其圆的标准方程为：(x −2)2+(y −2)2=5．圆心G 到直线x −2y −8=0点距离d =√5=2√5．∴点Q 到直线x −2y −8=0的距离的最小值为√5．故答案为：√5．直线l ：(m +n)x +(2n −4m)y −6n =0，化为m(x −4y)+n(x +2y −6)=0，可得直线l 经过定点M(4,1).线段PM 的中点G.根据PQ ⊥l.可得点Q 在以点G 为圆心，以|PG|为半径点圆上.利用点到直线的距离公式可得点Q 到直线x −2y −8=0的距离的最小值．本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知命题p ：方程x 2m−1+y 25−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数m 满足m+1m−4<0.若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：若方程x 2m−1+y 25−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则{5−m >0m −1>20XX −m >m −1，即{m <5m >1m <3，即1<m <3，由实数m 满足m+1m−4<0得−1<m <4，若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，若p 真q 假，则{m ≥4或m ≤−11<m<3，此时m 无解，若p 假q 真，则{−1<m <4m≥3或m≤1，得−1<m ≤1或3≤m <4，即实数m 的取值范围是−1<m ≤1或3≤m <4．【解析】求出命题平面p ，q 为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．本题主要考复合命题真假关系应用，求出命题p ，q 为真命题的等价条件是解决本题的关键． 18. 已知直线l 1：2x +y +1=0，l 2：ax +2y +8+a =0，且l 1//l 2．(1)求直线l 1与l 2的距离；(2)已知圆C 与直线l 2相切于点A ，且点A 的横坐标为−2，若圆心C 在直线l 1上，求圆C 的标准方程．【答案】解：(1)∵l 1//l 2，∴a 2=21≠8+a 1，解得a =4，∴l 1：2x +y +1=0，l 2：2x +y +6=0，故直线l 1与l 2的距离d =|6−1|√12+22=5√5=√5．(2)当x =−2代入2x +y +6=0，得y =−2，所以切点A 的坐标为(−2,−2)，从而直线AC 的方程为y +2=12(x +2)，得x −2y −2=0，联立2x +y +1=0得C(0,−1)．由(1)知⊙C 的半径为√5，所以所求圆的标准方程为：x 2+(y +1)2=5．【解析】(1)先由两直线平行解得a =4，再由平行直线间的距离公式可求得；(2)代x =−2得A(−2,−2)，可得AC 的方程，与l 1联立得C(0,−1)，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．19. 如图，在三棱锥P −ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PB ，AB ，BC的中点，已知PA ⊥AB ，PA =2，AC =4，DF =√5．(1)求证：直线PA//平面DEF ；(2)求证：平面CDE ⊥平面ABC ．【答案】证明：(1)∵D ，E ，F 分别为棱PB ，AB ，BC 的中点，∴PA//DE ，又DE ⊂平面DEF ，PA ⊄平面DEF ，∴PA//平面DEF ．(2)∵D ，E ，F 分别为棱PB ，AB ，BC 的中点，DF =√5，∴DE =1，EF =2，∴DE 2+EF 2=DF 2，∴DE ⊥EF ，又PA ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，EF ∩AB =E ，∴DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面ABC ．【解析】(1)推导出PA//DE ，由此能证明PA//平面DEF ．(2)推导出DE ⊥EF ，PA ⊥AB ，DE ⊥AB ，从而DE ⊥平面ABC ，由此能证明平面CDE ⊥平面ABC ．本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知抛物线C 1：y 2=92x ，双曲线C 2：x 2−y 23=1.若抛物线C 1与双曲线C 2在第一象限的交点是P ，直线l 过点P ，斜率为2．(1)求双曲线C 2的渐近线方程及其离心率；(2)求直线l 被抛物线C 1所截得的弦长． 【答案】解：(1)双曲线C 2：x 2−y 23=1，则渐近线方程为y =±√3x ，离心率e =ca =2，(2)由{y 2=92x x 2−y 23=1，解得{y =±3x=2，∵点P 在第一象限，∴P(2,3)，∴直线l 的方程为y −3=2(x −2)，即y =2x −1，由{y =2x −1y 2=92x ，消y 可得8x 2−17x +2=0，从而x 1+x 2=178，x 1x 2=14，∴直线l 被抛物线C 1所截得的弦长d =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=15√58【解析】(1)根据双曲线的性质即可求出，(2)先求出直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出．本题考查了双曲线的性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题 21. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线A 1C 与平面AB 1D 1和平面C 1BD 分别交于点G ，H ．(1)求证：点G ，H 是线段A 1C 的三等分点；(2)在棱D 1C 1上是否存在点M ，使得二面角M −BD −C 1的大小为60∘？若存在，求D 1MD 1C 1的值；若不存在，请说明理由．【答案】证明：(1)连结A 1B ，交AB 1于O ，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，∴A 1B ⊥AB 1，且BC ⊥平面A 1B 1BA ，∴AB 1⊂平面A 1B 1BA ，BC ⊥AB 1，又A 1B ∩BC =B ，∴AB 1⊥平面A 1BC ，∵A 1C ⊆平面A 1BC ，∴AB 1⊥A 1C ，同理，B 1D 1⊥A 1C ，又AB 1∩B 1D 1=B 1，∴A 1C ⊥平面AB 1D 1，设正方体棱长为1，则由V A−A 1B 1D 1=V A 1−AB 1D 1，得：13×12×1×1×1=13×√34×(√2)2⋅A 1G ，解得A 1G =√33，同理，HC =√33，由题意知A 1C =√3，∴G ，H 是线段A 1C 的三等分点．解：(2)如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设D 1MD1C 1=m ，即M(0,m ，1)，m ∈[0,1]，则B(1,1，0)，A 1(1,0，1)，C(0,1，0)，由(1)知A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面C 1BD 的一个法向量，且A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,m ，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，设平面MBD 的一个法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =my +z =0DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +y =0，令x =1，得n ⃗ =(−1,1，m)，由cos60∘=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ||A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |，得12=|−2−m|√3⋅√2+m 2，由m ∈[0,1]，得m 无解，故棱D 1C 1上不存在点M ，使得二面角M −BD −C 1的大小为60∘．【解析】(1)连结A 1B ，交AB 1于O ，推导出BC ⊥AB 1，AB 1⊥A 1C ，B 1D 1⊥A 1C ，从而A 1C ⊥平面AB 1D 1，设正方体棱长为1，则由V A−A 1B 1D 1=V A 1−AB 1D 1，能求出A 1G =√33，同理，HC =√33，由题意知A 1C =√3，由此能证明G ，H 是线段A 1C 的三等分点．(2)以D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱D 1C 1上不存在点M ，使得二面角M −BD −C 1的大小为60∘．本题考查线段的三等分点的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(2,0)，过点F 的直线交椭圆C 于A ，B两点，且AB 的中点坐标为(43,−23).(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆的下顶点为D ，经过点(2,2)且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同两点P ，Q(均异于点D)，证明：直线DP 与DQ 的斜率之和为定值．【答案】解：(1)A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=83，y 1+y 2=−43，由{x 12a2+y 12b 2=1x 22a2+y 22b2=1，两式相减1a 2(x 1+x 2)(x 1−x 2)+1b 2(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，∴k AB =y 1−y2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x2y 1+y 2=2b 2a 2，∵k AB =0+232−43=1，∴2b 2a 2=1，∵4=c 2=a 2−b 2，解得b 2=4，a 2=8，∴椭圆方程为x 28+y 24=1，证明：(2)由题设可设直线PQ 的方程为y −2=k(x −2)，k ≠2，代入x 28+y 24=1，得(1+2k 2)x 2−8k(k −1)x +8k(k −2)=0，由已知△>0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=8k(k−1)1+2k 2，x 1x 2=8k(k−2)1+2k 2，从而直线DP ，DQ 的斜率之和k DP +k DQ =y 1+2x 1+y 2+2x 2=kx 1−2k+4x 1+kx 2−2k+4x 2=2k +(4−2k)x 1+x 2x 1x 2=2k +2(2−k)⋅8k(k−1)8k(k−2)=2k −2(k −1)=2，故直线DP 与DQ 的斜率之和为定值 【解析】(1)利用点差法可得2b 2a 2=1，再根据4=c 2=a 2−b 2，解得b 2=4，a 2=8，即可求出椭圆方程；(2)设直线PQ 的方程为y −2=k(x −2)，k ≠2，代入椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DP 与DQ 的斜率之和为定值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．。

蚌埠市2020——2021学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上﹒120y ++=的倾斜角是A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知P ，Q 是不同的点，l ，m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列数学符号表示的命题中，不是．．公理的是 A ．P l ∈，Q l ∈，P α∈，Q l αα∈⇒⊂ B ．P α∈，P β∈⇒存在唯一直线l ，l αβ=，且P l ∈C ．//l m ，////m n l n ⇒D ．m α⊥，//n m n α⊥⇒ 3．抛物线214y x =的焦点坐标是 A ．()0,1B ．()1,0C ．1,016⎛-⎫⎪⎝⎭D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭4．如图所示一平面图形的直观图，则此平面图形可能是A ．B ．C ．D ．5．直线:210l x y --=和圆22:4640M x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =A ．2B ．4C ．D ．66．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 7．如图，用一个平面截圆柱得一椭圆面，平面与圆柱底面所成的锐二面角为60︒，则椭圆的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．28．已知空间中l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若l m ⊥，l n ⊥，则//m n9．下列说法中，错误．．的是 A ．命题“0x ∃∈R ，200220x x ++≤”否定为“x ∀∈R ，2220x x ++≤”B ．命题“若220m n +=，则0m =且0n =”的否命题是“若220m n +≠，则0m ≠或0n ≠”C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题D ．命题“若a ，b 都是偶数，则a b +是偶数”的逆命题是假命题10．设离心率为e 的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l 过焦点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是 A ．221k e -<B ．221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->11．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π12．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段P A ，PB 的中点都在抛物线上，则 A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．P A 与PB 垂直第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案直接填在答题卡上． 13．空间直角坐标系中，点()1,3,4关于平面xOz 的对称点坐标为_________．14．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1CC 的中点，则异面直线AP 与1BC 所成角的大小为_________． 15．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角的大小为_________．16．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则三棱锥P ABC -的体积为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）正四棱台1AC 的高是17cm ，两底面的边长分别是4cm 和16cm ，求这个棱台侧棱的长和斜高．18．（本小题满分12分）已知直线:(1)(23)60m a x a y a -++-+=，直线:230n x y -+=．（1）当0a =时，直线l 经过m 与n 的交点，且l n ⊥，求直线l 的方程； （2）若//m n ，求直线m 与n 间的距离． 19．（本小题满分12分）已知2:2350p x x --≤，:[(1)][(21)]0q x m x m -+--≤（其中实数2m >）． （1）分别求出p ，q 中关于x 的不等式的解集M ，N ； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知圆C 过点()1,0，且与圆22(3)4x y +-=外切于点(0,1)，点()(),00P m m ≠是x 轴上的一个动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）当圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，其中O 为坐标原点，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）如图所示，在七面体ABCDEFG 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，////BE CF DG ，BE ⊥底面ABCD ，2BE CF DG ===．（1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）在线段BC 上是否存在点M ，使得平面AGE 与平面MGE ，若存在求出线段BM 的长；若不存在说明理由﹒22．（本小题满分12分）温馨提示：本题为选做题，其中省示范高中、北师大附校、北大培文一律选择B 题作答，其它学校的考生自主选择，请先在答题卷相应位置按要求做标注再答题．（A ）已知圆(22:16C x y +=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP相交于点Q ，点Q 的轨迹为曲线E ．动直线l 交曲线E 于M ，N 两点，且始终满足OM ON ⊥，O 为坐标原点，作OH MN ⊥交MN 于点H ． （1）求曲线E 的方程；（2）证明：OH 为定值．（B ）已知圆(22:16C x y +=，点()G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分线和CP相交于点Q ，点Q 的轨迹为曲线E ．曲线E 与x 轴的正半轴交于A 点，与y 轴的正半轴交于B 点，动直线l 交曲线E 于M ，N 两点，且始终满足OM ON ⊥，O 为坐标原点，作OH MN ⊥交MN 于点H ． （1）求曲线E 的方程； （2）求HA HB ⋅的取值范围．蚌埠市2020——2021学年度第一学期期末学业水平监测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13．()1,3,4- 14．4π15．40°16．三、解答题： 17．（本题满分10分）解：如图所示，设棱台的两底面的中心分别是1O 和O ，11B C 和BC 的中点分别是1E 和E ，连接1O O ，1E E ，11O B ，OB ，11O E ，OE ，则四边形11OBB O 和11O EE O 都是直角梯形．∵114cm A B =，16cm AB =，∴112cm O E =，8cm OE =，11O B =，OB =． ∴()2221111361B B O O OB O B =+-=，()2221111325E E O O OE O E =+-=．∴119cm B B =，1E E =．即棱台的侧棱长为19cm，斜高为cm ．18．（本题满分12分）解：（1）当0a =时，直线:360m x y --=，由360230x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得219x y =-⎧⎨=-⎩，即m 与n 的交点为()–21,9-．由//l n ，设直线l 的方程为20x y t ++=， 代入点()–21,9-，解得51t =，直线l 的方程为2510x y ++=．（2）由//m n ，得2(1)23a a --=+，解得14a =-， 此时直线m 的方程为250x y --=，直线m 与n=． 19．（本题满分12分）解：（1）由22350x x --≤，得(7)(5)0x x -+≤，解得57x -≤≤，即[]5,7M =-，由2m >，得()()21120m m m --+=->， 所以211m m ->+，解得121m x m +≤≤-，即[]1,21N m m =+-． （2）由p 是q 的必要不充分条件，知NM ，所以51721m m -≤+⎧⎨≥-⎩，等号不同时取，解得64m -≤≤，又2m >，则实数m 的取值范围是(]2,4．20．（本题满分12分）解：（1）设圆222:()C x y b r +-=，则2222221(0)0(1)b r b r ⎧+-=⎨+-=⎩， 解得，0b =，1r =，故圆C 的标准方程为：221x y +=； （2）当圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，等价于直线)3y x m =-或()3y x m =--与圆C 有交点，由对称性可知点O 到直线()3y x m =-或()3y x m =--距离相等．点O 到直线0x m -=的距离小于等于半径1，1≤，解得22m -≤≤，故实数m 的取值范围是[]2,2-．21．（本题满分12分）（1）证明：∵//DG CF ，CF ⊂面BCFE 且DG面BCFE∴//DG 面BCFE又∵//AD BC ，BC ⊂面BCFE 且AD 面BCFE ∴//AD 面BCFE∵AD ⊂面ADG ，DG ⊂面ADG ，且AD DG D =∴面//ADG 面BCFE∵AG ⊂面ADG ，∴//AG 面BCFE ．（2）解：取BC 中点为H ，则DA ，DH ，DG 三线两两垂直以D 为坐标原点，以DA ，DH ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，假设存在M 满足条件，则(01)BM BC λλ=≤≤，由题得：()2,0,0A ，()B ，()C -，()E ，()0,0,2G ， ∵BM BC λ=，∴点M 坐标为：()12λ-，∴(2,0,2)AG =-，()2AE =-，()21,MG λ=-，()2,0,2ME λ=， 设平面AGE 的一个法向量为：()1111,,n x y z =， 平面MGE 的一个法向量为：()2222,,n x y z =，则111111122020n AG x z n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令1x =11y =-，1z =∴1(3,1n =-，同理可得21,n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，由题意得：121243147n n n n ⋅==⋅， 解得：23λ=或269λ=（舍）， ∴43BM =． 22．（A ）（本题满分12分） （1）由圆(22:16C x y +=，可得圆心()3,0C ，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点Q 在线段PG 的垂直平分线上，所以GQ PQ =，所以4GQ QC PQ QC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，c =2431b =-=，所以曲线E 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时：设l 的方程为：x t =，则易得t =:l x =∴H 点的坐标为：5⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，OH =②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx m x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩， 可得()()222418410k x kmx m +++-=． 由0∆>得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+， 又因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=， 即()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=， 代入解得()22415k m +=，∴2222415m kOH ===+，从而OH = 综上，OH 为定值．22．（B ）（本题满分12分） （1）由圆(22:16C x y +=，可得圆心)C，半径4r =，因为4GC =<，所以点G 在圆C 内，又由点Q 在线段PG 的垂直平分线上，所以GQ PQ =， 所以4GQ QC PQ QC GC +=+=>，由椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，c =2431b =-=，所以曲线E 的方程为2214x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时：设l 的方程为：x t =，则易得5t =±，即:5l x =±∴H点的坐标为：5⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：(0)y kx m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx m x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩， 可得()()222418410k x kmx m +++-=． 由0∆>得22410k m +->，且122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+， 又因为OM ON ⊥，所以0OM ON ⋅=，即12120x x y y +=， 即()()()()221212121210x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=， 代入解得()22415k m +=，∴2222415m k OH ===+， 综上：点H 的轨迹方程为2245x y +=．记线段AB 的中点为D，2OD = 直线AB 与圆224:5O x y +=相切， 则22254HA HB HD AD HD ⋅=-=-，25251010HD ∈-+=⎣⎦⎣⎦，25614,455HD ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴HA HB ⋅的取值范围为614,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。

2014-2015学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 36．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4 C． D． 6二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．2014-2015学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．解答：解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．点评：本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题．2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，得到结论．解答：解：∵两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，∴命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，∴甲是乙的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件的关系，若把互斥事件和对立事件都看做一个集合时，后者对应的集合是前者对应集合的子集．3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：当a=0时，直线的倾斜角为；当a≠0时，求出直线的斜率，由斜率的范围可得直线的倾斜角的范围．解答：解：当a2=0，即a=0时，直线方程为x=﹣1，直线的倾斜角为；当a2≠0，即a≠0时，直线的斜率为k=＜0，则直线的倾斜角为钝角，即α＜π．∴直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 3考点：条件语句；循环语句．专题：算法和程序框图．分析：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．解答：解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B点评：涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．6．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组，由于共有2个小组，则有2种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，确定试验发生包含的事件数和满足条件的事件数是关键．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A正确；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．9．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：直线ax+y+1=0与线段AB有交点，说明两点的坐标代入ax+y+1所得的值异号，或直线经过其中一点，由此得不等式求得a的取值范围．解答：解：∵A（﹣2，2）、B（1，1），由直线ax+y+1=0与线段AB有交点，∴A，B在直线ax+y+1=0的两侧或直线经过A，B中的一点．可得（﹣2a+2+1）（a+1+1）≤0．即（2a﹣3）（a+2）≥0，解得：a≤﹣2或a．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：C．点评：本题考查了二元一次方程组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，是基础题．10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4 C． D． 6考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=3，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O，A，B的平面与SC 垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．解答：解：如图，由题意△ASC，△BSC均为等腰直角三角形，且SA=AC=SB=BC=3，所以∠SOA=∠SOB=90°，所以SC⊥平面ABO．又AB=3，△ABO为正三角形，则S△ABO=×32=，进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB=××6=．故选C．点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC⊥平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法．二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是x∉A且x∉B ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据命题的否定的定义写出即可．解答：解：若命题p：x∈（A∪B），则￢p是：x∉A且x∉B，故答案为：x∉A且x∉B．点评：本题考查了命题的否定，是一道基础题．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为4．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，画出图形，结合图形解答问题即可．解答：解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4；∴该梯形的面积为4．故答案为：4．点评：本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，是基础题目．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于 5 ．考点：简单线性规划；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用A∩B≠∅，建立直线和平面区域的关系求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A∩B≠∅说明直线与平面区域有公共点，由3x+2y﹣m=0得m=3x+2y．由图象可知在点A（1，1）处，函数m=3x+2y取得最小值，此时m=3+2=5．故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用m的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先根据集合的定义求出在所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，再找到满足对∀∈A，则∈A”的集合的种数，利用古典概型的概率公式求出概率即可解答：解：M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，其中满足条件“对∀∈A，则∈A”的有{，3}，{，2}，{1}，{1，，3}，{1，，2}，{，，2，3}，{，，1，2，3}共7种，故恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是故答案为：点评：本题考查了根据古典概型的概率公式计算随机事件的概率，属于基础题15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的x的范围，根据p，q的关系，从而确定a的范围．解答：解：p：1≤x＜3，q：x2﹣ax≤x﹣a⇔（x﹣1）（x﹣a）≤0，∵￢p⇒￢q，∴q⇒p，∴a≥1，∴q：1≤x≤a，∴实数a的范围是：[1，3）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由已知中圆的方程，我们先确定出圆的圆心的坐标，然后根据与已知直线垂直的直线的直线系方程，我们设出与直线2x+y=0垂直的直线方程（含参数λ），将圆心坐标代入可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），由=4，解出k值，可得直线方程．解答：解：（1）由已知，圆的标准方程为x2+（y+l）2=1，圆心坐标为（0，﹣1）设与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y+λ=0则2+λ=0，所以λ=﹣2故经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y﹣2=0；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0，由条件得=4，∴k=﹣，故直线方程为3x+4y﹣20=0．综上，直线l的方程为x=﹣4或3x+4y﹣20=0．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，考查点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．考点：直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，由此能证明四边形BCHG是平行四边形．（2）由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GA，BR=GA，从而得到四边形BEFG是平行四边形，由此能推导出C，D，F，E四点共面．解答：（1）证明：由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形．（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GF，BE=GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．点评：本题考查了立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由古典概型公式可得关于n的方程，解之即可；（2）由条件列举出所有可能的基本事件，找出符合的有几个，即可的答案．解答：解：（1）由题意可知：=，解得n=4．（2）不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：（0，1），（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（1，0），（1，21），（1，22），（1，23），（1，24），（21，0），（21，1），（21，22），（21，23），（21，24），（22，0），（22，1），（22，21），（21，23），（21，24），（23，0），（23，1），（23，21），（23，22），（23，24），（24，0），（24，1），（24，21），（24，22），（24，23），共30个，事件A包含的基本事件为：（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（21，0），（22，0），（23，0），（24，0），共8个．故事件A的概率P（A）==点评：本题为古典概型的求解，数准基本事件数是解决问题的关键，属基础题．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）由AC1⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A1B⊥平面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，再由线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1．（III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC1A1．即BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案．解答：证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，∴侧面ABB1A是一正方形．∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．∴在△AB1C中，ED是中位线．∴B1C∥ED．又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．…（4分）（II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD，∴AC1⊥A1B，又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥平面AB1C1．又∵B1C1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1．∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．∴BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．又∵AB=BC=1∴BD=∴AC=A1C1=∴三棱锥B﹣A1C1D的体积V=•BD•=•A1C1•AA1=K=…（12分）点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面平行，线面垂直的判定定理是解答的关键．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：（1）直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得即可得出；（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．由于直线不经过第二象限，可得，解得k．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．（3）由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．S==•|﹣2﹣k|==，利用基本不等式的性质即可得出．解答：（1）证明：直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得x=1，y=﹣2，∴直线l过定点P（1，﹣2）．（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．∵直线不经过第二象限，∴，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．综上可得：k的取值范围是[0，+∞）；（3）解：由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．∴S==•|﹣2﹣k|===4．当且仅当k=2时取等号．∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣4=0．点评：本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

蚌埠市2021-2022学年度第一学期期末学业水平监测高二数学一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．在空间直角坐标系下，点(1,5,2)P -关于yOz 平面的对称点的坐标为（）A ．(1,5,2)-B ．(1,5,2)-C ．(1,5,2)D ．(1,5,2)---2．已知直线30x my ++=和()2340m x y -++=互相垂直，则实数m 的值为（）A ．1-B ．1C ．1或2D ．23．两圆2236x y +=和()()22341x y -++=的位置关系是（）A ．内切B ．外离C ．外切D ．相交4．已知双曲线222:1(0)x C y b b-=>，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．30x y ±=B ．30x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=5．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是()A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507a =B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且507c =C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且507c =6．函数2()2ln f x x x m x =-+在定义域上是增函数，则实数m 的取值范围为（）A ．12m ≥B ．12m >C ．12m ≤D ．12m <7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若()123413243,2,2a a a a a a a a a ≠⋅=-=-，则下列结论正确的是（）A ．2q =B ．72a =C ．88a =D ．6126S =8．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，则下列说法错误的是（）A ．数列{}2na 一定是等比数列B ．数列{}ln n a 一定是等差数列C ．数列n S n ⎧⎫⎨⎩⎭一定是等差数列D ．数列{}1n n a a ++可能是常数数列9．在下列命题中正确的是（）A ．已知,,a b c是空间三个向量，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc=++ B ．若,C AB D 所在的直线是异面直线，则,C AB D不共面C ．若三个向量,,a b c 两两共面，则,,a b c共面D ．已知A ，B ，C 三点不共线，若111236OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面10．已知直线l 与抛物线24y x =交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若直线,OA OB 的斜率之积为1-，则直线l 恒过定点（）A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(0,4)-D ．(4,0)-11．在正方体中1111ABCD A B C D -中，4AB =，若点P 在侧面11BCC B （不含边界）内运动，1AP BD ⊥，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BP 与11B D 所成角的余弦值是（）A ．10B ．12C D ．1012．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比(1)λλ≠为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，(2,0),(4,0)A B -，点P 满足||1||2PA PB =，设点P 的轨迹为C ，下列结论正确的是（）A ．C 的方程为22(4)16x y -+=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，ABP △面积的最大值为24C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(,4,4),(1,,2)a b λλ== ，若a b∥，则实数λ=___________.14．抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则实数=a ___________.15．已知函数()sin cos f x x x =+在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线为直线l ，则l 与坐标轴围成的三角形面积为___________.16．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1ABF 是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF 的面积为___________.三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.17．已知函数32()5f x x ax bx =-++-在1x =-处有极值1-.(1)求常数a ，b 的值；(2)求函数()f x 在[2,0]-上的最值.18．已知直线:(2)(21)40l m x m y m +-++-=，圆22:4680C x y x y +--+=.(1)求证：直线l 恒过定点；(2)若直线l 的倾斜角为45︒，求直线l 被圆C 截得的弦长.19．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，,,1CE AC EF AC AB CE EF ⊥===∥.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求平面ABE 与平面BDE 的夹角.20．已知等差数列{}n a 公差不为0，25a =且1413,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)记11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .21．已知函数()(1)f x x x αα=--，其中α为常数，且01α<<(1)求证：0x >时，()1f x ≤；(2)已知a ，b ，p ，q 为正实数，满足1p q +=，比较pa qb +与p q a b 的大小关系.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为k 的直线与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，O 为坐标原点，若MON △的2212x x +是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.23．已知抛物线E ：22(0)y px p =>过点Q (1，2)，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足△PAB 的垂心为原点O .（1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.1．C 【分析】根据空间坐标系中点的对称关系求解【详解】点(1,5,2)P -关于yOz 平面的对称点的坐标为(1,5,2)，故选：C 2．B 【分析】由两直线垂直可得出关于实数m 的等式，求解即可.【详解】由已知可得()12310m m ⨯-+⨯=，解得1m =.故选：B.3．A 【分析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆2236x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为16r =，圆()()22341x y -++=的圆心坐标为()3,4-，半径为21r =，两圆圆心距为5d =，则12d r r =-，因此，两圆2236x y +=和()()22341x y -++=内切.故选：A.4．B 【分析】根据a 的值和离心率可求得b ,从而求得渐近线方程.【详解】由双曲线222:1(0)x C y b b-=>，知1c a a ==，则c =222=9b c a -=，故3b =，所以双曲线C 的渐近线方程为13y x =±，即30x y ±=，故选：B.5．D 【详解】由条件知a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n 项和，即502450.7c c c c ++=⇒=故答案为D .6．A 【分析】根据导数与单调性的关系即可求出．【详解】依题可知，()220mf x x x'=-+≥在()0,∞+上恒成立，即221122222m x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，所以12m ≥．故选：A ．7．D 【分析】根据()34132432,2a a a a a a a ⋅=-=-，可求得1,a q ，然后逐一分析判断各个选项即可得解.【详解】解：因为12a a ≠，所以1q ≠，因为()32432a a a a -=-，所以()32322a a q a a -=-，所以12q =，故A 错误；又3412a a a ⋅=，所以25112a q a =，所以164a =，所以6771811,1a a q a a q ====，故BC 错误；所以()66161641121261112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===--，故D 正确.故选：D.8．B 【分析】可根据已知条件，设出公差为d ，选项A ，可借助等比数列的定义使用数列{}n a 是等差数列，来进行判定；选项B ，数列{}ln n a ，可以取0n a ＜，即可判断；选项C ，可设2n S An Bn =+，表示出nS n再进行判断；选项D ，可采用换元，令1n n n b a a +=+，求得1n n b b +-的关系即可判断.【详解】数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，选项A ，数列{}n a 是等差数列，那么112222n n n n a a a d a ++-==为常数，又20n a ＞，则数列{}2na 一定是等比数列，所以选项A 正确；选项B ，当0n a ＜时，数列{}ln n a 不存在，故该选项错误；选项C ，数列{}n a 是等差数列，可设2n S An Bn =+（A 、B 为常数），此时，nn S C An B n==+，则1n n C C A +-=为常数，故数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等差数列，所以该选项正确；选项D ，1n n n b a a +=+，则122n n n n b b a a d ++-=+=，当0d =时，10n n b b +-=，此时数列{}1n n a a ++可能是常数数列，故该选项正确.故选：B.9．D 【分析】对于A ，利用空间向量基本定理判断，对于B ，利用向量的定义判断，对于C ，举例判断，对于D ，共面向量定理判断【详解】对于A ，若,,a b c 三个向量共面，在平面α，则空间中不在平面α的向量不能用,,a b c表示，所以A 错误，对于B ，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当,C AB D所在的直线是异面直线时，,C AB D有可能共面，所以B 错误，对于C ，当三个向量,,a b c两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C 错误，对于D ，因为A ，B ，C 三点不共线，111236OD OA OB OC =++ ，且1111236++=，所以A ，B ，C ，D 四点共面，所以D 正确，故选：D 10．A 【分析】设出直线方程x my t =+，联立抛物线方程，得到12124,4y y m y y t +==-，进而得到12x x 的值，将直线,OA OB 的斜率之积为1-，用A ,B 点坐标表示出来，结合12x x 的值即可求得答案.【详解】设直线方程为1122,(,),(,)x my t A x y B x y =+，联立24x my ty x=+⎧⎨=⎩，整理得：2440y my t --=，需满足2(4)160m t ∆=-+>，即20m t +>，则12124,4y y m y y t +==-，由2211224,4y x y x ==，得：222121216y y x x t ==，所以121212121OA OB y y y y k k x x x x ⋅=⋅==-，即241t t -=-，故4t =，所以直线l 为：4x my =+，当0y =时，4x =，即直线l 恒过定点(4,0)，故选：A.11．A 【分析】如图建立空间直角坐标系，先由1AP BD ⊥，且点P 到底面ABCD 的距离为3，确定点P 的位置，然后利用空间向量求解即可【详解】如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则11(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(4,4,4),(0,0,4)A B C B D ，所以111(0,4,4),(4,0,4),(4,4,4)AB CB BD ===--，所以111116160,16160AB BD CB BD ⋅=-+=⋅=-+=，所以1111,AB BD CB BD ⊥⊥ ，因为111AB CB B = ,所以1BD ⊥平面1AB C ，因为平面1AB C 平面111BCC B B C =，点P 在侧面11BCC B （不含边界）内运动，1AP BD ⊥，所以1P B C ∈，因为点P 到底面ABCD 的距离为3，所以(3,4,3)P ，所以(1,0,3)BP =-，因为11(4,4,0)B D =--，所以异面直线BP 与11B D所成角的余弦值为111111cos ,10BP B D BP B D BP B D ⋅==，故选：A12．C 【分析】根据题意可求出C 的方程为22(4)16x y ++=，即可根据题意判断各选项的真假．【详解】对A ，由||1||2PA PB =可得=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，A 错误；对B ，当A ，B ，P 三点不共线时，点P 到直线AB 的最大距离为4，所以ABP △面积的最大值为146122创=，B 错误；对C ，当A ，B ，P 三点不共线时，因为||1||2OA PA PB OB ==，所以射线PO 是APB ∠的角平分线，C 正确；对D ，设(),M x y ，由||2||MO MA =可得点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，而圆22(4)16x y ++=与圆2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心距为844433-<-，两圆内含，所以这样的点M不存在，D 错误．故选：C ．13．2【分析】利用向量平行的条件直接解出λ.【详解】因为向量(,4,4),(1,,2)a b λλ== ，且a b∥，所以4412λλ==，解得：λ=2.故答案为：214．14-##0.25-【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数a .【详解】抛物线2y ax =化为标准方程：21x y a=，其准线方程是1y =，而212,02x y a a =-⨯<-（）所以114a =-，即14a =-，故答案为：14-15．21122π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】先求出切线方程，分别得到直线与x 、y 轴交点，即可求出三角形的面积.【详解】由函数()sin cos f x x x =+可得：函数()cos sin f x x x '=-，所以122(2()sin()cos )f πππ=+=，122()cos(si 2n()f πππ'=-=-.所以切线l ：112y x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即102x y π+--=.令0x =，得到12y π=+；令0y =，得到12x π=+；所以l 与坐标轴围成的三角形面积为21112122122S πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎛⎫+⎝⎭ ⎪⎭.故答案为：21122π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.16．3【分析】根据题意可知，121,2,4AF AB BF a BF a ===，再结合120A ∠=︒，即可求出各边，从而求出1ABF 的面积．【详解】120A ∠=︒ ，所以1212,24,AF AB BF AF AF a ==-==12248BF BF a a =+==，而1ABF 是120A ∠=︒的等腰三角形，所以1AF AB ==，故1ABF 的面积为1sin1202 ．．17．(1)6,9a b =-=-；(2)最大值为-1，最值为-5.【分析】(1)根据给定条件结合函数的导数建立方程，求解方程并验证作答.(2)利用导数探讨函数()f x 在[2,0]-上的单调性即可计算作答.(1)依题意：2()32f x x ax b '=-++，则(1)230(1)41f a b f a b -=-+-=⎧⎨-=--=-'⎩，解得：6,9a b =-=-，当6,9a b =-=-时，2()31293(1)(3)f x x x x x =---=-++'，当31x -<<-时，()0f x '>，当1x >-时，()0f x '<，则函数()f x 在1x =-处有极值(1)1f -=-，所以6,9a b =-=-.(2)由(1)知：32()695f x x x x =----，2()31293(1)(3)f x x x x x =---=-++'，[2,0]x ∈-，当21x -≤<-时，()0f x '>，当10-<≤x 时，()0f x '<，因此，()f x 在[2,1]--上单调递增，在[1,0]-上单调递减，于是得max ()(1)1=-=-f x f ，而(2)3f -=-，(0)5f =-，则min ()5f x =-，所以函数()f x 在[2,0]-上的最大值为-1，最值为-5.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）直线方程变形后令m 的系数等于0消去参数即可求得定点坐标.（2）先求出圆心C 到直线l 的距离，然后用勾股定理即可求得弦长.(1):(21)240l m x y x y -++--=，联立210,240,x y x y -+=⎧⎨--=⎩得：3,2,x y =⎧⎨=⎩即直线l 过定点（(3,2).(2)由题意直线l 的斜率2121m k m +==+，即1m =，∴:10l x y --=，圆22:(2)(3)5C x y -+-=，圆心(2,3)C ，半径r =圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 所截得的弦长为=.19．(1)证明见解析(2)6π【分析】（1）由题意可证得,,CE CD CE BC CD BC ⊥⊥⊥，所以以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量求解(1)∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD 平面,ACEF AC CE AC =⊥，∴CE ⊥平面ABCD ，∴,,CE CD CE BC CD BC ⊥⊥⊥，以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1),,122A B D E F ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,,122BD BE AF ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量为111(,,)n x y z =，则111100BD n BE n z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =n = ，∵0,AF n AF ⋅=⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)((0,AB BE ==，设平面ABE 的法向量为222(,,)m x y z =，则22200AB m BE m z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2z =m = .∴|cos ,|||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ 由图可知平面ABE 与平面BED 的夹角为锐角，所以平面ABE 与平面BED 的夹角为6π.20．(1)21n a n =+，(2)n S n n =+(2)113(1)(3)nT n n =-++【分析】（1）根据分式的合分比性质以及等差数列的性质即可求出；（2）根据裂项相消法即可求出．(1)由题意：4131341441933a a a a d a a a a d-====-，即413a a =，又∵413a a d =+，∴132a d =，∴215522a a d d d =+==⇒=，∴21n a n =+，()1(2)2n n a a n S n n +==+.(2)因为1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，∴111111111113(1)(3)nnn i i i ii n T b S S S S n n ==++⎛⎫==-=-=- ⎪++⎝⎭∑∑.21．(1)证明见解析(2)q p a b pa qb≤+【分析】（1）根据导数判断出函数()f x 的单调性求出其最大值，即可证出；（2）由（1）知：11qb b q a a ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再变形即可得出q p a b pa qb ≤+．(1)因为12(),()(1)0f x x f x x αααααα--=-=-''<'，∴()'f x 在(0,)+∞上单调递减，又因为()01f '=，故当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)1f x f ≤=.(2)由（1）知：11qb b q a a ⎛⎫⎛⎫--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以a 得：1q q a b qb qa a --+≤，∴1(1)q q a b q a qb -≤-+，即q p a b pa qb ≤+.22．(1)22162x y +=(2)是定值，定值为6【分析】（1）根据题意条件，可直接求出c 的值，然后再利用条件中a 、b 的关系，借助222a b c =+即可求解出a 、b 的值，从而得到椭圆方程；（2）根据已知条件设出M 、N 所在的直线方程y kx m =+，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把MON △面积用k 和m 的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到k 和m 的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的2212x x +中即可得到答案.(1)由题意：a =，由22224a b c b =+=+知：a b ==故椭圆C 的标准方程为22162x y +=，(2)设MN ：y kx m =+，①椭圆22:162x y C +=.②联立①②得：()()222316320k x kmx m +++-=，2222223612(31)(2)12(62)0k m k m k m ∆=-+-=-+＞，即221312k m+＞∴()2121222326,3131m km x x x x k k -+=-=++，O 到直线l的距离d =∴121||2MONS MN d x =⋅=-12==∴22131m k =+，即2231m k =+，∴()()()222222121212222623623131m k m x x x x x x k k-+=+-=-++()()222222262662366m k m k m m m-+-=-==.故2212x x +为定值6.23．（1）24y x =；（2）证明见解析，PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】（1）将点Q 的坐标代入抛物线方程，由此求得p 的值，进而求得抛物线E 的方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线,AP BP 的方程，联立直线,AP BP 的方程求得P 的坐标，由此判断出动点P 在定直线3x =-上.求得PABQABS S ∆∆的表达式，利用基本不等式求得其最小值.【详解】（1）将Q 点坐标代入抛物线方程得2221,2p p =⨯=，所以24y x =.（2）由（1）知抛物线E 的方程为24y x =，所以()1,0F ，设直线l 的方程为1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，所以121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩.由于O 为三角形PAB 的垂心，所以221111PAPA OBPB OAPB x k y k k k k xk y ⎧=-⎪⋅=-⎧⎪⇒⎨⎨⋅=-⎩⎪=-⎪⎩，所以直线AP 的方程为()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+.同理可求得直线BP 的方程为12344y y x y =-+.由2112344344y y x y y y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，结合121244y y ty y +=⎧⎨⋅=-⎩，解得()3,3P t -，所以P 在定直线3x =-上.直线l 的方程为110x ty x ty =+⇒--=，P 到直线l的距离为1d =Q 到直线l的距离为2d =所以PAB QABS S ∆∆2121343232212222AB d t t t t t t AB d ⨯⨯+===+=+≥⨯⨯32,23t t t ==±时取等号.所以PAB QAB S S ∆∆的最小值为【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.。