指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0，a≠1) y=log a x(a＞0，a≠1) 定义域(-∞，+∞) (0，+∞)值域(0，+∞) (-∞，+∞)函数值变化情况当a＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1xxxa x当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1xxxa x当a＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0logxxxxa当0＜a＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0logxxxxa单调性当a＞1时，a x是增函数；当0＜a＜1时，a x是减函数.当a＞1时，log a x是增函数；当0＜a＜1时，log a x是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x的图像关于直线y=x对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．n y x =奇函数 偶函数 非奇非偶函数 1n >01n <<0n <OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定义域 R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶 奇在第Ⅰ象限的增减性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。

2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。

(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a ＞0，a ≠1) y=log a x(a ＞0，a ≠1)定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞)函 数 值 变 化 情 况当a ＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1x x x a x 当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1x x x a x 当a ＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0log x x x x a当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0log x x x x a单调性 当a ＞1时，a x是增函数；当0＜a ＜1时，a x是减函数.当a ＞1时，log a x 是增函数； 当0＜a ＜1时，log a x 是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x 的图像关于直线y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<n<定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一)指数与指数函数1．根式 (1）根式的概念(2)．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义)。

2．有理数指数幂 （1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0，r 、s ∈Q). ②（a r )s=a rs(a>0，r 、s ∈Q)。

③（ab ）r=a r b s（a 〉0，b>0,r ∈Q ）。

. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶y=a xa 〉1 0〈a<1图象定义域 R值域 （0，+∞）性质（1）过定点（0，1） （2）当x 〉0时，y>1。

x 〈0时,0<y<1（2) 当x>0时，0<y 〈1。

x<0时, y>1（3)在（—∞，+∞)上是增函数（3）在（—∞,+∞)上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,(2）y=b x,（3），y=c x（4），y=d x的图象，如何确定底数a,b ，c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1〉a 1>b 1，∴c>d 〉1>a 〉b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。

即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.]图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论. (3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较. (4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x(a ＞0，a ≠1) y=log a x(a ＞0，a ≠1)定义域 (-∞，+∞) (0，+∞) 值域 (0，+∞) (-∞，+∞)函 数 值 变 化 情 况当a ＞1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)0(1)0(1)0(1x x x a x 当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)0(1)0(1)0(1x x x a x 当a ＞1时⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>)1(0)1(0)1(0log x x x x a当0＜a ＜1时，⎪⎩⎪⎨⎧<>==><)1(0)1(0)1(0log x x x x a单调性 当a ＞1时，a x是增函数；当0＜a ＜1时，a x是减函数.当a ＞1时，log a x 是增函数； 当0＜a ＜1时，log a x 是减函数.图像y=a x的图像与y=log a x 的图像关于直线y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握ny x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<n<定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。

第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。

思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。

2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数： （1）2y x =； （2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-； （4）y =。

2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。

例1、分别画出下列幂函数的大致图像。

（1）43y x =； （2）12y x -=； （3）13y x =； （4）0y x =；（5）2y x-=； （6）12y x =； （7）32y x =； （8）23y x =（9）53y x =； （10）y x =； （11）13y x -=。

3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数； 当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。

例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。

求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。

解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。

例3、分别画出下列函数的大致图像。

（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。

例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。

(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=： 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的运算。

(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。

即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义如果a * = N （a - 0且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2） 几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a^ = N 。

（2）对数的重要公式:12叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；log a（3）对数的运算法则：如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N；N③log a M n二n log a M (n・ R)；④log m b n = —log a b。

指数对数幂函数总结归纳一、指数函数：1.定义与性质：指数函数的定义域为实数集，值域为正实数。

当底数为正数且不等于1时，指数函数是增函数；当底数为0和1之间的正数时，指数函数是减函数。

指数函数在x轴的值为1，右侧的值逐渐增加或递减。

它具有这样的性质：a^x * a^y = a^(x+y)，(a^x)^y = a^(xy)。

2.图像：指数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线，称为指数增长曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线，称为指数衰减曲线。

图像通过点(0,1)，且在x轴右侧逐渐上升或递减。

指数增长曲线在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；指数衰减曲线在x趋近无穷大时接近x轴。

3.应用：指数函数的应用十分广泛。

它可以用于描述一些增长或衰减的现象，如人口增长、物质衰变等。

在金融领域，指数函数可以用于计算复利。

在工程中，它可以用于描述电荷的衰减和放电等。

二、对数函数：对数函数是指数函数的反函数。

它的一般形式为y = loga(x)，其中a是底数，x是真数，y是函数值。

1.定义与性质：对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

当底数a大于1时，对数函数是增函数；当底数在0和1之间时，对数函数是减函数。

对数函数具有这样的性质：loga(x) + loga(y) = loga(xy)，loga(x^y) = yloga(x)。

2.图像：对数函数的图像在底数大于1时，呈上升曲线；在底数在0和1之间时，呈下降曲线。

图像通过点(1,0)，且右侧的值逐渐增大或减小。

对数函数在x趋近无穷大时接近y轴，但不会与y轴相交；在x轴右侧，它的值逐渐增大。

3.应用：对数函数在数学和科学中有广泛的应用。

它可以用于简化复杂的乘法和除法运算，将其转化为加法和减法。

在计算中，对数函数可以用于求解指数方程，解决一些复杂的问题。

在物理学中，对数函数可以用于描述一些指数增长的现象，如地震的震级等。

三、幂函数：幂函数是以x为底数的多项式函数。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（此中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0C0y yy Cx y 0xO O平行于x 轴的直线y 轴自己定义域R定义域R 二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；1y y x1.幂函数的图像：2y x2y xy x3y x1O x2.幂函数的性质；性质y x y x231y x1y x y x2函数定义域R R R[0,+ ∞ ){x|x ≠ 0}值域R[0,+ ∞ )R[0,+ ∞ ){y|y ≠ 0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单一性增[0,+∞) 增增增(0,+∞ )减(-∞ ,0] 减(-∞ ,0)减公共点（ 1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为x ( , )，他们的图形都经过原点，并当α>1 时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形对于原点对称；α为偶数时图形对于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除掉x=0 的全部实数；3）当α为正有理数m时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）假如 m>n 图形于 x 轴相切，假如m<n,图形于 y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称； m， n均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一确实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 之外的一确实数。

三、指数函数 y a x(x是自变量,a是常数且a0， a1)，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1.指数函数的图象：yy a x y a xy(a 1)(0a1)(0,1)y1(0,1)y1 O x O x2.指数函数的性质；性质y a x(a1)y a x(0 a 1)函数定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时，y 1单一性在（，）是增函数在（，）是减函数1 ）当a 1时函数为单调增 , 当0a 1时函数为单调减；2 ）不论x为何值 ,y 总是正的,图形在 x 轴上方；3 ）当x 0时 , y 1, 所以它的图形通过 (0,1) 点。

五种基本函数图像和性质1、幂函数形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

（1）图像几个常见的幂函数图像：注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

（2）性质：•幕函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点•所有幕函数在（0，+00）上都有定义，并且图像都经过点（1，1）。

•当a≤-1且a为奇数时，函数在第一、第三象限为减函数•当a≤-1且a为偶数时，函数在第二象限为增函数•当a=0且x不为0时，函数图象平行于x轴且y=1、但不过(0,1)•当a=1时，函数图像为过（0,0），（1,1）且关于原点对称的射线•当0<a<1时，函数是增函数•当a≥1且a为奇数时，函数是奇函数•当a≥1且a为偶数时，函数是偶函数（3）规律：把a看成分数•当分母为偶数时，函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限•当分母为奇数时，分子为偶数，函数为偶函数，图像在一、二象限，图像关于Y轴对称•当分母为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，图像在一、三象限，图像关于原点对称2、指数函数函数y=a^x（a>0且a≠1）叫做指数函数，自变量x叫做指数，a叫做底数函数的定义域是R.（1）图像（2）性质•指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的函数值恒大于零，定义域为R，值域为（0，+00）•指数函数y=a^x（a>0且a≠1）的图像经过点（0，1）•指数函数y=a^x（a>1）在R上递增，指数函数y=a^x（0 <a< 1）在R上递减•函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

•函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b))•指数函数无界•指数函数是非奇非偶函数•指数函数具有反函数，其反函数是对数函数3、对数函数一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。

且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。

函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。

三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。

1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。

.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。

4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) nm n m aa a +=⋅(2)nm nmaa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。