南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学试卷

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试历史一、选择题：本大题共20题，每题3分，共计60分。

在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。

1.据《史记》记载，公元前544年“齐相庆封有罪，自齐来奔吴。

吴予庆封朱方(县名，后改名为丹徒)之县，以为奉邑，以女妻之，富于在齐”。

材料反映了春秋时期A．分封制全面崩溃 B．宗法制荡然无存C．郡县制初现雏形 D．实行郡国并行制2.有学者在评论中国某一制度时说，它“导致……获取官职的机会对任何人开放，只要他们能证明自己有足够的学养”，并可以“培植全国人民对政治之兴味”。

这一制度是指A．郡县制 B. 科举制C．察举制 D．行省制3.西周时，“一人跖(踏)耒而耕，不过十亩”。

战国时期，“一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石”。

导致这一变化的原因有①铁犁牛耕的推广②各国变法的推行③土地私有制的确立④重农抑商政策的实行A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④4.英国科学家李约瑟认为“东亚的化学、矿物学、植物学、动物学和药物学都起源于道家”。

可以佐证这一观点的科技成就是A．造纸术 B．印刷术 C．火药 D．指南针5.天京变乱后流传着一首民谣：“天父杀天兄，终归一场空，长毛非正主，依旧让咸丰。

”该民谣反映出天京变乱的发生是由于A．宗教迷信思想的毒害 B．领导集团内部的自相残杀C．中外反动势力的绞杀 D．绝对平均主义思想的作崇6.“(清末)这个运动是在政治法律制度意识形态不能根本变革的约束下进行的，因此以坚持清朝政府的政治垄断，……坚持官办，官商合办，官督商办的制度，以此为基础来模仿发达国家的技术和工业化模式。

”材料所述的这一运动A．促使自然经济开始解体 B．诱导民族资本主义企业产生C．实现了富国强兵的目标 D．便利列强对中国的经济侵略7.历史学家陈旭麓说：“民族的反思，是在遭遇极大的困难中产生的。

一百数十年来，中华民族的第一次反思是在鸦片战争后，渐知诸事不如人，只有学习西方；第二次反思开始于‘五四’前后的新文化运动，何以学了西方仍然失败……”。

通州高级中学2011届高三期末模拟试卷数学试题一、填空题：1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是 3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为 ．5．复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 ． 6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = ． 7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π上的最大值为 ．8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ；②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ．9．设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的范围是______________．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 第3题图有交点的概率为 ． 11．设θγ,为常数（0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则2tan tan cos()sin ()4θγθγπθ+-=+12．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与 正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个 钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与 正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝ ．13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ． 14．定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1,2x x 总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212nn n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为上凸数列. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数,(110,)n n n N *≤<∈，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 . 二、解答题:15．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.（1）求证：1BD 平面1C DE ；DBCA 1B 1C 1D 1（第16题）EF（2）求三棱锥A BDF-的体积.17.如图，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R--+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的标准方程；（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH x⊥轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP PQ=，连结AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．18.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).19．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数．（1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{}n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S 满足416113S <<，这样的等比数列有多少个？通州高级中学2011届高三期末模拟试卷数学试题一、填空题：1．已知集合[1,5)A =，(,)B a =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是[5,)+∞ ． 2．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为5.10. 若要使该总体的方差最小，则b a 、的取值分别是5.10,5.10==b a3．已知流程图如图所示，为使输出的b 值为16，则判断框内①处应填 3 ． 4．函数log ()a y x b =+的图象如图所示，则a b +的值为35．复数z 满足34i 1(i z -+=是虚数单位)，则z 最大值为 6 ．第3题图6．已知向量(3,1)=-a ，(1,2)=-b ，若()k ⊥+a a b ，则实数k = 2 ． 7．函数2cos y x x =+在区间[]0,π6π．8．设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ；②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 4 ．9．设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的范围是_____40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦_________．10．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为ax －by －3＝0，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为1112． 11．设θγ,为常数（0,,,442πππθγ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭），若sin()sin()αγγβ++-=sin (sin θα sin )cos (cos cos )βθαβ-++对一切R ∈βα,恒成立，则2tan tan cos()sin ()4θγθγπθ+-=+ 212．用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与 正五边形数组，其排列的规律如下图所示：已知m 个 钢珠恰好可以排成每边n 个钢珠的正三角形数组与 正方形数组各一个；且知若用这m 个钢珠去排成每边 n 个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则 m ＝126 ．13．已知⊙A ：221x y +=，⊙B: 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为115． 14．定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1,2x x 总有不等式1212()()()22f x f x x xf ++≤成立，则称函数()f x 为该区间上的上凸函数. 类比上述定义，对于数列{}n a ，如果对任意正整数n ，总有不等式：212nn n a a a +++≤成立，则称数列{}n a 为上凸数列. 现有数列{}n a 满足如下两个条件： （1）数列{}n a 为上凸数列，且1101,28a a ==；（2）对正整数,(110,)n n n N *≤<∈，都有20n n a b -≤，其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第五项5a 的取值范围为 []13,25 .二、解答题:15．在ABC ∆中，已知()()3a b c a c b ac +++-=.（1）求角B 的度数；（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围.解：（1）由()()3a b c a c b ac +++-=得222a c b ac +-=由余弦定理得1cos 2B = 所以角3B =π--------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23A C +=π 222cos cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=++-11cos 2cos 22A A A =+-(2)16A =++πsin --------------------------------------------10分由203A <<π得32662A <+<πππ(2)16A ≤+≤π-1sin所以22cos cos()A A C +-的取值范围为[0，2] . -----------16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.（1）求证：1BD 平面1C DE ；（2）求三棱锥A BDF -的体积.解：（1）连接1D C 与1DC 交于点F ，连接EFDBCA 1B 1C 1D 1（第16题）E F因为E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.所以1EF BD又 EF ⊂平面1C DE ，1BD ⊄平面1C DE所以1BD 平面1C DE --------------------------------------------------------8分 （2）由于点F 到平面ABD 的距离为1故三棱锥A BDF -的体积111212213323A BDF F ABD ABD V V S --∆====-------- 17.如图， 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率e =（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．解：（1）将(2)(12)(12)0k x k y k --+++=整理得(22)210x y k x y --++-+=解方程组220210x y x y --+=⎧⎨-+=⎩得直线所经过的定点（0，1），所以1b =．由离心率e =得2a =． 所以椭圆的标准方程为24x +（2）设()00,P x y ，则220014x y +=． ∵HP PQ =，∴()00,2Q x y ．∴OQ ∴Q 点在以O 为圆心，2以AB 为直径的圆O 上．又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为0y =令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，∴0042,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭．∴()00,2OQ x y =，000022,2x y NQ x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．∴()()()()2200000000000000004242222222x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-++++ ()()0000220x x x x =-+-=．∴OQ NQ ⊥．∴直线QN 与圆O 相切．18.某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m 2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m 2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m 2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m 2的损失为250元.现在共派去x 名工人,抢修完成共用n 天. （Ⅰ）写出n 关于x 的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).解：（Ⅰ）由题意得所以.…………… 4分（Ⅱ）设总损失为……… 8分当且仅当时,即时,等号成立.所以应派52名工人去抢修,总损失最小.19．对于定义在区间D 上的函数f (x )，若存在闭区间[a ，b ]⊆D 和常数c ，使得对任意x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c ，且对任意x 2∈D ，当x 2∉[a ，b ]时，f (x 2)＞c 恒成立，则称函数f (x )为区间D 上的“平底型”函数．（1）判断函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|和f 2(x )＝x ＋|x －2|是否为R 上的“平底型”函数？并说明理由； （2）若函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数，求m 和n 的值． 解：（1）对于函数f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，当x ∈[1，2]时，f 1(x )＝1．当x ＜1或x ＞2时，f 1(x )＞|(x －1)－(x －2)|＝1恒成立，故f 1(x )是“平底型”函数． 对于函数f 2(x )＝x ＋|x －2|，当x ∈(－∞，2]时，f 2(x )＝2；当x ∈(2，＋∞)时， f 2(x )＝2x －2＞2．所以不存在闭区间[a ，b ]，使当x ∉[a ，b ]时，f (x )＞2恒成立． 故f 2(x )不是“平底型”函数．（2）因为函数g (x )＝mx ＋x 2＋2x ＋n 是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数， 则存在区间[a ，b ] ⊆[－2，＋∞)和常数c ，使得mx ＋x 2＋2x ＋n ＝c 恒成立.所以x 2＋2x ＋n ＝(mx －c )2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1，－2mc ＝2， c 2＝n ．解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，c ＝－1，n ＝1时，g (x )＝x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝2x ＋1>－1恒成立． 此时g (x )是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数．当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，c ＝1，n ＝1时，g (x )＝－x ＋|x ＋1|． 当x ∈[－2，－1]时，g (x )＝－2x －1≥1，当x ∈(－1，＋∞)时，g (x )＝1． 此时，g (x )不是区间[－2，＋∞)上的“平底型”函数． 所以m ＝1，n ＝1．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证数列{}n a 中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；（3）若从数列{}n a 中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S 满足416113S <<，这样的等比数列有多少个？ 解：（1）当1n =时，11122a S a +==，则11a =.又2n n a S +=，112n n a S ++∴+=，两式相减得112n n a a +=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的等比数列， 112n n a -∴=--------------------------------------------------------4分 （2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为111,,()p q r a a a p q r +++<< 则1112222q p r=+， 2221r qr p --∴=+（*） 又p q r << *,r q r p N ∴--∈∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立∴假设不成立 原命题得证. ------------------------------------------------8分 （3）设抽取的等比数列首项为12m ，公比为12n ，项数为k ， 且满足,,,0,1,1m n k N m n k ∈≥≥≥，则111221()21122m m k n n n S ⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦-- 又416113S << 14216112m n ∴>- 整理得：61224m m n --< ① 1n ≥ 122m n m --∴≤ 1612224m m m n --∴≤-< 4m ∴≤ 113S < 11213m ∴< 4m ∴≥ 4m ∴= 将4m =代入①式整理得6423n < 4n ∴≤ 经验证得1,2n =不满足题意，3,4n =满足题意. 综上可得满足题意的等比数列有两个.。

江苏省南通市2012-2013学年高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）如果角θ的终边经过点（﹣），则cosθ=﹣．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，求出cosθ即可．解答：解：因为角θ的终边经过点（﹣），所以由任意角的三角函数的定义可知：cosθ=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查基本知识的应用．2．（5分）若，则点（tanα，cosα）位于第二象限．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数值在各个象限的符号即可判断出．解答：解：∵，∴tanα＜0，cosα＞0，故点（tanα，cosα）位于第二象限．故答案为二．点评：熟练掌握三角函数值在各个象限的符号是解题的关键．3．（5分）函数y=sinπxcosπx的最小正周期是1．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式把函数的解析式化为sin（2πx），从而求得它的最小正周期．解答：解：∵函数y=sinπxcosπx=sin（2πx），故函数的周期为=1，故答案为1．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角公式的应用，属于基础题．4．（5分）化简sin15°cos75°+cos15°sin105°=1．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：先利用诱导公式把sin105°转化为sin75°，进而利用两角和的正弦函数求得答案．解答：解：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin（15°+75°）=sin90°=1故答案为：1点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和诱导公式的运用．考查了学生对基础知识的综合运用．5．（5分）把函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为y=﹣sin2x．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）x的系数变为原来的2倍，然后根据平移求出函数的解析式．解答：解：函数y=cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），得到y=cos2x，把图象向左平移个单位，得到y=cos[2（x+）]=cos（2x+）=﹣sin2x故答案为：y=﹣sin2x点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．准确理解变换规则是关键．6．（5分）求值sin（﹣）+cos=0．考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．解答：解：原式=sin（﹣4π+）+cos（2π﹣）tan4π﹣cos（4π+）=sin+0﹣cos=+0﹣=0．故答案为：0点评：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．7．（5分）已知sinα=3cosα，则sinαcosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由已知等式求出tanα的值，所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵sinα=3cosα，即tanα=3，∴sinαcosα====．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．8．（5分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，1），且⊥，则tanθ的值是﹣．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量的数量积的性质可知，•==0，然后结合同角基本关系tanθ=可求解答：解：由向量的数量积的性质可知，==0∴tanθ==．故答案为：﹣点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，属于基础试题9．（5分）设0≤θ＜2π时，已知两个向量，则的最大值为3．考点：向量的减法及其几何意义；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，可得向量关于θ的坐标形式，再化简得到||2=10﹣8cosθ，结合cosθ∈[﹣1，1]可得当θ=π时，||2的最大值为18，从而得到的最大值为=3．解答：解：∵∴=（2+sinθ﹣cosθ，2﹣cosθ﹣cosθ）因此，||2=（2+sinθ﹣cosθ）2+（2﹣cosθ﹣cosθ）2=4+4（sinθ﹣cosθ）+（sinθ﹣cosθ）2+4﹣4（sinθ+cosθ）+（sinθ+cosθ）2=10﹣8cosθ∵cosθ∈[﹣1，1]，∴当cosθ=﹣1时，||2的最大值为18，此时θ=π因此，可得当θ=π时，的最大值为=3故答案为：3点评：本题给出向量关于θ的坐标形式，求的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的最值和向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．10．（5分）设sinα=（），tan（π﹣β）=，则tan（α﹣2β）的值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由sinα的值，以及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再利用诱导公式求出tanβ的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan2β的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值．解答：解：∵sinα=，＜α＜π，∴cosα=﹣=﹣，tanα==﹣，又tan（π﹣β）=﹣tanβ=，∴tanβ=﹣，∴tan2β==﹣=﹣，则tan（α﹣2β）===．故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（5分）如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m+n=．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：利用CR的中点为P可得，利用BQ的中点为R可得，利用AP的中点为Q可得，故可求．解答：解：由题意，，，∴∴∴故答案为点评：本题的考点是平面向量的综合，主要考查平面向量的加法运算，关键是利用平面向量的加法法则，计算时要小心．12．（5分）（2012•浙江）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则•=﹣16．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ，再由=（﹣）•（﹣）以及两个向量的数量积的定义求出结果．解答：解：设∠AMB=θ，则∠AMC=π﹣θ．又=﹣，=﹣，∴=（﹣）•（﹣）=•﹣•﹣•+，=﹣25﹣5×3cosθ﹣3×5cos（π﹣θ）+9=﹣16，故答案为﹣16．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．13．（5分）设，则a，b，c的大小关系为a＜c＜b．考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：利用两角和的余弦公式及诱导公式，我们可得a=sin22°，由二倍角的正切公式，可得b=tan26°，由半角公式，可得c=sin26°，再结合正弦函数的单调性和同角三角函数关系，即可得到a，b，c的大小关系．解答：解：∵=cos60°•cos8°﹣sin60°•sin8°=cos68°=sin22°，=tan26°=sin26°∵sin22°＜sin26°＜tan26°∴a＜c＜b故答案为：a＜c＜b点评：本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据两角和余弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式、半角公式，求出a，b，c的值，是解答本题的关键．14．（5分）给出下列命题：（1）函数f（x）=4sin（2x+）的图象关于点（﹣）对称；（2）函数g（x）=﹣3sin（2x﹣）在区间（﹣）内是增函数；（3）函数h（x）=sin（x﹣）是偶函数；（4）存在实数x，使sinx+cosx=．其中正确的命题的序号是（1）（3）（4）．考点：命题的真假判断与应用；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据点（﹣）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（﹣）对称，故（1）正确；由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得y=sin（2x﹣）的增区间，可得（2）不正确；对于（3），利用诱导公式化简为y=﹣cosx，该函数是偶函数；（3）正确；（4）根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为sin（x+），再由正弦型函数的值域，可以判断（4）的真假．解答：解：当x=﹣时，函数f（x）=4sin（2x+）=0，故点（﹣）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（﹣）对称，故（1）正确．（2）由于函数g（x）=﹣3sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，取k=﹣1，得≤x≤﹣，故函数的增区间为[，﹣]，故（2）不正确．（3）由于h（x）=sin（﹣）=cos，从而h（﹣x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；（4）中令y=sinx+cosx=sin（x+）则﹣≤y≤，∵﹣≤≤，∴存在实数x，使得sinx+cosx=；即（4）正确．其中正确的命题的序号是（1）（3）（4）．故答案为：（1）（3）（4）．点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，判断命题的真假，以及y=Asin （ωx+∅）图象与性质，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．属于中档题．二、解答题：15题14分，16、17、18、19每题15分，20题16分，共90分．15．（10分）已知向量．（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题；向量法．分析：（1）根据三点构成三角形的条件，即只要三点不共线，根据共线的条件确定出m的值，从而解出A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件；（2）将几何中的角为直角转化为向量的语言，通过向量的数量积为零列出关于实数m的方程，求解出实数m．解答：解：（1）若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，∵，故知3（1﹣m）≠2﹣m∴实数时，满足条件．（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，∴3（2﹣m）+（1﹣m）=0解得．点评：本题考查向量的坐标形式的运算，考查向量共线与向量垂直的等价条件．关键要将几何问题通过向量工具解决出来，体现了转化与化归的思想．16．（14分）已知：如图，两个长度为1的平面向量，它们的夹角为，点C是以O为圆心的劣弧AB的中点．求：（1）的值；（2）的值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）根据条件先求出的值，再求出||=的值；（2）根据条件求出的值，再由减法运算得=（）•（），再展开进行求解即可．解答：解：（1）∵和的长度为1，夹角为，∴•=||||cos=﹣，∴|+|===1，（2）∵点C是以O为圆心的劣弧AB的中点，∴∠AOC=∠BOC=，∴，∴=（）•（）=﹣﹣+=﹣（﹣）﹣+1=．点评：本题考查了向量的数量积和减法运算，主要利用定义和性质进行求解．17．（15分）（2011•南通模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一个周期的图象如图所示．（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（α）+f（α﹣）=，且α为△ABC的一个内角，求sinα+cosα的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：常规题型；计算题．分析：（1）根据函数的图象，求出A、T，求出ω，函数x=﹣时，y=0，结合﹣＜φ＜求出φ，然后求函数f（x）的表达式；（2）利用f（α）+f（α﹣）=，化简出（sinα+cosα）2，2sinαcosα=＞0且α为△ABC的一个内角，确定sinα＞0，cosα＞0，求sinα+cosα的值．解答：解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1．函数f（x）的周期为T=4×（+）=π．而T=，则ω=2．又x=﹣时，y=0，∴sin[2×（﹣）+φ]=0．而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）．（2）由f（α）+f（α﹣）=，得sin（2α+）+sin（2α﹣）=，即2sin2αcos=，∴2sinαcosα=．∴（sinα+cosα）2=1+=．∵2sinαcosα=＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0．∴sinα+cosα=．点评：本题是基础题，考查函数解析式的求法，根据三角函数式，确定函数的取值范围，是解题的难点，考查学生视图能力，计算能力．18．（14分）已知函数f（x）=asinx•cosx﹣a（1）求函数的单调递减区间；（2）设x∈[0，]，f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求实数a，b的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于asin（2x﹣）+b，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即得函数的单调递减区间．（2）根据x∈[0，]，可得2x﹣的范围，sin（2x﹣）的范围，根据f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求得实数a，b的值．解答：解：（1）f（x）=asinx•cosx﹣ a =﹣+=﹣+b=asin（2x﹣）+b．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（2）∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1．∴f（x）min ==﹣2，f（x）max =a+b=，解得a=2，b=﹣2+．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，化简f（x）的解析式等于asin（2x﹣）+b，是解题的关键．19．（15分）已知：向量（1）若tanαtanβ=16，求证：；（2）若垂直，求tan（α+β）的值；（3）求的最大值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得sinαsinβ=16cosαcosβ，即4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，进而可得平行；（2）由垂直可得数量积为0，展开后由三角函数的公式可得tan（α+β）的值；（3）可得的坐标，进而可得模长平方的不等式，由三角函数的知识可得最值，开方可得．解答：解：（1）∵tanαtanβ=16，∴sinαsinβ=16cosαcosβ，∵，∴4cosα•4cosβ=sinα•sinβ，∴；（2）∵垂直，∴，即4cosαsinβ+4sinαcosβ﹣2（4cosαcosβ﹣4sinαsinβ）=0，∴4sin（α+β）﹣8cos（α+β）=0，∴tan（α+β）=2；（3）=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴=（sinβ+cosβ）2+（4cosβ﹣4sinβ）2=17﹣30sinβcosβ=17﹣15sin2β∴当sin2β=﹣1时，取最大值=点评：本题考查向量的平行和垂直，以及三角函数的综合应用，属基础题．20．（12分）在△ABC中，设向量，且，．（1）求证：A+B=；（2）求sinA+sinB的取值范围；（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．考点：正弦定理；平行向量与共线向量．专题：解三角形．分析：（1）由题意可得sin2A=sin2B，进而可得A=B，或A+B=，经验证可排除A=B；（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（）=sin（A+），由A的范围逐步可得；（3）可得x=，令sinA+cosA=t∈（1，]，换元后可得关于t的函数，由t的范围可得．解答：解：（1）∵向量，且，∴sinAcosA﹣sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，化简可得A=B，或A+B=，但A=B时有，与已知矛盾，故舍去，故有A+B=；（2）由（1）可知A+B=，故sinA+sinB=sinA+sin（）=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴1＜sin（A+）≤故sinA+sinB的取值范围是（1，]；（3）由题意可知x==，设sinA+cosA=t∈（1，]，则t2=1+2sinAcosA，故sinAcosA=，代入可得x===≥=2故实数x的取值范围为：[，+∞）点评：本题考查向量的平行和共线，涉及三角函数的运算，属基础题．。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．上．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________.3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________.9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

其中正确的命题的序号是___________.12、在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A 、、所对的边，且0543=++c b a ,则c b a ::=___________.13、设F 是双曲线12222=-by a x 的右焦点，双曲线两条渐近线分别为21,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交21,l l 于B A 、两点。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试政治注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共8页，包含选择题(第1题一第33题，共33题)和非选择题(第34题～第37题，共4题)两部分。

本次考试满分为120分，考试时间为100分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡上。

3．请认真核对答题卡表头规定填写或填涂的项目是否准确。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

一、单项选择题：本大题共33小题，每小题2分，共计66分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。

1．2011年12月12日至14日，中央经济工作会议在北京召开。

会议指出，面对复杂多变的国际政治经济环境和国内经济运行新情况新变化，必须牢牢把握的战略基点是A．扩大内需 B．扶持小微企业C·改革开放 D．保障和改善民生2·根据宏观调控的针对性、灵活性、前瞻性要求，中国人民银行宣布存款类金融机构人民币存款准备金率从2011年12月5日起A·上调0．25个百分点 B．下调0．25个百分点C．上调0．5个百分点 D．下调0．5个百分点3·2011年11月3 H 1时36分，和天宫一号目标飞行器成功实现首次交会对接的是A．萤火一号探测器 B．萤火二号探测器C．嫦娥二号飞船 D．神舟八号飞船4．2011年7月11日是第二十二个世界人口日，主题是A·人口、发展与环境 B．和青年人一起行动C·面对70亿人的世界 D．每个人都很重要5·201 1年12月9日，四国湄公河联合巡逻执法联合指挥部在云南省西双版纳关累码头成立，标志着四国执法警务合作的新平台正式建立。

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()a f x x=在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》(GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少．．平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b =+，b ∈R 与曲线21x y =-相切”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ． 8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．血液酒精含量（单位：mg/100ml ） 0~20 20~40 40~60 60~80 80~100 人数18011522Y开始 1i ←360i G ≥i i N G 打印， 1i i ←+N50i >N10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π3，且()()0-⋅-=a c b c ，则c 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ． 13．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆222 1 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，．（1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若0x x =()0π02x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形．．．．BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C 记为C '，且CC a '=（03a <<）．DC '（1）若32a =，求二面角C —BD —C '的大小；（2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由．18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分）已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值之和为0，(2)2f -=． （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=， 其中p 为常数. （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）D如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长．B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷一参考答案1. {}5；2. 3；3. 2；4. 0.09；5. π6； 6. 2b =-； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. 4327； 11. 737322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，； 12. 12； 13. 12； 14.3． 答案解析1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5； 2. 3z z z =⋅=；3. 易得2()a f x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 易得12b =，且0b <，即2b =-；7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k =，则t a n B k =，tan 3C k =，且0k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=4； 9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积()22422112326x V x x x =-=-，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y =，此时max 4327V =；法2设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<2，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当33t =时，max 239y =，此时max 4327V =；11. 如图，设 a b c OAOB OC ===，，，u u r u u u r u u u r△ABC 中，由余弦定理得3AB =uu u r ， 由()()0-⋅-=a c b c 知，点C 的轨迹是以AB 为直径的圆M ，且72OM =，故12737322c OC OC ⎡⎤-+⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，uuu r uuu u r ； 12. 设()21 2n n n A x x ，、()21111 2n n n A x x +++，，则割线n A 1n A +的方程为：2212111122()2n n n nn nx x y x x x x x ++--=--， 令0y =得121n nn n nx x x x x +++=+，即21111n n n x x x ++=+，不难得到34515171266x x x ===，，；13. 易得22211144442ab h a b a b a b b a b a==++⋅≤≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）； 14. 设AB 的方程为：1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为：11y x k =-+，由22211y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 2222(1)20a k x a k x ++=，解得22221B a k x a k -=+，用“1k -”替换“k ”得2222C a k x a k=+， 故22222222221111a k a k AB k AC a k a k k =⋅+=⋅+++，， 所以()()44222222242122(1)121(1)()1ABCa k a k k k S AB AC a k a k a k a k ∆++=⋅==+++++， 令12t k k=+≥，则4322222(1)1ABC a a S a a a t t∆=--+≤（当且仅当212a t a -=>时等号成立）， 由322781a a =-得2(3)(839)0a a a ---=解得3a =，或329716a +=（舍去），所以3a =．15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．O AB2CM1C （第11题图）（1）易得()2221()sin 3sin 2sin cos 2f x x x x x =++-1cos213sin 2cos222x x x -=+-13s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分） 所以()f x 周期π，值域为35 22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分） （2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()015πcos 264x -=，（11分） 此时，()0ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()0ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-315114242=-⨯+⨯1538-=．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分） 易得32C O CO '==，而32CC '=，所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分） （2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED . （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，， 解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），（第16题图） DC 'A B CO E所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与2212y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为()325625--+，、()325625-+-，，（11分） 由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验()325625D -+-，适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x xf x x x⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分）而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力． 解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c =-+，其中c 为常数. 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =， 由(2)2f -=得3a =-，y x11-22-O （第19题图）2 2-所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+- 列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分）又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤， 解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0， 所以a ，b ，c 均小于3．假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ． 若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾． 同理，若a <b ，也必出现出矛盾．故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分）若p = 0时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④，x(21)--, 1-(11)-,1(12), y '-0 + 0 -y↘ 极小值2-↗极大值2↘④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{a n }是等比数列，且112n n a -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22y n a +依次为112n -，22n ，142n +， 满足112142222n n n -+⨯=+，即a n ，2x a n +1，2y a n +2成等差数列；（12分） 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解：连接OD ，则OD ⊥DC ，在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DC tan30°=233， 所以BC 233=．（10分） B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分） 所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分） 将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且12310a a a ++=>， 所以123111a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分） 当且仅当12313a a a ===时等号成立， 所以1239111a a a ++≥.（10分） 22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x-'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x =0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C k k n n k n --=；（3分） （2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+-01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a nx x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。

（第3题）南通市2012届高三第一次调研测试一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ .2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）. 答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，1-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式：（第9题）(第13题)311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π0x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ . 答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查 运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin A a =．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ………………………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．………………………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AMA M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ．而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.…………………………………………………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ，所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，……………………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问 题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆 沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；……………………………………………2分 B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--．……………………………………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（第18题）（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考 查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分 （2）①证明：设圆心( )C xy ，，由题意，得12CC CC =， 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-．整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分 由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方 法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y ->，即0PQ k >． ………………………………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………………………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π0⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π0x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证 的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称 数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α；则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且43t α=． ……………………………12分于是(32)113211k k k a a a α----==，2(31)1223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．……………………………………………16分。

江苏省南通市2012届高三第一学期期末调研测试数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．。

1、若复数z 满足i 31i +-=z (i 是虚数单位)，则z =___________.2、在区间[]3,2-上随机取一个数x ，则x ≤1的概率为___________3、已知A 、B 均为集合{}10,8,6,4,2=U 的子集，且4=B A ，{}10)(=A B C U ,则A =___________.4、直线062=++y ax 与直线0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则=a ___________.5、存在实数x ，使得0342＜b bx x +-成立，则b 的取值范围是 ___________.6、右图是求函数值的程序框图，当输入值为2时，则输出值为___________.7、已知命题1p ：函数)1(In 2x x y ++=是奇函数，2p ：函数21x y =为偶函数，则在下列四个命题①21p p ∨；②21p p ∧；③21)(p p ∨⌝；④)(21p p ⌝∧中，真命题的序号是___________.8、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 322+-=，则数列{}n a 的通项公式为___________. 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共16页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)和解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。

本次考试满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

9、已知函数2sin 3)(x x f =，如果存在实数21,x x ，使得对任意的实数x ，都有)(1x f ≤)(x f ≤)(2x f 则21x x -的最小值为___________.10、曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.11、已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，给出下列命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l 。

一、选择题(36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 834．若x∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x+23 )－tan(x+6 )+cos(x+6 )的最大值是(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 12535．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD 的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．三、（20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(20分)14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴ PF=163．选A．4．若x∈[－512 ，－3]，则y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253解：令x+6=u，则x+23=u+2，当x∈[－512，－3]时，u∈[－4，－6]，y=－(cotu+tanu)+cosu=－2sin2u+cosu．在u∈[－4，－6]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sinπ3×2=3．而四面体ABCD的体积=16×平行六面体体积=12．故选B．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．解：即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，(|x|－3)(|x|－5－12)(|x|+5+12)<0．|x|<－5+12，或5－12<|x|<3．∴解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．解：F1(－5，0)，F2(5，0)；|F1F2|=25．|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(25)2．故PF1F2是直角三角形55．∴ S=4．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若AB，则实数a的取值范围是．解：A=(1，3)；又，a≤－21－x∈(－1，－14)，当x∈(1，3)时，a≥x2+52x －7∈(5－7，－4)．∴－4≤a≤－1．10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d=解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45而得．设E的射影为N，则MN=2－1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．∴ Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．∴ limn→∞SnTn=1219=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．32≤x≤5．由平均不等式x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤x+1+x+1+2x－3+15－3x4≤14+x4．∴ 2x+1+2x－3+15－3x=x+1+x+1+2x－3+15－3x≤214+x．但214+x在32≤x≤5时单调增．即214+x≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1)y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2即y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)．①若a－2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a－2b+c0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB中点M：14+12(a+b)i，BC中点N：34+12(b+c)i．与AC平行的中位线经过M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))两点，其方程为4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(14≤x≤34)．②令4(a－2b+c)x2+8(b－a)x+4a=4(c－a)x+3a+2b－c．即4(a－2b+c)x2+4(2b－a－c)x+a－2b+c=0．由a－2b+c0，得4x2+4x+1=0，此方程在[14，34]内有惟一解：x=12．以x=12代入②得，y=14(a+2b+c)．∴所求公共点坐标为(12，14(a+2b+c))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O上任意一点A，连AA，作AA的垂直平分线MN，连OA．交MN于点P．显然OP+PA=OA=R．由于点A在⊙O内，故OA=a<R．从而当点A取遍圆周上所有点时，点P的轨迹是以O、A为焦点，OA=a为焦距，R(R>a)为长轴的椭圆C．而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外．反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上．最后证明所作⊙S与⊙O必相交．1 当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；2 当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SA≥R(椭圆的长轴)．即SA≥SD．于是D在⊙S内或上，即⊙S与⊙O必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合．。

a ¬1 b ¬2 c ¬3 c ¬a a ¬b b ¬c Print a ，b （第3题）题）南通市2012届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考公式：参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-å，其中11ni i x x n ==å.（2）函数()()sin f x x w j =+的导函数()()cos f x x w w j ¢=×+，其中w j ，都是常数都是常数. . 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为的离心率为 ▲▲ . 答案：22． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲▲ . 答案：1 + 2i 3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是的值依次是 ▲▲ . 答案：2，1 4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为，则该组数据的方差为 ▲▲ . 答案：0.02 5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--ÎZ ≥，，则U A =ð ▲▲ （用列举法表示）（用列举法表示）（用列举法表示）. .答案：{0，1} 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则×=a b ▲▲ . 答案：0 解析：法一：法一 由a ×()152-=a b 得2152-×=a a b ，即1552-×=a b ，所以0×=a b ；法二法二 由a = (1，2)，12-a b =(3，1)得b = (4-，2)，所以0×=a b . 7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为个球的概率为 ▲▲ . . 答案：298. 设P 是函数(1)y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为q ，则q 的取值范围是的取值范围是▲▲ . .答案：)ππ32éêë，解析：()11tan 332y'xx q ==+≥，所以)ππ32q éÎêë，.9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数分别在函数22logy x =，12y x =，()22xy =的图象上，且矩形的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴的边分别平行于两坐标轴. . . 若点若点A 的纵坐标为2，则，则 点D 的坐标为的坐标为 ▲▲ . 答案：()1124，10．观察下列等式：311=， 33129+=，33312336++=，33331234100+++=，……猜想：3333123n +++××××××++= ▲▲ （（n Î*N ） 答案：2(1)2n n +éùêúëû解析：法一：先看出等式右边依次为：12，(1+2)2，(1+2+3)2，(1+2+3+4)2； 再归纳出所求式子为2(12)n +++ ；最后用等差数列求和公式即得；最后用等差数列求和公式即得. . 法二：猜想数列法二：猜想数列{a n }：1，3，6，10，…的通项公式.①由①由12233445136102222´´´´====，，，猜想出(1)2n n n a +=. ②作数列{a n }：1，3，6，10，…的差分数列，知其为等差数列，…11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心的中心. . . 则空间四边形则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为中，面积的最大值为 ▲▲ . . 答案：12 OBDCyx（第9题）题）1 1 A 2OBCF 1F 2Dxy(第13题) ABCDE GD 1（第11题）题）C 1A 1B 1FABE G①A 1B 1FAD EG②A 1D 1(F ) A (E ) B ③D C FG解析：如图①，当E 与1A 重合，F 与1B 重合时，四边形AEFG 在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图②，当E 与1A 重合，重合，四边形四边形AEFG 在左、右面的正投在左、右面的正投 影的面积最大值为8；如图③，当F 与D 重合时，四边形AEFG 在上、下面的在上、下面的正投影的面积最大值为8； 综上得，面积最大值为12.( (本题源于《必修本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本》立体几何章节复习题，复习时应注重课本)) 12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x éùÎêúëû，都成立，则21a a -的最小值为的最小值为 ▲▲ .答案：21π-解析：如图，当过原点的直线过点() 1p 2，时，1a 取得最大值2p；当过原点的直线为点() 00，处的切线时，2a 取得最小值1.(讲评时应强调割线逼近切线的思想方法讲评时应强调割线逼近切线的思想方法)) 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆分别为椭圆22221yx a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . . 若若127cos 25F BF Ð=，则直线CD 的斜率为的斜率为 ▲▲ .答案：1225解析：由127cos 25F BF Ð=得35e =，因为22BD CD CD b b k k k c a -=×=-×，所以2CD bc k a=，故21225CD bck a==.(讲评时，注意体会①式中“22BD CD b k k a ×=-”这一重要结论，证明略.) 14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列的等比数列.. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为的所有可能的值构成的集合为 ▲ . .答案： {}5837， 解析：设1a ，1a d +，12a d +，188a +，其中1a ，d 均为正偶数，均为正偶数，则22111(2)()(88)a d a d a +=++，整理得14(22)0388d d a d -=>-，(注意体会这里用“10a >”而不用“12a ≥”的好处) 所以(22)(388)0d d --<，即22883d <<，所以d 的所有可能值为24，26，28， 当24d =时，112a =，53q =；当26d =时，12085a =（舍去）； 当28d =时，1168a =，87q =，所以q 的所有可能值构成的集合为{}58 37，. 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求ac 的值；的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan AC 的值的值. .解析：（1）由正弦定理，得sin sin A aB b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =． ………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab +-´=．整理得a c =，即1ac =. . ………………………………………………………………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=p ，A（第16题）题）BC DD 1C 1B 1A 1M所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C p +-=p -+éùéùëûëû， 即()()sin 3sin A C A C --=+．………………………………………………10分故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+． 整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ……………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0¹，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分点评：本题主要考查正、本题主要考查正、余弦定理、余弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．注意，本题中的“斜三角形”条件可以省去知识，考查运算求解能力．注意，本题中的“斜三角形”条件可以省去.. 16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：求证：（1）1AA BD ^； （2）11//BB DD .解析：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ^，1BD A M ^．…………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M Ì、平面1A AM ，所以BD ^平面1A AM ． 而1AA Ì平面1A AM ，所以1AA BD ^.……………………………………………………………7分（2）因为11//AA CC ，1AA Ë平面11D DCC ，1CC Ì平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．…………………………………………………9分 又1AA Ì平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，…………11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ， 所以11//BB DD ．…………………………………………………………14分 点评：本题主要考查直线与直线、本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时小时..应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继组继续种植，求植树活动所持续的时间续种植，求植树活动所持续的时间..解析：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x Î*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ´==；…………………………………2分B 组活动所需时间12001002()5252g x x x´==--．…………………………………4分令()()f x g x =，即6010052x x =-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x xF x x x xìÎï=íïÎ-îN N ≤， ，，，≥， …………………………………………………………………………………………6分而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（2）A 组所需时间为1+21502016532067´-´=-（小时），………………………10分B 组所需时间为220032123133263´-´+=+（小时）， ………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时．小时．…………………………………14分（第18题）题）xyO1C 2CC1l2l点评：本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．讲评第（解决实际问题的能力．讲评第（22）问时，应注意引导学生思考为什么从A 组抽调6名志愿者加入B 组？而不是7名，名，55名，…呢？ 18．(本小题满分16分)如如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为截得的弦长为 65，求直线l 的方程；的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．坐标；若不经过，请说明理由．解析：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=的距离为244451k k -=+．………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分（2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =， 即2222(1)(3)(4)x y x y ++=-+-．化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．………………………………10分②圆②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C 的半径为222111(1)(3)CC m m +=+++-．于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．………………………………14分由2210 620x y x y y -+=ìí+--=î，，得31223222x y ì=+ïíï=+î，；或31223 2 2.2x y ì=-ïíï=-î，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，．…………16分（2）中②的另一种解法：设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），①，①易得圆1C ：2220x y x ++=， ② 圆2C ：2268240x y x y +--+=，③，③由①-②得(2)0D x Ey F -++=，将1(1 0)C -，代入得2F D =-， 由①-③得(6)(8)240D x E y F ++++-=，将2(3 4)C ，代入得6E D =--， 代入③得22(6)20x y Dx D y D ++-++-=，整理得22(1)620x y D x y y -+++--=，由2210 620x y x y y -+=ìí+--=î，得31223 222x y ì=+ïíï=+î，，或31223 222x y ì=-ïíï=-î，，所以定点的坐标为()3312 2222--，，()3312 2222++，． 点评：本题主要考查直线的方程、圆的方程、本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力． 19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02éùëû，上恒成立．上恒成立．解析：（1）由题意，得()1cos 0f x x ¢=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． …………………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．…………………………8分当当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-，()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+--1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以所以()g x 在π02éùëû，上为单调增函数．上为单调增函数．所以()(0)0sin00cos00g x g a =+-´´=≥，符合题意．，符合题意． ………………10分②当②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥．所以所以()h x 在π02éùëû，上为单调增函数．上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤， 亦即π2()12a g'x a -+≤≤．…………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02éùëû，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()π02x Î，，使得，使得当0(0 )x x Î，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数，上为单调减函数，从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．恒成立． 综上所述，综上所述，实数实数a 的取值范围为2a ≤．…………………………………………16分点评：本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力． 20. ( (本小题满分本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数的各项均为正数..若对任意的n Î*N ，存在k Î*N ，使得22n k n n k a a a++=×成立，则称则称数列{n a }为“J k 型”数列．型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列是等比数列. .解析：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a==， 所以所以()412212n n n a a q --==． …………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . . …………………………6分由由{n a }是“3J 型”数列，得型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1a ； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2a ； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3a ；则则431311a t a a ==，431725a t a a ==，432139a t a a ==．所以所以123a a a ==，不妨记123a a a a ===，且43t a =． …………………12分于是于是()(32)1133211k k k a a a a a ----==，()2(31)12233315111k k k k k a a a t a a a aa a ------====，()1313233339111k kk k k a a a t a a aaaa----====，所以所以()131n n a a a -=，故{n a }为等比数列．…………………………………16分（2）的另一解法： 由题设知，当n ≥8时，时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等比数列；成等比数列； a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等比数列．也成等比数列．从而当n ≥8时，a n 2＝a n －3a n ＋3＝a n －6a n ＋6． （*） 且a n －6a n ＋6＝a n －2a n ＋2．所以当n ≥8时，a n 2＝a n －2a n ＋2，即22n nn n a a a a +-=． 于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等比数列，成等比数列， 从而a n －3a n ＋3＝a n －1a n ＋1，故由（*）式知a n 2＝a n －1a n ＋1，A E BCDO·（第21－A 题）题）即11n nn n a a a a +-=． 当n ≥9时，设1n n a q a -=．当2≤m ≤9时，m ＋6≥8，从而由（*）式知a m ＋62＝a m a m ＋12， 故a m ＋72＝a m ＋1a m ＋13， 从而271132126m m m m m m a a a a a a +++++=， 于是21m m a q q a q+==． 因此1n n a q a +=对任意n ≥2都成立．都成立． 因为2417a a a =，所以23377652424132114654a a a a a a a a aq q a a a a a a a a a ×=××===××=， 于是21a qa =．故数列{a n }为等比数列．为等比数列．点评：本题主要考查数列的通项公式、本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，等比数列的基本性质等基础知识，等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究考查考生分析探究及推理论证的能力．南通市2012届高三第一次调研测试届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分10分）分）如图，AB 是半圆O 的直径，的直径，延长延长AB 到C ，使BC 3=，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．的长． 解析：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1． 又DE ⊥AB ，所以60DOE Ð=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分于是30DAC BDC Ð==Ð．而60ABD Ð= ，故30C BDC Ð==Ð．所以3DB BC ==． 在△O中，3322DE DB ==．……………………………………………………………10分点评：本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力． B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110éùêúëû对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．的值．解析：设变换T ：x x y y ¢éùéù®êúêú¢ëûëû，则0110x x y y y x ¢éùéùéùéù==êúêúêúêú¢ëûëûëûëû，即 . x y y x ¢=ìí¢=î，………………5分代入直线y kx =，得x ky ¢¢=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………………………………10分点评：本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a r q =（0a >）与直线()cos 1r qp +=4相切，求实数a 的值．解析：将圆sin a r q =化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224a ax y +-=． 将直线()cos 1r q p +=4化成普通方程为20x y --=． …………………………6分由题意，得2222a a --=．解得422a =+．………………………………… 10分点评:本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． D ．选修4—5：不等式选讲：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥． 解析：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ ………………………………4分333333a b c ×××××≥ 327abc =×27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）．时等号成立）． …………………………………10分F Bxy O ACD M N点评：本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1n n n a a n a +=Î+N ．（1）求2a ，3a 的值；的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ÎN 都成立．都成立．解析：（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ………………………………………………2分 （2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =ÎN 时，10k k a a +<<成立，……………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k kk kk ka a a a a a a a a aa a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++， 所以120k k aa++<<，即当1n k =+时，不等式成立．时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ÎN 成立．………………10分点评：本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．23．（本小题满分10分）分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程；）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ^x 轴；轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．过定点．解析：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得12p =，即2p =．所以抛物线的标准方程为24y x =．…………………………………………3分（2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24y x =（0y >），得2y x =，所以1y x¢=． 所以切线AC 的方程为1111()y y x x x -=-，即1112()y y x x y -=-． 整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②，② 且D 点坐标为2( 0)x -，．由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x x x =++． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-． 所以M N x x =，即MN ^x 轴．轴．………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．…………………………………………………10分点评：本题主要考查抛物线的标准方程、：本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，简单的几何性质等基础知识，简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、考查运算求解、考查运算求解、推理推理论证的能力．数学Ⅰ双向细目表命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进题号题号 考查内容考查内容考纲要求考纲要求难度难度 来源来源 1 双曲线的标准方程与几何性质双曲线的标准方程与几何性质 A 容易题容易题 自编题自编题自编题 2 复数的四则运算复数的四则运算B 容易题容易题自编题自编题自编题3 基本算法语句基本算法语句 A 容易题容易题 自编题自编题自编题 4 总体特征数的估计总体特征数的估计B容易题容易题 自编题自编题自编题 5 集合的运算、一元二次不等式集合的运算、一元二次不等式 B 、C 容易题容易题 自编题自编题自编题 6 平面向量的数量积平面向量的数量积 C 容易题容易题 自编题自编题自编题 7 古典概型古典概型 B 容易题容易题 自编题自编题自编题 8 导数、基本不等式导数、基本不等式B 、C中等题中等题 自编题自编题自编题 9 幂、指、对函数的图像与性质幂、指、对函数的图像与性质 A 、B 中等题中等题 改编题改编题改编题 10 合情推理、等差数列合情推理、等差数列 B 、C 中等题中等题 改编题改编题改编题 11 空间几何体空间几何体 A 中等题中等题 改编题改编题改编题 12 导数、三角函数导数、三角函数B中等题中等题 改编题改编题改编题 13 椭圆的标准方程与几何性质、直线的斜率直线的斜率 B 难题难题 自编题自编题自编题 14 等差、等比数列等差、等比数列C 难题难题改编题改编题改编题 15 正、余弦定理、两角和的正弦正、余弦定理、两角和的正弦 B 、C 容易题容易题 自编题自编题自编题 16 直线与平面平行、垂直的判定与性质与性质B 容易题容易题 自编题自编题自编题 17 函数模型及其应用函数模型及其应用B中等题中等题 改编题改编题改编题 18 直线与圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 C 、B 中等题中等题 自编题自编题自编题 19 函数的图像与性质函数的图像与性质 B 难题难题 自编题自编题自编题 20 等比数列等比数列C 难题难题自编题自编题数学Ⅱ双向细目表命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进命题人：袁亚良，陈颖，俞向阳，田宇龙，何明，阙东进 题号题号考查内容考查内容考纲要求考纲要求难度难度来源来源 21—A 与圆有关的几何证明与圆有关的几何证明B容易题容易题容易题自编题自编题21—B 矩阵的变换矩阵的变换A 容易题容易题容易题自编题自编题 21—C 极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化 B容易题容易题容易题自编题自编题 21—D 不等式的证明不等式的证明B容易题容易题容易题改编题改编题 22 数学归纳法数学归纳法B中档题中档题中档题改编题改编题 23 抛物线的标准方程与几何性质抛物线的标准方程与几何性质B难题难题难题自编题自编题。