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利用导数求切线方程问题求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．下面例析几种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =- 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--．解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．练习：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-22.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-3.曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =- （B ）1y x =-+（C ）22y x =- （D ）22y x =-+4.求43x y =在点()8,16P 处的切线方程.5.已知x y =，求与直线42--=x y 垂直的切线方程.6.过原点做曲线x e y =的切线，求切线斜率和切线方程.课时练1.曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）A.1B.2C.eD.1e2.曲线211y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)153．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1,4)--D (2,8)和(1,4)--4．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ） A ．12- B ．12 C ．22- D ．225.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.6.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .7.【2015高考陕西，文15】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________.8.求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程.9.已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈（I ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；10. 设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，求f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为．11.已知函数f （x ）=3231()2ax x x R -+∈，其中a>0. （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程12.已知函数2()()f x x a =-（a-b ）(,,a b R a ∈<b)。
利用导数的几何意义求切线方程江南中教研组曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题。
对于利用导数的几何意义求切线方程我们要把握三个等量关系：1． 曲线y f x =()在点x 0的导数)( 0x f '就是曲线在该点的切线的斜率，有)(0x f k '=；2．切点在曲线y f x =()上，有)(00x f y = 3． 切点在切线上，有切线方程)(00x x k y y -=-最基础的题型就是已知切点求斜率、切线方程。
例一：曲线221y x =+在x=1的切线方程为 ； 解析：直接利用等量关系得到切点的坐标、切线的斜率；由题意可知，切点的坐标为（1，5）又∵x y 4='，∴切线的斜率为4，∴切线的方程为y －5 = 4(x －1)，即y=4x ＋1。
利用导数的几何意义求切线方程的关键是要理解导数的几何意义，熟悉等量关系。
另有一种题型是先知道切线的斜率，求切点坐标、切线方程。
例二：曲线2y x =的一条切线的斜率是4-，求切线方程。
解析：先设出切点的坐标，再利用等量关系由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点的坐标为（200,x x ）∵x y 2='，∴切线的斜率为02x ，∴02x = －4，∴20-=x ∴切点的坐标为（－2，4）∴切线的方程为y =－4x －4解这种题型的关键问题就是不能忽视切点在曲线上的这个关系。
再有一种题型求过曲线外一点的切线的方程。
例三：曲线2x y -=的切线过点（0，4）求切线的方程。
解析：同样设切点坐标，充分利用等量关系，由待定系数法求出切点坐标，进而求切线方程；设切点坐标为()00y x P ，，∵x y 2-='则在点P 处的切线方程为：()0002x x x y y --=-∵过点()4,0P ，且200x y -=()002002)(4x x x --=--∴ 20=∴x 或20-=x当20=x 时，切点为)4,2(-，此时切线方程为y=－4x ＋4，当20-=x 时，切点为()4,2--P ，此时切线方程为y=4x ＋4，∴过点（0，4）的切线方程为： y=－4x ＋4， y=4x ＋4。
利用导数求切线的方程求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） A ．34y x =-B ．32y x =-+C ．43y x =-+D ．45y x =-类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）A ．230x y -+=B ．230x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=类型三：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．例4 求过点(00)，且与曲线ln y x =相切的直线方程．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．类型四：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例6 求过曲线321y x x x =--+上的点(1)，0的切线方程．例7 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．。
考点49：利用导数求切线方程【思维导图】【常见考法】考点一：求切线的斜率或倾斜角1．曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 . 【答案】2【解析】由1x y xe -=，得，故，故切线的斜率为.2．点P在曲线y =α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为 . 【答案】2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意可知：''1xy e ==+⎝⎭ 则()()()221111'111x xxx e y e e e ⎫+-⎪=-=-⎪+++⎝⎭令()1,0,11x t t e =∈+所以)()2',0,1y t t t =-∈可知)'y ⎡∈⎣ 曲线在点P 处的切线的斜率范围为)⎡⎣，所以)tan α⎡∈⎣故2,3παπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭3．已知函数()()21,.f x g x xx==若直线l 与曲线()f x ，()g x 都相切，则直线l的斜率为 . 【答案】4-【解析】设直线l 的斜率为k ，则()21'k f x x ==-，解得x =，切点为⎛⎝；且()'2kg x x ==，解得2kx =，切点为2,24k k ⎛⎫⎪⎝⎭； 因为l 与曲线()f x ，()g x 都相切，所以2k k +=，解得4k =-．考法二：在某点处求切线方程1．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．2．函数3()2ln 2f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为______________________. 【答案】20x y -+=【解析】由题3(1)12ln123f =-+=,又22'()3f x x x=-,故3()2ln 2f x x x =-+在(1,3)处的斜率为2'(1)311f =-=,故在(1,3)处的切线方程为31(1)20y x x y -=⨯-⇒-+= 故答案为：20x y -+= 3．已知函数()2()1xf x x x e =++，则()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为 .【答案】210x y -+=【解析】因为()2()32x f x e x x '=++，所以(0)2f '=，又因为(0)1f =，所以切点为(0)1，， 所以曲线()f x 在(0, (0))f 处的切线方程为210x y -+=.4．已知()()221f x x xf '=+，则曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为 .【答案】40x y +=【解析】由题：()()221f x x xf =+'，所以()()'221f x x f +'=，()()'1221f f =+'，所以()'12f =-，所以()24f x x x =-，()24f x x '=-，()00f =，()04f '=-所以切线方程为40x y +=.5．设a 为实数，函数()()322f x x ax a x =++-的导函数是fx ，且fx 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为 . 【答案】2y x =-【解析】由()()322f x x ax a x =++-所以()()2'322f x x ax a =++-，又()f x '是偶函数，所以20a =，即0a =所以()2'32f x x =-则()'02f =-，所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为2y x =-考法三：过某点求切线方程1．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --= 【解析】由题, 1'y x=,设切点为()00,ln x x ,则在切点处的切线斜率为01x ,又切线过点(0,1)-,故0000ln (1)11x x x x --=⇒=.故切点为()1,0. 故切线方程为()101101x y y x -=---=⇒.故答案为：10x y --= 2．求函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为 . 【答案】0x y -=【解析】由函数()32f x x x x =-+，则()2321f x x x '=-+，所以()01f '=，所以函数()32f x x x x =-+的图象经过原点的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=.3．若过原点的直线l 与曲线2ln y x =+相切，则切点的横坐标为 . 【答案】1e【解析】设切点坐标为()00,2ln x x +，由1y x'=，切线方程为00012ln ()y x x x x --=-， 原点坐标代入切线方程，得02ln 1x +=，解得01ex =.4．已知函数()3f x x x =-，则曲线()y f x =过点()1,0的切线条数为 .【答案】2【解析】设切点坐标 3000(,)P x x x -,由()3f x x x =-，得2()31x f x '=-，∴切线斜率2031k x =-，所以过3000(,)P x x x -的切线方程为320000(31)()y x x x x x -+=--，即2300(31)2y x x x =--，切线过点()1,0，故32002310x x -+=，令()32000231h x x x =-+,则()200066h x x x '=-，由()00h x '=，解得00x =或01x =，当0(,0),(2,)x ∈-∞+∞时，()00h x '>，当0(0,2)x ∈时，()00h x '<，所以()0h x 的极大值极小值分别为 h (0)10=>，(1)0h =， 故其图像与x 轴交点2个，也就是切线条数为2.考法四：已知切线求参数1．已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a = .【答案】-1 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-.2．已知在曲线()21ax f x x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为1，则实数a 的值为 .【答案】43【解析】当0x >时，()()2221ax axf x x +'=+，()11f '=，即314a=，得43a =.. 3．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 。
导数中的公切线问题知识点梳理一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f x 1 -g x 2x 1-x 2.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．题型精讲精练1若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则k =______．【解析】设y =kx +b 与y =e x 和y =ln x +2 ，分别切于点x 1,e x 1，x 2,ln x 2+2 ，由导数的几何意义可得：k =e x 1=1x 2+2，即x 2+2=1ex 1，①则切线方程为y -e x 1=e x 1x -x 1 ，即y =e x 1x -e x 1x 1+e x 1，或y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，即y -ln x 2+2 =1x 2+2x -x 2 ，②将①代入②得y =e x 1x +2e x 1-1-x 1，又直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =ln x +2 的切线，则-e x 1x 1+e x 1=2e x 1-1-x 1，即e x 1-1 x 1+1 =0，则x 1=-1或x 1=0，即k =e 0=1或k =e -1=1e ，故答案为1或1e．2已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =ln x 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ，n ∈Z ，则n =______．【解析】依题意，可得e x 1=k =1x 2y 1=e x 1=kx 1+by 2=ln x 2=kx 2+b，整理得x 2ln x 2-ln x 2-x 2-1=0令f x =x ln x -ln x -x -1x >1 ，则f x =ln x -1x在1,+∞ 单调递增且f 1 ⋅f 2 <0，∴存在唯一实数m ∈1,2 ，使f m =0f x min =f m <f 1 <0，f 2 =ln2-3<0，f 3 =2ln3-4<0，f 4 =3ln4-5<0，f 5 =4ln5-6>0，∴x 2∈4,5 ，故n =4．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1(2023·全国·高三专题练习)曲线y =1x与曲线y =-x 2的公切线方程为()A.y =-4x +4B.y =4x -4C.y =-2x +4D.y =2x -4【答案】A【分析】画出图象，从而确定正确选项.【详解】画出y =1x,y =-x 2以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A 选项符合.故选：A2(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f (x )，若曲线y =f (x )在点(0,0)处的切线与曲线y =xf (x )在点(1,2)处点的切线重合，则f ′(2)=()A.-34B.-14C.-4D.14【答案】B【分析】由f(0)=0得d=0，然后求得f (x)，由f (0)=2-01-0求得c=2，设g(x)=xf(x)，由g(1)=2得f(1)=2及a+b=0，再由g (1)=2得3a+2b+2=0，解得a,b后可得f (2)．【详解】设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∵f(0)=d=0,∴f(x)=ax3+bx2+cx,∴f′(x)=3ax2+2bx+c∴f′(0)=c=2-01-0=2，设g(x)=xf(x)，则g(1)=f(1)=a+b+2=2，即a+b=0⋯⋯①又∵g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(1)=f(1)+f′(1)=2,∴f′(1)=0，即3a+2b+2=0⋯⋯②由①②可得a=-2,b=2,c=2，∴f′(2)=-14.故选：B.3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x，g x =ax2-x．若经过点A1,0存在一条直线l与曲线y=f x 和y=g x 都相切，则a=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】先求得f(x)在A(1,0)处的切线方程，然后与g x =ax2-x联立，由Δ=0求解【详解】解析：∵f x =x ln x，∴f x =1+ln x，∴f 1 =1+ln1=1，∴k=1，∴曲线y=f x 在A1,0处的切线方程为y=x-1，由y=x-1y=ax2-x得ax2-2x+1=0，由Δ=4-4a=0，解得a=1．故选：B4(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=x2-4x+4,g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为A.三条B.二条C.一条D.0条【答案】A【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程8n3-8n2+1=0，构造函数f x =8x3-8x2+1,f x =8x3x-2，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.【详解】设公切线与f x 和g x 分别相切于点m,f m,n,f n,f x =2x-4，g x =-x -2,gn =fm =g n -f m n -m ，解得m =-n -22+2，代入化简得8n 3-8n 2+1=0，构造函数f x =8x 3-8x 2+1,f x =8x 3x -2 ，原函数在-∞，0 ↗，0，23 ↘，23，+∞ ↗，极大值f 0 >0,极小值，f 23<0故函数和x 轴有交3个点，方程8n 3-8n 2+1=0有三解，故切线有3条.故选A .【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.5(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x ，若y =f x 与y =g x在公共点处的切线相同，则m =()A.-3B.1C.2D.5【答案】B【分析】设曲线y =f x 与y =g x 的公共点为x 0,y 0 ，根据题意可得出关于x 0、m 的方程组，进而可求得实数m 的值.【详解】设函数f x =x 2-2m ，g x =3ln x -x 的公共点设为x 0,y 0 ，则f x 0 =g x 0 f x 0 =g x 0 ，即x 20-2m =3ln x 0-x 02x 0=3x 0-1x 0>0，解得x 0=m =1，故选：B .【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6(2023·全国·高三专题练习)函数f (x )=ln x 在点P (x 0,f (x 0))处的切线与函数g (x )=e x 的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】先求直线l 为函数的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线方程，再设直线l 与曲线y =g (x )相切于点(x 1，e x 1)，进而可得ln x 0=x 0+1x 0-1，根据函数图象的交点即可得出结论．【详解】解：∵f (x )=ln x ，∴f ′(x )=1x ，∴x =x 0，f ′(x 0)=1x 0，∴切线l的方程为y-ln x0=1x0(x-x0)，即y=1x0x+ln x0-1，①设直线l与曲线y=g(x)相切于点(x1，e x1)，∵g (x)=e x，∴e x1=1x0，∴x1=-ln x0．∴直线l也为y-1x0=1x0(x+ln x0)即y=1x0x+ln x0x0+1x0，②由①②得ln x0=x0+1 x0-1，如图所示，在同一直角坐标系中画出y=ln x,y=x+1x-1的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.故选：C二、填空题7(2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测)与曲线y=e x和y=-x24都相切的直线方程为.【答案】y=x+1【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.【详解】设直线与曲线y=e x相切于点x1,e x1，因为y =e x，所以该直线的方程为y-e x1=e x1x-x 1，即y=e x1x+e x11-x1，设直线与曲线y=-x24相切于点x2,-x224，因为y =-x2，所以该直线的方程为y+x224=-x22x-x2，即y=-x22x+x224，所以e x1=-x22e x11-x1=x224，解得x1=0,x2=-2，所以该直线的方程为y=x+1，故答案为：y=x+1.8(2023·全国·高三专题练习)已知f x =e x-1(e为自然对数的底数)，g x =ln x+1，请写出f x 与g x 的一条公切线的方程．【答案】y=ex-1或y=x【分析】假设切点分别为m,e m-1，n,ln n+1，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得m，代入公切线方程即可得到结果.【详解】设公切线与f x 相切于点m,e m-1，与g x 相切于点n,ln n+1，∵f x =e x，g x =1x，∴公切线斜率k=e m=1n；∴公切线方程为：y-e m+1=e m x-m或y-ln n-1=1nx-n，整理可得：y=e m x-m-1e m-1或y=1nx+ln n，∴e m=1nm-1e m+1=-ln n，即m=-ln nm-1e m +1=-ln n，∴m-1e m+1-m=m-1e m-1=0，解得：m=1或m=0，∴公切线方程为：y=ex-1或y=x.故答案为：y=ex-1或y=x.9(2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试)已知直线l与曲线y=e x、y=2+ln x都相切，则直线l的方程为．【答案】y=x+1或y=ex【分析】分别求出两曲线的切线方程是y=e x1x+e x11-x1和y=1x2x+1+ln x2，解方程e x1=1x2，e x11-x1=1+ln x2，即得解.【详解】解：由y=e x得y =e x，设切点为x1,e x1，所以切线的斜率为e x1，则直线l的方程为：y=e x1x+e x11-x1；由y =2+ln x 得y =1x ，设切点为x 2,2+ln x 2 ，所以切线的斜率为1x 2，则直线l 的方程为：y =1x 2x +1+ln x 2．所以e x 1=1x 2，e x 11-x 1 =1+ln x 2，消去x 1得1x 2-11+ln x 2 =0，故x 2=1或x 2=1e，所以直线l 的方程为：y =x +1或y =ex ．故答案为：y =x +1或y =ex 10(2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习)已知直线y =kx +b 是曲线y =ln 1+x 与y =2+ln x 的公切线，则k +b =.【答案】3-ln2【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算k +b .【详解】设曲线y =ln 1+x 上切点A x 1,ln 1+x 1 ，y =11+x，切线斜率k =11+x 1，切线方程y -ln 1+x 1 =11+x 1x -x 1 ，即y =11+x 1x -x 11+x 1+ln 1+x 1同理，设曲线y =2+ln x 上切点B x 2,2+ln x 2 ，y =1x，切线斜率k =1x 2，切线方程y -2+ln x 2 =1x 2x -x 2 ，即y =1x 2x +1+ln x 2，所以11+x 1=1x 2-x11+x 1+ln (1+x 1)=1+ln x 2，解得x 1=-12x 2=12，所以k =2，b =1-ln2，k +b =3-ln2.故答案为：3-ln2.2.公切线中的参数问题一、单选题1(2023·陕西渭南·统考一模)已知直线y =ax +b (a ∈R ,b >0)是曲线f x =e x 与曲线g x =ln x +2的公切线，则a +b 等于()A.e +2B.3C.e +1D.2【答案】D【分析】由f x 求得切线方程，结合该切线也是g x 的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线y =ax +b ，从而求得正确答案.【详解】设t ,e t 是f x 图象上的一点，f x =e x ，所以f x 在点t ,e t 处的切线方程为y -e t =e t x -t ，y =e t x +1-t e t ①，令g x =1x=e t ，解得x =e -t ，g e -t=ln e -t+2=2-t ，所以2-t -e te -t-t=e t ，1-t =1-t e t ，所以t =0或t =1(此时①为y =ex ，b =0，不符合题意，舍去)，所以t =0，此时①可化为y -1=1×x -0 ,y =x +1，所以a +b =1+1=2.故选：D2(2023·陕西榆林·校考模拟预测)若直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，与曲线y =x +32也相切，切点为N x 2,y 2 ，则2x 1-x 2的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】B【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.【详解】因为直线l 与曲线y =e x 相切，切点为M x 1,y 1 ，可知直线l 的方程为y =e x 1x -x 1 +e x 1=e x 1x +1-x 1 e x 1，又直线l 与曲线y =x +3 2也相切，切点为N x 2,y 2 ，可知直线l 的方程为y =2x 2+3 x -x 2 +x 2+3 2=2x 2+3 x -x 22+9，所以e x 1=2x 2+3 1-x 1 e x 1=-x 22+9，两式相除，可得21-x 1 =3-x 2，所以2x 1-x 2=-1.故选：B3(2023春·河南·高三校联考阶段练习)已知曲线y =x 在点x 0,x 0 0<x 0<14处的切线也与曲线y =e x 相切，则x 0所在的区间是()A.0,14e 4B.14e 4,14e 2C.14e 2,14eD.14e ,14【答案】C【分析】设切线l与曲线y=e x的切点为m,e m，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.【详解】设该切线为l，对y=x求导得y =12x，所以l的方程为y-x0=12x0x-x0，即y=12x0x+x02．设l与曲线y=e x相切的切点为m,e m，则l的方程又可以写为y-e m=e m x-m，即y=e m x+1-me m．所以e m=12x0，x02=1-me m．消去m，可得x0=1+ln2x0，0<x0<1 4，令t=2x0∈0,1，则ln t-t24+1=0．设h t =ln t-t24+1，当0<t<1时，h t =1t-t2>0，所以h t 在0,1上单调递增，又h1e=-14e2<0，h1e=12-14e>0，所以t0=2x0∈1e,1e，所以x0∈14e2,14e．故选：C.4(2023·全国·高三专题练习)若函数f x =2a ln x+1与g x =x2+1的图像存在公共切线，则实数a的最大值为()A.eB.2eC.e22D.e2【答案】A【分析】分别设公切线与g x =x2+1和f(x)=2a ln x+1的切点x1,x21+1，x2,2a ln x2+1，根据导数的几何意义列式，再化简可得a=2x22-2x22ln x2，再求导分析h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x >0)的最大值即可【详解】g x =2x，f x =2a x，设公切线与g x =x2+1的图像切于点x1,x21+1，与曲线f(x)=2a ln x+1切于点x2,2a ln x2+1，所以2x1=2ax2=2a ln x2+1-x21+1x2-x1=2a ln x2-x21x2-x1，故a=x1x2，所以2x1=2x1x2ln x2-x21x2-x1，所以x1=2x2-2x2⋅ln x2，因为a=x1x2，故a=2x22-2x22ln x2，设h(x)=2x2-2x2⋅ln x(x>0)，则h (x)=2x(1-2ln x)，令h (x)=0⇒x=e当h (x)>0时，x∈(0,e)，当h (x)<0时，x∈(e,+∞)，所以h x 在(0,e)上递增，在(e,+∞)上递减，所以h(x)max=h(e)=e，所以实数a的最大值为e，故选：A.5(2023·湖南郴州·统考模拟预测)定义：若直线l与函数y=f x ，y=g x 的图象都相切，则称直线l为函数y=f x 和y=g x 的公切线．若函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为()A.eB.eC.2eD.2e【答案】C【分析】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为y=2x1x-x21，y=ax2x+a ln x2-1.两条切线重合，即可得出a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.构造h x =4x2-4x2ln x x>0，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.【详解】设直线与g x =x2的切点为x1,x21，因为g x =2x，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为2x1，即该直线的方程为y-x21=2x1x-x1，即y=2x1x-x21.设直线与f x =a ln x的切点为(x2,a ln x2)，因为f x =ax，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为ax2，即该直线的方程为y-a ln x2=ax2x-x2，即y=ax2x+a ln x2-1.因为函数f x =a ln x a>0和g x =x2有且只有一条公切线，所以有2x1=ax2a ln x2-1=-x21 ，即a=4x22-4x22ln x2有唯一实根.令h x =4x2-4x2ln x x>0，则h x =8x-8x ln x-4x=4x1-2ln x.解h x =0，可得x= e.当4x1-2ln x>0时，0<x<e，所以h x 在0,e上单调递增；当4x1-2ln x<0时，x>e，所以h x 在e,+∞上单调递减.所以h x 在x=e处取得最大值h e=4e-4e×12=2e.当x→0时，h x →0，h e =4e2-4e2ln e=0，函数h x 图象如图所示，因为a>0，a=4x2-4x2ln x有唯一实根，所以只有a=2e.故选：C6(2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习)已知函数f x =2+ln x，g x = a x，若总存在两条不同的直线与函数y=f x ，y=g x 图象均相切，则实数a的取值范围为()A.0,1B.0,2C.1,2D.1,e【答案】B【分析】设函数y=f x ，y=g x 的切点坐标分别为x1,2+ln x1，x2,a x2，根据导数几何意义可得a2=4ln x1+4x1，x1>0，即该方程有两个不同的实根，则设h x =4ln x+4x,x>0，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.【详解】解：设函数f x =2+ln x上的切点坐标为x1,2+ln x1，且x1>0，函数g x =a x 上的切点坐标为x2,a x2，且x2≥0，又f x =1x,g x =a2x，则公切线的斜率k=1x1=a2x2，则a>0，所以x2=a24x21，则公切线方程为y-2+ln x1=1x1x-x1，即y=1x1x+ln x1+1，代入x 2,a x 2 得：a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1，则a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，整理得a 2=4ln x 1+4x 1，若总存在两条不同的直线与函数y =f x ，y =g x 图象均相切，则方程a 2=4ln x 1+4x 1有两个不同的实根，设h x =4ln x +4x,x >0，则h x =4x⋅x -4ln x +4x2=-4ln xx，令h x =0得x =1，当x ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，x ∈1,+∞ 时，h x <0，h x 单调递减，又h x =0可得x =1e，则x →0时，h x →-∞；x →+∞时，h x →0，则函数h x 的大致图象如下：所以a >00<a 2<4，解得0<a <2，故实数a 的取值范围为0,2 .故选：B .【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为x 1,2+ln x 1 ，且x 1>0，x 2,a x 2 ，且x 2≥0，可得k =1x 1=a 2x 2，即有x 2=a 24x 21，得公切线方程为y =1x 1x +ln x 1+1，代入切点x 2,a x 2 将双变量方程a x 2=1x 1x 2+ln x 1+1转化为单变量方程a 22x 1=1x 1⋅a 24x 21+ln x 1+1，根据含参方程进行“参变分离”得a 2=4ln x 1+4x 1，转化为一曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.7(2023·全国·高三专题练习)若曲线y =ln x +1与曲线y =x 2+x +3a 有公切线，则实数a 的取值范围()A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+∞ D.1-4ln212,+∞【答案】D【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设x 1,y 1 是曲线y =ln x +1的切点，设x 2,y 2 是曲线y =x 2+x +3a 的切点，对于曲线y =ln x +1，其导数为y =1x ，对于曲线y =x 2+x +3a ，其导数为y =2x +1，所以切线方程分别为：y -ln x 1+1 =1x 1x -x 1 ，y -x 22+x 2+3a =2x 2+1 x -x 2 ，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：1x 1=2x 2+1ln x 1=-x 22+3a，解得3a =ln x 1+x 22=ln 12x 2+1+x 22=-ln 2x 2+1+x 22x 2>-12 ，令h x =-ln 2x +1 +x 2x >-12，hx =-22x +1+2x =4x 2+2x -22x +1=2x +1 2x -1 2x +1=0，得：x =12，当x ∈-12,12时，h x <0，h x 是减函数，当x ∈12,+∞时，h x >0，h x 是增函数，∴h min x =h 12 =14-ln2且当x 趋于-12时，，h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，h x 趋于+∞；∴3a ≥14-ln2，∴a ≥1-4ln212；故选：D ．8(2023·河北·统考模拟预测)若曲线f (x )=3x 2-2与曲线g (x )=-2-m ln x (m ≠0)存在公切线，则实数m 的最小值为()A.-6eB.-3eC.2eD.6e【答案】A【分析】求出函数的导函数，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，即可得到m =-6x 1x 2，则x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，从而得到m =12x 22ln x 2-12x 22，在令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；【详解】因为f (x )=3x 2-2，g (x )=-2-m ln x (m ≠0)，所以f (x )=6x ，g (x )=-mx，设公切线与f x 切于点x 1,3x 21-2 ，与曲线g x 切于点x 2,-2-m ln x 2 ，x 2>0 ，所以6x 1=-m x 2=-2-m ln x 2-3x 21-2 x 2-x 1=-m ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以m =-6x 1x 2，所以6x 1=6x 1x 2ln x 2-3x 21x 2-x 1，所以x 1=0或x 1=2x 2-x 2ln x 2，因为m ≠0，所以x 1≠0，所以x 1=2x 2-x 2ln x 2，所以m =-62x 2-x 2ln x 2 x 2=12x 22ln x 2-12x 22，令h x =12x 2ln x -12x 2，x >0 ，则h x =12x 2ln x -1 ，所以当0<x <e 时h x <0，当x >e 时h x >0，所以h x 在0,e 上单调递减，在e ,+∞ 上单调递增，所以h x min =h e =-6e ，所以实数m 的最小值为-6e.故选：A【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.二、多选题9(2023·湖北·统考模拟预测)若存在直线与曲线f x =x 3-x ,g x =x 2-a 2+a 都相切，则a 的值可以是()A.0B.-24C.log 27D.e π+πe【答案】ABC【分析】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，求出切线方程为y =3x 21-1 x -2x 31，设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，求出切线方程为y =2x 2x -x 22-a 2+a ，联立方程组，得到-a 2+a =94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14，讨论h x 的单调性，从而得到最值，则可得到-a 2+a ≥-1，解出a 的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.【详解】设该直线与f x 相切于点x 1,x 31-x 1 ，因为f x =3x 2-1，所以f x 1 =3x 21-1，所以该切线方程为y -x 31-x 1 =3x 21-1 x -x 1 ，即y =3x 21-1 x -2x 31.设该直线与g x 相切于点x 2,x 22-a 2+a ，因为g x =2x ，所以g x 2 =2x 2，所以该切线方程为y -x 22-a 2+a =2x 2x -x 2 ，即y =2x 2x -x 22-a 2+a ，所以3x 21-1=2x 2-2x 31=-x 22-a 2+a ，所以-a 2+a =x 22-2x 31=3x 21-122-2x 31=94x 41-2x 31-32x 21+14，令h x =94x 4-2x 3-32x 2+14,∴h x =9x 3-6x 2-3x ，所以当x ∈-∞,-13 ∪0,1 时，hx <0；当x ∈-13,0 ∪1,+∞ 时，h x >0；∴h x 在-∞,-13和0,1 上单调递减；在-13,0 和1,+∞ 上单调递增；又h -13 =527,h 1 =-1，所以h x ∈-1,+∞ ，所以-a 2+a ≥-1，解得1-52≤a ≤1+52，所以a 的取值范围为1-52,1+52，所以A 正确；对于B ，-24-1-52=25-2+2 4>0，所以1-52<-24<0，所以B 正确；对于C ，因为0<log 27<log 222=32<1+52，所以C 正确；对于D ，因为e π+πe>2e π⋅πe=2>1+52，所以D 不正确.故选：ABC10(2023·全国·高三专题练习)函数f x =ln x +1，g x =e x -1，下列说法正确的是( )．(参考数据：e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10)A.存在实数m ，使得直线y =x +m 与y =f x 相切也与y =g x 相切B.存在实数k ，使得直线y =kx -1与y =f x 相切也与y =g x 相切C.函数g x -f x 在区间23,+∞ 上不单调D.函数g x -f x 在区间23,+∞上有极大值，无极小值【答案】AB【分析】对AB ，设直线与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；对CD ，令h x =g x -f x ，由二阶导数法研究函数单调性及极值.【详解】对AB ，设直线l 与y =f x 、y =g x 分别切于点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，f x =1x，gx =ex，则有y1=f x1=ln x1+1y2=g x2=e x2-1y1-y2x1-x2=1x1=e x2⇒ln x1+1-e x2-1x1-x2=e x2⇒-x2+1-e x2-11e x2-x2=e x2⇒e x2-1x2-1=0，解得x2=0或x2=1.当x2=0，则y2=0，x1=1，y1=1，公切线为y=x，此时存在实数m=0满足题意；当x2=1，则y2=e-1，x1=1e，y1=0，公切线为y=e x-1e=ex-1，此时存在实数k=1满足题意，AB对；对CD，令h x =g x -f x =e x-ln x-2，x∈0,+∞，则m x =h x =e x-1 x，由m x =e x+1x2>0得h x 在0,+∞单调递增，由h23=e23-32=e2-278e232+32e23+94>0得，x∈23,+∞时，h x >0，h x 单调递增，CD错.故选：AB.三、填空题11(2023·全国·高三专题练习)若曲线y=ax2与y=ln x有一条斜率为2的公切线，则a= .【答案】1ln2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线y=ax2与y=ln x上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，由y=ln x可得y =1x，所以1x2=2，解得x2=12，所以y2=ln x2=-ln2,则B12,-ln2 ，所以切线方程为y+ln2=2x-1 2，又由y=ax2，可得y =2ax，所以2ax1=2，即ax1=1，所以y1=ax21=x1，又因为切点A(x1,y1)，也即A(x1,x1)在切线y+ln2=2x-1 2上，所以x1+ln2=2x1-1 2，解得x1=ln2+1，所以a =1x 1=1ln2+1=1ln2e .故答案为:1ln2e.12(2023·河北唐山·统考三模)已知曲线y =ln x 与y =ax 2a >0 有公共切线，则实数a 的取值范围为.【答案】12e,+∞【分析】设公切线与曲线的切点为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，利用导数的几何意义分别求y =ln x 和y =ax 2上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线y =ln x 和y =ax 2的切点分别为x 1,ln x 1 ，x 2,ax 22 ，其中x 1>0，对于y =ln x 有y =1x ，则y =ln x 上的切线方程为y -ln x 1=1x 1x -x 1 ，即y =xx 1+ln x 1-1 ，对于y =ax 2有y =2ax ，则y =ax 2上的切线方程为y -ax 22=2ax 2x -x 2 ，即y =2ax 2x -ax 22，所以1x 1=2ax 2ln x 1-1=-ax 22，有-14ax21=ln x 1-1，即14a=x 21-x 21ln x 1x 1>0 ，令g x =x 2-x 2ln x ，g x =x -2x ln x =x 1-2ln x ，令gx =0，得x =e 12，当x ∈0,e12时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e 12,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减，所以g x max =g e12=12e ，故0<14a ≤12e ，即a ≥12e.∴正实数a 的取值范围是12e,+∞.故答案为：12e,+∞.13(2023·浙江金华·统考模拟预测)若存在直线l 既是曲线y =x 2的切线，也是曲线y =a ln x 的切线，则实数a 的最大值为.【答案】2e【分析】设切线与两曲线的切点分别为(n ,n 2)，(m ,a ln m )，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得a4m2=1-ln m，由题意可知a4=m2(1-ln m)有解，故令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，利用导数求得其最值，即可求得答案.【详解】由题意知两曲线y=x2与y=a ln x,(x>0)存在公切线，a=0时，两曲线y=x2与y=0,(x>0)，不合题意；则y=x2的导数y =2x，y=a ln x的导数为y =a x，设公切线与y=x2相切的切点为(n,n2)，与曲线y=a ln x相切的切点为(m,a ln m)，则切线方程为y-n2=2n(x-n)，即y=2nx-n2，切线方程也可写为y-a ln m=am(x-m)，即y=amx-a+a ln m，故2n=am-n2=-a+a ln m，即a24m2=a-a ln m，即a4m2=1-ln m，即a4=m2(1-ln m)有解，令g(x)=x2(1-ln x),(x>0)，则g (x)=2x(1-ln x)+x2-1 x=x(1-2ln x)，令g (x)=0可得x=e，当0<x<e时，g (x)>0，当x>e时，g (x)<0，故g(x)在(0,e)是增函数，在(e,+∞)是减函数，故g(x)的最大值为g(e)=e 2，故a4≤e2，所以a≤2e，即实数a的最大值为2e，故答案为：2e。
第3讲导数中八大切线问题题型总结【考点分析】考点一：曲线在点()()00,x f x P 处的切线方程①把切点的横坐标0x 带入导函数()x f '，得()0x f k '=②又因切点为()()00,x f x P ，利用点斜式直接写出切线为000()()()y f x f x x x '-=-考点二：过一点()n m A ,的切线方程①设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=②利用切点和斜率写出切线方程为：000()()y y f x x x '-=-，③又因为切线方程过点()A m n ，，点入切线得000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目是在点P 处（P 为切点），还是过点P 的切线（P 不一定为切点）【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(2)(3)(2)(3)f f f f ''<<-<C ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得()2f '表示切线1l 斜率10k >，()3f '表示切线3l 斜率30k >，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--，表示割线2l 的斜率2k ，结合图象，可得3210k k k <<<，即()()()()03322f f f f <<-<''.故选：C.【例2】函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列大小关系正确的是（）A ．()()()()244222f f f f '<-<'B ．()()()()224224f f f f '<-<'C ．()()()()242242f f f f '<'<-D ．()()()()422422f f f f -<'<'【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知()f x 在(0,)+∞上单调递增，12AB k k k <<，故(4)(2)(2)(4)42f f f f -'<<'-，即()()()()224224f f f f '<-<'故选：B【题型专练】1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB【解析】【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->.【详解】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>；记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>.故选：AB2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数()y f x =的图象如图所示，()f x ¢是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是（）A ．()()()()235325f f f f ''<-<B ．()()()()232553f f f f ''<<-C ．()()()()532325f f f f ''-<<D ．()()()()232553f f f f ''<<-【答案】A 【分析】由()y f x =图象的变化趋势，结合导函数的定义有(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即可得答案.【详解】由图知：(5)(3)(3)(5)53f f f f -''<<-，即2(3)(5)(3)2(5)f f f f ''<-<.故选：A题型二：在点P 处切线（此类题目点P 即为切点）【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则A ．,1a eb ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a eb -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ．【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且32()23(1)f x x ax f x '=-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f --处的切线的斜率为（）A ．21-B ．27-C ．24-D ．25-【答案】A【解析】【分析】求导数得出(1)f '，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算(2)f '-即可．【详解】()f x 是奇函数，3232()23(1)()23(1)f x x ax f x f x x ax f x ''-=++=-=-+恒成立，所以0a =，3()2(1)f x x f x '=--，2()6(1)f x x f ''=--，所以(1)6(1)f f ''=--，(1)3f '=-，即2()63f x x '=-+，2(2)6(2)321f '-=-⨯-+=-．故选：A ．【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线ln(25)y x x =+在2x =-处的切线方程为（）A ．4x －y +8＝0B ．4x +y +8＝0C ．3x －y +6＝0D ．3x +y +6＝0【答案】B【解析】【分析】将2x =-代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可.【详解】解：因为ln(25)y x x =+，所以()()2ln 25ln 2525x y x x x x ''=+=++⎡⎤⎣⎦+，所以24x y =-=-'．又当2x =-时，ln10y x ==，故切点坐标为(2,0)-，所以切线方程为480x y ++=．故选：B.【例4】过函数21()2x f x e x =-图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（）A ．30,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】求得2()1x f x e '=-，根据指数函数的性质，得到211x e ->-，即切线的斜率1k >-，进而得到tan 1θ>-，即可求解.【详解】由题意，函数21()2x f x e x =-，可得2()1x f x e '=-，因为20x e >，所以211x e ->-，即切线的斜率1k >-，设切线的倾斜角为θ，则tan 1θ>-又因为0θπ≤<，所以02πθ≤<或34πθπ<<，即切线的倾斜角的范围为30,,24πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.故选：B.【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线22x a y x +=+在点()1,b 处的切线方程为60kx y -+=，则k 的值为（）A ．1-B ．23-C ．12D ．1【答案】A【解析】【分析】依据题意列出关于a b k 、、的方程组，即可求得k 的值【详解】由切点()1,b 在曲线上，得23a b +=①；由切点()1,b 在切线上，得60k b -+=②；对曲线求导得()242a y x -'=+，∴2143x a y k ='-==，即49a k -=③，联立①②③236049a b k b a k +⎧=⎪⎪-+=⎨⎪-=⎪⎩，解之得1351a b k =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：A.【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>-=0,0,322x x g x x x f x f 图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【题型专练】1．【2018年新课标1卷理科】设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x=-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x=【答案】D【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2.【2021年甲卷理科】曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．3．【2019年新课标1卷理科】曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．4．【2018年新课标2卷理科】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x=【解析】【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.5．【2018年新课标3卷理科】曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【答案】3-【解析】【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1x x ae ax e=++'则()f 012a =+=-'所以3a =-故答案为-3.【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题题型三：过点P 的切线（此类题目点P 不一定为切点，需要设切点为()00,y x ）【例1】【2022年新高考2卷】曲线=ln|U 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】=1e =−1e 【解析】【分析】分>0和<0两种情况，当>0时设切点为0,ln 0，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0，即可求出切线方程，当<0时同理可得；【详解】解：因为=ln ，当>0时=ln ，设切点为0,0，由'=1，所以'|J 0=1，所以切线方程为−ln 0=−0，又切线过坐标原点，所以−ln0=0，解得0=e ，所以切线方程为−1=−e ，即=1e；当<0时=ln −，设切点为1,ln −1，由'=1，所以'|J 1=11，所以切线方程为−ln −1=−1，又切线过坐标原点，所以−ln −1=1，解得1=−e ，所以切线方程为−1=+e ，即=−1e ；故答案为：=1e；=−1e【例2】（2022·四川·广安二中二模（文））函数()2e x f x x =过点()0,0的切线方程为（）A ．0y =B ．e 0x y +=C ．0y =或e 0x y +=D ．0y =或e 0x y +=【答案】C 【解析】【分析】设切点2(,e )m m m ，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过()0,0代入求参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设2()(2)e x f x x x '=+，若切点为2(,e )m m m ，则2()(2)e m f m m m '=+，所以切线方程为22(2))e e (m m y m m m x m +-=-，又切线过()0,0，则22(2e )e m m m m m +=，可得0m =或1m =-，当0m =时，切线为0y =；当1m =-时，切线为e 1(1)y x --=+，整理得e 0x y +=.故选：C【例3】（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若过点1(,0)2的直线与函数()e x f x x =的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（）A ．e 1+B ．12-C ．1D ．12【答案】D 【解析】【分析】由已知，设出切点，写出切线方程，然后把点1(,0)2代入方程，解出切点坐标即可完成求解.【详解】因为函数()e x f x x =，所以()(1)e xf x x =+'，设切点为000(,e )xx x ，则切线方程为：00000e (+1)e ()x x y x x x x -=-，将点1(,0)2代入得000001e (+1)e ()2x x x x x -=-，即0001(+1)()2x x x -=-，解得012x =-或01x =，所以切点横坐标之和为11122-+=故选：D.【例4】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型专练】1.（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】B【解析】【分析】设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.【详解】由题意可得点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭不在曲线2ln 3y x x =+上，设切点为()00,x y ，因为2ln 2y x '=+，所以所求切线的斜率0000022ln 21212y y k x x x =+==++，所以000002ln 2ln 1y x x x x =+++.因为点()00,x y 是切点，所以0002ln 3y x x =+，所以0000002ln 2ln 12ln 3x x x x x x +++=+，即002ln 20x x +-=.设()2ln 2f x x x =+-，明显()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =，所以002ln 20x x +-=有唯一解01x =，则所求切线的斜率2k =，故所求切线方程为12212y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.故选：B.2.（2022·广东茂名·二模）过坐标原点作曲线ln y x =的切线，则切点的纵坐标为（）A ．eB ．1CD ．1e【答案】B 【解析】【分析】设出切点()()000,ln 0P x x x >，利用导数得到切线的斜率，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，解出即可.【详解】解：设切点()()000,ln 0P x x x >，由ln y x =，得1y x'=，所以001x x y x ='=，∴曲线在点P 处的切线l 方程为()0001ln y x x x x -=-，又l 过（0，0），∴()0001ln x x x -=-，解得0x e =，∴切点(),1P e ，纵坐标为1．故选：B ．3.过点(0，-1)作曲线()ln f x x x =的切线，则切线方程为A ．x +y +1=0B ．x -y -1=0C ．x +2y +2=0D ．2x -y -1=0【答案】B 【解析】设切点为00(,)x y ，再求出切点坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.【详解】()'f x =ln x +1，设切点为00(,)x y ，∴000ln y x x =,∴001y x +=ln x 0+1，∴x 0ln x 0+1=x 0ln x 0+x 0，∴x 0=1，∴y 0=0，所以k =0()f x '=1，∴切线方程为y =x -1，即x -y -1=0，故选：B .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（）A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C 【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P -则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++=故选：C题型四：已知切线求参数问题【例1】．（2022·湖南·模拟预测）已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++-上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a 的范围即可.【详解】因为)2ln y x x a x =++，所以12y x a x'=+，因为曲线在M 处的切线的倾斜角ππ,32θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以πtan3y ≥'=0x >恒成立，即12x a x++≥对任意0x >恒成立，即12a x x≤+，又12x x +≥12x x =，即2x =时，等号成立，故a ≤所以a 的取值范围是(-∞．故选：D ．【例2】（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）若直线1ln 2y kx =+-是曲线ln 2y x =+的切线，则k =________．【答案】2【分析】设切点()111,P x y ，根据导数的几何意义列式求解即可.【例3】（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2y x b =+，则b =_____【答案】1-【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义，由题中条件，列出方程，求解，即可得出1e a -=，再由切点坐标，即可求出结果.【详解】因为e ln x y a x x =+的导数为e ln 1x ya x '=++，又函数e lnx y a x x =+在点()1,e a 处的切线方程为2yx b =+，可得e 012a++=，解得1e a -=，又切点为()1,1，可得12b =+，即1b =-.故答案为：1-.【例4】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知奇函数()()()()220f x x x ax b a =-+≠在点()(),a f a 处的切线方程为()y f a =，则b =（）A ．1-或1B ．3-或3C ．2-或2D ．3-或3【答案】D 【解析】【分析】由函数为奇函数可得2b a =，根据切线的斜率为0建立方程求出a 即可得解.【详解】由()()()()220f x x x ax b a =-+≠可得32()(2)2f x ax b a x bx =+--，因为()()f x f x -=-，所以20b a -=，解得2b a =.所以()424y f a a a ==-，故切线斜率()0k f a '==，又2()(34)f x a x '=-，所以2()(34)0f a a a '=-=，解得a =3a =-，所以3b =-或3.故选：D 【题型专练】1．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）已知曲线()()e x f x x a =+在点(1,(1))f --处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a 的值为_________．2.（2022·云南昆明·模拟预测（文））若函数()ln f x x =的图象在4x =处的切线方程为y x b =+，则（）A ．3a =，2ln 4b =+B ．3a =，2ln 4b =-+C ．32a =，1ln 4b =-+D ．32a =，1ln 4b=+【答案】A 【解析】【分析】利用导数的几何意义可求出结果.【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x x '=+，由题意可得(4)1(4)4f f b =⎧⎨=+'⎩，即114ln 44a b=⎪=+⎩，解得32ln 4a b =⎧⎨=+⎩，故选：A3.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知直线l 的斜率为2，l 与曲线1C ：()1ln y x x =+和圆2C ：2260x y x n +-+=均相切，则n =（）A ．－4B ．－1C ．1D ．4【答案】D 【解析】【分析】设曲线1C 的切点，利用曲线的几何意义可得切点坐标，进而求得切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径即可求得n 值.【详解】设直线l ：20x y m -+=与曲线1C 相切，切点为()()000,1ln x x x +，因为()1ln y x x =+的导数为2ln y x '=+，由02ln 2x +=，解得01x =，所以切点为()1,1，代入20x y m -+=得1m =-，所以切线方程为210x y --=.将2260xyx n +-+=化为标准方程为()()22399x y n n -+=-<，因为l 与圆2C =，解得4n =.故选：D题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围）【例1】（2022·河南洛阳·三模（文））若过点()1,0P 作曲线3y x =的切线，则这样的切线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据点P 在切线上，即可代入切线方程，解得0x ，即可得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，所以切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为切线过点()1,0P ，所以3200032x x =-，解得00x =或032x =，所以过点()1,0P 作曲线3y x =的切线可以作2条，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）若过点(,)a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln a b <B ．ln b a<C ．ln b a<D ．ln a b<【答案】D 【解析】【分析】设切点坐标为00(,)x y ，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(,)a b ，关于0x 的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为00(,)x y ，由于1y x'=，因此切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，又切线过点(,)a b ，则000ln a x b x x --=，001ln ab x x +=+，设()ln a f x x x =+，函数定义域是(0,)+∞，则直线1y b =+与曲线()ln af x x x=+有两个不同的交点，221()a x a f x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在定义域内单调递增，不合题意；当0a >时，0x a <<时，()0f x '<，()f x单调递减，x a >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()()ln 1f x f a a ==+，结合图像知1ln 1b a +>+，即ln b a >.故选：D.【例3】【2021年新高考1卷】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e ab <<【答案】D 【解析】【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t -=-，即()1t ty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e =+-上，可得()()11t t tb ae t e a t e =+-=+-，令()()1t f t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.【例4】（2022·河南洛阳·三模（理））若过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，则实数t 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．{}0,1【答案】C 【解析】【分析】由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P 带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，y t =与23()32g x x x =-，借助导数研究函数()g x 的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.【详解】由已知，曲线3y x =，即令3()f x x =，则()23f x x '=，设切点为300(,)x x ，切线方程的斜率为()2003f x x '=，所以切线方程为：00320(3)y x x x x -=-，将点()1,P t 代入方程得：320003(1)t x x x -=-，整理得230032t x x =-，设函数23()32g x x x =-，过点()1,P t 可作出曲线3y x =的三条切线，可知两个函数图像y t =与23()32g x x x =-有三个不同的交点，又因为()266g x x x =-'，由()0g x '=，可得0x =或1x =，所以函数()g x 在(,0)-∞，(1,)+∞上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以函数()g x 的极大值为(1)321g =-=，函数()g x 的极小值为(0)000g =-=，如图所示，当()0,1t ∈时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.【例5】（2022·河北·高三阶段练习）若过点(1,)P m 可以作三条直线与曲线:e xxC y =相切，则m 的取值范围为（）A ．23,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．213,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】本题为过点P 的切线，切点为000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，可得切线方程()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标整理为02001e x x x m -+=，即y m =与21()exx x f x -+=有三个交点．【详解】由e x x y =，则1e x x y -'=，设切点为000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率001e x x k -=则在点000,e x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为()000001e e x x x x y x x --=-，代入点P 坐标得()0000011e ex x x x m x --=-整理为02001e x x x m -+=，即这个方程有三个不等式实根，令21()e xx x f x -+=，则232()e x x x f x '-+-=，令()0f x '>则12x <<函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，故得(1)(2)f m f <<，即213,e e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：D ．【例6】（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（）A ．01t <<B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11te<<由图可知，0e t <<，【题型专练】1.（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））若过点()1,P m -可以作三条直线与曲线C ：e x y x =相切，则m 的取值范围是（）A ．23,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．211,e e ⎛⎫-- ⎝⎭D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出导函数,利用导数的几何意义列出方程，即可求解.【详解】设切点为()00,x y ,过点P 的切线方程为()()00001ee x xy x x x x =+-+,代入点P 坐标，化简为()02001e x m x x =---，即这个方程有三个不等根即可.令()()21e xf x x x =---,求导得：()()()12e x f x x x '=--+.令()0f x '>，解得：21x -<<-，所以()f x 在()2,1--上递增；令()0f x '<，解得：2x <-或1x >-，所以()f x 在(),2-∞-和()1,-+∞上递增.要使方程()02001e x m x x =---有三个不等根即可.只需()()21f m f -<<-,即231e ex -<<-.故选：D2.（2022·广东深圳·二模）已知0a >，若过点(,)a b 可以作曲线3y x =的三条切线，则（）A ．0b <B ．30b a <<C ．3b a >D ．()3b b a -=【答案】B 【解析】【分析】设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，求出函数的导函数，即可得到()23003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意()g x 有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为()300,x x ，切线方程为()y k x a b =-+，由3y x =，所以23y x '=，所以020|3x x y x ='=，则()203003k x k x a b x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，所以3200230x ax b -+=，令()3223g x x ax b =-+，则()()2666x ax g x x x a '=-=-，因为0a >，所以当0x <或x a >时()0g x '>，当0x a <<时()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以当0x =时()g x 取得极大值，当x a =时()g x 取得极小值，即()()0g x g b ==极大值，()()3g x g a b a ==-极小值，依题意()3223g x x ax b =-+有三个零点，所以()()00g x g b ==>极大值且()()30g x g a b a ==-<极小值，即30b a <<；故选：B3.（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点()(),0a b a >可以作曲线e x y x =的三条切线，则（）A ．0e b a b <<B ．e 0a ab -<<C ．20e 4a b <<+D ．()24e 0a b -+<<因为()f x 的图像与直线y b =-有三个交点，所以240e a b +<-<，即()24e 0a b -+<<.故选：D.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪B ．242,e e ⎛⎫- ⎪C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪D ．36,0e ⎛⎫- ⎪5.（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m的取值范围为（）A ．25e e m -<<B ．250em -<<C ．1em -<<D ．em <【答案】B 【解析】【分析】求导分析()e x f x x =的图象可得3n =，再设切点坐标为()00,x y ，由题可得()02001e x m x x =-++⋅有三根，再构造函数()()2e 1xg x x x =-++⋅求导分析图象单调性与最值即可【详解】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()x f x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()0201e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e x m x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B 【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题题型六：公切线问题【例1】（2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期入学质量监测数学（理）试题）若直线y kx b =+是曲线1e x y +=的切线，也是e 2x y =+的切线，则k =（）A ．ln 2B ．ln 2-C ．2D ．2-【答案】C【分析】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e xx +，()212,e x x +，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到k 的值.【详解】设直线y kx b =+与e 2x y =+和1e x y +=的切点分别为()11,2e x x +，()212,e x x +，则切线方程分别为，()()1112e e x x y x x +--=，()22112e e x x y x x ++--=，化简得，11112e e e x x x y x x -=++2221112e e +e x x x y x x +++-=依题意上述两直线与y kx b =+是同一条直线，所以，12112211112e e e 2e e +e x x x x x x x x +++⎧=⎨+-=-⎩，解得1ln2x =，所以1ln 22e e x k ===．故选：C ．【例2】（2022·全国·高三专题练习）若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．()2,ln +∞【答案】B 【解析】【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成a 关于一个变量1x 的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，()1f x x'=，切线的斜率为11x ，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，即111ln 1y x x x =+-设公切线与函数2()g x x x a =++切于点22222()(),0B x x x a x ++<，()21g x x '=+，切线的斜率为221x +，则切线方程为22222()(21)()y x x a x x x -++=+-，即222(21)y x x x a=+-+所以有21212121ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩因为1>0x ，所以2210x +>，可得2102x -<<，21210x <+<，即1101x <<，由21121x x =+可得：211122x x -=，所以22112111211111ln ln 1ln 111224a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-=，令11t x =，则()0,1t ∈，()22111311ln ln 4424a t t t t t =---=---，设()()2113ln 01424h t t t t t =---<<，则22192111()0222242h t t t t tt t t =--==⎛⎫-- ⎪-⎝⎭'<-，所以()h t 在()0,1上为减函数，则()()11311424h t h >=--=-，所以1a >-，所以实数a 的取值范围是()1,-+∞，故选：B ．【点睛】方法点睛：求曲线过点(),A a b 的切线的方程的一般步骤是：（1）设切点P 00(,())x f x （2）求出()y f x =在0x x =处的导数()0f x '，即()y f x =在点P 00(,())x f x 处的切线斜率；（3）构建关系()000()f x bf x x a-'=-解得0x ；（4）由点斜式求得切线方程0()()y b f x x a '-=⋅-.【例3】（2022·河北石家庄·高二期末）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A ．1.2B ．4C ．5.6D ．2e【答案】ABD【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知曲线()1:=e x C f x a +和曲线()()22:ln(),C g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是（）A ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得b 与a 的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取值范围．【详解】()e x f x '=，()1g x x b'=+，设斜率为1的切线在1C ，2C 上的切点横坐标分别为1x ，2x ，由题知1211x e x b==+，∴10x =，21x b =-，两点处的切线方程分别为()1y a x -+=和()21y a x b -=--，故211a a b +=-+，即221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭.故选：D .【例5】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（）A ．(]0,2eB ．(]0,e C ．[)2,e +∞D ．(],2e e 【答案】A 【解析】【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a 的取值范围.【详解】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1a y x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x ⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x f e a e ==∴∈故选：A ．【例6】（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线:l y kx b =+（1k >）为曲线()1x f x e -=与曲线()ln g x e x =的公切线，则l 的纵截距b =（）A ．0B ．1C ．eD ．e-【答案】D 【解析】【分析】设切点分别为11(,)x y ，22(,)x y ，分别求出切线方程，再令切线方程相等；【详解】设l 与()f x 的切点为11(,)x y ，则由()1x f x e -'=，有()11111:1x x l y xe x e --=+-.同理，设l 与()f x 的切点为22(,)x y ，由()eg x x'=，有()22:ln 1e l y x e x x =+-.故()()1112112,1ln 1.x x e e x x e e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得121,.x x e =⎧⎨=⎩或122,1.x x =⎧⎨=⎩则:l y x =或y ex e =-.因1k >，所以l 为y x =时不成立.故b e =-，故选：D.【例7】（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（）A ．12B ．1C ．eD ．2e 【答案】B 【解析】【分析】设出切点，求出11e xk =，221k x =，根据斜率列出方程，得到11e 1xx =，22ln 1x x =，构造()ln f x x x =，利用函数单调性和图象特征，求出12=e xx ，从而求出答案.【详解】设直线()111f k x =+-与曲线e x y =相切于点()11,e xx ，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切于点()22,ln x x ，则11e x k =，且111e 11x k x +=+，所以11e 1xx =，221k x =，且222ln 11x k x +=+，所以22ln 1x x =，令()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，且()10f =，()0lim 0x f x →=，所以当()0,1x ∈时，()0f x <，因为()222ln 1f x x x ==，()111e e 1x x f x ==，即()()12e 10xf x f ==>，所以()()121,,e 1,xx ∞∞∈+∈+，所以12=e xx ，故11221e 1x k k x =⋅=故选：B 【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.【题型专练】1.已知函数()ln f x x x =，()2g x ax x =-．若经过点()1,0A 存在一条直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，则=a （）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】【分析】先求得()f x 在(1,0)A 处的切线方程，然后与()2g x ax x =-联立，由0∆=求解【详解】解析：∵()ln f x x x =，∴()1ln f x x '=+，∴()11ln11f '=+=，∴1k =，∴曲线()y f x =在()1,0A 处的切线方程为1y x =-，由21y x y ax x=-⎧⎨=-⎩得2210ax x -+=，由440a ∆=-=，解得1a =．故选：B2.【2020年新课标3卷理科】若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x -，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.3.（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数()ln f x a x =，()e xg x b =，若直线()0y kx k =>与函数()f x ，()g x 的图象都相切，则1a b+的最小值为（）A ．2B ．2eC ．2e D【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义分别得到e a k =、ekb =，再运用基本不等式即可求解.【详解】设直线y kx =与函数()f x ，()g x 的图象相切的切点分别为(),A m km ，(),B n kn .由()af x x '=，有ln km a m a k m=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得e m =，e a k =.又由()e xg x b '=，有e e n n kn b b k⎧=⎨=⎩，解得1n =，e k b =，可得1e e 2e a k b k +=+≥=，当且仅当e a =，1e b =时取“=”.故选：B4.（2022·全国·高三专题练习）若两曲线ln 1y x =-与2y ax =存在公切线，则正实数a 的取值范围是（）A ．(]0,2eB ．31e ,2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．310,e 2-⎛⎤⎥⎝⎦D ．[)2e,+∞【答案】B 【解析】【分析】设公切线与曲线的切点为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，利用导数的几何意义分别求ln 1y x =-和2y ax =上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.【详解】设公切线与曲线ln 1y x =-和2y ax =的交点分别为()11,ln 1x x -，()222,x ax ，其中1>0x ，对于ln 1y x =-有1y x'=，则ln 1y x =-上的切线方程为()()1111ln 1y x x x x --=-，即()11ln 2x y x x =+-，对于2y ax =有2y ax '=，则2y ax =上的切线方程为()22222y ax ax x x -=-，即2222y ax x ax =-，所以2121212ln 2ax x x ax ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，有1211ln 24x ax -=-，即()22111112ln 04x x x x a =->，令()222ln g x x x x =-，()()32ln 32ln g x x x x x x '=-=-，令()0g x ¢=，得32e x =，当320,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当32,e x ⎛⎫⎪⎝∈+⎭∞时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，所以()332max 1e e 2g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故3110e 42a <≤，即31e 2a -≥.故选：B.。
借力导数，巧解曲线与曲线“相切”问题发布时间：2021-06-08T05:43:07.376Z 来源：《当代教育家》2021年7期作者：张艳[导读] 在高中数学中，曲线与曲线“相切”问题的求解困扰着很多学生，这也是影响数学分数提升的一个显著方面。
福建省福州第八中学 350000摘要：在高中数学中，曲线与曲线“相切”问题的求解困扰着很多学生，这也是影响数学分数提升的一个显著方面。
曲线与曲线相切的题型在解决中，教师可以教会学生借助导数巧求函数中未知参数的取值范围或参数的值，让他们结合图形和公共切线找到解决方法。
在讲解的过程中，教师要树立学生的课堂主体地位，让学生重视运算的步骤，能够借助导数进行巧解，最终突破该类问题，满足数学课堂教学的要求。
关键词：导数；曲线与曲线相切；参数曲线与曲线“相切”问题是高中数学教学的难点也是重点，学生在解决此类问题时普遍感觉下手比较困难，同时由于涉及到一定的预算和转化，导致在解题时经常出错，这说明学生对该部分题型还没有完全掌握，需要教师进行引导教学。
一般地，当曲线：与曲线：相切时，若设切点坐标为，则由切点在曲线上得；由切点在曲线上得；由切点处切线的斜率相等得.本文将结合曲线与曲线相切的几个例题，讲解如何借助导数巧解曲线相切问题，希望能对该类题型的教学提供借鉴。
类型一、根据曲线与曲线相切，巧求参数的取值范围函数有两个零点，则实数的取值范围是（）评注：本题第一问比较简单，难点在于第二问，如何求解方程组（*）——这里采取的方法是：先消去实数，借助（Ⅰ）的解析过程得到的值，再根据其中的一个方程求的值.曲线与曲线相切问题也是高考的重要内容，两条曲线有交点，并且在交点上各自的一阶导数的值相等，则称这两条曲线在该点上相切。
在教学过程中，教师要结合高中新课标的要求，让学生经历质疑、猜测、想象和论证的过程，提高他们的数学思维，能够结合题干内容挖掘题目中一些隐藏的知识，并利用学过的知识解决复杂数学问题。
用导数求切线方程
“用导数求切线方程”是指利用导数的性质，通过求函数某一点处的导数，来求得该点处函数的切线方程。
首先，我们回顾下梯形法则：函数f(x)在某一点处的导数f'(x)就是函数在该点上的切线斜率。
可以看出，如果能够求出函数某一点处的导数，就已经可以知道这个点处函数的切线。
其次，我们来看看如何用导数求切线方程。
假设函数f(x)在点A(x0,y0)处有定义，要求点A处函数的切线方程，只需要依据梯形法则，先计算出函数f(x)在点A处的导数f'(x0)，然后根据梯形法则，可以知道点A处函数的切线斜率为f'(x0)。
接下来，根据直线的斜截式：y=kx+b，我们可以知道点A处函数的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中，
k=f'(x0)，b=y0-f'(x0)x0。
最后，由于我们已经知道点A处函数的切线斜率
f'(x0)以及点A的横纵坐标，所以我们就可以得到点A处函数的切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)。
综上所述，用导数求切线方程的步骤是：首先，使用梯形法则求出函数在某一点处的导数；然后，根据直线的斜截式，得到函数在该点处的切线方程；最后，根据函数
在该点处的导数及横纵坐标，求得该点处函数的切线方程。
导数的几何意义之求切线方程考点一：求切线方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y =f (x )在点x =x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)·(x -x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．考点二：求切线方程曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】1.曲线y =e xx +1在点1,e2 处的切线方程为( )A.y =e 4x B.y =e2xC.y =e 4x +e 4D.y =e 2x +3e4【答案】C【详解】设曲线y =e x x +1在点1,e2 处的切线方程为y -e2=k x -1 ，因为y =e xx +1，所以y=e x x +1 -e x x +1 2=xe x x +12，所以k =y x =1=e4所以y -e 2=e4x -1所以曲线y =e x x +1在点1,e 2 处的切线方程为y =e4x+e4.故选：C 2.若曲线y =x -12在点a ,a-12处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )A.64B.32C.16D.8【答案】A【详解】求导数可得y=-12x -32，所以在点a ,a -12 处的切线方程为：y =-12a -32x +32a -12，令x =0，得y =32a -12；令y =0，得x =3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×32a -12×3a =94a 12=18，解得a =64故选A ．3.已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3 B.2C.1D.12【答案】A【详解】设切点为x 0,y 0 ，x 0>0，由题知：y =12x -3x，所以12x 0-3x 0=12，解得：x 0=3或x 0=-2(舍去).故选：A4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0，b )处的切线方程是x -y +1=0，则( )A.a =1，b =1 B.a =-1，b =1C.a =1，b =-1 D.a =-1，b =-1【答案】A【详解】由题意可知k =y |x =0=(2x +a )|x =0=a =1，又(0，b )在切线上，解得：b =1.故选：A .5.设曲线y =x +1x -1在点(3，2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =A.2 B.12C.-12D.-2【答案】D【详解】y =x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,y |x=3=-2(3-1)2=-12,直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2,故选D6.若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0，则x0>0，函数y=x的导数为y =12x，则直线l的斜率k=12x0，设直线l的方程为y-x0=12x0x-x0，即x-2x0y+x0=0，由于直线l与圆x2+y2=15相切，则x01+4x0=15，两边平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-1 5(舍)，则直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.故选：D.7.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】-∞,-4∪0,+∞【详解】∵y=(x+a)e x，∴y =(x+1+a)e x，设切点为x0,y0,则y0=x0+ae x0,切线斜率k=x0+1+ae x0,切线方程为：y-x0+ae x0=x0+1+ae x0x-x0,∵切线过原点，∴-x0+ae x0=x0+1+ae x0-x0,整理得：x20+ax0-a=0,∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是-∞,-4∪0,+∞,故答案为：-∞,-4∪0,+∞8.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.由y =1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，故答案为4．9.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点Ρ处的切线垂直，则Ρ的坐标为．【答案】(1，1)【详解】设P(x0,y0).对y=ex求导得y′=ex，令x=0，得曲线y=ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y=1x(x>0)上点P处的切线斜率为-1，由y x=x0=-1x02=-1，得x0=1，则y0=1，所以P的坐标为(1，1)．10.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】y=1e x，y=-1e x【解析】法一：当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y=1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；因为y=ln x 是偶函数，图象为：所以当x<0时的切线，只需找到y=1e x关于y轴的对称直线y=-1e x即可.法二：因为y=ln x ，当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y =1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y =1x，所以y |x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-e x+e，即y=-1e x；故答案为：y=1e x；y=-1e x.【趁热打铁】一、单选题1.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( )A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-23.曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=04.曲线y=x2x-1在点(1，1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.曲线y=x3-2x+4在点1，3处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.135°7.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e8.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( ).A.2eB.eC.2D.19.曲线y=e x在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e2B.2e2C.e2D.e2210.曲线y=13x3+x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.13C.29D.2311.曲线y=e-2x+1在点0,2处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D.112.曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e2B.4e2C.2e2D.e213.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.-9B.-3C.9D.1514.已知曲线y=x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.415.已知曲线y=ae x+x ln x在点1,ae处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-116.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则α的值为( )A.1B.2C.-1D.-217.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=( )A.0B.1C.2D.318.已知曲线y=x4+ax2+1在点-1，a+2处切线的斜率为8，a=( )A.9B.6C.-9D.-619.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=020.设曲线y=ax2在点1,a处的切线与直线2x-y-6 =0平行，则a=( )A.-1B.1C.-12D.12二、填空题21.曲线y=cos x-x2在点0,1处的切线方程为.22.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为．23.曲线y=xe x+2x+1在点(0，1)处的切线方程为．24.曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为．25.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为26.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.27.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16，则a=. 28.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是．29.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a=．30.已知函数y=f x 的图像在点M1，f1处的切线方程是y=12x+2，则f1 +f 1 =．31.直线y=12x+b是曲线y=ln x,x>0的一条切线，则实数b=．32.已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y= ax2+a+2x+1相切,则a=．33.曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=．34.已知a∈R，设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为.35.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．36.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=．【求导训练】1.求下列函数的导数：(1)y=x2+1x+x；(2)y=x sin x-x ln x；(3)y=sin x ln xx；(4)y=x x-11x+1；(5)y=e x tan x；(6)y=x2-1x+ln x；(7)y=x sin x+e x ln x-2；(8)y=x-x2x ln x；(9)y=3x+23；(10)y=sin2x；(11)y=4x-6；(12)y=ln4x+5．2.求下列函数的导数：(1)y=e-x+22x+15；(2)y=cos3x-1-ln-2x-1；(3)y=sin2x+cos2x；(4)y=2x-1x．3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=x+110；(2)y=e3x+1；(3)y=sin-2x+5；(4)y=ln3x-1；(5)y=32x-1；(6)y=tan-x+1．4.求下列函数的导数：(1)y=x2+3x+3e x+1(2)y=cos(2x+1)x(3)y=ln x1+2x(4)y=(x+1)(x+2)(x+3)(5)y=x ln x+x2-x+2(6)y=ln2+x3+e x-1e x5.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=12x-12；(2)y=sin-x+1；(3)y=e-2x+1；(4)y=cos x+3．6.求下列函数的导数：(1)y=2x+310；(2)y=e2x+1；(3)y=ln3x-2．7.求下列函数的导数：(1)y=13x-1；(2)y=cos(1-2x)．8.求下列函数的导数：(1)y=(2x-3)3；(2)y=ln(5x+1)．9.求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=ln(2x-1)．10.计算下列函数y=f x 的导数，其中：(1)f x =π2+sin-x；(2)f x =3x-1x3；(3)f x =12x-53-4x；(4)f x =cos xx2．。
