初等数学概念题答案

初等代数研究复习题及答案数科院 包晓文（不对的地方欢迎指正）一、填空题1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.N ∈1；II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈102 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.777的末两位数字是（ 07 ）．6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.7. 分数2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节的长度为（ 3 ）．8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．9.(636,480)-=（ 12 ），[636,480]-=（25440）．10. 函数112+-=x x y 的值域是( ()()+∞⋃∞-,22, ).11. 函数22511x x y x x -+=-+值域是(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-37,3 ).12. 模m 的剩余类具有的性质是（至少写出两条）： 定义 如果N m ∈,集合},|{是任意整数t r mt x x K r+==，1,,1,0-=m r ，则称110,,,-m K K K 为模m 的剩余类. 剩余类具有下列比较明显的性质：1）模m 的剩余类110,,,-m K K K 都是Z 的非空子集； 2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m 同余.13. 初等函数分为( 代数函数 )和(初等超越函数)两大类. 14. 超越方程包括 (指数方程，对数方程，三角方程和反三角方程)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧反三角方程三角方程对数方程指数方程超越方程无理方程有理方程代数方程方程15. 柯西不等式的内容是( ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221).二、证明题1. 利用自然数的序数理论证明2510⨯=． 证明 212=⨯42121222=+⨯=⨯=⨯+∴ 62222232=+⨯=⨯=⨯+ 82323242=+⨯=⨯=⨯+102424252=+⨯=⨯=⨯+2. 证明任意n 个相邻的整数都构成模n 的一个完全剩余系． 证明 设n a a a ,,,21 是相邻的n 个整数， 任取i a ，j a （j i ≠），则1-≤-n a a ji依据题意，只需证明i a 与j a 不同余则可. 下面用反证法来证明 假设()n a a j i mod =，即i a 与j a 同余则有r nq a i+=1，r nq a j +=2，由此21q q n a a j i -=-已知1-≤-n a a j i ，所以021=-q q ，即21q q =因此j ia a =，这与已知矛盾，故原命题成立。

习题解答第一讲 自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于{(,)|,}A B a b a A b B ⨯=∈∈与{(,)|,}B B b a b B a A ⨯=∈∈，定义A B ⨯到B A ⨯的映射为：(,)(,),(,),(,)fa b b a a b A B b a B A −−→∈⨯∈⨯显然这个映射是A B ⨯到B A ⨯的一一映射，所以A B B A ⨯=⨯，于是按定义有：A B B A ⋅=⋅，即乘法满足交换律。

2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设()p n 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题()p n 对无穷多个自然数成立；（2）假如命题对0()n k k n =≥成立时，能够推出命题对1n k =-也成立，那么对一切自然数不小于n 0的自然数n ，命题()p n 必然成立。

证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M ，那么M 非空，因此，M 中必有一个最小数000()r r n ≥。

此时，由于不大于0r 的自然数只有有限个，按照条件（1），至少有一个自然数0()r r r >，命题在r 处成立；于是由条件（2），命题对1r -也成立，连锁应用条件（2），那么命题在12,,,,, r r r r k ---处都成立，而这个序列是递减的，因此0r 必然出现在这个序列中，这与0r 的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。

3、用序数理论证明3+4=7证明：313432313145,(),''''+==+=+=+==33323256(),'''+=+=+== 34333367()'''+=+=+==4、设平面内两两相交的n 个圆中，任何三个不共点，试问这n 个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。

解：设这n 个圆将所在平面分割成()f n 个部分，显然1224(),()f f ==； 如果满足条件的n 个圆把平面分割成()f n 个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n 个圆一定已经把平面分割成()f n 个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n 个圆必然产生2n 个交点，这2n 个交点必然把这最后一个圆分割成2n 段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而12()()f n f n n +-=， 于是得：212324121()(),()(),,()()() f f f f f n f n n -=-=--=- 将这n-1个等式相加得：124211()()()() f n f n n n -=+++-=- 即 2122()()f n n n n n =-+=-+ 5、设平面上的n 条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：112()()n n f n +=+ 证明：显然1111212()()f +⨯==+成立； 假将设平面上的k 条直线最多可以把平面分割成 f (k )112()k k +=+个互不相通的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k 条直线最多把平面分割成112()k k +=+个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k 个交点，这k 个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而11()()f k f k k +-=+所以：111112()()()k k f k f k k k ++=++=+++ 121121122()()()()k k k k k +++++=+=+所以公式112()()n n f n +=+在1n k =+时也成立， 于是公式对一切自然数n 都成立。

初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。

初等数学模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1．正确答案：A解析：(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，所以向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关，故应选(A)．至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C的方法来处理．知识模块：初等数学8．设有向量组α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，-2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α2，α5．D．α1，α2，α4，α5．正确答案：B 涉及知识点：初等数学9．设向量β可由向量组α1，α2，...,αm线性表示，但不能由向量组(I)：α1，α2，...,αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，...,αm-1，β，则A．αm不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(I)线性表示，但小可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B解析：因为β可由α1，α2，...,αm线性表示，故可设β=k1α1+k2α2+...+km αm．由于β小能由α1，α2，...,αm-1线性表示，故上述表达式巾必有km≠0．因此αm=1/km(β-k1α1-k2α2-...-km-1αm-1)．即αm可由(Ⅱ)线性表示，可排除(A)、(D)．若αm可由(I)线性表示，设αm=l1α1+l2α2+...+lm-1αm-1则β=(k1+kml1)α1+(k2+kml2)α2+…+(km-1+km-1lm-1)αm-1．与题设矛盾，故应选(B)．知识模块：初等数学10．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量口是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值A的特征向量是A．P-1αB．PTαC．PαD．(P-1)Tα正确答案：B解析：因为A是实对称矩阵，故(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1．那么，由Aα=λα知(P-1AP)T(PTα)=[PTA(PT)-1](PTα)=PTAα=A(PTα)．所以应选(B)．知识模块：初等数学11．设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则A．λE-A=λE-B．B．A与B有相同的特征值和特征向量．C．A与B都相似于一个对角矩阵．D．对任意常数t，tE-A与tE-B相似．正确答案：D 涉及知识点：初等数学12．考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(xo，yo)处连续；②f(x，y)在点(xo，yo)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(xo，yo)处可微；④f(x，y)在点(xo，yo)处的两个偏导数存在．若用“P→Q”表示可由性质P推出性质Q，则有A．②→③→①．B．③→②→①．C．③→④→①．D．③→①→④．正确答案：A 涉及知识点：初等数学13．设有三元方程xy-zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程A．只能确定一个具有连续偏导数的隐甬数z=z(x，y)．B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=(x，y)．C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=z(y，z)和z=z(x，y)．D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和y=y(x，z)．正确答案：D 涉及知识点：初等数学14．设f(x，y)与f(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D 涉及知识点：初等数学15．设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f’(0)=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是A．f(0)>1，f”(0)>0．B．f(0)>1，f”(0)<0．C．f(0)<1，f”(0)>0．D．f(0)<1，f”(0)<0．正确答案：A 涉及知识点：初等数学填空题16．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是___________.正确答案：λn-nλn-1 涉及知识点：初等数学17．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量．Aα1=0，A α2=2α1+α2，则A的非零特征值为_________.正确答案：1解析：用定义．由Aα1=0=0α1，A(2α1+α2)=Aα2=2α1+α2，知A的特征值为1和0．因此A的非0特征值为1．或者，利用相似，有A(α1，α2)=(0，2α1+α2)=(α1，α2) 知识模块：初等数学18．若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α为转置，则矩阵βαT的非零特征值为正确答案：2解析：矩阵A=βαT的秩为1. 知识模块：初等数学19．设A，B为同阶方阵，如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等；正确答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，故丨λE-B 丨=丨λE-P-1AP丨=丨P-1AEP-P-1AP丨=丨P-1(λE-A)P丨=丨P-1丨丨λE-A 丨丨P 丨=丨λE-A丨．涉及知识点：初等数学20．已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=___________.正确答案：2解析：二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6，0，0是A的特征值．知识模块：初等数学21．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是正确答案：B 涉及知识点：初等数学22．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)的法线方程为____________.正确答案：（x-1）/1=（y+2）/（-4）=（z-2）/6. 涉及知识点：初等数学23．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K 是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：初等数学24．曲面z=x2+y2与平面2z+4y-z=0平行的切平面方程是___________.正确答案：2x+4y-z=5．涉及知识点：初等数学25．设(a×b).c=2，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=____________.正确答案：4. 涉及知识点：初等数学26．设一平面经过原点及(6，-3，2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为___________.正确答案：2x+2y-3z=0. 涉及知识点：初等数学27．设z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0确定的函数，z=z(x，y)的极值点_____________和极值___________．正确答案：（9,3），-3 涉及知识点：初等数学28．二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值__________．正确答案：-e-1 涉及知识点：初等数学29．函数f(x，Y)=xe-(x2+y2)/2的极值___________.正确答案：-e-1/2 涉及知识点：初等数学解答题30．设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．正确答案：证法一：(定义法) 若有一组数k，k1，k2，…，kt，使得kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0，则因α1，α2，...,αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，涉及知识点：初等数学。

初等数学研究习题答案初等数学是学习数学的基础，它包括了数学的基本概念、运算法则、方程与不等式、几何图形与变换等内容。

在学习初等数学的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。

然而，有时候我们在解答习题时可能会遇到困难，不知道如何下手或者答案是否正确。

因此，在这篇文章中，我将为大家提供一些初等数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

一、基本概念和运算法则1. 2+3=52. 4-2=23. 5×6=304. 12÷3=4二、方程与不等式1. 求解方程2x+3=7：解：2x+3=72x=7-32x=4x=22. 求解不等式3x-5<7：解：3x-5<73x<7+53x<12x<4三、几何图形与变换1. 计算三角形的面积：已知三角形的底边长为4cm，高为3cm，求面积。

解：面积=（底边长×高）÷2=（4×3）÷2=6cm²2. 计算矩形的周长：已知矩形的长为6cm，宽为3cm，求周长。

解：周长=（长+宽）×2=（6+3）×2=18cm以上是一些初等数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

在解答习题时，除了直接给出答案，我们还应该注意解题思路和方法。

数学是一门需要思考和推理的学科，通过思考和推理，我们可以更好地理解和运用数学知识。

因此，在解答习题时，我们应该思考问题的本质，运用适当的方法和技巧，而不仅仅是追求答案的正确与否。

另外，解答习题时也可以结合实际问题，将数学知识应用到实际生活中。

通过与实际问题的联系，我们可以更好地理解和掌握数学知识，并将其应用到实际生活中解决问题。

例如，在解决几何问题时，我们可以将几何图形与实际物体相联系，通过观察和测量来解决问题，这样可以增加问题的趣味性和实用性。

总之，初等数学习题的答案只是学习的一部分，更重要的是我们在解答习题的过程中能够思考问题、运用知识、培养逻辑思维和解决问题的能力。

1、 已知21-=i z ，则150100++z z 的值等于（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -2、 已知53sin =θ，02sin <θ，则2tan θ的值等于（） A 、21B 、21-C 、31D 、3 3、 函数136-+-=x x y 的值域是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-317,B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-1277,C 、(]5,∞-D 、[)+∞,5 4、 若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（）A 、2B 、1C 、3D 、25、 曲线()x x x f -=4在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点坐标为（）A 、()3,1B 、()3,1-C 、()0,1D 、()0,1-6、 设集合{}1>=x x M ，{}12>=x x P ，则下列关系中正确的是（） A 、P M =B 、P P M = C 、M P M = D 、P P M =7、 设α是锐角，2234tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αcos 的值等于（） A 、22B 、23C 、33D 、36 8、 设()x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知()1,0∈x 时，()()x x f -=1log 21，则函数()x f 在()2,1上（）A 、是增函数，且()0<x f ；B 、是增函数，且()0>x fC 、是减函数，且()0<x f ；D 、是减函数，且()0>x f9、 已知锐角βα,满足()21sin ,1tan =-=αβα，则βcos 等于（） A 、426+B 、426-C 、462-D 、426-- 10、分解因式：y x y x 62922-+-(x-3y)(x+3y+2)分解因式：3542322+++++y x y xy x=(x+y)(x+2y)+3(x+y)+(x+2y)+3 =(x+y)(x+2y+3)+(x+2y+3) =(x+y+1)(x+2y+3) 已知200420052004112004--+-=x x y ，则()2004y x +的值是； x=1/2004,y= -2005/2004,代入得1 已知实数m 满足m m m =-+-20082007，则=-22007m 2008 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x x x x x x xx 1111＝1/2x-1 自然数集的两种主要理论是 基数理论 、 序数理论 。

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

初等数学研究课后答案引言：初等数学作为学习数学的基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。

为了让学生更好地掌握所学知识，教师在教学过程中往往会布置一些课后作业，以便学生巩固和练习所学内容。

然而，学生在完成课后作业时可能会遇到一些疑惑和困惑，尤其是对于一些复杂的问题。

因此，提供一份初等数学研究课后答案对于学生来说是很有必要的。

本文将为学生提供一份初等数学研究课后答案，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

一、代数学1. 解方程：题目：求解方程2x + 5 = 17.答案：首先，将方程转化为x的形式，得到2x = 17 - 5，即2x = 12. 然后，将方程两边同时除以2，得到x = 6.2. 因式分解：题目：将多项式x² - 5x + 6因式分解.答案：首先对多项式进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3).3. 求解不等式：题目：求解不等式2x - 3 < 5.答案：将不等式转化为x的形式，得到2x < 8. 然后将不等式两边同时除以2，得到x < 4.二、几何学1. 直角三角形的性质：题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度.答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为√(3² + 4²)，即√(9 + 16)，即√25，所以斜边的长度为5.2. 圆的面积计算：题目：已知一个圆的半径为5，求其面积.答案：根据圆的面积公式S = πr²，将半径r替换为5，得到面积S = π(5)²，即S = 25π.三、概率论1. 事件的概率计算：题目：一个箱子中有4个红球和6个蓝球，从箱子中随机取出一个球，求取到红球的概率.答案：共有10个球，其中4个是红球，所以取到红球的概率为4/10，即2/5.2. 排列组合问题：题目：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，求有多少种不同的选法.答案：根据排列组合的公式C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，将n替换为10，k替换为3，得到C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.四、数列与级数1. 等差数列的通项计算：题目：已知等差数列的首项为2，公差为3，求第n项的表达式.答案：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处.雨速是常数.方向不变。

你是否走得越快.淋雨量越少呢？2.假设在一所大学中.一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。

再设图书馆平均一周收回借出书的1/10.若在充分长的时间内.一位普通教授大约借出多少年本书？3.一人早上6：00从山脚A上山.晚18：00到山顶B；第二天.早6：00从B下山.晚18：00到A。

问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家.家中的狗一直在二人之间来回奔跑。

已知哥哥的速度为3公里/小时.妹妹的速度为2公里/小时.狗的速度为5公里/小时。

分析半小时后.狗在何处？6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面.并事先约定先到者在那等待10分钟.若另一个人十分钟内没有到达.先到者将离去。

用图解法计算.甲乙两人见面的可能性有多大？7.设有n个人参加某一宴会.已知没有人认识所有的人.证明：至少存在两人他们认识的人一样多。

8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10端小孔的面积为0.5平方厘米.9.假设在一个刹车交叉口.所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜坡.计算这种情下的刹车距离。

如果汽车由西驶来.刹车距离又是多少？10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。

包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。

为了节省材料.如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b.选坐.v>0,而设语雨L(1q -+v x ),v≤x Q(v)=L(v x -q +1),v>x2.解：由于教授每天借一本书.即一周借七本书.而图书馆平均每周收回书的1/10.设教授已借出书的册数是时间t 的函数小x(t)的函数.则它应满足（时间t 以周为单位）其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性题得X(t) =70[1-e t 10 ]由于当t ∞时.其极限值为70,故在充分长的时间内.一位普通教授大约已借出70本书。

初等数学研究答案1则ac<bc 。

（3）若a>b，则acmc bc ac,m)c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。

3证明:(1)用反证法：若ba b,ab a <>≠或者，则由三分性知。

当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。

则a=b 。

（2）用反证法：若ba b,ab a =>或者，则由三分性知不小于。

当a >b时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。

则a <b 。

（3）用反证法：若ba b,ab a =<或者，则由三分性知不大于。

当a<b时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。

则a>b 。

4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+（2）313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅5证明：当n=1时，的倍数。

是9181n 154n=-+假设当n=k 时的倍数。

是91k 154k-+则当n=k+1时的倍数。

是）（）（918k 451k 154411k 154k1k +--+=-+++ 则对∀N n ∈，1n 154n-+是9的倍数.6证明：当1n =时，141-=3-，n21n21-+=3-；则当1n =时成立。

假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k 21k21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）（+-） 当1k n +=时成立。